Meccanica classica

APPUNTI

MECCANICA CLASSICA

Teoria

Anno Accademico 2021/2022

Università di Milano Bicocca

Appunti di Rebecca Novara 2021

del ottobre

4

corso

Argomenti

dinamici che

modelli evolvono

che

sistemi matematici descrivono cose

La

ca

differenziali

dinamici piano

sul

sistemi conservativi

Newtoniani

Meccanica Lagrangiana

vincoli scalare

e Lagrange

intimidatorio

meccanica base statistica

e

mesequantistica

linguaggio

DINAMICI

SISTEMI EH oraria

legge

Rn

seta e di

ma tauazioni che coinvolgono

derivate

le sue

sect e

f

tipo mq

mia

È I to

te

l'ca Itsoluzione t di

sco

se se prob

differenziale Cauchy

È sé L si

t

derivi risp m se

tempo

prima

se seconda

DECADIMENTO RADIOATTIVO

Nlt t

al

radioattivi lupo

nuclei

me NA

NA DEI

ANCH tt

ANCH NCH

a dati sperimentali

NI I

ANCH Dt

a

pNCH.IN

Y I I.II

limite

Net

7 al

DI IN

la f otto

trovo Idf at

an

soluzione o log

day

FICHI di soluzioni

agamiglia sol

trovosoluzparticolare da

e e

fisso generale

Dinamica

MODELLO MALTHUS

DI popolazioni

sect di

individui una specie

Dse seat

At III

nascite sede

morti

Dr a

a Asettase

Ase sect

Etat

se

X d

Dtt sé

test

Ase se

in

Rest

sect DI dal predatore

MODELLO LOTTA VOLTERRA stesse osey o

as

D

devono

interagire

I J

By By assay

Modello SIR pandemie

S È SÌ

suscettibile Tso

I o

qe a

Iringette

B R I

morte o guarite

ICH Ht

ARCH

set cost

STI R D E

ma

NI t FEI

già ID m 0

fmsiifselseyz.si se.tv.t

cnn.t.int D

Int si

e t

y

se.y.z.si g 2to ttm

yggtgzv.tt

aaaa Atos

sett wtf

armonico

DIFFERENZIALE DEFINIZIONI 50h

CALCOLO 2021

def 0 variabili

E

D nelle

Equaiouelligerenadinaia sect scalare

se

A sésésé

Ct o

se

se

è la

di derivata

contiene

u

ordine se di oltre

quell'ordine non

Bake derivi

è dell'ordine

risolvere alla

se mare

rispetto

posso

L seh

t.se

se sei

Kale sett

ODE nellavariabile

esempio iii

sé 20 o

ordine

a g

g è in nomale

forma

sé Sinti t

t

3 30

ordine

O il

f normale

scrivere

posso sinlsejl.LI

def IR

la

sect ER tale

b derivabile

è che

soluzione

ma quanto

serve

unafunzione

sect se

dit sect tela

t b

o per

esempio si

sé

sé gt

sect

9 soluzione à

e

Igt

una g

infatti vettoriale

z caso

x

e y it

gi

io

F o

Idt sett

sett scout

yltl.EC

Itcggftp Etti i

ne p

g

µ è di da

La di

uncerto parametri

soluzione funzioni dipendenti

na un

famiglia

generale

cene tutte

che della ODE

soluzioni

Una dei

il

è dalla

ottenuta

parte valore

soluzione

soluzione scegliendo

generale

parametri t

si

del

Eq variabili

in nomale

Primo g

ordine fise

a separabili

forma

differenziali B

che fine XE

certo

Assumere intervallo

annulli se

in un

si se

non at

Sj get

FINITI D

alt siottiene

ad risolvendo se

a

rispetto

esempio t hebel settle

at Etc

dI

si set

nota si at

cost

fa git

se sett get

si la to

t not

cost

getti

se di

in se

fusione

gg

NETORE È

1 E

IR

In

vettoriale 20 E

ODE It

22 E

se e

I

NB ordine

formanormale

dim

vettore 2

Rango

proposizione

solare ODEvettoriale

se ODE e

ordine N ordine

primo

nomale N

rango

forma

Ittita sé ho

t.se

p allora

si de

già hey

a pongo ftp.getpe.gl

esempio si si

si t

si y

sinise a ftp

y

y

z z t

se g sin

z se

iniziali

dati

dei

Problema di problema

o

Cauchy

Data di le

trovare che

prob vuole

neg soddisfi

in soluzione

differenziale Cauchy

iniziali

condizioni

orarie

10

caso si

si t sig

se Ict

setto iniziali j a

se condizioni y

si to to

se

vo se

e zitto vo

esempio dt

sé 1 tx set1

alogbetil

se ftp IeCttc

seco sect 1 soluz

tft generale

La di

soluz Cauchy

derivo ftp.t.pt

Ket

Ket sett è

lasol di

t 1 1

si i Candy

seco K A

K

6

1 unicità

Teorema di esistenza e

Si di ordine

di

sistema ordinarie

consideri ose

un differenziali

equazioni

normale

in

n

e forma

Mango Ct

I R

se R

E

sei

se E

se

con se

1

iin L t sen

ser

se ma

to E tata

il

si consideri di

problema Cauchy

seguente

L t.at

si I to S tot

è allora

allora S

continua

se in

omettesoluzionidefinite

1 ti

I la

Cto

è concontinuità allora

x

in soluzione

differenziabile S

è to S

to

unica

anche in

esempio tt

sett

faje di

è

O

de Cauchy

soluzione moron

dell'eq

osservo

t 1

che sett I

It 1

e e

e D

seco

Ie impongo

SEI

settle It 3

seh

si tte

I at I

sett e

213

Cal

se o seie o

0

4312

è

sett

de o soluzione

osservo 312

sett

e anche Gt

è garantital'micità in

non

non se

differenziabile

nel

SISTEMIDINAMICI PIANO

sé f t se y

y get

se.gl µ

e

a non annue

qq.ae

anyone

particolare

caso Ct

mai I si

se

Ari

i y Im

fit

y se y

nel

5D autonoma

piano

fa

si y vettoriale

in campo

I ii

esempio le soluzioni

per

capire

Itf.fi

se

armonico

oscillatore se ijI

A

sect 9

ut

cos

mamma

il dei da

toccati

punti say

luogo

è conferenza

delle di

situazioni equilibrio

caso

Sia già

già

sé Il t.c

I y g o

se fine

con y tt

j soluz sezione stazionaria

glse.gl gli p

se

lo

se

gioia

dimostrazione

sé

sett già

f g

sett t

o o

y

da

de I

t già g

y O o

de le

7

vedo delmoto

costanti

2 se

del I IR

delnoto W

considero

costante ma funzione Wise

ese

y s g

WIn.gl miei deve costante

essere

quella

scelgo

W

del del dato

moto moto del

è piano

costante x SD

costante se

per

un

y

dototsett

CHI ho

Lab

k t E

del SD

soluz me

alt ya'll

W W tela b

ti

sett y con OH

11

def 2021

I wir

gli

wise cost

say y

per

aye

Sistendiciniani finire piano

si si

y newtoniano sigg

g già

forza

posizionale I te

Uta fse

1

in conservativo D

a

dimensione false

Nip

esempio Ula

Wise del moto

è costante per

I

y y

Pit Ht

H

W alt è costante

y una Ulselttat Wisell yall

Pitts I gettati

là yINIyitt

ftp.y D

y

Wise

mi o se

fy

specializzo y lttdtll

tolse

It Dtl

fly

I IIyacttdtltul.lt

Ati si

Ulseltil

flubelttatti che

UH UH

1 Ct

It Il y

yeast at

Dt

y'At ly

I

y'all

I

p g

gg

T

ta

B si gg

G WIylthseltll.gg

la It del s

soluzioni

uso yet È du da del

è costi

o D moto

flaltllyltltyltlflselt.lt defy

in

derivate variabili

più si

wealth y

yall 3 gg

sent

Lugol ser

false

si

In ftp.isez sen sin

sei

Wise Wise t

sen bug

de senltll.gg

riassumendo FECI

KESLER

WEI Wisely

Welt

EHI te t ta

El zitti

diletti Engi

è L

è

sett

se soluzione e

Ei filetti tw f

Wietti fase

da WII t o costmoto

da alt soluzione

esempio

Wise z e se sin z y

zy

y tube

gli

là

E

È

costa

II 2g

y

y thè

22 am

IL si y

È

y

gu FI

I

di Else

di simmetriche

livello asse

rispetto

curve se

y

di

fase

esempi

diagrammi Ue

libero

Pinto Cost

e materiale cost Élaylefya o

gg

nulla

foza

livello una

curve per quota

Eo DI curvalivello

traiettoria

o no

nessuna

a

ii di livello

sconnesse

curve

Iii tutti di

pati equilibrio

no O

forze y

ti

Eo 0 se o

se

2 Ubetgsefsjyg

ElseyleIy2tgs gsof.costoute

III

E.se

jyatyx E

oscillatore armonico Eo o direzione

libel II

these rese OH

2021

12

Kael

I

Elsey y

Eolo traiettorie

cisono

non

per lo

Kat

Eco 1 0

fy o

solo punto

un sey

di 0,0

equilibrio

punto

li lo Eo

Ka

ellissi Eiffel

0

YI

o

per sono per

y

o

Eo

per di

senso percorrenza

si seni

se

y crescono o

ag

p

se

decrescono

inversione seni Y o

p

iiitii

osservazione IRI

le

Ue E moto

di percui avviene

seannesse me

con

in

regioni

to Vini Eo

certa sono quelle

energia VICENT

Obel Eo LEO I

2 Obel

I a y

y y Eo UG

O

GENERALE

CASO 12042021

ex

Ula Isetan

Uh are

o

o a

o

date

ft TE

V

bel 00

II iititteri

Ula

Eo

omette sopraEmin

se un cioè

Eo sei sì

Utet

Eo set

0 ser

E ser

NB

Emin pt

sono

per

y e

di del

moto

inversione

Ulset

Valeo

la I traiettoria

la

NB vale

y trae

parti pt co

un

Enea

Fo

DE avrò

0 2 aree disconnesse

tra sareste III TIFIEO

UTIÉTÉ

se

prima noti

06 dal

Evase

E limitata caso

dipende il decresce

potenziale

e viceversa

i eiitini.ie

i vettoriale

campo

ho Liv

solo

2 iniziali

traiettorie dalle

e condizioni

u

perché dipende

energetico

E

Eo mese della

fa

se curva

parte in

pt

equilibrio

pgy.gg o

ife

pt

quit

instabile il

in

un Taylor potenziale

faccio Sviluppo

ingrandimento

la l'tolse

U

Ute V

Uta 1

se

x se a

e l'tolse

Ula E 1

U

O se

se se

e

mese parabole

sono

sempre 12

2.1

IL

U

Ex Enza

I I

y

I 110 l

le ben

U 0

o se

a Hye t'telle sei

tutti nel

4 lytviuzea.se o VIVIFICA 1

se

g

ho 2 b

mette a

o soluz

sono angolari

coefficienti

Bho li

sto

da

accadeintorno sosolo

chese

cosa se pt

parto cgilibrio

se

tono di

pt minimo

discutere Stabile

a sig

oscillazioni

piccole VIA

VIA U

Vise I

sese se

sa se_set se

o

È

Emin o È

www.u.iIII

Utet xD noto

Emin I a armonico

If visto

làolte

aveva METTI nel minimo

DI SulleTRAIETTORIE

TEMPO BOT

PERCORRENZA 2021

a via

neat E

tifi e y

È gg

Valet

Shel

si VZlEo

y Ul

e di Idt t.to

teupodaseoaseLiy

fil d

il tratto alse.gl in

GO.yol tempo

per impiego

percorrere f

B è

pt finito

se lontano siannullamai

non

inversione B

lontano

da

essendo

A

se

cosa se

succede la

ÉTÉ devo

capire divergenza

a B1

oca E E

0.5

VIETI THEE finito

tempo

impiegoin

finito

integre

B IE

dopo Ie.t Simmetria

MOTO

del

PERIODO PERIODICO è non

finito

l'integrale diverge

Lige

TIE 2 è al

ma approssimezvicino minimo

Inergelico

Liv te

demoni

il

al flat

f

torno Use

potenziale e glie lap

see

flat

Eo Eo

70

2 glabella B

ft

NEghleteko

VEET VIII

VIETI

ÈETITTI la b

set

Ulsel

so

flat

Eo so

Eo girl 0

ittici È che

f risolve

e si

con esattamente

questa g ottengo

su due.it Enea Ite VZLEO.NET

y

desco

arrivare sé

tempo a

x

t.fi x

sese g

l

UCEI

Ugl U'tre U

se I se

si se

se o

o

Enea SE

è infinito ma

tempo infinito

l'integrale diverge

le 5

allora distorte di

sono wwe

traiettorie

curve puto equil

sconnesse

del pendolo

esempio semplice

POTENZIALE COLOMBIANO 18 OH

204

Use in dimensione

poi

Le

Ucr I potenziale efficace

D

U Viral

Eo traiettorie

no

U rt

EO

Tira Eo O

tti limr LE

al aooylxl.io

ftp.T.maoivagmaa infinito

Uctallim

glsel.la eo sesto

a ghetto al

chearriva intorno

cometa se

e pianeta

va

ne

esempio

SEMPLICE

PENDOLO

a V19

y costo

y gg

Eagle no traiettorie i

e

Eo g È

Eo gil miti.it

all

il E

Eagle riesco

a il 1

fare

tutto it incluso

fino

giro di

oscillazione

DI

STABILITÀ PUNTI EQUILIBRIO 18012021

in

SDNC astabile Vl2l.o

U à O

instabile DI BIFORCAZIONI

DIAGRAMMA di al di

stabilità unparametro

variare

e equilibrio

punti

posizione

esempio

U la ser_11 11 pt

sete

di

trovo 4 ca

dI

penti equilibrio Ysmpreo

golf

bif

diagramma ho

DEIR

che e

so FEI.it

IIiih

Derivata

stabilità seconda stabile

o

61

4h 41

122

8 O 4

se a

e giu 1 o instabile

potenziale

grafico

1 o f atte

DINAMICI

SISTEMI LINEARIZZAZIONE

nel

PIANO GENERICI E 190172021

osservazione le orbitesono

attorno a un uguali

punto generico

tutti i di

localmente sono

punti non equilibrio equivalenti

stati

della

Teorema fusse

Si di

là di

51 coordinate

cambio

non

consideri sa equilibrio

e opportuno cò

g

9

finto

R

U per

Nyt te riscritto

sey

w with

il

È banale culo

8D diventa cost

p no ZCH.tt ZIO

È laminare

un

flusso 1 i È E

muro È

vast lontano lool

1

lì da

e gg

rettifica

io I

si te E

qq.gwlaltl.yltll.gg je e

Effie

l si

É o y

con

seg seg y se

à rifà

J

si 1

fa

It Igp

fy

Ij ifeng.ie teso

la là 75

5 stabile te

di di

in dice

si se

secondo Lyapunov

equilibrio

punto o

si rimanerne sondaggio

là Y

in

centrata dalla bolla nella

può deverimanere

uscire prima seconda

ma

è

stabile instabile

è

se non

www mn

WII

con 10,01

di equilibrio

I punto

L fifteen

E II 0

WEE

I I

Y E

QE o ho

ad certa traiettorie

na E

interne e

di

Linearizzazione nel di

dinamico attorno

sistema

un a equilibrio

un

piano punto

là te Il glio

fà

I già

51am

4 gia

y più

in

di dimensioni

espansione Taylor

il à

flayt già Le ftp.gly

ylto glseiyl

yltos

da

glsi.gl ftp.gly

delay

variabili

cambio i si o

L os

u fy

i g gg ut Hype

il è

sistema scritto

come approssimato

Fi

f linearizzazione

Yin un

2g Età

5

ascisij di

la stabilità sist lineare

Studio un il radicireali distinte

J

f 3 nel

casi polinomio

g caratteristico

complesse coniugate

coincidenti

reali

li

caso da

be

Siano reati distinti

YaYa base autovettori

autovettori corrispondenti cambio con

nette ah

che Alti

E

tu

Ittf e fine

51 ftp

se f f

n da

µ 2

edit

E

t edit

tl

Y go

traiettorie edit

titty dieta

41

d 10,011

E g

e e

4 segno

È edit editing

EH e f

I

µ da

dico

nodo instabile o

nodo

stabile item

trice

it it

Iste traiettoria