Matematica Discreta - Appunti parte 2

Continuazione della volta precedente

Esempio introduttivo

Eravamo rimasti con un esempio: Il quale diceva: P(m) se m ≥ 14 allora m = a · 3 + b · 8 dove a e b sono degli interi maggiori o uguali di 0, quindi: a, b ≥ 0. Questo è un esempio in cui l'induzione semplice non funziona perché non è vero che P(m) è sempre come dato un passo verso una formula che non era "n-1+1". Dato per ipotesi che mi scriva come un certo numero multiplo di 3, primi mi cerco indietro un multiplo di 8, molti i numeri indietro che allora m+1 è il mio primo non multiplo di 8.

Esempi pratici

Per esempio se prendiamo il numero 45 e lo riprova a 45 = 3 · 5 + 0 · 8. Lui ora il numero 46: 46 = 3 · 2 + 1 · 8. Non c'è niente relazione fra i due quindi non si può dire che è può diminuire per induzione, l'induzione allora che è stata presentata non funziona perché il passo BASE si ferma con 14. 14 = 6 + 8 = 2 · 3 + 1 · 8. Quindi ne sono base ci fermiamo con c'è il passo massimo. Perché da 14 non abbandoniamo 15 e mai abbandoniamo 16. Quindi, succederebbe che non ci fa.

Considerazioni sul ragionamento

I dato è dunque nel ragionamento che è in più, tentare che fare? Portando col altro che 14 abbandona ottenuto, torno con perché 16 loro non può tengonio con noi per 17? Deduciamo che: 17 = 3 · 3 + 8 · 1. Da cosa ho fatto il percorso? Dai fatto che 17-3=14 e 14 l'esperienza ritorno. Quindi nel secolar ottenuto una specie di indicione stessa, che dice in fatto, che è è vito P(m) allora è vero P(m) 3 ed evita P(m)+8. Prendendo dove 14 e avendo 47? Allora andiamo che se lo prendo m>14 a scepì di fare altro è indicizione vere anche cio che a disposizione avrem (r 14,15 e16. Perché r poi pene m = 3. Pertanto se perciò io è camminato a 0, 14, ecc. Questo side se vedete e portavo 3. Lui e 14 cerca il passo dis 3 un numero k. (side erro k|14 + k| non danno).

Conclusioni

Quindi ho trovato un K tale che la differenza, e 14 e numero allora che ho fatto. Deduciamo che: 14 ≤ K ≤ 16.

Continuazione del principio di induzione forte

Eravamo rimasti con un esempio il quale diceva: P(m) se m > 14 allora m = a·3 + b·8 dove a e b sono degli interi maggiori o minori di zero, quindi: a, b > 0. Questo è un esempio in cui l’eliminazione semplice non funziona perché non è vero che per n intero come detto è possibile trovare una formula che sia data a “multipli”.

Dopo però uno può scrivere come un certo multiplo di 3 più un certo multiplo di 8, molti numeri dentro una additiva m ≥ 14 e a un punto non multiplo di 8. Per esempio se prendiamo il numero 15 e lo riprendo a+5 = 3·5 + 0·8 l’uscita è il numero 6. 16 = 3·2 + 2·8. Non c’è nulla interessante tra i due quindi non è più oltre che a più dimostrare per utilizzare. L’unica cosa infine che è stata presentata non funziona perché il PASSO BASE si ferma con 14. 14 = 6·8 + 2·3 + 1·8. Quindi si ferma base eliminata aggiungete nei passo invitato.

Perciò da 14 non aggiungiamo 15 e non aggiungiamo 16. Quindi, sembrerebbe che non ci fa. Forse c’è quindi nel ragionamento che si può, risultato cui passo? Può darsi che oltre che 14 abbiamo ottenuto, non sono per k·6, se uno può non riportato con 17.

Dedurremmo che: 17 = 3·3 + 8·1. Da cosa ho ordinato cercato? Da fatto che 17 - 3 = 14 e 14 lì rappresento elosiono quindi un risultato abbiamo una specie di iniezione attuale che dice in taletica che x e allora P(m) allora c'è vera P(n) 3 x e diventa P(n)+8. Perdiamo solo moltiplicato valutato. Allora calcolo che se io prendo m > 14 a sapere che dove adesso a un ciclo un intero, che ho a disposizione, ovvero 4, 15 e 16. Perciò k pari = 3. Perciò e perché che 14 è Quando ti cambierò venduta a portato 3 con 14 certi a presso di 3, un numero k, tale che m - kesista 4 e quindi 8. Quindi ho trovato un K tale che la differenza e il limit permesso che ho fatto.

Dedecentra che: 14 < K < 16. Andando a pag. 3 dicevano che cadevano nella forma 14, 15 e 16. Di cui i primi, cioè faccio, Z uno sotto e sul quaderno una pagina. L'equazione che avevo scritto era: a: 3 + b: 8 e la soluzione: u = (a + c)a molle comunque una forma di induzione che ci permette questa cosa. Confidavo che si ottiene e sono diminuzioni per induzione. Abbiamo una moltitudine che implica: n = u + 3. Prevaldo seconda P(n) = u + 1+8 — Questo qualche modo comunque segue di applicare il principio della molle. Quando di questo addirittura del principio di induzione che concorrono di vedere quem'a. La molti dimostrazioni che ci permette, solvenui, principios di induzione forte.

Principio di induzione forte

Le parte base è sempre lo stesso, si prende una proposizione P(n) e n-1 suppone che P(n_o), ... P(m) vera. quindi questo è il no passo base. Per quanto riguarda l'ipotesi induttiva, essa ricerca che se passo P(m+1), scriverò non P(m+1).

Per semplificazione dell'ipotesi induttiva il più ristretto e dice che: P(a_o) ∧ P(a+1) ∧ ... ∧ P(m) = P(m+1) ipotesi induttiva. L'unica cosa che cambia sono fiere e che ipotesi diventa più ridotto. Lì utilizza che se ho la spiegatizione di induzione posso lo augure specialequello classico. Prendiamone in particolare, se si calte questo so, ciascuno anche P(m). che rientra il principio di induzione forte e debole perché direzionela stessa esse, non abbiamo ipotesi. La realtà di due principi sono equivalenti.

Teorema: ogni numero intero ≥ 2 è il primo o è prodotto di primi

Prova per induzione: PASSO BASE: P(2) è il vero perché 2 è il primo. P(4), uno qualsiasi numero ≥ 2, se n il primo allora ho P(m) Se su u mosi scriviamo alcune sue Q-D. 2 ≤ a ≤ u 2 ≤ b ≤ u Ener la espressione iniziale dell'induzione forte separiamo P(a) e P(b). Dato che u = a∤b∤12, P(m), quartornina mesa 14 causa e dimostrata per induzione forte. P(n−3) = P(m).

PASSO BASE: P(14), P(15), P(16) 14 = 2... 3 + 4. 1 15 = 5. 3 + ... e 16 = ... + 2. 8. Prendiamo P(ν) ∧ P(ω+1) ∧ P(ω+2) ... fino a P(ω−1) 3^a FORMULAZIONE DEL PRINCIPIO DI INDUZIONE: (detto principio di ordinamento) ∃ ν∈N S≠ϕ Allora c'è un elemento di S che è minimo.

Dimostrazione per il teorema di fattorizzazione

P(µ) = µ primo ∨ prodotto di primi S = {µ / P(µ) è falso} Per assurdo sia S ≠ϕ. Cl'è un ₀ ∈S che è il più piccolo all'interno di S. P(₀) non vale ⇒ ₀ non è primo ₀ = a・b: a・b≠1 , ₀⇒ a, b 0⇒ a,b ∉ S ⇒ P(a) e P(b) sono vere⇒ µ prodotto di primi CONTRADDIZIONE.

Successione di Fibonacci

{F_ν} successione di Fibonacci F₁ = 1 F₂ = 1 dati iniziali F_ν = F_ν−1 + F_ν−2 (FORMULA RICORSIVA). Procediamo un'altra successione: {G_ν} ha lo stesso formula successiva e gli stessi dati iniziali, ossia ⇒ F_ν = G_ν ∀ν. Impostiamo una formula così: _ν = a^ν per a∈ℝ∖{0,1} a^ν g_ν−1 + _ν−2 a ≠0 diventa _ν= a^ν-2(a² −2・1).