Meccanica del volo spaziale

Formattazione del testo

V−μ tV́ = +r 2 rr V−V r tV́ =t r

Definisco infine come l’argomento del pericentro, ci dice come è orientataωl’ellisse rispetto ad un sistema di riferimento inerziale assegnato, ci dice comeè orientato il vettore eccentricità rispetto a x.

Chiamiamo il Flight Path Angle l’angolo compreso tra il vettore velocità e laγsua componente trasversale, la tangente di questo angolo è definita come ilrapporto tra la componente radiale e trasversale.

Combinando la formula del momento angolare e delle equazioni dellatraiettoria:

Ottengo una definizione di velocità trasversale:

Faccio la stessa cosa per la velocità radiale e ottengo:

Abbiamo la velocità radiale massima per ni pari a pi greco mezzo, mentrevelocità radiale minima per meno pi greco mezzo. √Ricordiamo una velocità caratteristica, la velocità circolare doveV μ/r=c cr r= ( ,+r ¿ /2=ac p aper simmetria tutti

i punti dell'orbita hanno lo stesso raggio, quindi anche la stessa velocità, la quale è ortogonale al raggio e numericamente (ponendo il semiasse maggiore uguale al raggio) possiamo dare un valore Vc. Velocità di fuga: Minima velocità che deve avere un oggetto che si trova al raggio r per fuggire dalla forza gravitazionale del corpo primario, con fuggire si intende raggiungere un punto a distanza infinita con velocità all'infinito nulla. Nella stessa traiettoria la velocità di fuga non è costante, più lo spacecraft è lontano dal corpo centrale minore è la velocità necessaria per fuggire dal campo gravitazionale. Se lo spacecraft possiede una velocità maggiore della velocità di fuga, allora la velocità residua, ad una grande distanza dal corpo centrale, prende il nome di Eccesso Iperbolico di Velocità. Il suo modulo si ottiene dall'energia meccanica specifica: Andiamo

Ora ad analizzare il concetto di tempo, data una posizione iniziale come varia la posizione del corpo. Accostiamo il concetto di periodo alle quantità geometriche attraverso, calcoliamo il periodo di un'orbita ellittica, dimostrando la terza legge di Keplero:

Possiamo dunque dire che i pianeti più interni, nel sistema solare, sono quelli più veloci, mentre quelli più esterni hanno maggiore "a" e dunque "T" maggiore.

EQUAZIONI DEL TEMPO DI VOLO ELLISSE

Questa equazione collega angoli e tempi, definisco inoltre E= anomalia eccentrica.

Posso inoltre dare una definizione ad E attraverso 2 relazione e poi una terza che sarà quella più comoda:

E = ν( ) √Tg ⁡

Relazione più comoda: θ = (1-e)/(1+e )tan ( )^2

Da cui posso fare arctg e poi moltiplico per 2 e trovo E definito in [ ;+ π-π ¿

Definisco un' anomalia media come: M = E-esinE

equazione di Keplero, dove M è nota,

mentre E rappresenta l'incognita. IPERBOLE Dove: F=anomalia eccentrica iperbolica PARABOLA: L'equazione del tempo di volo per la parabola prende il nome di Equazione di Barker: Dove, D=anomalia eccentrica parabolica VELOCITÀ COSMICHE Velocità minima di uno spacecraft a livello del mare per raggiungere determinati obbiettivi, come: 1- Rimanere in orbita circolare intorno alla terra 2- Fuggire dall'attrazione gravitazionale terrestre 3- Fuggire dal sistema solare 4- Colpire il Sole, impattarlo 1-2- Queste due prime velocità si possono riferire al parametro gravitazionale del Sole e alla distanza Sole-Terra. Dunque riscrivo le due velocità al sistema Sole-Terra: 3-4- La tipologia di orbita della conica è strettamente legato ai parametri energetici e geometrici: E dunque possiamo dire: Analisi tridimensionale del moto Una Missione spaziale necessita di un ambiente tridimensionale e il movimento dello spacecraft deve essere legato adesso. nel caso ditraiettorie attorno all'isola prendiamo in considerazione il piano dell'eclittica o eclittica. Per i satelliti della terra è preferito un piano equatoriale. Distinguiamo inoltre 2 quantità per misurare il tempo: - Giorno Sidereo o Siderale, per una rotazione completa della terra, rispetto alle stelle fisse. - Giorno Solare, tempo che passa tra i 2 momenti in cui il Sole è a picco, i 2 mezzogiorni. Una traiettoria kepleriana è definita da 6 parametri, tre parametri descrivono la taglia, forma e direzione della linea degli apsidi, la guardia invece definisce la posizione dello spacecraft sull'orbita in un determinato momento. I rimanenti due parametri descrivono l'orientamento orbitale, gli elementi orbitali classici sono: 1. L'eccentricità "e" 2. Il semiasse maggiore o il semilato retto "a", "p" 3. L'inclinazione "i" 4. L'orientamento dei piani rispetto a g3 "Ω" 5. L'orientamento della

linea degli apsidi “ ”ω6. L'anomalia vera “ ν7.Alcuni parametri sopra elencati non sono definiti quando un'inclinazione ol’eccentricità è pari a zero, i parametri alternativi sono:u =Argomento della latitudine 0 0Longitudine del pericentro Longitudine vera L=Gli elementi orbitali sono facilmente calcolabili partendo dalle nozioni dicomponenti cartesiane dei vettori posizione e velocità ad un tempo segnato,possiamo dire:E i vettori unità:Possiamo dunque definire gli elementi orbitali:Trasferimenti orbitaliAssegnati certi vincoli quali sono le orbite o i pianeti raggiungibili? In questocorso ci preoccuperemo solo dei trasferimenti orbitali evitando lo “stationkeeping”, ovvero tutto ciò che comporta rimanere sulla stessa orbita. Qual è ilcosto di una spinta?T ḿ ḿSo che , dove T=spinta, c=velocità

flusso efficace, portata, p, ppropellente. Possiamo a questo punto introdurre anche l'equazione di Tziolkowsky: m0∆ V log=c ( )m f Dove, ∆ V è l'incremento di velocità utilizzando il propellente, mentre m0 è la massa iniziale (mp+mf) e mf è la massa del payload sommata alla massa strutturale. L'incremento di velocità non dipende dalla forma della curva della spinta e l'equazione risulta valida solo quando non abbiamo azioni aerodinamiche, abbiamo spinta allineata con la velocità ed effetti gravitazionali trascurati. Tutte queste condizioni sono soddisfatte se le manovre sono impulsive, ovvero quando posso usare un modello di spinta impulsiva. Con spinta impulsiva si intende una variazione istantanea di V che non comporta variazione di posizione. La sua soluzione sarà sempre analitica o algebrica. Traccia a terra Collezione di punti sottosatellite sulla superficie terrestre (come una proiezione a 2π), le ipotesi sono: Terra sferica e velocità.tempo sidereo della Terra.

giorno siderale terrestre”“In astrodinamica un'orbita geostazionaria è un'orbita circolare ed equatorialesituata ad una altezza tale che il periodo di rivoluzione di un satellite, inparticolare un satellite artificiale, che la percorre coincide con il periodo dirotazione della Terra. È un caso particolare di orbita geosincrona.”

1. Nel caso di orbita circolare equatoriale abbiamo il semiasse maggiore:√ 3a2 π =T =T sidμ2
2. Nel caso in cui e=0 ma i si avrebbe una traccia a terra a forma di “8”,≠ 0con un punto di massimo e minimo pari a “ ±i
3. Nel caso invece in cui e , i ed anche avremmo sempre una≠ 0 ≠ 0 ω=0traccia a forma di “8” ma inclinata.

Lezione 11- ESERCIZI

Manovre orbitali ad 1 impulso:

• Variazioni di quota di apocentro/pericentro
• Trasferimenti fra orbite circolari
• Rotazione della linea degli apsidi
• Cambi di inclinazione

Alzare il pericentro: vado all’apocentro e accelero

.∆ V concorde V ¿Abbassare il pericentro (ridurre la quota): vado al pericentro e decelero (.∆ V verso opposto V ¿¿Definisco a2-a1)/2∆ z=¿dove a2= (r1+r2)/2 , ovvero la lunghezza del nuovo semiasse maggiorePosso dire:dove ∆ v=v 2-v 1Trasferimento tra orbite circolari (2 impulsi):Ricordando che:rp=Raggio di pericentropt=Semilato retto di trasferimentoet=Eccentricità di trasferimentoDefiniamo le condizioni minime affinché si possa passare da un'orbita di raggior1 ad un'orbita di raggio r2:Il punto H è importante, poiché la manovra H corrisponde ad un trasferimentonoto come:La manovra alla Homann:Per avere il raggio di pericentro pari al raggio di partenza si esegue unaumento di energia per alzare l'apocentro e quando si arriva all'apocentro siesegue un aumento di energia per alzare il pericentro (manovra dicircolarizzazione dell'orbita, passo da un'orbita ellittica ad

Un'orbita circolare con un solo impulso. (alla fine della lezione 12 vengono fatti esercizi)

Manovra di rendezvous

Consideriamo il trasferimento di una sola interplanetaria che si vuole muovere dall'orbita terrestre a quella di Marte. Per effettuare un trasferimento dai costi minimi. Per arrivare precisamente su Marte devo partire con un certo sfasamento e il tempo che la sonda impiega.