Matematica Discreta - Riassunto Completo

Teorema della divisione euclidea

Dati i numeri interi a e b, con b diverso da zero, esistono due numeri interi q e r tali che:

a = bq + r

Dimostrazione

Per dimostrare il teorema, consideriamo il seguente algoritmo di divisione euclidea:

1. Dividiamo a per b e otteniamo il quoziente q e il resto r.
2. Se il resto r è uguale a zero, allora abbiamo trovato la soluzione e il teorema è dimostrato.
3. Altrimenti, sostituiamo a con b e b con r e ripetiamo il processo.

Perché funziona?

Il teorema della divisione euclidea si basa sul fatto che dati due numeri interi a e b, esiste sempre un unico quoziente q e un unico resto r tali che a = bq + r. Questo è possibile perché il massimo divisore comune tra a e b è uguale al massimo divisore comune tra b e r.

Dimostrazione del teorema di Bezout

Dati due numeri interi a e b, con almeno uno dei due diverso da zero, esistono due numeri interi x e y tali che:

ax + by = MCD(a, b)

Dimostrazione

Devo dimostrare due cose:

a) La coppia (x, y) è un divisore comune di a e b.

b) Ogni divisore comune di a e b è un divisore di MCD(a, b).

Dimostro per induzione che, sapendo che a per b, nel caso base sostituendo a con b, McNab MCDCA (b)

CASO BASE (MCD a) anton nel tuo a =

Un tipo di equazione in Z è ax + by = c

Per Bezout il teorema esiste soluzione di tipo MCD per (ax + by)

SOLUZIONI

Data la soluzione la e EJ di axtbg = L Posso trovare BW soluzioni infinite Oclzt per =

L'ANCHE COMPLETA
INFINITE PER EQUAZIONE
aetby ee- +lowdz t O-alttzttbfftw ) e=RISOLUZIONE DIOFANTEEDi EQUAZIONI
associata rispetto
risolvo sostituiscovariabileadla una° congruenza ,la dell' altranell' originale valorisoluzione iperequazione ricavarevariabile l' Euclidedialgoritmoutilizzo°Esempio le soluzioni 1340K tlttydicerco =:340=117.2 106 106=11.9+7106.1117 Ilt →→ + ---= -11=7.1→ +4 7=4.1 4=3.1+1 3=1.3 ⑧3-- +- →+→ →:o) regola340 117 righe2 Xmdt: sopra riga sopra--I340 0 340 del 340340. riga 7del "volta riga7' ' 2117I ←O 117 -=:: ":c:*:÷:7 7-29 106--9IO ll= -4 32il -1.74 il- e3 61 721 3 -14=--32' 4 -1393 I = soluzione132 particolare340 93.117+- =-340×+1178=0 1177.1Muscolo Httsol X→ omogenea = -.,340k ) KIKOl' altrimenti0 lait oppostiE Y⇐ =segni← 0fregatina non117 positivo( ) everrebbe340 340geE 0y ( ( )11761340 1soluzione -32generale 93T 340Kt =-Progressioni

aritmetiche KUna {cent tearitmetica AntAnnè =successioneunaprogressione .Progressioni geometriche K KUna tant dovete Ungeometrica Unaèprogressione successioneuna = -.dettaè ragioneSommatoria di progressioni Èlaotik a.tk?i=a.lntii-Kln.EÈ)Èaritmetica .ai =: ÈÈÌai aµÌsehGeometrica a. ---:Dimostrazione geometricadi progressionesomma unaÈAI tÉ ¥CASO corretto'BASE =no = =verificoPASSO ipotizzandoINDUTTIVO induttivavercyipote.sinh nÌÉ Èai Kn" httÈ eµ ai +-- = +K 1-perchéspecifico a.nonpotrei entrambi idividere Ì-¥I"-K K;! :*:rei÷ ; dimostrato=K n= KK I 1- - BezoutCONSEGUENZE TEOREMADEL DITEOREMA albaZb alMeda b) 1a. e n cc =,,DIMOSTRAZIONE7µg Z t.co axtby 1e =. bcymoltiplico entrambi membrii ec acxtper =taci albcy ipotesi albaperchéa e permultipli multiploanch'diessendo dièdi a asomma essoaNUMERI

PRIMO TEOREMA IN Vplb2 labe plabprimoa.

DIMOSTRAZIONE banalmente

CASO plb veropfb ( b) teoremail

CASO allora 1MCD per conseguenzae=p , Bezoutdi plcteoremadel

TEOREMA dell' dellaesistenza scomposizione primiinttn V 7pm treININ te è primiprimo Ee- pipiazz n pnvi.p -.-.. ... ., ,

DIMOSTRAZIONE 11Sia S l' elementidegli prodottoprimo puòèinsieme scriveresicui comenper o §Devo" sadimostrarefalsadi cheèprimi . ( )75Procediamo quindi sSIcheassurdo minsuppongoe =per sc1 LaNon potrà aebessendo diprodotto bcsprimo s si scrivere come nealtrimenti sarebberola falsaanche devebma proposizione essereeper a lo anchesarebbeprodotto di diprimi sconseguenzaeMa ed(a) entrambeP P (b) false se Sbeaee sonose ASSURDOilsarebbebcsessendo al s minimos noneTEOREMA dell' unicità della scomposizione primiinSiano faltorzzaziari didue azzea Prpipa a-aq.gr- q--.. -. . ,dove }4141 rt #ti chesi. Epre preparap primo qi primoe e, ,, _; . ... .. . -.EE

qsE92e qr -- -Allora }ehiti rr.se pi q. .. , . . ,

DIMOSTRAZIONE

Dimostro ipotizzandoinduzione resperCASO altrimenti

BASE prodotto di pinisarebbeseiai primoa siasia

PASSO INDUTTIVOinduttiva l'enunciatoipotesi finoPer è rnvero aEssendo allora plqnlqiple plaid )p eprimo → q qs- ---. ,,pelqn 19,93Vquindi pe -9. - ,Se pnlq allora entrambiperchè primipaaq sono, , ragionamento qitc.pe/qisqSe precedenteilpdq iterandoallora troviamo un ,Essendo tuttidiè pcip minoreaq .,,Ma /( quindiche valesappiamo e % pipa Pr% . .. .Iterando potremmo trovare t.c.ge/pj vorrebbequindi qa pjpj - }abbiamosarebbe 41perchè trovatoassurdo ticiòma piq < c- r. ., ,.Abbiano ottenuto Dividiamo papap q qnqPr pperq== - - -. - - ,, , , ,. fattori induttivaotteniamo ipotesicheun' diuguaglianza -1r ese per= è vera .

CONGRUENZEDEFINIZIONEIN detti-40 }Dato EZqb b congruime ae sonoe tamquelladidellarestoil divisione lo stessointera § èsePROPRIETÀ delle