Meccanica 1

I corpi con cui avremo a che fare sono rigidi e i moti sono piani.

1. Cinematica
2. Statica
3. Geometria delle masse: baricentro e momenti d'inerzia

Algebra vettoriale

Prendiamo un vettore v

Le grandezze vettoriali sono caratterizzate da tre grandezze:

• Direzione, cui rimanda una retta parallela al vettore.
• Verso
• Modulo, lunghezza del vettore.

Nei casi in cui il vettore sia applicato, dobbiamo considerare anche il punto di applicazione

Operazione fra vettori

SOMMA:

u + v : Regola del parallelogramma

Possiamo anche utilizzare la regola testa-coda.

La coda dell'ultimo vettore è unita alla testa del primo.

SOTTRAZIONE:

u - v = u + (-v)

I corpi con cui avremo a che fare sono rigidi e i moti sono piani.

1. Cinematica
2. Statica
3. Geometria delle masse: baricentro e momenti di inerzia

Algebra vettoriale:

Prendiamo un vettore v

Le grandezze vettoriali sono caratterizzate da tre grandezze:

• DIREZIONE, determinata dalla retta parallela al vettore;
• VERSO;
• MODULO, lunghezza del vettore.

Nel caso in cui il vettore sia applicato, dobbiamo considerare anche il punto di applicazione

Operazione fra vettori

SOMMA:

u + v: Regola del parallelogramma

Possiamo anche utilizzare la regola TESTA-CODA.

La coda dell'ultimo vettore è unita alla testa del primo.

SOTTRAZIONE:

u - v = u + (-v)

Prodotti scalari per vettori

C _u = V

v e u hanno la stessa direzione

v e u hanno lo stesso verso se c > 0

< e < 0 >

Un esempio di tale prodotto è: F = ma

Prodotto scalare: si effettua fra due vettori

U · V = a ∈ R

= |U||V| cos α → Il risultato è uno scalare.

α ∈ [0, π]

α = arcsin ( <<

Prodotto vettoriale

|w| = |u||v| sin β

Il risultato è un vettore.

Per quanto riguarda il verso vale la regola della mano destra

Verso uscente

Verso entrante

u x v = -v x u

Il prodotto vettoriale è anticommutativo, mentre quello scalare è commutativo.

u x v = 0

Interpretazione geometrica:

|u x v| = |u||v|sinβ

Prodotto triplo misto

(u x v) • w = -a ∈ ℝ → Abbiamo come risultato uno scalare

(u x v) • w = 0 → Se i vettori sono complianari, cioè appartengono tutti allo stesso piano.

Possiamo anche scrivere:

w • (u x v) Prop. commutativa

(v x u) • w Prop. di circolarità

((u x v) • w) • α Prop. di inversione dei prodotti

Doppio prodotto vettoriale

a x (b x e) = b (a • e) - e (a • b)

BAE minus EAB

DECOMPOSIZIONE VETTORIALE

+a

u + v = e

decomponiamo così, il vettore nelle sue due componenti

Abbiamo in questo caso, l'unica possibilità è decomporliamo

COMPONENTI CARTESIANE DI UN VETTORE

Abbiamo 3 assi l'uno fra loro, abbiamo quindi creato un'unità destrorsa o levogira

V_x, V_y, V_z: vettori componenti

Ricordiamo che un versore è un vettore con modulo unitario

× × =

V_x, V_y, V_z: sono componenti cartesiane di V.

U_x + U_y + U_z = U

V_x = V · , (scalare)

V_y = V · , (scalare)

V_z = V ·, (scalare)

Le componenti possono essere negative, le componenti sono positive se i versi sono concordi con i versori , , negativi altrimenti.

= + + = + +

le coordinate del punto P saranno le componenti

del vettore,

|| = √_x² + _y² + _z²

le componenti di un sistema cartesiano dipendono dal sistema di riferimento

S = +

sistema di riferimento

Avrò per il vettore somma 3 componenti:

_x = | _x | + | _x |

_y = | _y | | _y |

_z = | _z | | _z |

PRODOTTO SCALARE PER VETTORE

S = e ⋅

r. di riferimento

_x = | e _x | | _x |

_y = | e _y | = -e | _y |

_z = | e _z | | _z |

PRODOTTO SCALARE

| ⋅ | = | _{x y z} | | _x | = _xx + _yy + _zz

PRODOTTO VETTORIALE

| x | =