Matematica II, Scienza delle costruzioni

Vettori

- Modulo: |v| =
- Direzione: (retta su cui giace → è data dal rapporto delle componenti) tanθ =
- Verso: regola della mano destra
- Se il determinante di una matrice composta da 3 vettori è = 0 → almeno 2 vettori sono linearmente dipendenti
- In 3D: v = xi + yj + zk = [x, y, z] |v| =
- Somma: a + b = (a₁ + b₁; a₂ + b₂) opp. x componenti → a + b = (a₁ + b₁) i + (a₂ + b₂) j + (a₃ + b₃) k
- Prodotto per scalare: t v = (t v₁; t v₂) → verso opposto se t < 0
- Vettori unitari: hanno modulo = 1 → normalizzare un vettore
- Vettori paralleli: le loro componenti sono proporzionali es: u = [1; 2; 3] v = [3; 6; 9] → u // v
- Vettori ortogonali: u v se u • v = 0 → per trovare w a u e v → vedi | a × b | x componenti
- Prodotto scalare: il risultato è un numero a • b = a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃ opp. a • b = |a| |b| cosθ
- Conseguenze geometriche: a • b = |a| |b| cosθ → trovo l'area del triangolo
- Prodotto vettoriale: a × b il risultato è un vettore con:
    - Modulo: |a| |b| senθ
    - Direzione: al piano su cui giacciono i vettori
    - Verso: regola della mano destra
- Conseguenze geometriche: |a| |b| senθ → trovo l'area del parallelogramma
- x componenti: | a × b |= det ( ) i - ( ) j + ( ) k
- Vettori complanari: tre vettori sono quando → = 0 → linearmente dipendenti

Matrici

- Somma: sommo membro a membro → a₁₁ + b₁₁; a₁₂ + b₁₂; ecc..
- Matrice per scalare: moltiplico il numero per ogni membro della matrice
- Prodotto righe per colonne:
    • (m; n) (ma; na) (mb; nb)
- Matrice identica: matrice quadrata con a_ij = 1 se i = j e a_ij = 0 se i ≠ j
- Matrice diagonale: matrice quadrata con a_ij = 0 se i ≠ j
- Matrice trasposta: A^T = inverto le righe con le colonne → A = A^T
- Matrice simmetrica: A = A^T
- Matrice emisimmetrica: a_ij = -a_ji
- Matrice inversa: A^-1
- Matrice ortogonale: A^-1 = A^T
- Matrice singolare: detA = 0
- Caratteristica (rango): se detA ≠ 0 → CarA = m = det
    • Se detA = 0 → CarA è l'ordine max dei minori non singolari

Sistemi lineari

- Matrice quadrata: sistemi crameriani
- det ≠ 0 (una sola soluzione)