Matrici e sistemi lineari teoria ed esercizi parte 1

Definizione di matrici

Possiamo definire matrice una tabella contenente degli elementi (in genere sono numeri, valori numerici), disposti in maniera ordinata tali da formare un insieme di righe e di colonne.

A₁₁, A₁₂, A₁₃ ... A_1c
A₂₁, A₂₂, A₂₃ ... A_2c
... A_n1, A_n2, A_n3 ... A_nc

A_ij = a_ij - elemento

Indicazione: una matrice si indica con lettere maiuscole: A_nc, B_nc, C_nc ... Y_nc ...

dove
n = numero della riga i = i
c = numero della colonna = j

Tipi di matrici

Matrice definizione

A_m,n
m = numero delle righe
n = numero delle colonne

Es. La matrice A_3,2 vuol dire che ha 3 righe e 2 colonne.

Es. A_3,2 = ^{|1 9 0||0 1 9|}
a_1,1 = 1
a_2,2 = 9
a_2,2 = 1
a_1,3 = 0
a_3,1 = N.

I tipi di matrici possono essere:

• Rettangolari (con n > m)
• Rettangolari con m > n
• Quadrate con m = n

NB: Nelle matrici quadrate m = n si chiama ordine.

Esempio di matrici quadrate

Scrivere una matrice quadrata di ordine 3
A₃₃ = ^{| 2  -1  4 |   | -3   0   6 |}   _{| 5  -2   1 |}

Tipi di matrici

A parte le matrici rettangolari e quadrate ci sono altri tipi di matrici fra le quali:

• Matrice riga o matrice vettore-riga → A_1,m
  La matrice vettore-riga è una matrice con un'unica riga quindi è una matrice del tipo A_1,m.
  Es. A_1,4 = [3  5  0  -2]
• Matrice colonna o vettore-colonna
  La matrice vettore-colonna è una matrice con un'unica colonna quindi è una matrice del tipo A_m,1.
  Es. A_3,1 = ^{| -4 |     | 6 |}     _| 1 |

Altri tipi di matrici

1. Matrice nulla
   Def: Una matrice si dice nulla se ha nulli tutti i suoi elementi.
2. Matrice simmetrica
   La matrice simmetrica è una matrice che ha gli elementi coniugati tutti uguali fra di loro, cioè dove un suo qualunque elemento A_i,j è uguale A_j,i.
   Così:
   A_1,3 = A_3,1
   A_2,3 = A_3,2
3. Matrice anti simmetrica
   È una matrice dove gli elementi coniugati sono tutti opposti fra di loro.
   N.B. In questo caso gli elementi della diagonale principale devono essere tutti nulli, cioè gli a_ii = 0
4. Matrice identica
   È una matrice che ha gli elementi della diagonale principale uguale a 1, e nulli tutti gli altri.
5. Matrice diagonale
   È una matrice in cui tutti gli elementi sono nulli esclusi quelli della diagonale principale.
6. Matrice scalare
   Def: La matrice scalare è una particolare matrice diagonale dove gli elementi della diagonale principale sono tutti uguali fra di loro ma:
   1. Diversi da uno
   2. Diversi da zero
   Quindi
   A_1,1 = A_2,2 = A_3,3
7. Matrici dello stesso tipo
   Def: Sono due matrici che hanno lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne.
   N.B. Elementi corrispondenti
   Def: In due matrici dello stesso tipo gli elementi di ugual posto si dicono corrispondenti.
   Il 7 è il corrispondente di 2
8. Matrici uguali
   Def: Due matrici dello stesso tipo, A = B, si dicono uguali se tutti gli elementi corrispondenti sono uguali fra di loro.
   A = B se a_i,k = b_i,k
9. Matrice trasposta
   Def: Si chiama matrice trasposta della matrice A la matrice A^T = A_T che si ottiene scambiando o invertendo ordinatamente le righe con le colonne.
   Quindi, ad esempio se A = A_m,n
   B^T = B_n,m
   Scrivere la trasposta della matrice.
   N.B. Serve per le matrici inverse.
   N.B. La trasposta di una trasposta è uguale a se stessa.
   (A_J)_t = A
   N.B. La trasposta di una matrice simmetrica coincide con se stessa.
   Es sia:
   A_3,3 = 1 2 3
   2 5 0
   3 0 -3
   A^T_3,3 = 1 2 3
   2 5 0
   3 0 -3

Operazioni con le matrici

Somma di matrici

Le operazioni che riguardano le matrici possiamo dire che sono le operazioni algebriche, cioè:

• Somma di matrici
• Differenza di matrici
• Prodotto fra matrici
• Potenze di matrici

Somma di matrici: addizione

Regola: Per sommare due matrici devono essere dello stesso tipo.

Ad esempio:
A_3,2 + B_3,2 = C_3,2
dove un qualunque elemento di C è uguale a
C_i,j = A_i,j + B_i,j
C_2,1 = A_2,1 + B_2,1

E, sommare le seguenti matrici
A_2,3 = {5   8   3 4   1   -6}
B_2,3 = {1   4   0-2   8   5}
A + B = C = {5 6   12   3 2   9   -11}

Matrice opposta

Considerazioni | La matrice opposta di una matrice A indicata con -A è una matrice dello stesso tipo di A che ha come elementi tutti gli opposti dei suoi corrispondenti.

N.B. La matrice opposta di una matrice A rientra fra le proprietà delle addizioni fra matrici
Es A_2,3 = { 4 1 -3 0 7 2 } → -A_2,3 = { -4 -1 3 0 -7 -2 }

Differenza fra matrici

Def: Si chiama differenza fra matrici dello stesso tipo A e B la somma o addizione della matrice A con l'opposta della matrice B.
Cioè A - B = A + (-B)

Considerazioni sulla somma di matrici

Proprietà dell'addizione
L'addizione fra matrici dello stesso tipo gode di alcune proprietà fra le quali:

1. Proprietà P1: Operazione interna
2. Proprietà P2: Proprietà associativa
3. Proprietà P3: Proprietà commutativa
4. Proprietà P4: Elemento neutro
5. P5: Matrice opposta
6. P6: Semplificazione
7. P7: Opposto della somma

La somma di due matrici dello stesso tipo (m, m) è ancora una matrice del tipo (m, m).

Prodotto di una matrice per un numero k

Regole: Supponiamo di sommare tre volte una matrice A, avremo quindi:
A + A + A = 3A
{ A } - { a } - { a } = 3{ A }

Allora il prodotto di un numero per una matrice A o il prodotto di una matrice A per un numero è uguale a una matrice i cui elementi si ottengono moltiplicando per il fattore k tutti gli elementi di A.
Cioè { kA - Ak } = { kAik }

Esempio:
3 | 1 5 -2 | = | 3a1 15 -6 |
| 0 -1 -7 | | 0 -3 -21 |
| 3 1 1 | | |

Proprietà:
Il prodotto di un fattore k per una matrice A gode della seguente proprietà:

1. Proprietà associativa
   K₁(K₂ A) = (K₁ · K₂) A
2. Proprietà distributiva
   K₁ A + K₂ A = (K₁ + K₂)
3. Esiste l'elemento neutro
   1 A = A 1 = A
4. Esiste l'elemento nullificatore
   0 A = A 0 = 0 → K 0 = 0
5. Trasposta del prodotto
   (K A)^T = K A^T = A^T K

Prodotto fra matrici

^1° caso: Prodotto di una matrice riga A_1,p per una matrice colonna B del tipo B_p,1 (esempio A_3,3 ∗ B_3,1) è uguale ad una terza matrice C del tipo C_1,1.
A_1,p ∗ B_p,1 = C_1,1
Dove la matrice C si ottiene moltiplicando a uno a uno gli elementi di A per gli elementi di B.
A ∗ B = Σ Q_1,1 ∗ b_1,1 + Q_1,2 ∗ b_2,1 + Q_1,3 ∗ b_3,1 = C_1,1

Es: Moltiplicare la matrice riga A_1,3 = {1 5 2} per la matrice colonna B_3,1 → B_3,1 = 437
A ∗ B = C_1,1 = 25Σ (- 4 + 1 + 3 ∗ 5 + 7 ∗ 2 = 25)