Matematica II, Scienza delle costruzioni

VETTORI:



 modulo: |v| =

 direzione: (retta su cui giace -> è data dal rapporto delle componenti) tan =

 verso: regola della mano destra

 se il det di una M composta da 3 vettori è = 0 ->almeno 2 vettori sono linearmente dipendenti

 in 3D: v = xi + yj + zk = [ x, y, z ] |v| =

 somma: a + b = ( a +b ; a +b ) opp. x componenti -> a + b = ( a +b ) i + ( a +b ) j + ( a +b ) k

1 1 2 2 1 1 2 2 3 3

 prodotto per scalare: t v = ( tv ; tv ) -> verso opposto se t < 0

• 1 2

 vettori unitari: hanno modulo = 1 -> normalizzare un vettore -> =

 vettori // : le loro componenti sono proporzionali es: u = [1; 2; 3] v = [3; 6; 9] -> u // v

   

vettori : u v se u v = 0 -> per trovare w a u e v -> vedi | a ^ b | x componenti

•

 prodotto scalare: il risultato è un numero a b = a b + a b + a b opp. a b = |a| |b| cos

• • • • • • •

1 1 2 2 3 3

conseguenze geometriche: a b = |a| |b| cos -> trovo l'area del triangolo

• • •

cos =

 prodotto vettoriale: a ^ b il risultato è un vettore con:

- modulo: |a| |b| sen

• •



- direzione: al piano su cui giacciono i vettori

- verso: regola della mano destra

conseguenze geometriche: |a| |b| sen -> trovo l'area del parallelogramma

• •

x componenti: | a ^ b |= det - - -

= ( )i - ( )j +( )k

• • • • • •

 det

vettori complanari: tre vettori sono quando -> = 0 -> linearmente dipendenti

MATRICI: (a m = i -> riga n = j -> colonna)

 m n

 somma: sommo membro a membro -> a + b ; a + b ; ecc..

11 11 12 12

 matrice per scalare: moltiplico il numero per ogni membro della matrice

 prodotto righe per colonne:

=

• (m ; n )

(ma ; na) (mb ; nb) a b

 

matrice identica: matrice quadrata con a = 1 se i = j e a = 0 se i j = A A

-1

I I

ij ij •

  

a 0 se i = j e a = 0 se i j

matrice diagonale: matrice quadrata con ij ij

 matrice trasposta: A = inverto le righe con le colonne -> A = A =

T T

 T

matrice simmetrica: A = A

 i j

a = a ;

matrice emisimmetrica: ij ji

 A = A =

-1

matrice inversa:

 -1 T

matrice ortogonale: A -> A = A

 matrice singolare: detA = 0

 

caratteristica (rango): se detA 0 -> CarA = m = det

se detA = 0 -> CarA = è l'ordine max dei minori non singolari -> carA

SISTEMI LINEARI:

 MATRICI QUADRATE sistemi crameriani



det 0 (una sola soluzione)



det = 0 e Car A = Car [ A|b ] soluzioni (r=CarA)

 non è risolubile

det = 0 e Car A Car [ A|b ]

MATRICI RETTANGOLARI

 non è risolubile

Car A Car [ A|b ] Se n = r -> una sola soluzione

Car A = Car [ A|b ] 

Se n r -> soluzioni

 detA = detA =

1

sistemi crameriani:

detA = detA = [ x ; y ; z ] =

2 3

 metodo della sostituzione

 x = b -> A b = x

-1

altro metodo: • •

 sistemi omogenei: il vettore dei termini noti è nullo b = 0



se det 0 -> c'è solo la soluzione banale: [ x ; y ; z ] = [ 0 ; 0 ; 0 ]

se det = 0 -> possiede anche soluzioni non banali:

det = = 0 -> -> det 0 -> elimino l'ultima riga e pongo z = c



 Car = Car [ |b ]

teorema di rouché-capelli: si usa per matrici rettangolari con

Car = 2 Car [ |b ] = 2 ->

-> Car = 2 Car [ |b ] = 2 ->

->

TRASFORMAZIONI LINEARI:



 v ' è lineare perché L(c a +c b) = c L(a) + c L(b)

1 2 1 2

 ' dim( ) = CarA -> so qnt ' ci sono

insieme delle immagini: = insieme di tutti i vettori

ImmL ImmL

 nucleo: KerL -> A v = 0 -> è l'insieme dei v che hanno come immagine 0 -> v = 0

•

AUTOVALORI E AUTOVETTORI:



 data A, trovare t (autovalori) e v (autovettori) tali che ( A - t )v = 0

I

•

 polinomio caratteristico: det ( A - t ) equazione caratteristica: det ( A - t ) = 0

I I

• •

 autovalori: soluzioni dell'equazione caratteristica

 autovettori: vettori di soluzione non nulla del sistema omogeneo

A = =

t ( A - t ) =

I I

• •

) [()() - ()] - [() - ()] +

det ( A - t ) = 0 ->

I

• • •

+ [ - )] = 0 -> t = n t =

• 1 2;3

t = n -> t = n

= -> =

1 2

t = n -> S = D = S AS =

-1

=

3

 una matrice è diagonalizzabile solo se è una quadrata di ordine n con n autovalori distinti.

TRIGONOMETRIA: a a

 2 2

sin + cos = 1

a

-1

sena = cosa = tana = sin = arcsena a

tan =

b = a sinb = a cosg b = c tanb

• • •

a b

+ = 90° -> sena = cosb e senb = cosa cos 180° = sen 90° =1

sen cos

45° (/4) -> cos 45°= sen 45° = 30°= 60° = cos 30°= sen 60° =

GEOMETRIA ANALITICA: m = -a/b q = -c/b



 RETTA: m è il coefficiente angolare (pendenza)

- forma esplicita (canonica): Y = mx + q se m = 0 -> // asse X

- forma implicita: ax + by +c = 0 se m -> // asse Y

- forma parametrica: se m > 0 -> se m < 0 ->

 CIRCONFERENZA:

- forma esplicita: (X - Xo) + (Y- Yo) = r forma implicita: x +y + ax + by + c = 0

2 2 2 2

- forma parametrica: C = ( ; ) R =

 PARABOLA:

- forma esplicita: Y = ax + bx +c

2

 

se a > 0 -> se a < 0 ->

asse di simmetria: x =

 = b - 4ac -> V =

2

asse Y -> ( 0 ; c )

asse X -> risolvo: Y = ax + bx +c

2

se ho due soluzioni complesse coniugate (non reali) -> non ho con asse X

risolvendo la disequazione: con > 0 ->

con < 0 ->

 RETTA NELLO SPAZIO:

- coseni direttori: coseni dei tre angoli che ogni asse forma con la retta

- parametri direttori: sono proporzionali ai coseni direttori

- equazione della retta: ->

- forma parametrica: cosa= cosb= cosg= = v = [ Xb-Xa ; Yb-Ya ; Zb-Za]

- retta per 2 punti: A = ( Xa ; Ya ; Za ) B = ( Xb ; Yb ; Zb )

- retta per P = ( Xo ; Yo ; Zo ) e // a v = ( m ; n ; l ) ->

 ax + by + cz + d = 0

PIANO NELLO SPAZIO: