Matematica finanziaria

C C

1

tasso di sconto: d (t)=1− (t)

f

Capitalizzazione semplice

I = C x i x t

M = C + (C x i x t)

f(t) = (1 + it)

Capitalizzazione composta

t

I i)

=C (1+ t

M C i)

=C + (1+

t

f i)

(t )=(1+ −t

g i)

(t )=(1+

Regime interesse anticipato

S = M x d x t (Sconto = montante x tasso di sconto x tempo)

C = M – S = M (1 – dt) 1

g (t) = 1 - dt f (t )= Interesse

(1−dt ) composto

f(t) Interesse

anticipato Interesse

1+i semplice

1 1 1/d t

Tassi equivalenti:

Capitalizzazione Semplice

h con ik tasso che si vuole trovare e ih tasso che si ha

i =i

k h k

Capitalizzazione Composta

√

k h

i i

= (1+ ) −1

k h

Tasso annuo nominale

j k con Ik è il tasso di periodo e jk è il tasso annuo fittizio per una liquidazione inferiore

i =

k k

all'anno

Ex 0,12

j12 = 12% allora i = =0,01

12 12

Tasso variabile nel tempo: i=3% 5

2

i=4%

0

Capitalizzazione semplice

M = C + I1 + I2

ex

C = 100

M = 100 + (100 x 0,04 x2 )+ (100 x 0,03 x 3) = 100( 1 + 0,04 x 2 + 0,03 x3)

2 3

tasso medio = i=0,04 0,03

+

5 5

Capitalizzazione composta

2 3

100(1+ 0,04) x 0,03)

(1+

5

√ 2 3

tasso medio = i= (1,04) (1,03)

Forza di interesse t

∫

f ' f '

s) ds)

( (t )) ( )

( δ( t ∫

f cap semp=1+ it ; cap comp(1+ i) f

(t )=e

δ(t)= ( )=ln

0 f

f

( (t )) 1

∫ n 1)

(n+

x x

= 1)

(n+

Capitalizzazione semplice

i

δ(t)= i t

(1+ )

Capitalizzazione composta

i)

δ(t)=ln(1+

Interessi anticipati

d

δ(t)= t)

(1−d

Scindibilità

una legge finanziaria è scindibile se e solo se è esponenziale

costante

Condizione necessaria è: La legge di capitalizzazione semplice non è scindibile.

δ(t)=k

Le Rendite

S {(Rk, tk)} k(0,1,..,n)

Rk è la rata

tk è la valuta o scadenza.

Il valore attuale di una rendita se tj < t < tj+1 è pari a :

j n

∑ ∑

V R f R g

(t)= (t−t )+ (t −t)

k k k k

k k= j+ 1

=0

Se t = t0 valore attuale

se t = tn montante 100

Ex 100 100

100

100 1 4

0 2 3

−1 −2 −3 −4 attuale

V 100 x 1,1 100 x 1,1 100 x 1,1 100 x 1,1

(0)=100+ + + +

4 3 2 montante

V x 1,1 100 x 1,1 100 x 1,1 100 x 1,1+ 100

(4)=100 + + +

Valore attuale di una rendita periodica posticipata, immediata, unitaria di n rate, nel regime a sconto

composto al tesso di interesse periodale i: si usa il simbolo che si legge a figurato n al tasso

a

(n ¬i)

i. n −n

i))

1 (1−(1+

k

∑

Sia: ottengo a v che è il valore attuale in questo caso

= =

=v n

( ¬i) i

i)

(1+ k=1

Se la rata è costante = R allora −n

R−V

( ) i)

(1−(1+ )

i

R=ln G

V a (i)=R −V

=R n R

( ¬i) i

Per trovare il tasso di interesse i* dovrò portare la funzione G(i*) = 0

Valore attuale di una rendita periodica anticipata immediata unitaria in n rate, nel regime a sconto

composto al tasso d'interesse periodale i che si indica con che si legge a anticipato figurato

a ¨

n

( ¬i)

n al tasso i.

n−1 n

(1−v )

k

∑

a v

= =

¨

n

( ¬i) (1−v)

k=0

Se la rata è costante e quindi uguale a R si a che :

V a

=R ¨

(n ¬i)

Scadenza media aritmetica

n R

∑ k

si indica con t tk x(

̄ = )

∑ R

k =1 k

Ex: 150 250

100

1 2

0 4

x 100) x 150) x 250)

(1 (2 (4

t

̄ = + +

500 500 500

Scadenza media n

∑

Si indica con : w x g z)= R g con:

( (t )

k k

k=1

∑

w= R g(z) dipende dal regime

k

Regime interessi composti ∑ (t )

n R i) w

(ln (1+ −ln )

k

∑ k

−z −tk

w x i) R i) risolvendo viene z=

(1+ = (1+

k i))

(ln (1+

k=1

Regime interessi semplici

n

1 1

∑

wx R

= k

iz i tk

(1+ ) (1+ )

k=1

Regime interessi anticipati

In questo caso z=̄

t

Duration k

n v

(R )

k

∑

D= [ ]t k

k

∑ R v

( )

k=1 k

Ex: 180

250

100 3 8

1

0

i = 0,1 −1 −3 −8

x 100 x 1,1 3 x 250 x 1,1 8 x 18 ' x 1,1

(1 + + )

D= −1 −3 −8

x 1,1 250 x 1,1 180 x 1,1

(100 + + )

Costruzione di un capitale

S = capitale

S R s

= (n ¬i) 30.000

EX 30000= R 1,1^5 -1/0,1

R R R

2

1 n I = 10%

0 5

k Fk-1 Ik Rk Fk

0 - - - -

1 0 0 100 100

2 100 10 100 210

3 210 21 100 331

...

n (Ik = i x F k-1)

MATEMATICA FINANZIARIA MODULO 2

L'AMMORTAMENTO

Relazioni fondamentali: S = Prestito

R C

=I +

k k k R = rate ;

I D

=i

k (t−1) I = quota interessi;

E D

+ =S

k k C = quota capitale

D ; I D ; E

=S =0 =0 =S E = debito estinto ;

0 0 n n

∑ C Chiusura elementare

=S D = debito residuo

k

∑ −k Chiusura finanziaria

S R i) K = periodi

= (1+

k

Quindi :

∑ ∑ −k

C R i)

= (1+

k k

Ammortamento Americano:

2 operazioni distinte :

Rimborso finale a tassi periodici

– Costituzione di Capitale (metto da parte i risparmi)

–

2 tassi:

1) tasso i di remunerazione per l'operazione di rimborso del prestito

2) tasso i' di accumulazione per l'operazione di costituzione di Capitale

S Q R = rata del rimborso

=R +

k k k Q = quota di costituzione

In caso di versamenti posticipati di importo costante, capitalizzati in regime composto al tasso i',

(Q costante), avremo che :

S s (Montante di versamenti posticipati di importo costante )

=Q '

(n ¬i )

S S i+ S

= σ

k '

(n ¬i )

Ammortamento alla Francese:

Rata costante: −n

i) i

[1−(1+ ]

S R a x R=S

= =R α =S

(n ¬i)

(n ¬i ) i −n

i)

[1−(1+ ]

k−1)

( C i)

C i)

C a =C (1+

=S σ (1+

=S

1 k 1) k

n n (k +

( ¬i) ( ¬i)

D a E S s

=R σ

k k

n−k n

( ¬i) (n ¬i) ( ¬i)

I =R −C

k k k

Ammortamento Italiano

R I

=C +

k k k

C =costante=Q

k S

Q= n S D

E Q=k =S−E =(n−k )Q

=k

k k k

n

I D Q I I

=i =i [n−(k −1)] = −iQ

k

k k+ 1)

(t−1) (

R i 1)] R

=Q [1+ (n−k+ =R −iQ

k

k k 1)

( +

Estinzione anticipata di un prestito

Il debitore chiede di estinguere anticipatamente il suo debito. Nel caso dell'ammortamento alla

francese il rimborso V_s dovuto dopo il pagamento della s-essima rata sarà:

n−s)

(

i)

[1−(1+ ]

V R a R '

= =

s '

(n−s ¬i ) i

Se il tasso di valutazione i' è pari al tasso del prestito i allora V_s sarà pari al debito residuo

Se l'estinzione avviene in un'epoca intermedia tra il pagamento di una rata e la successiva in s+f :

con i' = i f condizione esponenziale

V i)

=D (1+

s+ f s

( )

V if condizione lineare

=D (1+ )

s+ f s

( )

Se i' è diverso da i, userò il tasso i'.

PROGETTI FINANZIARI

L'operazione finanziaria è caratterizzata dal fatto che ci sia un costo e un ricavo.

Classificazione degli investimenti:

Investimento in senso stretto se tutte le uscite sono davanti a tutte le entrate (- - + + + )

– Finanziamento in senso stretto se tutte le entrate sono davanti a tutte le uscite ( + + - -)

– Investimento in senso generale se la scadenza media dei costi sta prima della scadenza

– media delle entrate (viceversa avremo il finanziamento in senso generale).

Investimento in senso lato se la scadenza media aritmetica precede il primo ricavo

– (finanziamento in senso alto viceversa)

Investimento in senso pure vi è solo se il saldo contabile cambia una volta passando a – a +,

– (finanziamento viceversa).

Criterio del REA (risultato economico attualizzato)

Prendo tutte le uscite future e le attualizzo, prendo tutte le entrate future e le attualizzo ed in fine le

sommo. n

∑

V C g C_k sono gli importi dei flussi di cassa

(i)= (t )

k k

k=0 g(t_k) è il fattore di sconto secondo una prescelta legge di attualizzazione

Se:

Rea > 0 utile ; Rea < 0 perdita

Maggiore è il REA, migliore sarà l'equazione a prescindere se è un finanziamento o un

investimento.

REA (A + B) = REA A + REA B

– REA (xA) = x REA A

– ∑ C k ∑

per i=0 V C ; per lim V

→ (i)= (i)=C

k 0

(i →∞)