Matematica e fisica

Pendenza di una retta

Pendenza di una retta = _Δy/_Δx

Δy/_Δx sulla retta non dipende dai 2 punti scelti.

Pendenza e angolo formato dalle rette

Esempio: y = x^π/₄ rad. ^{tg π}/₄ = 1 = pendenza

y = x

Angolo ≠ π/4 rad

Δy = 1: pendenze uguali ma diverse dalle tangenti dell'angolo.

Dall'aspetto geometrico (retta) all'aspetto analitico (f(x))

y = mx + q

f(x) = mx + q

Funzione che ha come grafico la retta

Funzione/Modello lineare

Versione 1

Pendenza di una retta

Pendenza = ^Δy/_Δx

Δy/Δx sulle rette non dipende dai 2 punti scelti.

Pendenza e angolo formato dalle rette

Es. y = x

tan(π/4) = 1 = pendenza

y = x

angolo ≠ π/4 rad

Δy = 2, Δx = 1: pendenze uguali ma diverse dalle tangenti dell'angolo.

Dall'aspetto geometrico (retta) all'aspetto analitico (f(x))

y = mx + q

f(x) = mx + q

Funzione che ha come grafico la retta

Funzione/Modello lineare

• Per le funzioni f, prendiamo il significato di m:
  1. m = Δy/Δx = Δf/Δx = (f(x+Δx)-f(x))/Δx
  2. Δx = variazione della x
  3. Δy = variazione della y, m = Δy/Δx = rapporto tra le variazioni di y e x → variazione media di y nell'intervallo [x, x+Δx]
  4. m = Δy/Δx ⇒ mΔx = Δy, mΔy = Δx → le variazioni di x e y sono direttamente proporzionali; la pendenza m delle funzioni lineari è il coefficiente di proporzionalità diretta tra Δy e Δx
• Per le f(x) lineari Δy si ottiene moltiplicando Δx per le pendenze m.

Logaritmi e modelli logaritmici

Breve ripasso

Dato un numero a > 0, a ≠ 1 (base del logaritmo) e dato x > 0 si definisce

log_ax = y <=> a^y = x

Alcune proprietà

• log_a(xy) = log_ax + log_ay ∀x, y > 0
• log_a^x_y = log_ax - log_ay ∀x, y > 0
• log_ax^y = y log_ax, ∀x > 0, ∀y ∈ ℝ
• log_ax = log_bx / log_ba, ∀x > 0 formula del cambiamento di base

Esempio

Calcoliamo log₂7: Nella calcolatrice non c’è il log₂. Cambiamo base e trasformiamo tutto in base “e”

log_x = log_ex = e^lnx ⇒ log₂7 = log_e7 / log_e2 ≈ 1.95 / 0.69 ≈ 2.83

Grafico della f(x) = log_ax

• Grafico 1: a > 1
• Grafico 2: 0 < a < 1

Esempio di applicazione: il pH

pH = "pondus hydrogenium" (peso dell'idrogeno)

Consideriamo una soluzione acquosa, cioè un sistema acido o liquido in cui una sostanza (soluto) è sciolta nell'acqua.

Acidi e sali sciolti nell'H₂O formano ioni H⁺

Si indica con [H⁺] la loro concentrazione misurata in moli/l (M)

Concentrazione di riferimento: H₂O pura a 25ºC → 10^-7M

Le sostanze si classificano in base alle loro [H⁺]:

• Basic: [H⁺] < 10^-7M
• Neutre: [H⁺] = 10^-7M
• Acide: [H⁺] > 10^-7M

Le concentrazioni sono numeri molto piccoli e quindi molto difficili da rappresentare su una retta ordinata. Per ovviare a questo problema si introduce il pH:

pH = -log₁₀[H⁺]

Es. Se [H⁺] = 10^-7M, si ha

pH = -log₁₀ ^10-7M/_1M = -log₁₀10^-7 = 7

Grafico del pH in funzione di CH₃

Basic

Acide

Stiamo passando dal grafico di f(x) a quello di -f(x) simm. rispetto all'asse x

Esercizio

Le pH delle piogge è 6,5 mentre le pH del sangue è 7,4.

La differenza di pH tra sangue e pioggia è 0,9:

Δ = pH₂ - pH₁ = 7,4 - 6,5 = 0,9

Da questa differenza, cosa possiamo dire sulle [CH⁺] e [CH₃]? In generale, il problema è: che relazione c'è tra le variazioni di pH e le concentrazioni iniziali? Adesso vediamo che una variazione del pH corrisponde a un cambiamento nel rapporto tra le [CH⁺].