Matematica per l'economia - Appunti

Derivata

Si dice derivata di una funzione f(x) nel punto x₀ il limite quando esiste ed è finito al rapporto incrementale, al tendere a 0 dell'incremento h della variabile indipendente

lim_h→0 (f(x₀ + h) - f(x₀)) / h

Continuità

Se una funzione è derivabile nel punto x₀, allora è necessariamente continua in x₀

Dimostrazione

f(x₀ + h) = f(x₀) + (f(x₀ + h) - f(x₀))

f(x₀ + h) - f(x₀) = f(x₀) + 0

lim_h→0 f(x₀ + h) = f(x₀)

Significato economico

Costi

C = C_f + C_v

C(Q) = C_f + C_v(Q)

• (C(Q + h) - C(Q)) / h = Costo marginale

Elasticità

ε = (dq / dp) * (p / q)

C(Q) / Q = Costo medi

lim_h→0 (C(Q + h) - C(Q)) / h = C(Q)

Redditività media

(C(f₀ + h) - C(f)) / h = Redditivà media

lim_h→=0 C(Q + h) - C(Q) / h

Ricavo

Concorrenza perfetta

Concorrenza monopolistica

R = P * Q

R = P(Q) * Q

R(q + h) - R(Q) / h

R(q + h) - R(Q) / h = Ricavo medio

Comp = Cp

Cmv = (C(Q) / Q

Rimedio medio

1

f: I ⟶ R ; I intervallo

x , a

1. f continua su I
2. f derivabile ∀_I ⟶ X

Tesi

∃ c ∈ ]a ; x [ ; (

f(x) = f(a) + f'(c)(x - a)

f'(c) (x - a)

f'(c) (x - a)

∀ x ∈ I = {a , x}

2

Se f: I ⟶ R ; I intervallo (limitato o no)

1. f derivabile m volte in ( a , x ]
2. f continua e con m derivate continue
3. f ∈ C^m
4. f^m+1 (x) in ogni punto dell'intervallo di estremi [a ; x]

Tesi

∃ c ∈ ] a ; x [ ; (

f(x) = f(a) + f'(a) (x - a) + f'' (a)

x - a) ³

3! + f^m (a) (x - a)ⁿ

m! + . . . + (x - a)^m

m!

f^m c) m!

f ^m! ⟶

un infinitesimo di ordine superiore

O (x^m+1)

resto nella formula di lagrange

Operations with limits

f, g: X → R, x₀ ∈ Ac(X). f, g regolari in x₀

1)

lim x → x 0 ( f ( x ) + g ( x ) ) = lim x → x 0 f ( x ) + lim x → x 0 g ( x )

2) Se x₀ è di accum. per Y:

{ x ∈ X |g(x) ≠ 0}

lim x → x 0 f ( x ) g ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) lim x → x 0 g ( x )

Convenz. che in

x ∈ R ∪ {±∞}

• ±∞ + ∞ = ∞.
• ±∞ − ∞ = ∞.
• −∞ + (−∞) = −∞.

∞ · l = = ±∞ se l &appox; 0.

±∞ se

• l › 0
• l ‹ 0

( +∞ )· ( +∞ ) = +∞ , ( –∞ )... se l ≠ 0

N.B:

Forme indeterminate non è garantita l'esistenza del limite