Matematica e fisica

Pendenza di una retta

pendenza = Δy/Δx

Δy, Δx sulla retta non dipende dai 2 pti scelti.

Pendenza e angolo formato dalle rette

es: y = x

π/4 = 1 = pendenza

angolo ≠ π/4 rad

Δy/Δx = 1; pendenze uguali ma diverse dalle tangenti dell'angolo

Dall'aspetto geometrico (retta) all'aspetto analitico (f(x)).

y = mx + q

f(x) = mx + q

funzione che ha come grafico la retta

Funzione/Modello Lineare

• Per le funzioni f, riprendiamo il significato di m:

1. m = ^Δf/_Δx = ^{f(x+Δx)−f(x)}/_Δx

y=f(x)=mx+q

2. Δx = variazione della x

   Δy = variazione della y

   m = ^Δy/_Δx = rapporto tra le variazioni di y e x

   = variazione media di y nell'intervallo [x, x+Δx]

3. m = ^Δy/_Δx => m Δx = Δy

   m Δy = Δx

   le variazioni di x e y sono direttamente proporzionali;

   la pendenza m delle funzioni lineari è il coefficiente di proporzionalità diretta tra Δy e Δx

• Per le f(x) lineari Δy si ottiene moltiplicando Δx per le pendenza m.

Lezione 2

Funzioni e Crescita

* Le f(x) si possono classificare in base al loro tipo di crescita:

• log x
• x
• xⁿ
• e^x

- Se si conosce il tipo di crescita del fenomeno che si sta analizzando, si può scegliere il modello adatto per rappresentarlo matematicamente.

Problema: Come si possono visualizzare contemporaneamente numeri con ordini di grandezza molto tra di loro?

(es: dimensioni di alcuni organismi)

• sequoia ≃ 100 m ≃ 10² m
• uomo ≃ 1 m ≃ 10⁰ m
• formica ≃ 1 mm ≃ 10^-3 m
• batterio ≃ 1 μm ≃ 10^-6 m

=> Scala Logaritmica log₁₀x

(log₁₀x^k=k)

• sequoia = 10² -> log₁₀10²=2
• uomo = 10⁰ -> log₁₀10⁰=0
• formica = 10^-3 -> log₁₀10^-3=-3
• batterio = 10^-6 -> log₁₀10^-6=-6

Problemi:

1. Noto un grafico in scala lineare, come si trasforma in scala semi-logaritmica?
2. Noto un grafico in scala semi-logaritmica, come si risale al grafico in scala lineare?

1. ↺ Passaggio da y=ae^kx a log y

log(e^kx)=log + log e^kx = log + kx

=> log y = log a + kX ->

ep, della retta slg(,y)

3. (le f(x) exp passano a f(x) lineari in scala semi-log.)

Lezione 6

Primitiva di una f(x)

Sia data g: (a, b) → ℝ.

Una f(x) f: (a, b) → ℝ si chiama primitiva di g su (a, b) se:

1. f è derivabile su (a, b)
2. f'(x) = g(x),   ∀x ∈ (a, b)

Caratterizzazione delle primitive di una f(x):

1. Data g: (a, b) → ℝ, se f: (a, b) → ℝ è una primitiva di g su (a, b) allora anche f + c,   c ∈ ℝ è una primitiva di g su (a, b).

2. Data g: (a, b) → ℝ, se f1 e f2 sono due primitive di g su (a, b) allora ∃ una costante c ∈ ℝ tale che f1 = f2 + c,   ossia   f1 - f2 = c.

Lezione 7

Periodo delle piccole oscillazioni del pendolo.

t = tempo (ur. indip.)x = x(t) → misura dell'angolo rispetto alla verticale

x = 0: posizione verticale

F = ma (secondo principio di Newton)

La componente tangenziale delle forze peso è -mg sin x

mentre la componente tangenziale dell'accelerazione è a_t = Lx'' (formula del moto circolare)

Modelli discreti

• Un modello discreto è un modello matematico che descrive situazioni in cui la variabile indipendente è discreta: n ∈ IN

Una funzione a: IN → IR si chiama successione

• Come si può assegnare una successione?

1. Formula esplicita: \( a_n = n^2 - 2 \), ∀n ≥ 1
2. Formula ricorsiva:
   • a₀ = 1
   • a_n+1 = 3a_n + 1, ∀n ≥ 0

La successione geometrica

• Sia q > 0. Si chiama successione geometrica di ragione q la successione a_n definita in modo ricorsivo da
  • a_n+1 = q · a_n, ∀n ≥ 0
  • a_n = a₀ · qⁿ, ∀n ≥ 0

q > 1

• a_n = a₀ qⁿ, ∀n ≥ 1
• Mod. di crescita
• Tempo di raddoppio T₂ = ^{log 2}/_{log q}

0 < q < 1

• a_n = a₀ qⁿ, ∀n ≥ 1
• Mod. di decrescita
• Tempo di dimezzamento T_1/2 = ^{log 1/2}/_{log q}