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Matrici di Proiezione

Una matrice quadrata p x è detta "matrice di proiezione" se facendo il suo quadrato ottengo la matrice di partenza.

  • Px = X (X'X)-1 X'
  • Mx = Im - Px
  • X (m x n)
  • Px (m x m)

Proprietà

  1. Simmetria: Px = P'x ∧ Mx = M'x
  2. Idempotenza: Mx Mx = M ∧ Px Px = Px

X (X'X)-1 X' X (X'X)-1 = X (X'X)-1 X

= Px

  1. Ortogonali: Px Mx = 0 perché

Px (I - Px) = Px - Pi Px = 0

= Px per idempotenza

  1. Γ (Px ) = X non pieno, non invertibile
  2. Px X - X (X'X)-1 X' X - X
  3. Mx X = (I - Px)X = X - X (X'X)-1X'X

= X - X = 0

  1. Pxy = X (X'X)-1 X'Y

- X (X'X)-1 X' [X β]

= X (X'X)-1 X'X β + X β

Allora Ŷ = Pxy = X β

Px migliore spiegazione di Y, conoscendo la X, quindi Px!!

mi dà la migliore stima di Ŷ partendo da X

  1. û = y - ŷ
  2. û = y - Pxy
  3. -y (X (X'X)-1 X'Y

û = I - X (X'X)-1 X') y

= û = Mx y oppure û = Mx

Mx (X β + μ)

Mx μ

Dettagli
Publisher
doc.ale.b
A.A. 2017-2018
5 pagine
SSD Scienze economiche e statistiche SECS-P/05 Econometria
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher doc.ale.b di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Econometria e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Pavia o del prof Castagnetti Carolina.