Matrici e sistemi lineari teoria ed esercizi parte 2

E

A_3x3 = [ 3 2 6 0 0 3 -2 ]

B_3x2 = [ 1 0 -2 -7 3 -6 ]

A_3x3 · B_3x2 = C_3x2 = [ c₁₁ c₁₂ c₂₁ c₂₂ c₃₁ c₃₂ ] = [ 10 -18 2 4 -30 -13 ]

c₁₁ = ∑ (3(1) + 2(-2) + 1(3)) = 10

c₁₂ = ∑ (3(0) + 2(3) + 1(-6)) = -18

c₂₁ = 5 + 0 - 3 = 2

c₂₂ = 4

c₃₁ = 0 - 24 - 6 = -30

c₃₂ = -21 + 8 = -13

ESEGUIRE LA SEGUENTE MOLTIPLICAZIONE

A_3,2 = ( 2    1 ) ( 3    5 ) ( 7  -1 )

B_2,2 = ( 1  -2 ) ( 6   3 )

C_3,2 = ( c_1,1   c_1,2 ) ( c_2,1   c_2,2 ) ( c_3,1   c_3,2 ) = ( 8    -1 ) ( 33    9 ) ( 1  -17 )

c_1,1 = 8

c_1,2 = -4 + 3 = -1

c_2,1 = 3 + 30 = 33

c_2,2 = -6 + 15 = 9

c_3,1 = 7 - 6 = 1

c_3,2 = -14 - 3 = -17

COME SI RISOLVE UN SISTEMA LINEARE DI I GRADO

PAG. 256 N 5102

2x - 4y + 5z = 10 x - y - 2z = -1 9x + 4y - z = 11

Δ = | 2 -4 5 | | 1 -1 -2 | | 9 4 -1 | = 1 + 8 - 72 + 5 + 45 + 4 + 16 = 6

Δ_x = | 10 -4 5 | | -1 -1 -2 | | 11 4 -1 | = 40 - 88 - 5 + 55 + 20 - 16 = 6

x = _Δx/_Δ = 6/6 = 1

Δ_y = | 2 10 5 | | 1 -1 -2 | | 9 11 -1 | = 8 - 180 + 55 + 45 + 44 + 40 = 12

y = _Δy/_Δ = 12/6 = 2

Δ_z = | 2 -4 10 | | 1 -1 -1 | | 9 4 11 | = -22 - 36 + 10 + 90 + 2 - 44 = 0

z = _Δz/_Δ = 0/6 = 0

pag. 251 N. 3107

x + 2y + z = -1

4x - 5y + 7z = 6

5x - y - z = 12

Δ = ^| 1 2 1 4 -5 7 5 -1 -1 _| = 5 + 70 - 4 + 25 + 7 + 8 = 111

x = Δ_x / Δ = 222 / 111 = 2

Δ_x = ^| 4 -5 7 6 -5 6 12 -1 -1 _| = -5 + 168 - 6 + 60 - 7 + 12 = 222

y = Δ_y / Δ = -111 / 111 = -1

Δ_y = ^| 1 -1 1 4 6 7 5 12 -1 _| = -6 - 35 + 48 - 30 - 84 - 4 = -111

Δ_z = ^| 1 2 -1 4 -5 6 5 -1 12 _| = -60 + 60 + 4 - 25 + 6 - 96 = -111

Δ = ^| 1 2 1 4 -5 7 5 -1 -1 _| = 5 + 70 - 4 + 25 + 7 + 8 = 111

Δ_x = ^| -1 2 1 6 -5 7 12 -1 -1 _| = -5 + 168 - 6 + 60 - 7 + 12 = 222

Δ_y = ^| 1 -1 1 4 6 7 5 12 -1 _| = -6 - 35 + 48 - 30 - 84 - 4 = -111

Δ_z = ^| 1 2 -1 4 -5 6 5 -1 12 _| = -60 + 60 + 4 - 25 + 6 - 96 = -111

Pag. 41 N. 32

| x - 2y = -1 | x - (1+k)y = (1+k) | x - kz = -k

Δ = 1-20 11+k-1 20-k

Δ = k² - 4k - 2k - k² + 3k + 4

= k² + 3k - 4

x ₁ = -4 + 2²

x = 3 + √(9 + 16) / 2 - 3 + √25 / 2

x ₁ = -4 + 3 - 5 / 2 = -4

x ₂ = 3 - 5 / 2 = -1

Per k = -4 e k ≠ 1 il sistema è determinato - possibile "ha il rango massimo cioè 3"

Per k = -4 il sistema diventa

| x - 2y = -1 | x - 3y - z = -1 | 2x + 4z = -2

Δ = 1-201-2 1-3-1-1-3 20420

= -12 + 4 + 8 = 0

Δ_x = 1-201-2 1-3-1-1-3 20420

= 12 - 4 - 8 = 0

x = Δ_x / Δ = 0 / 0 = INDETERMINATO

Δ_y = 1-40-1-4 2-42-20

= -4 + 2 - 2 + 4 = 0

y = Δ_y / Δ = 0 / 0 = INDETERMINATO

Δ_z = 1-2-1-2 1-3-1-3 20-20

= 6 + 4 - 6 - 4 = 0

z = Δ_z / Δ = 0 / 0 = INDETERMINATO

Il Determinante Delle Matrici

Per calcolare le matrici di ordine 2, di ordine 3 è abbastanza facile:

• O si calcola a mente
• O si applica la regola di Sarrus, ma se fossero di ordine superiore a due col cavolo li fai a mente allora, ovviamente ci sono delle regole per calcolare il determinante di una qualunque matrice di ordine m.

Pertanto

Per calcolare il determinante di una qualunque matrice di ordine m bisogna fare alcune considerazioni fra le quali la conoscenza di nuovi elementi fra i quali:

1. Minore complementare _Mi,j
2. Distinguere la classe di ogni elemento della matrice cioè individuare il posto che occupa se è di classe pari o di classe dispari
3. Il complemento algebrico

PAG. 172 N. 40

{ x + 3y + z = 5 mx + z = 0 my - z = 0

Δ= | 1 3 1 |      | m 0 2 |      | 0 m -1 |

Δ = m⋅0 - 2m -2m⋅m = m² - 2m + 3m = m² + m          m(m+1)

SE m ≠ 0 E m ≠ -1 IL SISTEMA È DETERMINATO POSSIBILE E HA COME RANGO MASSIMO 3

SE m = 0, IL SISTEMA DIVENTA

{ x + 3y + z = 5    0z = 0    0z = 0

Δ = | 1 3 1 |    | 0 0 2 | = 0    | 0 0 -1 |

{ X = Δ_x/Δ = 0/0 = INDETERMIN Y = Δ_y/Δ = 0/0 = INDETERMIN Z = Δ_z/Δ = 0/0 = INDETERMIN

Δ_x = | 1 3 1 |       | 0 0 0 |       | 0 0 -1 | = 0

Δ_y = | 1 5 1 |       | 0 0 2 | = 0       | 0 0 -1 |

Δ_z = | 1 3 5 |       | 0 0 0 |       | 0 0 0 | = 0

QUINDI PER m = 0 CHIARAMENTE IL SISTEMA È INDETERMINATO E AMMETTE ∞ SOLUZIONI

PER m = -1, IL SISTEMA DIVENTA

{ x + 3y + z = 5 -x + z = 0 -y - z = 0

A₁₂ = |3 1 3|

A*

1 -1 0

0 1 0

1 0 1

Per calcolare i determinati

(det. del polinomio)

primero calcoliamo

1 (det)

expr(9 - 9 - 3)

expr(3 - 0 - 9)

expr(3 - -2 + 5)

ottengo il coeff. del 4° colonna

expr(0 - 1 + 1)|1 1|

|1 1|

|1 0|

expr(5 + 4 + 3)

expr(-5 + 7)

expr(-5 - -2)

anticipo la proprietà dei determinanti e finisco la parte.

expr(-5.2)

expr(-7.5)

g=0