Matrici e loro proprietà. Sistemi lineari. Esempi di esercizi

Matrici

Operazioni elementari sulle righe di una matrice

Sia A ∈ M_m,n(K) una matrice. Le operazioni elementari sulle righe di A sono:

1. Moltiplicare la riga i-esima per uno scalare non nullo.
   Es. A =

   1	2	0
   1	0	1
   1	0	0

2. Sommare alla riga i-esima la riga j-esima moltiplicata per uno scalare.
   Es. A =

   1	2	1
   1	1	0
   1	1	0

3. Scambiare la riga i-esima con la riga j-esima.
   Es. A =

   0	1	1
   0	1	0
   1	1	0

Matrice a scalini

Una matrice A ∈ M_m,n(K) si dice a scalini (o a scala) se:

1. Le righe che contengono solo zeri sono le ultime.
2. In ogni riga non nulla, il primo elemento non nullo compare più a destra del primo elemento non nullo della riga precedente.

Es. A =

Chiamasi pivot il primo elemento non nullo di ogni riga.

Teorema riduzione di Gauss

Ogni matrice può essere ridotta in forma a scalini tramite operazioni elementari sulle sue righe.

Algoritmo di Gauss

Esempio: Riduciamo a scalini la matrice

• Passo 1: Determinare la prima colonna non nulla e un suo coefficiente non nullo. Scambiare la riga in cui si trova tale coefficiente con la prima riga.
• Passo 2: Annullare tutti gli altri termini della colonna usando operazioni elementari del 2º tipo.
• Passo 3: Lasciare fisso la riga 1 e procedere come nei passi 1 e 2 per la sottomatrice che si ottiene cancellando la riga 1. Ripetiamo il procedimento fissando la II e riga fino ad ottenere la matrice a scalini.

Rango di una matrice

Ossia ogni matrice A possiamo associare il sottospazio di Kⁿ generato dalle sue righe.

Def. Il rango per righe di una matrice A ∈ Γ_m,n (K) è il r scalare rk(A).

Oss. Il rango per righe di A è il numero massimo di righe di A che sono linearmente indipendenti.

Prop. Le operazioni elementari sulla righe di una matrice non cambiano il rango.

Oss. Il rango per righe di una matrice A è l’elemento delle cifre non-nulle di una sua forma a scalini.

Applicazioni del Teorema di Gauss

• Determinare dimensione e base di uno sottospazio il dati generatoi.

Sia W lo spazio generato da. Consideriamo la matrice.

dim(W) = rk(A) rk A = 2 → Concludiamo che dim(W) = 2

Applicazioni del Teorema di Gauss

• Stabilire se un vettore appartiene a un sottospazio. Es. sia v ∈ ℝ³ e sia U = {¹⁄₃, ²⁄₂, ⁹⁄₅} ≤ ℝ³. v appartiene a W? v ∈ W ⇔ W + <v> = W ⇔ dim(U) = dim(W + <v>). Consideriamo le matrici A =

  3	2	1
  4	2	1
  0	0	1

Determinare l'intersezione di sottospazi

Es. siano U₁ = {¹⁄₃, ¹⁄₄, ⁹⁄₅} e U₂ = {⁴⁄₉} sottospazi di ℝ³. Calcolare U₁ ∩ U₂.

Sia v un vettore di allora v = λ₁ 1 0 ne U₁ ∩ U₂ ⇔ ne

A =