Matrici e sistemi lineari teoria ed esercizi parte 2

A = 3 2 15 0 -10 3 -2

B =1 0-2 -73 -6

A.B = C =c₁₁ c₁₂c₂₁ c₂₂c₃₁ c₃₂= 10 -182 4-30 -13

c₁₁ = Σ (3 * 1 + 2 * 0 + 1 * 3) = 10

c₁₂ = Σ (3 * 0 + 2 * -7 + 1 * -6) = -18

c₂₁ = 5 + 0 - 3 = 2

c₂₂ = 4

c₃₁ = 0 - 24 - 6 = -30

c₃₂ = -21 + 8 = -13

B

A_3x3 = {

   3  2  1

   6  0 -1

   0  3 -2

}

B_3x2 = {

   1  0

-2 -7

 3 -6

}

A_3x3 · B_3x2 = C_3x2 = {

 c₁₁  c₁₂

 c₂₁  c₂₂

 c₃₁  c₃₂

} = {

 10  -18

  2    4

-30 -13

}

C₁₁ = ∑ (3(1) + 2 (@) + 1(3)) = 10

C₁₂ = ∑ (3(0) + 2(-7) + 1(7)) = -18

C₂₁ = 5 + 0 - 3 = 2

C₂₂ = 4

C₃₁ = 0 - 24 - 6 = -30

C₃₂ = -21 + 8 = -13

Eseguire la seguente moltiplicazione

A_{3, 2} = ( 2   1 )( 3   5 )( 7   -1 )

B_{2, 2} = ( 1   -2 )( 6   -3 )

C_{3, 2} = ( C_{1, 1}   C_{1, 2} ) = ( 8   -1 )( C_{2, 1}   C_{2, 2} ) = ( 33   9 )( C_{3, 1}   C_{3, 2} ) = ( 1   -17 )

C_{1, 1} = 8C_{1, 2} = -4 + 3 = -1C_{2, 1} = 3 + 30 = 33C_{2, 2} = -6 + 15 = 9C_{3, 1} = 7 - 6 = 1C_{3, 2} = -14 - 3 = -17

PROPRIETÀ DEL PRODOTTO TRA LE MATRICI

1. P. ASSOCIATIVA

   (A · B) · C = A · (B · C)

2. P. DISTRIBUTIVA A SINISTRA

   A(B + C) = A · B + A · C

3. P. DISTRIBUTIVA A DESTRA

   (A + B) · C = B · C + A · C

4. P. MOLTIPLICAZIONE DI SOMA DI MATRICI

   (A + B)(C + D) = AC + AD + BC + BD

SE SI TRATTA DI MATRICI QUADRATE DI ORDINE N ALLORA PER ESSE RISULTA:

5. P. ELEMENTO NULLIFICATORE

   A · 0 = 0 · A = 0

6. ELEMENTO NEUTRO

   A · I_n = I_n · A = A

7. TRASPOSTA DEL PRODOTTO

   (A · B)^T = B^T · A^T

OSSERVAZIONE IMPORTANTE SUL PRODOTTO FRA LE MATRICI

1. NEL PRODOTTO FRA MATRICI ABBIAMO CONSIDERATO IL PRODOTTO RIGA PER COLONNA, MA VOLENDO SI PUÒ FARE ANCHE DIVERSAMENTE

2. IL PRODOTTO FRA MATRICI IN GENERALE NON È COMMUTATIVO

   A · B ≠ B · A

   Es: _A1,3 ^B_3,2 = ^∑ _u=1,2

   ^B_3,3: _Au,3 ≠ NO 2+1

   MATRICI COMMUTABILI

3. SE DUE MATRICI QUADRATE DI ORDINE m RISULTASSE

   A · B = B · A → ALLORA DETTO CHE LE MATRICI SONO COMMUTABILI

IV) NON VALE LA LEGGE DELL'ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO

SPIEGO:

IN ALGEBRA SE AVESSIMO

_XA / _YA = 0

VUOL DIRE CHE:

• _XA = 0
• _YA ≠ 0

MA

PER LE MATRICI QUESTA REGOLA NON VALE, INFATTI SE AVESSIMO IL PRODOTTO DI DUE MATRICI,

_MA · _MB = 0

NON VUOL DIRE CHE

• _MA = 0
• _MB ≠ 0

(O NON È NECESSARIO CHE)

NON È DETTO

V) NON VALE LA LEGGE DI SEMPLIFICAZIONE DEL PRODOTTO

IN ALGEBRA SE AVESSIMO X + Y = C

PER LE MATRICI QUESTA REGOLA NON VALE CIOÈ, SE AVESSIMO

A · B = A · C

NON È DETTO CHE B SIA UGUALE A C

COME SI RISOLVE UN SISTEMA LINEARE DI I GRADO

PAG. 256 N. 3102

• x + 4y + 5z = 10
• x - y - 2z = -1
• 9x + y - 4z = 11

Δ

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  3. 5
  4. 4
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