Meccanica dei materiali

I

  ÷

Stato di tensione piano! x π  

2 2 2

2 r



 θ θ

K 3

τ θ

= sen cos cos

I

 x y π 2 2 2

2 r



Con:

K : stress intensity factor.Il pedice I sta ad indicare relativo alla propagazione di

I modo I.

Rappresenta uno dei modi di

propagazione della cricca.

σ π

= × 1/2

K a [ M P a ] [ m ]

I

σ è la tensione applicata a monte e valle.

In trazione la cricca, come possiamo immaginare, tenderà a propagarsi lungo il suo asse

rimanendo sempre // a se stessa.

Poniamo θ=0

•  K

σ = I

 y π

2 r



 K

σ = I

 x π

2 r



 τ = 0

xy





Sul punto P la σ =σ

x y P

In un intaglioanche quando ρ è piccolissimo la σ non ci può essere per ragioni di

x

equilibrio....(se c'è una reazione deve esserci una reazione).

Con una cricca invece la σ è presente!

x

Solo nel caso di cricca centrata sulla piastra infinita soggetta a trazione, l'espressione del

K è particolarmente semplice.

I

E' stat aintrodotta da Williams per semplice sostituzione nelle relazioni di Westegaards.

Non si può prescindere dalle dimensioni assolute, K è un fattore dimensionale

I

contrariamente al K .

t σ π

=

K a

I

In tutti gli altri casi si deve introdurre un fattore di forma rispetto al caso fondamentale

(unico caso in cui ho una soluzione esatta analitica)

ασ π

=

K a

I

Spesso si trova nella forma: σ α

= = π

K Y a Y

I

Handbook: Murakami

• Toda-Paris-Irwin

•

Oppure si ricavano numericamente simulazioni al calcolatore.

Mi concentro sulla 1° equazione di Irwin.

Per r 0 , σ 0

• y

La relazione vale in un intorno dell'apice della cricca, non ad una elevata distanza in

quanto non posso avere una tensione nulla in quanto sul bordo, ad una distanza infinita

avrò la tensione nominale.

Per r ∞ , σ ∞

• y

Esiste una zona di validità aldilà della quale non deve andare. σ

σ nom  

a

≈ ≤

r  ÷

 

10

I materiali di interesse ingegneristico raggiungono una σ

S

Diagramma della σ in funzione di r. σ

σ y σ

σ S

S

(M P a ) m o d e llo e la s t o -p la s t ic o . L a

s ig m a s i fe r m a a llo

c u rva re a le ε s n e rva m e n to .

c u rva in c o m p lin e a re

e la s t ic o

r r (m m )

p

La parte tratteggiata che elimino la devo redistribuire a destra del diagramma nella

prossimità dell'apice.

r è molto piccolo.La differenza tra le due curve è così ridotta che la σ è circa uguale

p y reale

alla σ

y

in campo lineare elastico tagliata in corrispondenza della tensione di snervamento.

Sarà sufficiente che la σ < 0,6σ

nominale snervamento

Se vale ciò ricado nella meccanica della frattura lineare elastica (sono cioè in campo

elastico)

ALTRIMENTI: si avrà una una plasticizzazione diffusa (large-scale yielding)

si dovrà utilizzare la meccanica della frattura elasto-plastica.

MODI DELLA CRICCA

Opening mode (I)

La cricca inizialmente chiusa tende ad aprirsi sotto l'azione della trazione.

E' il modo più importante.

Abbiamo anche i modi 2 e 3

Questi modi sono indipendenti tra loro vale il principio di sovrapposizione

degli effetti.

Shearing mode (II)

Scorrimento delle 2 faccie l'una rispetto all'altra.

p o s iz io n e in iz ia le

Tearing mode (III)

Dovuto a 2 forze ┴ alla superficie.

(Es: alberi di trasmissione soggetti a torsione si ha un K )

III

I modi 2 e 3 sono indipendenti?

La generazione di un modo 2 con l'effetto Poisson induce anche un tearing poichè una

superficie si espande e l'altra si contrae.

Se spingo la superficie ho un effetto Poisson che porta il volume a contrarsi e la superficie

tenderà ad uscire dal piano del foglio.Se la tiro invece tenderà ad entrare (vedi modo 2).

σ y K C

(lo g ) K

σ = I

100 y S c a la d o p p io lo g c o s i in

π

2 r o rd in a t a la ra d ic e vie n e

100 a d a n d a rs e n e .

30 30 c u rve a K I

10 c o s ta n te

10 K I

5 r (lo g )

10

0 ,1 1

Π

1 /2 σ = K

y I

Ho un campo di tensione: cresce // a se stesso.

Le rette hanno una pendenza inversa pari a 1/2.

La meccanica della frattura ha abbandonato il criterio di punto!

Il campo di tensione decide la gravosità dello stato di tensione locale

criterio di campo.

Campo di tensione: indipendentedal materiale utilizzato purchè:

sia in campo lineare elastico.

• Rimanga in prossimità

• dell'apice

Noto K riesco a rappresentare i campi di tensione.

I

K : non dipende dal materiale

I

Ma se devo rispondere alla domanda: si rompe?

Devo confrontare il campo con una retta che rappresenta una condizione limite: K C

Fintanto che sono al di sotto sono in condizioni di sicurezza

altrimenti

Ho una rottura di schianto in assenza o con ridotta plasticità

K :

C dipende da materiale

• dipende dala geometria (spessore di provetta)

•

Tra tutti i fattori caratteristici a livello ingegneristico importante è il: K (fracture

IC

thoughtness) valore minimo che il K può assumere

C

Dipendenza K dalla geometria: andamento complicato.

C

K C D e f. p i a n a K IC

t

t* t* * s p e s s o re

la m ie r a

Lungo l'apice della cricca cambia lo stato di multiassialità a seconda dello spessore t.

Se t (spessore): basso: tensione piana

◦ intermedio: stato di tensione triassiale

◦ alto: deformazione piana (ma stato di tensione triassiale)

◦

normativa americana ASM

Analisi al calcolatore hanno mostrato che da t** in poi si instaurano condizioni di

deformazione piana.

La normativa americana consente, a posteriori, dopo aver fatto il test, se sei o no a destra

del diagramma.

Non c'è un equazione analitica per quella curva, è un best fitting di dati sperimentali.

Se: 2

 

K

> × c

t 2 , 5 ÷

σ

 

S

Siamo in deformazione piana. K = K

C IC

Fatto il test sulla provetta ho ricavato il K !

C

Quel K è il valore di minimo, cioè il K se ho usato uno spessore maggiore di quello usato

C IC

da quella relazione.

Nel caso in cui abbia componenti con spessori che per raggiungere il K ad un livello

IC

molto elevato (es. acciai ) si capisce bene che se non riesco a dare il K perchè non ci

IC

arrivo a fare prove a det spessori, do a chi deve progettare quel compnente un K relativo

C

allo spessore di interesse (es. serbatoio in acciaio con 10mm di spessore).

Ricapitolando: i due dipendono da materiale e

K < K

I IC geometria della provetta.

< K C

Ma il K non dipende dal materiale!

I

Dipende:

dalla geometria del componente criccato. Quantifica la distribuzione delle

• dalle tensioni applicate al componente tensioni davanti alla cricca.

•

OSS: K si ottiene quando sul componente si instaurano stati di deformazione piana.

IC

(questo perchè lo spessore è elevato.Lo stato tensionale però è 3D! Uno stato di tensione

gravoso al quale è corrisposto una minore plasticità del materiale, il K è il minim per cui

IC

si ha rottura!

In deformazione piana ho un valore di minimo di raggio plastico all'apice della cricca.

Le proprietà di duttilità non vengono praticamente coinvolte!

PIASTRA FINITA 2a

B

Entra in gioco: fattore di forma α ασ π

=

K a

I

Esistono 2 espressioni ricavate semplificando la trattazione.

Non sono soluzioni a rigore esatte!

Sono approssimate in modo preciso.

Federson: π

 

a

α = sec  ÷

 

B

Irwin: π

 

B a

α = ta n  ÷

π  

a B

Es:

2a/B = 1/10 calcolo...

0 0 ,6 0 ,8

0 ,2 0 ,3 5

Attenzione 2a/B→0 quando B→∞

Quando 2a/B < 0,35 posso considerare α

Nel tratto [0,0,35] posso considerare il fattore di forma costante.

Riesco a semplificare il calcolo integrale della vita residua.

Altrimenti devo utilizzare la formula di Fedderson e Irwin.

Ci sarà una lunghezza critica per cui ho rottura di schianto.

CASO CRICCHE LATERALI fin it a

a a

B α π

 

2 3

   

2 a 2 a 2 a

σ

= + − +

K a 1 , 9 8 0 , 3 6 2 ,1 2 3 , 4 2

 

 ÷  ÷

I    

B B B

 

 

Espressione ricavata da best-fitting di dati sperimentali. x

Y ≅

2 ,0 1 ,9

0 0 ,2 0 ,4 0 ,6

0 ,3 5

Il valore minimo di una doppia cricca laterale ha un α che in partenza è il 12% in più della

cricca centrale (quando la piastra è ∞).

E' interessante notare che fino a 2a/B = 0,35 il fattore Y non aumenti, seppur la cricca

interessi già il 35% della piastra!

PROVETTA PREVENTIVAMENTE CRICCATA

Effettuiamo un test di trazione su provetta preventivamente criccata. σ

F

σ =

Misuro la forza: A

Tiro la provetta fintanto che F rompe la provetta.

Ricavo la σ e posiziono il punto nel diagramma.

σ

σ S … … … a (m m )

Per ogni ampiezza a faccio tre prove.

Per ricavare la pendenza bastano 10 prove.

La retta rappresenta il parametro K caratteristico del materiale criccato.

C

(K perchè il materiale si rompe di schianto!)

C ασ π

=

K a

I

↓ ↓

K ro ttu ra

C

La cricca viene formata da un intaglio con spigolo quasi vivo (Gli spigoli quasi vivi si

ottengono con erosione a filo).

Otterrò un ρ ≈ 0,02

Facendo ciclare a fatica brevemente il materiale con bassa σ ottengo immediatamente una

cricca. 2a ρ=

ρ =0 0 ,0 2

Come posso valutare K in assenza di manuali specialistici?

I

Nel caso di piastra infinita: σ π

=

K a

I

In tutti gli altri casi: ασ π

=

K a

I

Le relazioni legano il K alle tensioni a monte e valle.

I

Non si prestano