Mathematical Physics - Appunti

X

≤

d(x ; x ) d(x ; x ) + d(x ; x ) + ... = d(x ; x )

j j+1

n m n n+1 n+1 n+2 j=n

m−1 m−n−1 d(x ; x )

X X 0 1

j n j n

≤ ≤ →

C d(x ; x ) = C d(x ; x ) C C 0

0 1 0 1 n→∞

−

1 C

j=n j=0

dimostrando il fatto che la sequenza è una successione di Cauchy. La condizione

di completezza di χ mi permette allora di scrivere

∗ ∈

lim x = x χ

n

n→∞ 9

Il successivo step risiede nel dimostrare che

T ( lim x ) = lim T (x )

n n

n→∞ n→∞

ma basta dimostrare che ogni contrazione è continua, infatti in questo caso la

funzione del limite è il limite della funzione, dimostrando il teorema. La di-

mostrazione della continuità si ottiene sapendo che

d(T (x ); T (y)) <

0

se y è abbastanza vicino a x , in particolare si può scegliere d(x ; y) < δ =

0 0 C

per dimostrare l’assunto.

ˆ Si definisce la contrattività debole con la relazione

d(T (x); T (y)) < d(x; y)

questa condizione è strettamente più debole della contrattività normale e non

implica l’esistenza di un punto fisso. Ciò può essere osservato con un esempio

1

⊆ |x −

χ = [1, +∞) d(x; y) = y| T (x) = x +

R x

−

y x 1

− −

|T − ≤ |x − |x −

x y + 1

(x) T (y)| = y| < y|

yx xy

Se esistesse un punto fisso 1 1

∗ ∗ ∗ →

T (x ) = x = x + =0

∗ ∗

x x

che è assurdo.

Definiamo ora l’operatore di Volterra come t

Z

T (z(·)) = z + f (s; z(s))ds

f 0 t

0

e cerchiamo uno spazio metrico (χ; d) tale che sia completo e che rimanga invariato

→

dall’applicazione dell’operatore: T : χ χ. Possiamo distinguere due casi:

f

ˆ × →

Caso I: Per una funzione definita sull’intero spazio lineare f : T Z Z

Allora cerco uno spazio 0

→ ∈ ⊆ ⊆

χ = C (I) = z : I Z : z C , z(0) = z I T R

z 0

0

dove per la seconda condizione lo spazio introdotto non è lineare. Equippando

una distanza kz(s) −

d(z(·); w(·)) = sup w(s)k Z

s∈I → ⊆

si ottiene uno spazio metrico completo. Nel caso z : I S Z, lo spazio risulta

completo soltanto se S è a sua volta uno spazio metrico completo (deve essere

chiuso). 10

ˆ × → ⊆

Caso II: f : T A Z A Z

Dove A è un sottospazio tale che

∃ρ ⊆ {z kz − k

> 0 : B̄ (z ) A B̄ (z ) = F = : z < ρ}

ρ 0 ρ 0 0 Z

Lo spazio metrico completo in questo caso, associato alla stessa definizione di

distanza, prende la forma 0

→ ∈ ∈ ∀s ∈

χ = z : I Z : z C , z(0) = z , z(s) F I

z ;F 0

0

Questo secondo caso risulta essere più generale del primo dato che il dominio

non include necessariamente l’intero spazio Z; per questo caso la dimostrazione

dell’esistenza sarà meno diretta. Possiamo dimostrare le considerazioni prece-

denti con l’esempio del problema di Keplero autonomo (indipendente da t):

v

d d

× 3

Z = (x, v) f (z) =

R R̂ 1 F (x, v)

m α

−∇V −

F (x, v) = V (x) = |x|

3 3 3 3 3 3 3

\ {0}) × → \ {0}) × → ×

F : (R f : (R

R̂ R R̂ R R̂

dove il dominio non risulta essere l’intero spazio Z. L’effetto netto di questa

riduzione saranno delle soluzioni esistenti soltanto per un tempo finito (in realtà

è un secondo constrain generalmente più stretto sul tempo). Il sottodominio può

essere necessario anche ai fini della lipzischianità.

L’esistenza della soluzione può essere ottenuta mediante l’equivalenza del problema

con la forma integrale di Volterra, basta perciò dimostrare che l’operatore di Volterra

è una contrazione e che siamo nel caso I o II, per il secondo bisogna soddisfare la

disuguaglianza kT − k ≤

sup (z(·))(t) z ρ

f 0

s∈I

associata al caso II. Per cui

t t

Z Z

kT k k ≤ kf ≤ ≤ −τ

(z(·))(t)−z = f (s; z(s))dsk ()kds M (t−t ) M τ I = (t ; t +τ )

f 0 0 0 0

t t

0 0 ≤

dove la condizione di un limite superiore f () M è ottenuta dal fatto che f è una

funzione continua e limitata in Z = (in insiemi compatti serve solo la continuità). La

R

≤

disuguaglianza è soddisfatta se τ ρ/M , ovvero se l’intervallo temporale è abbastanza

piccolo. ∀z(·), ∈

La condizione di contrazione si ha invece se w(·) C (I) = χ

z ;F

0 t

Z

kT − ≤ −

d(T (z); T (w)) = sup (z(s))(t) T (w(s))(t)k sup dskf (z) f (w)k

f f f f

t∈I t∈I t

0

t t t

Z Z Z

≤ − ≤ kz −

sup dskz wkL sup ds sup wkL = Ld(z, w) sup ds = τ Ld(z; w)

t∈I t∈I s∈I t∈I

t t t

0 0 0

11

dove è stata usata la condizione di Lipshitzianità uniforme di f . L’operatore allora è

una contrazione se è continuo (ovvio dalle proprietà di f ) e se vale Lτ < 1. Scegliendo

il minimo tra 1/L e ρ/M tutte le condizioni sono soddisfatte per dimostrare l’esistenza

della soluzione.

Questa dimostrazione dell’esistenza implica anche l’unicità della soluzione, ma questo

tipo di unicità è dimostrata sotto condizioni meno generiche di quelle assunte nella

prima dimostrazione, ovvero nella prima abbiamo considerato soltanto la Lipzischi-

anità e un intervallo temporale finito, nella seconda invece abbiamo introdotto anche

∈

la condizione z(t) B̄ (z ) per gli spazi compatti che si hanno per effetto dei tempi

ρ 0

finiti.

1.3 Dipendenza dalle condizioni iniziali

I teoremi di unicità e esistenza locale definiscono una soluzione z(t) = φ(t, z ). Ci

0

chiediamo ora se la dipendenza da z , il dato iniziale, sia continua. La risposta è si e

0 ∈ ⊆

possiamo enunciare il teorema secondo cui: per t I T fissato, si hanno le relazioni

lim φ(t, z̃ ) = φ(t, z )

0 0

→z

z̃ 0 0 →

lim z = z φ(t, z ) φ(t, z )

n 0 n 0

n→∞ L(t−t )

kφ(t, − ≤ kz̃ − ke

z̃ ) φ(t, z )k z L = Costante Lipschitz

0

0 0 0 0

kz̃ − k

In termini sperimentali z definisce l’accuratezza del dato iniziale, mentre

0 0

l’esponenziale provoca un errore crescente con il tempo di evoluzione, identificando

come una piccola perturbazione iniziale possa portare a soluzioni completamente dif-

ferenti a tempi elevati.

La dimostrazione si ottiene mediante l’equivalenza tra la forma integrale di Volterra e

il problema differenziale:

t t

Z Z

φ(t, z ) = z + f (s, φ(s, z ))ds φ(t, z̃ ) = z̃ + f (s, φ(s, z̃ ))ds

0 0 0 0 0 0

t t

0 0

t t

Z Z

kφ(t, ≤ kz −z̃ k+ kf ≤ kz −z̃ k+

z )−φ(t, z̃ )k (s, φ(s, z ))−f (z, z̃ )k dsLkφ(t, z )−φ(t, z̃ )k

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

t t

0 0

che definisce una formula ricorsiva t

Z

≤ kz − k

u(t) z̃ + L u(s)ds

0 0 t

0

da cui è possibile dimostrare il teorema grazie al Lemma di Gronwall:

ˆ ⊆ →

Sia u : T limitata tale che

R R

+ t

Z

≤ ∀t ∈ ⊆

u(t) c + d u(s)ds I T

t

0

allora d(t−t )

≤ ∀t ∈

u(t) ce I

0

12

La dimostrazione è ottenuta semplicemente iterando la condizione a priori:

N +1

2 −

(t t )

d c 0

2 d(t−t ) N +1

≤ −t ≤ ∀N ≥

u(t) c+cd(t−t )+ (t ) +... ce +M d 1 M = sup u(t)

0

0 1 0

2 (N + 1)! t∈I

→ ∞

prendendo il limite N la crescita del fattoriale permette la convergenza al

risultato esponenziale.

1.4 Stabilità dei sistemi dinamici autonomi

n

In questa sezione considereremo Z = causa esemplificazione delle dimostrazioni in

R

gioco.

La stabilità delle soluzioni può essere analizzata introducendo il concetto di punto

∈ ⊆

stazionario: un punto z A Z è detto stazionario se z = z e z(t) = z

∗ ∗ ∗

0

∀t > t = 0. La scelta di analizzare i sistemi autonomi permette di porre il tempo

0 ∈ ⊆

iniziale a zero. Segue il lemma secondo cui un punto z A Z è stazionario se e

∗

solo se f (z ) = 0.

∗

Per sistemi meccanici questo lemma implica che un punto stazionario prevede sem-

pre v = 0; più in generale ogni parametro extra usato per la riduzione dell’ordine

dell’equazione deve essere nullo. Nel caso meccanico Z = (x ; v = 0), dove x è

∗ eq eq

detto invece punto d’equilibrio.

I punti stazionari possono essere distinti in categorie:

ˆ ∀ ∃δ ∈ ∈ ∀t ≥

Stabili : lo sono se > 0 > 0 : z B (z ) e z(t) B (z ) 0, dove

∗ ∗

0 δ

generalmente B è una palla contenente B

δ

ˆ ∀

Instabili : se non sono stabili, ovvero se almeno un’orbita scappa da B > 0

ˆ ∃δ ∀z ∈

Asintotici nel futuro (passato): se > 0 : B (z ) e si ha lim z(t) =

∗

0 δ t→±∞

z

∗

ˆ Asintoticamente stabili : se sono stabili e asintotici nel futuro

La condizione di stabilità appena introdotta non deve essere confusa con quella di

∀t ≥ ∀

dipendenza continua dal dato iniziale, infatti la seconda prevede che 0 > 0

∃δ = δ(, t) :

kz − k ⇒ kφ(t; − kφ(t; − k

z < δ z ) φ(t; z )k = z ) z < φ(t; z ) = z(t)

∗ ∗ ∗

0 0 0 0

dove l’eguaglianza è ottenuta soltanto per punti stazionari. Questa condizione non

prevede il fatto che il punto sia stabile poiché la condizione di validità ad ogni tempo

è posta inizialmente, ovvero fisso il tempo per cui successivamente la δ ne dipenderà,

mentra nella definizione di stabilità la δ ottenuta risulta valida ad ogni tempo. La

condizione di dipendenza continua può essere ottenuta: −Lt

Lt

kz(t) − k ≤ kz − ke ⇒

> z z δ = e

∗ ∗

0 13

2 Primo Teorema di Ljapunov

Il teorema permette di definire una condizione sufficiente all’esistenza di un punto

n 2

∈ ∈

stazionario stabile. Esso afferma che se Z = e f C (A), assumendo che z

R ∗

b

⊆ {λ } ≤

A Z sia un punto stazionario e che gli autovalor