Matematica Discreta - Riassunto Completo

CALCOLO COMBINATORIO

I coefficienti Binomiale =/ A)

/

nlafrfror.li/=iolIl=iolIiH

) )

? la ? (

1

dell'

cordialità AEX

X

indica

Def insieme

: :)

(?fiiÌ

teorema

Dimostrazione f.IN

412,3

/ }

Xtn µ iniettivo

X

che

X tale →

r

insieme -

- . ,

. .

, ,

, (f)

) redimerti

1mm iniettivo

ft ha

PRIX )

1mm

Noto essendo

perché

che E tutte )

(

Pr X

f

Immagini possibili saturno

di

delle le

l'

che insieme

e # )

/ )

(

contare concludere

X

Nr

lnj

Possiamo quindi → possiamo

ma

÷ non

XII n÷

lpr ( cantando

che perché stessi Dobbiamo

stiano volte gli

più insiemi

e .

)

/ ( {

risultato !

art che ad

dividere 1N uguale

Ing r

quindi è

il aria

→

per . .

.

. ,

, .

) cordialità

permutazioni

( la

hanno

fa

di dura

dato }

il che stessa

numero .az a

.

. .

, .

. ,

r!¥

risultato

il dunque

è ftp.ititr.IE

teorema

Dimostrazione )

(

/ Y

Vogliano

IXI ?

Sia calcolare

X tale che =

insieme n

.

- . l'

Possiamo parti degli

Prlx ) due

scegliere dividere

X insieme

in

ae a : (a)

(4) l'

contengono contengono

quelli che

che contiene

che

insiemi insieme

a non

e a

ftp./PrlN/=/4/t/h//4IalPrnlX-hal)/--

prlxt.hu disgusti

↳ che

Essendo

4 ed 4 segue

)

( FI elementi escludendo

quanti

certo gli a

sono

t.hr

ii. ftp./I:ifl

III

"

tra

ix. .

thecap : Pn

Permutazioni l' ordine

oggetti differiscono

dispongo diverse

posizioni per

in

: n

a. ,

!

Pn n

= K elementi

differiscono

elementi

Disposizioni ordine

disposizioni

Dan di di

in e per

n per

: gruppi ,

¥

Dn r =

, !

ri

( n -

! elementi

aderenti

Disposizione ripetizione N

D differiscano

di

gruppi

di ordine

disposizione in

: e per

per

con ,

µ nr

d' .

n.ir . elementi

Combinazioni elementi differiscono

K

G. combinazioni di

in

di gruppi per

n

: ,

µ È (f)

Cnr = =

.

PI

Permutazione differiscono

elementi ordine

ripetuti

di ti

di

permutazioni per

cui

n

: ,

:

pii ! !

h

K .

. . Newton

del

Teorema binomio di È / ) ibi

?

" an

-

b)

(

TEOREMA qb

Dati ed at =

IN

n E

DIMOSTRAZIONE '

intuizione (

Partiamo ( b)

b) (

b) (

b)

da at at

un a

at + =

. bbb

aabtaba-abbtbaatbabtb.ba

aaat +

( )

1 devo

stringa Ob

scegliere

3 posti

3

in

con a )

3 stringhe (

edb scelgo posti

1h 3

2 in

con a )

(

3 1

stringhe scelgo

26 posti

26 3

in

a

con e

Oa )

stringa ( posti

1 35

scelgo

36 3

in

con e )

/ ?

? Ne

ho ho =3

1

Quanti posti

di scegliere

modi b 3

in

CASO GENERALE

"

( ba

tutte formate

) }

caratteri

forma

aeb le b

possibili di

stringhe da

n ,

ibi

del

ho quanti modi

quanti "

tipo devo

-

pronomi a sapere

sapere

per posti (

ho ib

scegliere

di )

in sono

n ?

ma proprio

richieste sulle primi

conosciute numeri

e sui

congruenze -

-

TEOREMA ultimo

l'

tutti della il

eccetto

membri esima primo

riga e

i p

primo

p -

modulo

0

congrui ( fifoni

sono )

a ? f-

p P

O

DIMOSTRAZIONE

(F) ,%' / ) !

ii. it (

lp !

! )

o

=

=p p

-

→ .

= i

che plab pla V

sapendo quindi

plc

(f) !

! (

V ( )

) V

(

) )

( 0 0

i

i

0 =

= p p

p

p -

= prodotti

( ! ! di

) di

perché

i congrui minori

numeri

i

p zero p

essere

non

e possono sono

a

- modulo

forza

quindi ( deve

? ) 0

essere p

a

per congruo

PROPRIETÀ ' xp

( ) yp ( )

p

primo xty

p = ,

DIMOSTRAZIONE

È xrigi

(f)

'

lxty ) = (F) termini

( )

tutti quindi gli

vale

te

gli unici

EO p

ocicp

i

per . moltiplicati

della che 0 il

somma primo

vengono e

non saro

per

l' moltiplicati

che

ultimo ottengo

1 quindi

vengono per

' typ

xp

( ) )

(

xty = p

Principio Inclusione Esclusione

di -

A B C insiemi

, , )

IAUBI IAIHBI land

= -

IAUBUCI lbncltlanbncl

land

BI

IAIHBIHCI Ian

= -

- -

NOTAZIONE Dati

AneI--hi.ia.u.irlElNnPonianoAI-_i@Ai-_AinnAia__.Air

A

-401

netti insiemi . .

.

. .

teorema iv. "

f- tal

Ail t'

. "

"

⇐

DIMOSTRAZIONE

Verifichiamo Ai

che esattamente volta

cantato

xe

per viene una

.

Supponiamo Air

Aia Aia

E

× .

,

, _

_ .

calato ftp.i.ttnr-i/

allora ;)

/ )

tl !

;)

× viene r - - / ) ftp./-...tfit-Y

/ ;)

!

binomio !

Newton

Per teorema 0=4-11

del

il ;

di -

" ektjiii.ir#pd....tH

visioni :

APPROFONDIMENTO NCD

SU e mcm

DEFINIZIONE

Siano 2 nulli

entrambi

b DEIN dice

e si

a Comun

non massimo

, .

divisore se :

dia dlb

a

° te 2 t.ec/anc/b dzc

° e

PROPRIETÀ Bezout

dimostrabili con

( multiplo

b)

NCD dei divisori b

d-

è a

° comuni

a. e

) b)

(

( NMCD

Mld nb

• na a.

=

, c)

b)

( ) (

Mld be

Mld (

1 NCD

a.

• a.

a -

= -

,

NCD b) ab

b) manca

(

• a. =

. , ab

( b)

Mld ( b) 1 mcm

• a.

a = =

, mcmlb.cl/=mcm/MCD(a,b),MCD(a,c

( )

MLD )

• a , ( )

blu

In

Media alnn

ab

b) ⇐

e

• =

,

IDENTITÀ BEZOUT

DI ED EQUAZIONI

DIOFANTEE

TEOREMA della euclidea

divisione Zunici

7g

2

Dati qb che

lati

oercq

# e re con

,

bqtr

a-

-

DIMOSTRAZIONE azo

per Q.to/q--min(Q )

0=4 Imbza }

MEN 9¥ assurdo

qb qbt O reo

a = altamente

( )

sarebbe ninfa )

( fb ca

g. non

q b

( ilb ocra

r a- g-

. 1)

( bar

a q

= -

Massimo Divisore

Comun

Siano bel MCD

V detto

b d

#

# è

o

a. o

a >

cor se

o

alla dlb

1

• t.ec/anclbdzc

te

•

Algoritmo Euclide

di MCDLO Ibl

b)

che

sapendo =

,

t.c.la/zlb/ao

dati qb

lat-lblqtroer.cl/re=o mcdfal.IN/--MlDla.bI=lbl

1 . lbl

2 mq tra

.

. ,

3 riga

ra tra

=

.

i .

.

.

. MEDIA b) fine

linea

rn

+

I. rn.iq

n = =

a ,

Perché funziona ?

TEOREMA

Dati fatiche

EZ

b. d a-fovb.to balorde

a. con e

c. bctd

A-

Allora d)

( b)

MCD (

Mld b.

a. =

DIMOSTRAZIONE

Devo d)

(

l'

che

dimostrare stesso

lo

4.

divisori b.

b) di

dei di

insieme è

A d)

( (

b.

Dirla (

b) Div d) b)

E DIV

b. DN

E a.

, la inclusione

Dimostro prima d)

( b.

veduta Ha

nrlb Hd

sola .ba siediti

b) →

, 8) cyl

biry iv.

ask

Identità Bezout

di

Teorema a-tovb.to

2

Dati .be con

a

Im Z t.co

ne .

, avntbn

( b)

NCD =

a.

DIMOSTRAZIONE ( b)

arcata

NCD b)

il teorema

Dimostro induzione b

sapendo che a

per -

, ,

nel

b

sopperendo lo so

caso

>

a con a

,

McNab

MCDCA (

b)

b) b) ( b)

b. < Max

max a

a-

e

=

, ,

,

PER IPOTESI INDUTTIVA

7mi (

2 bn

(

b)

t.co NCD m'

b) '

b.

n' t

e a-

a. =

, .

( )

b) (

bn

' m'

b. qui b.

bn

m' '

' ' '

a- + m

am n

+

+

a =

- -

due MCD quindi

uguali ' '

i un'

ma man

sono m

e -

)

b)

Mosca blu

aria ' ni

= -

,

il del base

al

minimo

principio

per sempre

arrivo caso

CASO BASE

(

MUD a) anton nel tuo

a =

,

EQUAZIONI DIOFANTEE

Un diafana tipo

del

è

equazione equazione

in Z

axtbg qb

C e

e ×

= con y

,

, ,

RISOLVIBILITÀ

Per Bezout

il esiste soluzione tipo

del

di

teorema equazioni

per

( b)

NCD

axtbg a.

=

Il

CASO Mosca )

alxtrttblyh

b) KMCDCA b)

→ c. a

=

, ,

pc Assurdo

casa nuda b) perché

, lb

la ipotesi

b)

Media

(

MCD b) frazi

oni

a. ,

, per

due

le intere

b-

axtbg ÈI tt e

1 sono

=

È Magg ,

, NCD b)

( dividere

deve

quindi e

a.

SOLUZIONI

Data soluzione

la e EJ di axtbg =L

Posso trovare BW

soluzioni

infinite O

clzt

per =

SOLUZIONI

RICAVO L'

ANCHE COMPLETA

INFINITE PER EQUAZIONE

aetby e

e- +

low

dz t O

-

alttzttbfftw ) e

=

RISOLUZIONE DIOFANTEE

Di EQUAZIONI

associata rispetto

risolvo sostituisco

variabile

ad

la una

° congruenza ,

la dell' altra

nell' originale valori

soluzione i

per

equazione ricavare

variabile l' Euclide

di

algoritmo

utilizzo

°

Esempio le soluzioni 1

340K tltty

di

cerco =

:

340=117.2 106 106=11.9+7

106.1

117 Il

t →

→ + -

-

-

= -

11=7.1

→ +4 7=4.1 4=3.1+1 3=1.3 ⑧

3

-

- +

- →

+

→ →

:o) regola

340 117 righe

2 Xmdt

: sopra riga sopra

-

-

I

340 0 340 del 340

340

. riga 7

del "

volta riga