Matematica finanziaria

Fattore di montante e sconto

I= M-C fattore di montante con C unitario = 1: f(t) che è definita: t [0, T) – f(0) = 1 – f'(t) > 0 – fattore di sconto g(t) = G(1,t) è definita: t [0, T) – g(0) = 1 – g'(t) > 0 – f(t) x g(t) = 1 uno è il reciproco dell'altro

Tasso di interesse

i(t I f) = M = (t)−1 C C 1 tasso di sconto: d (t)=1−(t)f

Capitalizzazione semplice

I = C x i x t M = C + (C x i x t) f(t) = (1 + it)

Capitalizzazione composta

I i)=C (1+ t M C i)=C + (1+tf i)(t)=(1+ −tg i)(t)=(1+

Regime di interesse anticipato

S = M x d x t (Sconto = montante x tasso di sconto x tempo) C = M − S = M (1 − dt) 1 g(t) = 1 - dt f(t) = Interesse(1−dt) composto f(t) Interesse anticipato Interesse 1+i semplice 1 1 1/d t

Tassi equivalenti

Capitalizzazione semplice

h con ik tasso che si vuole trovare e ih tasso che si ha i=ik h k

Capitalizzazione composta

√k hi i= (1+ ) −1 k h Tasso annuo nominale j k con Ik è il tasso di periodo e jk è il tasso annuo fittizio per una liquidazione inferiore i =k k all'anno Ex 0,12 j12 = 12% allora i = =0,0112 12

Tasso variabile nel tempo

i=3% 52 i=4%0 Capitalizzazione semplice M = C + I1 + I2 ex C = 100 M = 100 + (100 x 0,04 x2 )+ (100 x 0,03 x 3) = 100( 1 + 0,04 x 2 + 0,03 x3)2 3 tasso medio = i=0,04 0,03+5 5

Capitalizzazione composta

2 3100(1+ 0,04) x 0,03)(1+5√ 2 3 tasso medio = i= (1,04) (1,03)

Forza di interesse

t∫f ' f 's) ds)( (t )) ( ) (δ( t ∫f cap semp=1+ it ; cap comp(1+ i) f(t )=e δ(t)= ( )=ln 0 f f( (t )) 1 ∫ n 1)(n+x x= 1)(n+ Capitalizzazione semplice i δ(t)= i t(1+ ) Capitalizzazione composta i) δ(t)=ln(1+

Interessi anticipati

d δ(t)= t)(1−d Scindibilità una legge finanziaria è scindibile se e solo se è esponenziale costante Condizione necessaria è: La legge di capitalizzazione semplice non è scindibile. δ(t)=k

Le rendite

S {(Rk, tk)} k(0,1,..,n) Rk è la rata tk è la valuta o scadenza. Il valore attuale di una rendita se tj < t < tj+1 è pari a:

• j n∑ ∑V R f R g(t)= (t−t )+ (t −t) k k k kk k= j+ 1=0
• Se t = t0 valore attuale se t = tn montante 100 Ex 100 100 100 100 1 40 2 3−1 −2 −3 −4 attuale V 100 x 1,1 100 x 1,1 100 x 1,1 100 x 1,1(0)=100+ + + +4 3 2 montante V x 1,1 100 x 1,1 100 x 1,1 100 x 1,1+ 100(4)=100 + + +

Valore attuale di una rendita periodica posticipata, immediata, unitaria di n rate, nel regime a sconto composto al tesso di interesse periodale i: si usa il simbolo che si legge a figurato

n al tasso a(n ≠i)i. n −ni) ) 1 (1−(1+ k∑ Sia: ottengo a v che è il valore attuale in questo caso= ==v n( ≠i) ii)(1+ k=1

Se la rata è costante = R allora −n R−V( ) i)(1−(1+ )i R=ln GV a (i)=R −V=R n R( ≠i) iPer trovare il tasso di interesse i* dovrò portare la funzione G(i*) = 0

Valore attuale di una rendita periodica anticipata

Immediata unitaria in n rate, nel regime a sconto composto al tasso d'interesse periodale i che si indica con che si legge a anticipato figurato a¨n( ≠i)n al tasso i.n−1 n(1−v )k∑ a v= =¨n( ≠i) (1−v)k=0

Se la rata è costante e quindi uguale a R si a che : V a=R ¨