Meccanica 1

I corpi con cui avremo a che fare sono rigidi e i moti sono piani.

1. Cinematica
2. Statica
3. Geometria delle masse, baricentro e momento di inerzia

Algebra vettoriale

Prendiamo un vettore v

Le grandezze vettoriali sono caratterizzate da tre grandezze:

• direzione, individuata dalla retta parallela al vettore
• verso
• modulo, lunghezza del vettore

Nel caso in cui il vettore sia applicato, dobbiamo considerare anche il punto di applicazione

Operazione fra vettori

Somma:

Regola del parallelogramma

Possiamo anche utilizzare la regola testa-coda

La coda dell'ultimo vettore è unita alla testa del primo

Sottrazione: u - v = u + (-v)

∑V_i = 0

Prodotti scalare per vettori

C = V_l

|V| = |t| |U|

V e U hanno la stessa direzione

V e U hanno lo stesso verso se c > 0.

e < 0

> 0

Un esempio di tale prodotto è: F = ma

Prodotto scalare: si effettua fra due vettori

U · V = a ε R

= |U||V| cos α → Il risultato è uno scalare.

α ε [0, π]

µ · V = 0

U · V = 0

µ = 0

U = 0

µ = l

α = arcsin ( ^{µ · V}/_|µ||V| )

Prodotto vettoriale

U Λ V = w Il risultato è un vettore

|w| = |U||V| sin β

Prodotto vettoriale e anticommutativo

_μ · (V × W) = μ × (Μy · μz − μy · Vz)

Prodotto triplo misto

_{Vx Vy Vz} |Vx Vy Vz| |Wx Wy Wz| = |Wx Wy Wz| = s ∈ ℜ spazio

[[i j k], [Vx Vy Vz], [Wx Wy Wz]]

_λ x = _λ x i = |Λ| · cos α x

_λ y = _Λ y j = |Λ| · cos α y

_λ z = _Λ z k = |Λ| · cos α z

cos α x , cos α y, cos α z sono i coseni direttori di λ

|Λ| = √(cos² α x + cos² α y + cos² α z)

cos² α x + cos² α y + cos² α z = 1

V = |V| · vers V

Vers V = V/|U| = (_Vx, _Vy, _Vz) × (1/_U, 1/_Υ, 1/_Z)

|V| modulo di V

Se sposto A in una retta // alla retta di app. ai v il momento non cambia.

Noto Ma, quanto vale Mb?

Mb = B̅P̅ x v = (B̅A̅ + A̅P̅) x v

= B̅A̅ x v + A̅P̅ x v

= Ba x v

LEGGE DI TRASPORTO

Mb = Ma + B̅A̅ x v

|Ma| = |A̅P̅| |v| sinα

= |γ| |A̅P̅| sinα

= |γ|・b

A braccio cui vettore

BRACCIO: distanza retta d'applicazione dei vettori dal punto rispetto

al quale calcoliamo il momento.

MOMENTO ASSIALE

Ma = (A̅P̅ x v) • λ

Ma = Ma・λ

Momento (assiale) di v rispetto ad A

SISTEMI DI VETTORI APPLICATI

Sistemi parametrizzati da n vettori applicati

(Pᵢ, vᵢ); i = 1,2,..., m

RISULTANTE: R = Σ_i=1^m vᵢ

MOMENTO RISULTANTE: M₀ = Σ_i=1^m O̅P̅ᵢ x vᵢ

(risp ai polO 0) giunto

V_A = (10, 0, 0)

V_B = (0, -5, 0)

R = (10, -5, 0), quindi ≡ l'asse orizzontale

O ∠ × R = -50k

AB × VB =

= -50k

ΔΩ × R = -50k

| i j k |

R = [i (5 ΔΩ_z) + j (10 ΔΩ_z) + k (-5 ΔΩ × -10 ΔΩ_y) =

= -50k

lungo i: 5 ΔΩ_z = 0 → ΔΩ_z = 0

lungo j: 10 ΔΩ_y = 0

lungo k: -5 ΔΩ_x + 10 ΔΩ_y = -50

+ ΔΩ_x + 2 ΔΩ_y = 10

ΔΩ_y = -¹/₂ ΔΩ_x + 5

V = -¹/₂ x + 5: EQUAZIONE ASSE CENTRALE

Se ci sono coppie λ₁, λ₂, l'operazione di riduzione continua a valere.

θ ≠ 0

Mω = M_G = l_R = 0 = 0

wRENEH: MINIMA RIDUZIONE POSSIBILE

M_O x R + R(R · Ω) - |R|²Ω = 0

Voglio trovare un Ω sull'asse centrale, per cui

• Ω · R = 0
• Σ₂ x R = 0

Questa è una seconda operazione che permette una riduzione ulteriore del rischio potenziale al netto del valore relativo dei coefficienti determinati.

Dalla scrittura di Ω ottengo:

• M_O x R - |R|²Ω = 0
• M_O x R + |R|²Ω = 0
• Ω = R x M_O / |R|²

Questi sono 3 eq. scalari indipendenti

VINCOLI: sistemi adottati per collegare un corpo all'altro

Un vincolo esercita una forza che si oppone al movimento che si impedisce; tale forza prende il nome di REAZIONE VINCOLARE.

2D

(X_A, Y_A, α) → abbiamo 3 gradi di libertà

3D

(X_A, Y_A, Z_A, α_x, α_y, α_z) → abbiamo 6 gradi di libertà

CARRELLO (APPOGGIO SEMPLICE)

–1 ^g_t/_Fy

Il carrello toglie un grado di libertà al corpo, e in corrispondenza abbiamo una forza come reazione vincolante.

Quesito 2º caso facil

• Σ R_ax = 0
• -R_ay - R_B = 0
• -baF - b_exR_B = 0

Esercizio 1

• R_ax = 0
• -R_ay - P + R_B = 0

Facciamo la Σ a zero scegliendo un polo comodo, cioè A

A: -P.a + R_B(a+b) = 0

Risolviamo le 3 eq. in 3 incognite:

• R_ax = 0
• R_ay = 3333,3 N
• R_B = 666,7 N

Teoria:

ponetto nuovo

Ci siamo riecomolti da un caso di vetori non piu paaluti: le cui risultanti mi individuano un punto dell'A.E. Ω

Chiamai il D.E.L. risolto:

Esercizio 2: Agiamo la forza Q.

H ha braccio nullo quindi non contribuisce al momento, così come V.

Esercizio 3: Agiamo contemporaneamente P e Q.

Principio di sovrapposizione degli effetti, è sempre possibile in statica.

Nel sistema le azioni che il corpo 1 esercita

sul corpo 2 sono uguali. Allora su 1B non

c’è mutua.

Considero solamente i vincoli che ancorano

il telaio all’istrumo.

Il sistema non è isostatico

3 eq. senatari, 4 incognite. Il sistema

non è strumente isostatico perché ho isolato il sistema. Prendiamo

μ

Possiamo isolare singolarmente i due corpi del sistema:

Abbiamo due vincoli (4 ogni corpo), ciascuno quindi 8 equazioni.