Mathematical Physics - Appunti

Fisica matematica

Appunti del corso dell’Università La Sapienza tenuto dal prof. Gianluca Panati

Tomarchio Luca

July 24, 2019

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Queste note sono state scritte e sono di proprietà di Luca Tomarchio. Esse nascono dalla costante attenzione riportata durante il corso di Mathematical Physics tenuto dal prof. Gianluca Panati all’università di Roma La Sapienza, per il percorso di laurea magistrale in fisica.

Contents

• Teoria delle EDO e sistemi dinamici 6
• Forma integrale degli IVP (initial value problem) 7
• Teoremi di unicità e esistenza 8
• Dipendenza dalle condizioni iniziali 12
• Stabilità dei sistemi dinamici autonomi 13
• Primo Teorema di Ljapunov 14
• Teorema di Jordan 15
• Dimostrazione teorema di Ljapunov 15
• Secondo Teorema di Ljapunov 17
• Dimostrazione dell’esistenza di un punto asintoticamente stabile 20
• Esempio: oscillatore armonico smorzato 21
• Modello di Lotka-Volterra 21
• Leggi di Volterra 22
• Introduzione ai Sistemi Dinamici Hamiltoniani 23
• Ottica Lagrangiana 26
• Legge di Snell generalizzata 27
• Collegamento tra le teorie: il fronte d’onda 28
• Il principio di Huygens 29
• Relazione tra q̇ e p(t) 31
• Sistemi Hamiltoniani e Lagrangiani 32
• Dipendenza del potenziale dalla velocità 34
• Parentesi di Poisson 36
• Algebra di Lie 38
• Gruppi di simmetria 39
• Funzioni Generatrici 43
• Sistemi Hamiltoniani generici 45
• Teorema di Liouville 47
• Teoria di Hamilton-Jacobi 49
• Problema planare di Keplero 51
• Teorema di Liouville-Arnold 52
• Teorema di Jacobi 53
• Appendice I: Differenziale e gradiente 54
• Appendice II: Forme differenziali 54
• Appendice III: Calcolo Tensoriale di Ricci 55
• Forme lineari (covettori) 57
• Forme Bilineari 58
• Teorema di Riesz e Notazione musicale 59

Tra le equazioni fondamentali della meccanica classica e quantistica possiamo introdurre l’equazione di Newton, di Shroedinger, la BMT e la Gross-Pitaeskii equation.

Equazione di Newton

d→R R
unknown x : →t x(t) ∀t ∈ ⊆
mẍ(t) = F (t, x(t), ẋ(t))
T Rd d d d≡ × × →
ẋ(t) x(t) F : R R R̂ R
dt
dove il set identifica lo spazio degli impulsi, distinto da quello delle posizioni.
R̂

BMT-equation (Bargmann, Michel, Tclegdi)

2 3→ {x ∈ |x|= : = 1}
R S R
unknown s : →t s(t) ×
ṡ(t) = s(t) Ω(t)
d
dove Ω(t) è un campo vettoriale, ad esempio quello elettromagnetico. L’equazione appena scritta è una forma ingenua di evoluzione temporale della variabile di spin per effetto di una perturbazione esterna. L’equazione non risulta essere lineare dato che lo spazio della variabile di output presenta un vincolo sul modulo di questa. La forma più generale dell’equazione si scrive:

d d 2× × →
R R R̂ S
unknown s : →(t, x, p) s(t, x, p)
p(t) = mẋ(t) senza campi B
d ×
s(t, x(t), p(t)) = s(t, x(t), p(t)) Ω(p(t), x(t))
dt

Questa va accoppiata con un’altra equazione di evoluzione dell’impulso e posizione, ad esempio l’equazione di Newton.

Prima di introdurre l’equazione di Shroedinger è utile richiamare alcuni concetti dello spazio dei funzionali. Si definisce

2 d
Lspazio dei funzionali. Si definisce (R ) lo spazio di tutte le funzioni quadrato integrabili, ovvero
Z
2 d d 2
L → |ψ(x)|
(R ) = ψ : : dx < +∞
R C d
R
Z Z
2 2
hψ|ψi kψk |ψ(x)|= ψ̄(x)ψ(x)dx = dx
d d
R R

Lo spazio cosı̀ definito però non risulta essere uno spazio di Banach, ovvero la norma introdotta non soddisfa tutti gli assiomi richiesti, in particolare non vale il primo assioma secondo cui kvk →= 0 v = 0

infatti l’eguaglianza a zero dell’integrale implica soltanto che la ψ è nulla soltanto quasi ovunque nello spazio delle x, ovvero

d
∀x ∈ \ψ = 0 N Leb(N ) = 0
R

dove con Leb(N ) si intende la misura di Lebesgue dell’insieme. Un tale tipo di insieme può essere un set di punti numerabile o, in particolari casi, non numerabile. Allo stesso modo si definisce il simbolo di equivalenza

d∼ ∼ ⇔ ∀x ∈ \: ψ ψ̃ ψ(x) = ψ̃(x) N Leb(N ) = 0
R
a.e. a.e.

Definendo allora un nuovo spazio

2 d 2 d
L ∼L (R ) = (R )\ a.e.

il lemma

Z 2 d
|ψ(x)| → ∈ ∼
dx = 0 ψ(x) = 0 for a.e. x =⇒ ψ 0
R
a.e.

permette di dimostrare il primo assioma per lo spazio in questione. Il problema di questo nuovo spazio però risiede nel fatto che adesso ψ ∈ L non è più una funzione ben definita ma definisce un set di elementi equivalenti in L; in realtà ciò non è un problema fisico, dato che, se esiste una rappresentazione continua nel set, un teorema ci dice che questa è unica, dimenticandoci cosı̀ delle restanti equivalenti.

Equazione Shroedinger

d 2 d× → → L (R )
R R C R
unknown ψ : oppure ψ :
→ → ·)(t, x) ψ(t, x) t ψ(t,
2 ∂ } d
− →
i} ψ(t, x) = ∆ + V (x) ψ(t, x) V : R R
∂t 2m

Le derivate che compaiono sono ovviamente interpretate in termini della topologia dello spazio L², ovvero se esiste il limite

1 d
ψ·) − ·))
lim (ψ(t + h, ψ(t, =
h d
th→0 2

allora la derivata appartiene a L²(R) e quindi anche la parte sinistra dell’equazione. Questa allora ha senso soltanto se

2 } 2 d
·) ∈ D − D(A) {ψ ∈ H ∈ H}
ψ(t, ∆ + V (x) L (R ) = : Aψ(
2m
H

con spazio di Hilbert. Ciò ci dice che non tutti gli operatori hanno come dominio l’intero spazio L²(R ).

Equazione Gross-Pitaeskii

d× →
R R C
unknown ψ : →(t, x) ψ(t, x)
2 ∂ } 2
− |ψ(t,
i ψ(t, x) = ∆ + V (x) ψ(t, x) + g x)| ψ(t, x)
ext N
∂t 2m

L’equazione descrive la dinamica di un sistema collettivo di N bosoni che formano un condensato di Bose-Einstein (ovvero che condividono la stessa funzione d’onda). L’interazione tra le particelle definisce il termine non lineare g .
N

Cosa hanno in comune queste quattro equazioni?

ODE PDE Linear Linear output space Context
BMT V X X X Semiclassical
Shroed X V V V QM
Newton V X X V CM
G-P X V X V QM

Sembrerebbe niente, ma in realtà esse sono tutti sistemi dinamici hamiltoniani. In fisica distinguiamo oltre a questi anche quelli lagrangiani. Non tutti i problemi presentano entrambe le nature, perciò sorge la domanda di quale siano i più fondamentali. I sistemi lagrangiani sono strettamente relazionati ai principi variazionali e alla covarianza relativistica, mentre quelli hamiltoniani sono basati sul concetto di energia e perciò di azione, adatti a processi di quantizzazione non relativistici: essendo relazionati all’energia, lo sono anche allo spazio duale temporale, da qui la richiesta di fissare un dato asse di riferimento. Il messaggio principale è che entrambi presentano dei pregi nello studio dei problemi fisici.

Teoria delle EDO e sistemi dinamici

Le proprietà principali delle equazioni differenziali ordinarie sono due:

• Ogni EDO di ordine k-esimo in d è equivalente ad una del primo ordine in uno spazio R^d·k: R d→R R

Data l’equazione di Newton x : 2
c→t x(t)
1 F (t, x(t), ẋ(t))
ẍ(t) = m ∈

il trucco consiste nel definire v(t) := ẋ(t) e la variabile dinamica z(t) = (x(t); v(t)) d d× , in questo modo si ha un’equazione del primo ordine
R R̂

( 1
v̇(t) = F (t, x(t), v(t)) d d
m ≡ → ×
ż(t) = f (t, z(t)) z : Z =
R R R̂
ẋ(t) = v(t)

• La maggior parte delle equazioni differenziali alle derivate parziali può essere ricondotta ad un’equazione differenziale ordinaria per un’incognita con valori in uno spazio vettoriale infinito dimensionale:

Data l’equazione di Shroedinger in unità Hartree (}, 2m , e adimensionali)

e−∆ψ
i∂ ψ = + V ψ
t

essa può essere reinterpretata in termini dello spazio funzionale infinito-dimensionale L² (che consiste nella rappresentazione di Dirac), ove l’operazione di derivazione in t è reinterpretata in termini della topologia del nuovo spazio. In questo modo l’equazione diventa una EDO vettoriale. Il prezzo da pagare risiede nel fatto che adesso la soluzione vive in uno spazio infinito dimensionale, ma cosı̀ ha la forma ż = f (z(t)) a cui si riconducono la maggior parte dei problemi fisici (grazie alle due proprietà); siamo perciò interessati all’analisi di questa.

Si definisce sistema dinamico una EDO nella forma ż = f (t, z(t)) per una data

× → →
f : Z Z ed incognita z : Z dove Z può essere uno spazio di Banach
R R n
k · k), ∈
(metrico completo) (Z; uno spazio n N o una varietà differenziale. Il
R

sistema è detto autonomo se f non dipende esplicitamente da t.

⊆ ⊆ × →
Definito un intervallo temporale T e un dominio f : U T Z Z, si definisce
R
→
una funzione z : I Z una soluzione del problema alle condizioni iniziali

(ż(t) = f (t, z(t))
z(0) = z0

se valgono le condizioni

• I ⊆ T
• z ∈ C¹ regolare
• (t, z(t)) ∈ U ∀t ∈ I

Queste non implicano né l’esistenza della soluzione né l’unicità, ma soltanto le proprietà che deve soddisfare se dovesse esistere.

Forma integrale degli IVP (initial value problem)

In uno spazio di Hilbert finito dimensionale ogni operatore lineare è continuo. Per una funzione f ∈ C (U ) con U = T × A (A ⊆ Z), il problema alle condizioni iniziali
b

(ż(t) = f (t, z(t))
z(0) = z0

→
è equivalente ad una funzione z : Z continua della forma
R

t
Z
z(t) = z + f (s, z(s))ds
0 t0

detta equazione integrale di Volterra. Il teorema deve essere dimostrato in entrambe le direzioni: se z è una soluzione, allora è in C¹(I) e, dal teorema fondamentale del calcolo,

t
Z
− ż(s)ds
z(t) z =
0 t0

dimostrando la rappresentazione. Nel caso inverso è necessario dimostrare che la rappresentazione integrale coincide con il problema alle condizioni iniziali: se z(s) è continua lo è anche f (s, z(s)) ed è Riemann integrabile, allora z(t) definita dalla formula di Volterra è C¹ regolare e del teorema di Torricelli-Barrow (la derivata dell’integrale è la funzione stessa) ż(t) = f (t, z(t)).

Cosa succede se z è infinito dimensionale? L’integrale di Riemann di una funzione

→
f : evidenzia la necessità di un dominio reale, ma non quella per lo spazio
R R → k·k)
output, allora posso usare f : E dove (E; è uno spazio di Banach, cosı̀ la generalizzazione è semplice ed è detta integrale di Bochmer, dove è possibile generalizzare il teorema fondamentale del calcolo per funzioni continue e quello di Torricelli-Barrow.
R

Teoremi di unicità e esistenza

I teoremi mancanti da introdurre sono quelli di esistenza e unicità della soluzione. Queste dimostrazioni possono essere ottenute mediante il concetto di funzione Lipzischiana: una funzione f : T × A → Z è detta lipzischiana in A (uniformemente rispetto a t) se

kf − ≤ − ∀z, ∈ ∀t ∈
(t, z) f (t, w)k Lkz wk w A e T .

Esempio

2
Z = f (z) = z
R

Se A è un intervallo compatto f è lipzischiana, ma per A = ciò non è più vero,
R

perciò questo tipo di soluzioni esistono soltanto per tempi finiti, ad esempio

1
1 2
ż(t) = = z (t)
z(t) = 2
− −
1 t (1 t) ∗

tale che la soluzione esplode ad un determinato tempo t = 1 e smette di essere lipzischiana in sua prossimità.

Il teorema di unicità può essere formulato assumendo che f sia uniformemente lipzischiana ∀t ∈ T, allora esiste al più una soluzione I → t z(t) ∀t ∈ I T (non dimostra l’esistenza). La dimostrazione è ottenuta per assurdo; supponiamo l’esistenza di due soluzioni z e z . Queste soddisfano l’equazione di Volterra e allora
1 2

t
Z
− − −
z (t) z (t) = u(t) = z z + ds (f (s, z (s)) f (s, z (s)))
1 2 0 0 1 2
t0

da cui

t t
Z Z
ku(t)k ≤ −
L dskz (s) z (s)k = L dsku(s)k
1 2
t t
0 0

se si itera il processo

s t s t st
Z Z Z Z Z Z
1 1 1
2
k ≤ kf ≤ ku(s= L ds ds u̇(s )k L ds ds (s , z )−f (s , z )k L ds ds )k
1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2
t t t t t t
0 0 0 0 0 0

ku(t)k
se si definisce γ = sup (dominio compatto, segue che la f è bounded a priori),
t∈I

cosa che posso fare dato che assumo che I sia finito, si ha

st n−
ZZ (t t )
n−1 0
nn
≤ ds = L γds ...L γ
n
1 n!
tt
0 0

la cui dimostrazione può essere ottenuta per induzione, perciò, dato la disuguaglianza vale per ogni t, si può scrivere

n−
(t t )
0
n
≤
γ γL
n!

e, dato che I è un intervallo finito e il fattoriale cresce più velocemente delle potenze, l’unico valore possibile per γ è il valore nullo.

Abbiamo dimostrato che la soluzione è unica soltanto in intervalli di tempo finiti. La condizione permette anche di dimostrare l’equivalenza con l’integrale di Volterra senza imporre f ∈ C (U ) a priori.
b

Per definire il teorema di esistenza della soluzione è necessario introdurre il concetto di contrazione:

• Una funzione T (x) è detta una contrazione se vale

≤ ∀x, ∈
d(T (x); T (y)) Cd(x; y) y χ C< 1

dove (χ; d(·)) è uno spazio metrico su cui è definita la funzione. Per questo tipo di funzioni è possibile dimostrare l’esistenza di un punto fisso, ovvero un punto

∗ ∗
per cui vale la relazione T (x ) = x , per spazi metrici completi. Per ottenere la dimostrazione supponiamo di considerare la sequenza

∈
x = T (x ), x = T (x ), x = T (x ) x χ
1 0 2 1 n+1 n 0

{x } ∈
ci serve dimostrare che questa sequenza n è una sequenza di Cauchy,
N
n

infatti se lo spazio metrico è completo la sequenza di Cauchy convergerà necessariamente all’interno di esso.

Usando le ipotesi di contrazione J

≤ ≤
d(x ; x ) = d(T (x ); T (x )) Cd(x ; x ) = Cd(T (x ); T (x )) C d(x ; x )
j j+1 j−1 j j−1 j j−2 j−1 0 1

Consideriamo ora m > n > 0, un teorema per la norma ci dice che vale la disuguaglianza

m−1
X
≤
d(x ; x ) d(x ; x ) + d(x ; x ) + ... = d(x ; x )
j j+1
n m n n+1 n+1 n+2
j=n

m−1 m−n−1 d(x ; x )
X X 0 1
j n j n
≤ ≤ →
C d(x ; x ) = C d(x ; x ) C C
0 1 0 1 n→∞
−1
C
j=n j=0

dimostrando il fatto che la sequenza è una successione di Cauchy. La condizione di completezza di χ mi permette allora di scrivere

∗ ∈
lim x = x χ
n
n→∞

Il successivo step risiede nel dimostrare che

T ( lim x ) = lim T (x )
n n
n→∞ n→∞

ma basta dimostrare che ogni contrazione è continua, infatti in questo caso la funzione del limite è il limite della funzione, dimostrando il teorema. La dimostrazione della continuità si ottiene sapendo che

d(T (x ); T (y)) < 0 se y è abbastanza vicino a x , in particolare si può scegliere d(x ; y) < δ =
0 0
C

per dimostrare l’assunto.

• Si definisce la contrattività debole con la relazione

d(T (x); T (y)) < d(x; y)

questa condizione è strettamente più debole della contrattività normale e non implica l’esistenza di un punto fisso. Ciò può essere osservato con un esempio

1
⊆ |x −
χ = [1, +∞) d(x; y) = y| T (x) = x +
R x
−y x
1
− −
|T − ≤ |x − |x −
x y + 1(x) T (y)| = y| < y|
yx xy

Se esistesse un punto fisso

1 1
∗ ∗ ∗ →
T (x ) = x = x + =0
∗ ∗
x x

che è assurdo.

Definiamo ora l’operatore di Volterra come

t
Z
T (z(·)) = z + f (s; z(s))ds
f 0 t0

e cerchiamo uno spazio m