Matrici e loro proprietà. Sistemi lineari. Esempi di esercizi

Matrici

Operazioni elementari sulle righe di una matrice

Sia A ∈ M_m×n(K) una matrice. Le op. elementari sulle righe di A sono:

1. Moltiplicare la riga i-esima per uno scalare non nulloEs. A = ¹/₃ (3,0,3) → (1,0,1)
2. Sommare alla riga i-esima la riga j-esima moltiplicata per uno scalareEs. A = (4, 5, | 2)(1, 1 | t)(3, 2, | 1)
3. Scambiare la riga i-esima con la riga j-esimaEs. A = (0,1,0,|0,1)(1,1 | 1)(1, 2, | 1)

Matrice a scalini

Una matrice A ∈ M_m,n(K) si dice a scalini (o a scala) se:

1. Le righe che contengono solo zeri sono le ultime.
2. In ogni riga non nulla il primo el. non nullo compare più a dx del primo el. non nullo della riga precedente.

Es. A = (1, 3, 0, 0, 0, 0, 0)(0, 2, 0)(0, 0, 1) è matrice a scalini.

Chiamiamo pivoti il primo el. non nullo di ogni riga.

Riduzione di Gauss

Ogni matrice può essere ridotta in forma a scalini tramite operazioni el. sulle sue righe.

Algoritmo di Gauss

Esempio: Riduciamo a scalini la matrice

PASO 1: Determinare la prima colonna non nulla e un suo coefficiente non nullo.Scambiare la riga in cui si trova tale coefficiente con la prima riga.

PASO 2: Annullare tutti gli altri termini della colonna usando op. el. del 2° tipo.

PASO 3: Lasciare fisso la riga 1 e procedere come nei passi 1 e 2 per la sottomatrice che si ottiene cancellando la riga 1.

Ripetiamo il procedimento (fissando la riga) finché si ottiene una matrice a scalini.

a) Determinare sottospazi complementari

Sia _y = {^x_y} sottospazio di R³, vogliamo determinare un sottospazio di B³ tale che cod₁ = R³

dim B³ = dim( _y ) = 3 - 2 = 1

Cod₁ = { ^x_y } con { ^x_y } ∈ _y

{^x_y} ⟷ rkA + rkB dove

A = ^{1 0}_{0 0} e B = ^{1 0}_{0 2}

{^x_y}

⟶⟶

rkA = 2 - dim( _y )

rkA = 2 - dim( _y )

rkB = ^{1 0}_{0 y+x z}

rkB = 3 ⟷ y+x ≠ 0

⟷ y+x ≠ 0

⟶ k = B = 2

rkB = ^{1 0}_{0 1 2}

rkB = 3 ⟷ y+x ≠ 0

rkB = {2 se x+y = 0

{3 se x+y ≠ 0

rkB + rkA ⟷ rkB = {3 ⟷ y+x ≠ 0

⟶ kB = 3

{^x_y}

Quindi w={⟨_y⟩ 0} ⟷ y ≠ 0

Ad esempio w₁ = {⟨0⟩

Al che (⟨_y x⟩) _i e B³ = {⟨x y+x ≠ 0}

{⟨_y x⟩ = 0}

Sistema Lineare

Un sistema lineare è un campione caricato nei campioni è una lista di m equazioni lineari nelle incognite x₁, x₂,...

{a₁₁x₁ + a₁₂x₁ + ... + a_1nx_n = b₁

Σ

{a₁₂x₂ + ... + a_2nx_n = b₂

a_mm = a_mnx_n + ... + a_mnx_n = b_m

ϴ_i = K: coefficienti

ϴ_k = c_k: determinanti noti

Sistema compatibile determinato

Caso ₃ t=2:

rKA=2 rKAb=3 Impossibile!

In conclusione

Se t≠1 e t≠2 Σ ammette un’unica sol. Sol(Σ)

Se t=1 Σ è omogeneo indet. e Sol(Σ) =

Se t=2 Σ è impossibile

Proprieta di Matrici

Matrice Quadrata

Una matrice quadrata di ordine n è una matrice con n righe e n colonne

Es.

Sia Δ∈ M_m,n(K) A (a_ij)

1. Gli elementi a_11, a_22,.... a_nn sono detti elementi della diagonale principale di A

Es.

2. A si dice triangolare superiore (inferiore) se gli elementi al di sotto (al di sopra) della detta diagonale principale sono tutti nulli

Es.

Matrice Simile

Siano A e B ∈ M_n(K). Diciamo che A è SIMILE a B se esiste una matrice invertibile H ∈ M_n(K) t.c.

B = H^-1 · A · H

Oss.

1. Ogni matrice è simile a se stessa

A = H^-1 · A · I_n   (H = I_n)

2. Se A è simile a B allora B è simile ad A

A simile a B ⇒ B = H^-1 · A · H

 ⇒ (H^-1)^-1 · B · H^-1 = A

 K = H^-1

 K è invertibile

 A = K · B · K^-1 ⇒ B simile ad A

3. Se A è simile a B e B è simile a C allora A è simile a C

(Esercizio)

Def.

Dato un insieme S, e una relazione R, diciamo che R è relazione di equivalenza se R è

• Riflessiva   s R s   ∀s ∈ S
• Simmetrica se s₁, s₂ allora s₂, s₁   ∀s₁, s₂ ∈ S
• Transitiva se s₁ R s₂ e s₂ R s₃ allora   s₁ R s₃   ∀s₁, s₂, s₃ ∈ S

Esempio: l'uguaglianza è una relazione di equivalenza su ∈ ℜ

• Rif   x = x   ∀x ∈ ℜ
• Simmetrica se x = y allora y = x   ∀x, y ∈ ℜ
• Transitiva se x = y e y = z allora x = z   ∀x, y, z ∈ ℜ

Oss.

"Essere maggiore di" non è rel. di equivalenza su ∈ ℜ

R: No   x ≥ x

S: No   x ≥ y allora ma è vera che y ≥ x

T: Sì   x ≥ y e y ≥ z allora x ≥ z

Bilaterale

Proposizione

La similarità è una relazione di equivalenza in M_n(K)

Proprietà

• Ogni matrice scalare è simile solo a se stessa

Dim. Sia A ∈ M_n(K) una matr. scalare

Allora A = a · I_n per qualche a ∈ K