Matematica per l'economia - Appunti

Derivata di una funzione f(x) nel punto x₀.limita quando esiste ed è finito al rapporto incrementale, altendere 0 dell'incremento h della variabile indipendente.

^{lim       f(x₀+h) - f(x)}_h→0  h

Continuità

Se una funzione è derivata nel punto x₀, allora è necessariamentecontinua in x₀.

Dimostrazione:

F(x₀+h) = f(x₀) + ^{f(x₀+h) - f(x₀)} • h                                                                  ^h

Erondo lim            ^{f(x₀+h) - f(x)} = f(x₀)      h→0         _h

                 ^{lim f(x₀+h) + lim f(x₀+h) - f(x₀) • h}                 _{h→0                                   h→∞h}

                 - f(x₀) + f(x₀) • 0 = f(x₀)

Significato economico

Costi

C = C_f + C_v

C(q) = C_f + C_v (q)

^C(q+h) = Costo marginale × prod    _h una qta in piu

       - C(q) = Costo medio              x prod. ptto in piu

                                ^{lim    C(q+h) - C(q} = C(q)                       _{h→0                                                       h}

Elasticità

ε = ^dq     dp

                 ^p                 _q

- Elasticità |ε| < 1unit. |ε|=1

             - Costo modo                  x prod ptto in +                  ^{lim  C(q+h) - C(q)}              _{h→0              h}                 = Qta marginale

Redditivita media

^{C(f₀+h) - C(5 )} = Redditività        _h        media

^{lim    C(x₀+h) - C(5) - Γ(Q)}_{h→0                                  h}                 = Quantità istantanea

Ricavi

Consorzieto profettoConsorzieto imporotta ^{Rs = P₁ • q                     RI = R(q)₁ • q}

^{R(q+h) - R(q)} = xcavo                                                                                                        medio ×                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           &nbs

Derivata di una funzione f(x) nel punto x₀

Limite:

lim [f(x₀ + h) - f(x₀)] / hh → 0

Continuità

Se una funzione è derivata nel punto x₀, allora è necessariamente continua in x₀

Dimostrazione:

f(x₀ + h) = f(x₀) + f(x₀ + h) - f(x₀) x h

Essendo:

lim [f(x₀ + h) - f(x₀)] / h = f’(x₀)h → 0lim h = 0h → 0- f(x₀) + f(x₀) · 0 = f(x₀)

Significati Economici

Costi:

C = C_f + C_vC(q) = C_f + C_v (q)C(q + h) - C(q) / h Costo marginale y prod. una q. tali in + -----------------------------------------Costo medio x prod. più in +-----------------------------------------lim C(q + h) - C(q)h → 0 ---------------------hRedditività media:C ( f₀ + h ) - C(B) / h = Redditività media

Elasticità

ℰ = dQ / dp · p / QElasticità:|ℰ| <1 inel.|ℰ| = 1 el.|ℰ| >1 met.|ℰ| <1C(q) / q = Costo medio

Ricavi

Concorrenza perfetta R^s= P·QConcorrenze Imperfette R_i = P (Q) · QR(q + h) - R(q) / h ricavo ecost. più prodotti in +------------------------------------------Ricavo marginale[lim R (q+h) - R (q) / h] ricavo marginaleimp perfCm_P = C_P, Cm_r = C(P)pi Cm = q Compagn. perf------------------------------------Ricavo medio = p = R(q) / q

f: I → ℝ ; I intervallo, x > a

1. f continua su I
2. f derivabile ]a; x[

TESI

∃ c ∈ ]a; x[ f(x) - f(a) = f'(c) f'(c) (x-a)

∀ x ∈ I = ]a; x[

Se f: I → ℝ ; I dintorni (limitato o no)

1. f derivabile m volte in (a; x)
2. f continua e con m derivate continue

f ∈ C^m

1. f^m+1(x) in ogni punto dell'intervallo di estremo ]a; x[

TESI

∃ c ∈ ]a; x[ : f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) +

+ f''(a) (x-a)²/_2! + f'''(a) (x-a)³/_3! +

f^m(a) (x-a)^m/_m! + ... + (x-a)^m+1/_(m+1)! f^m+1(c)

x₁, x₂ ∈ I x₁ < x₂

x, ε ∈ ] x₁, x₂ [

f(x) < f(x₀) - f(x₁)

(x - x₁) + f(x₁)

A (x₁, y₁) B (x₂, y₂)

A (x₁; f(x₁)) B (x₂, f(x₂))

y₂ - y₁ = x - x₁

y₂ - y₁ = y₂ - x₁

f(x) - f(x₁)f(x₂) - f(x₁) = x - x₁x₁ - x₁

f(x) - f(x₁ = f(x₂) - f(x₁) (x - x₁) + f(x₁)

Teorema

x ∈ A(x), ℓ, m ∈ ℝ

Ipotesi

∃ lim_{x → x0} f(x) = ℓ

∃ lim_{x → x0} g(x) = m

torn Tesi

1. ℓ < m => ∃ J ∈ (x₀) : ∀ x ∈ J ∩ X - {x₀} f(x) < g(x)
2. ∃ J ∈ (x₀) ∗ x₀ ∃ J ∩ X - {x₀} f(x) ≤ g(x) => ℓ ≤ m

Dimostrazione

ℓ < m => ∃ I δ(I) ∧ ∃ k ∈ δ(m) ; I ∩ K = ∅

∀ y ∈ I ∧ ∀ k ∈ K   y < k   equindi

∀ I ∈ (ℚ) ∃ R ∈ (x₀) : ∀ x ∈ H ∩ X - {x₀} f(x) ∈ I

∀ k ∈ (m) ∃ Z ∈ (x₀) : ∀ x ∈ I ∩ X - {x₀} g(x) ∈ K

J = H ∩ Z

x ∈ J ∩ X (x₀) =>

f(x) ∈ I   g(x) ∈ K

f(x) < g(x)

X₀ = ?

Teorema di Fermat

f [a; b] → R, x₀ ε ]a; b[

1. f è derivabile in ]a; b[
2. x₀ è un punto di max o min relativo

• TESI

&Exist; f'^'(x₀) = 0

&Exist; lim_{h → 0} f(x₀ + h) - f(x₀)/h

&Exist; lim_{x → x0} f(x) - f(x₀)/x - x₀ = f'^'(x₀)

• DIMOSTRAZIONE

f'^'(x₀) ≠ 0 ⇒ f'^'(x₀) > 0

⇒ f'^'(x₀) < 0

f(x) - f(x₀)/x - x₀ > 0 ⇒ il maggiore di 0 le derivante N e D sono minori e maggiori di 0

f(x) > f(x₀) ∧ x > x₀

f(x) < f(x₀) ∧ x < x₀

{La funzione è crescente, quindi x₀ non è un punto stazionario

Operation the limit

f, g: X → ℝ, x₀ ∈ A(X), f, g regolari in x₀

1)

lim_{x → x0} (f(x) + g(x)) = lim_{x → x0} f(x) + lim_{x → x0} g(x)

2)

x₀ ∈ e di accum. per f, {x ∈ X | g(x) ≠ 0}

lim_{x → x0} f(x) / g(x) = lim_{x → x0} f(x) / lim_{x → x0} g(x)

Converando che l ∈ ℝ \ {0}, si ha

(+∞) + l = +∞, (+∞) + (+∞) = +∞, (-∞) + (-∞) = -∞

l - (+∞) = ^-∞⁄_+∞ se l ≤ 0

- ∞ ≤ l ≤ 0

(+∞) - (∞) = ^+∞⁄_+∞, (+∞) + (-∞) = 0

l^∞ = 0 anche se l = 0

∞ / l = (+∞), 1 / l se l ≠ 0

N.B.:

lim_{x → 0} 1 / x

poche il es to a meno che non è 0

Forma indeterminata: non e garantite l esistenza del limite

1) x₀ ∈ ℝ, l ∈ ℝ

lim f(x) = l ∈ ℝ

∀ε > 0 ∃δ > 0 tale che i punti di G_f con ascissa x ∈[x₀ - δ, x₀ + δ)(hanno ordinata f(x) compresa tra l - ε ed l + ε.

Si noti che, fissato ε > 0 per primo e ad arbitrio, δ dipende da ε, i.e., δ = δ(ε).

Equivalentemente, lim f(x) = l ∈ ℝ ⇔ ∀ε > 0 la disequazione |f(x) - l| < ε ha soluzioni in un intorno di x₀, con eccezione, al più, del punto x₀.

2) x₀ ∈ ℝ, l = ±∞

lim f(x) = ±∞

∀r > 0 ∃δ > 0 tale che i punti di G_f con ascissa x ∈[x₀ - δ, x₀ + δ)(hanno ordinata f(x) > r (la retta : x = x₀ è un asintoto verticale per G_f).

Equivalentemente, lim f(x) = ±∞ ⇔ ∀ r > 0 la disequazione |f(x) > r ha soluzioni in un intorno di x₀, con eccezione, al più, del punto x₀.

3) x₀ = +∞, l ∈ ℝ

lim f(x) = l ∈ ℝ

∀ε > 0 ∃k ∈ ℝ tale che i punti di G_f con ascissa x > k sono contenuti nella striscia di piano limitata dalle rette di equazioni y = l - ε e y = l + ε (la retta : y = l è un asintoto orizzontale a destra per G_f).

Equivalentemente, lim f(x) = l ∈ ℝ ⇔ ∀ε > 0 la disequazione |f(x) - l| < ε ha soluzioni in un intorno di +∞, i.e., da un certo punto in poi (definitivamente).

Errore (N.B.!!) Dare una interpretazione analoga a quelle sopra presentate per tutti gli altri casi.

1° Teorema di Bolzano

I⊂ℝ intervallof: I→ℝ continua in I

⇒ F(I), codominio di f, non è un intervallo

2° Teorema di Bolzano

I⊂ℝ intervallof: I→ℝ continua in I

⇒ F assume

Tutti i valori compresi tra due suoi valori; i.e.

∀y₁,y₂ ∈ f(I) | y₁<y₂, ∀y_c ∈ (y₁,y₂) ∃ x ∈ I t.c. f(x)=y_c

1° Teorema di Weierstrass

X⊂ℝ chiuso e limitatof: X→ℝ continua in X

⇒ F(X) è chiuso e limitato

2° Teorema di Weierstrass

X⊂ℝ chiuso e limitatof: X→ℝ continua in I

⇒ F è dotata di max e min

∃ (x₁, x₂) ∈ X² t.c. f(x₁) ≤ f(x) ≤ f(x₂) ∀ x ∈ X

valore min         valore max

Teorema degli Zeri

I⊂ℝ intervallof: I→ℝ continua in I∃ a, b ∈ I t.c. f(a)·f(b) < 0

⇒ ∃ x ∈ I t.c. f(x)=0

{ Vedi 10° }