Matrici e sistemi lineari teoria ed esercizi parte 1

MATRICI

DEF / Possiamo definire matrice una tabella contenente degli

elementi (in genere sono numeri, valori numerici), disposti in maniera

ordinata tali da formare un insieme di righe e di colonne.

_A1,1, _A1,2, _A1,3, ... _A1,c

_A2,1, _A2,2, _A2,3, ... _A2,c

...

_An,c

_Ar,1, _Ar,2, _Ar,3, ... _Ar,c

_An,c - _Ei,j - _Emax

Indicazione una matrice si indica con lettere maiuscole:

_Ar,c, _Br,c, _Cr,c, ... _Nr,c, ..., _A3,2, _B3,1, ...

dove

• r = Numero della riga = i
• c = Numero della colonna = j

TIPI DI MATRICI A_m,n

dove

• m = NUMERO DELLE RIGHE
• n = NUMERO DELLE COLONNE

Es. LA MATRICE A_3,2 VUOL DIRE CHE HA 3 RIGHE 2 COLONNE

Es. A_3,2 = [ 1 2 0 ]

[ 0 1 9 ] → {a_1,1 = 1

a_2,2 = 9

a_3,2 = 1

a_1,3 = 0

a_3,1 = N.ESISTE}

I TIPI DI MATRICI POSSONO ESSERE:

1. RETTANGOLARI CON n > m
2. RETTANGOLARI CON m > n
3. QUADRATE CON m = n

NB: NELLE MATRICI QUADRATE m = n → SI CHIAMA ORDINE

8) MATRICE SCALARE

DEF: LA MATRICE SCALARE È UNA PARTICOLARE MATRICE DIAGONALE DOVE GLI ELEMENTI DELLA DIAGONALE PRINCIPALE SONO TUTTI UGUALI FRA DI LORO MA:

1. DIVERSI DA UNO
2. DIVERSI DA ZERO

³A_3,3 = [^{-2 0 0 0 -2 0 0 0 -2}]

QUINDI   a_1,1 = a_2,2 = a_3,3

9) MATRICI DELLO STESSO TIPO

DEF: SONO DUE MATRICI CHE HANNO LO STESSO NUMERO DI RIGHE E LO STESSO NUMERO DI COLONNE

²A_2,3 = [^{1 7 3 0 4 7}]

²B_2,3 = [^{3 7 -4 1 9 -5}]

N.B.: ELEMENTI CORRISPONDENTI

DEF: IN DUE MATRICI DELLO STESSO TIPO, GLI ELEMENTI DI UGUAL POSTO SI DICONO CORRISPONDENTI

IL 7 È IL CORRISPONDENTE DI 2

SOMMA DI MATRICI: ADDIZIONE

REGOLA: per sommare due matrici devono essere dello stesso tipo ad esempio

A_3,2 + B_3,2 = C_3,2

dove un qualsiasi elemento di C è uguale a

C_i,j = A_i,j + B_i,j

C_2,1 = A_2,1 + B_2,1

Esempio, sommare le seguenti matrici

A_2,3 = ^{[5 8 3] [4 1 -6]}

B_2,3 = ^{[1 4 0] [-2 8 -5]}

A + B = C = ^{[6 12 3] [2 9 -11]}

Prodotto fra Matrici

1º caso: Prodotto di una matrice riga _A1,j per una matrice colonna B del tipo _Bj,1 (es. _A1,3 - _B3,1) è uguale ad una terza matrice C del tipo _C1,1.

_A1,p · _Bp,1 = _Cq,1

Dove la matrice C si ottiene dalla sommatoria ∑ dei prodotti degli elementi di A per gli elementi di B.

_A · _B = ∑_Q1...b_1,1 + _Q1,2b_2,1 + _Q1,2b_3,1 = … _C1,1

Es Multiplicare la matrice riga _A1,3 = {1 5 2} per la matrice colonna _B3,1 = → _B3,1 =

• 4
• 3
• 7

_A · _B = _C1,1 = {25}

∑(4 · 1 + 3 · 5 + 7 · 2) = 25