Matematica Discreta - Appunti parte 3

Funzioni

Consideriamo due insiemi: X e Y. Una funzione f da X a Y assegna ad ogni elemento x di X uno ed un solo elemento f(x) di Y. Dato x ∈ X, l'elemento y = f(x) ∈ Y è l'immagine di x tramite f, mentre, dato y ∈ Y, un elemento x ∈ X tale che f(x) = y è un controimmagine di y. Si scrive:

f: X → Y

per indicare il fatto che f è una funzione da X a Y. L'insieme X si chiama "dominio" della funzione e l'insieme Y "codominio" della funzione. L'immagine Im f della funzione f è il sottoinsieme di Y costituito dalle immagini degli elementi di X tramite la funzione, ossia:

Im f = {y ∈ Y | ∃x ∈ X f(x) = y}

Per indicare l'immagine di f si ha anche la notazione: Im f = {f(x) | x ∈ X}. Osserviamo che l'immagine Im f è il sottoinsieme degli elementi di Y che hanno almeno una controimmagine. Quindi una funzione è specificata da una terna di informazioni: i) codominio; ii) dominio e la legge che spiega come assegnare ad ogni elemento del dominio la sua immagine. Due funzioni f e g sono uguali se e solo se hanno lo stesso dominio, lo stesso codominio e per ogni x nel comune dominio sia f(x) = f(c).

Funzioni iniettive

Consideriamo una funzione f: X → Y. Se per ogni elemento y ∈ Y c'è al più una controimmagine (cioè una o zero), la funzione si dice iniettiva. Questo si può esprimere anche scrivendo la seguente proposizione, a proposito della f:

∀x₁, x₂ ∈ X x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

o in modo equivalente, utilizzando le controimmagini dell'immagine.

Funzioni

Consideriamo due insiemi: X e Y. Una funzione f da X a Y assegna ad ogni elemento x di X uno ed un solo elemento f(x) di Y. Dato x ∈ X l'elemento y = f(x) ∈ Y è l'immagine di x tramite f, mentre, dato y ∈ Y, un elemento z ∈ X tale che f(z) = y è una controimmagine di y. Si scrive:

f: X → Y

per indicare il fatto che f è una funzione da X a Y. L'insieme X si chiama "dominio" della funzione e l'insieme Y "codominio" della funzione. L'immagine Im f della funzione f è il sottoinsieme di Y costituito dalle immagini degli elementi di X tramite la funzione, ossia:

Im f = {y ∈ Y | ∃x ∈ X f(x) = y}

Per indicare l'immagine di f si ha anche la notazione Im f = {f(x) | x ∈ X}. Osserviamo che l'immagine Im f è il sottoinsieme degli elementi di Y che possiedono almeno una controimmagine. Quindi una funzione è specificata da una coppia di informazioni: il codominio, se dominio e la legge che spiega come assegnare ad ogni elemento del dominio la sua immagine. Due funzioni f e g sono uguali se e solo se hanno lo stesso dominio, lo stesso codominio e per ogni x nel comune dominio si ha f(x) = f(g).

Funzioni iniettive

Consideriamo una funzione f: X → Y. Se per ogni elemento y ∈ Y c'è una e una sola controimmagine (cioè una o nessuna), la funzione si dice iniettiva. Questo si può esprimere anche scrivendo la seguente proposizione a proposito della f:

∀x₁, x₂ ∈ X x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

o in modo equivalente, invertendo la condizione dell'implicazione:

∀x₁, x₂ ∈ X (x₁) = (x₂) ⇒ x₁ = x₂

Non c'è nessun elemento di Y su cui arrivano due frecce, quindi è funzione iniettiva.

Funzioni surgettive

Consideriamo una funzione f: X → Y. Se ogni elemento y ∈ Y ha almeno una controimmagine, la funzione si dice surgettiva. Questo si può esprimere anche scrivendo la seguente proposizione:

∀y ∈ Y ∃x ∈ X (x) = y

Funzioni bigettive

Consideriamo una funzione f: X → Y. Se f è sia iniettiva che surgettiva, allora si dice bigettiva. Questo si può esprimere anche dicendo che ogni elemento x ∈ Y ha esattamente una controimmagine, scrivendo la seguente proposizione:

(∀x₁, x₂ ∈ X x₁ ≠ x₂ ⇒ (x₁) ≠ (x₂)) ∧ (∀y ∈ Y ∃! x ∈ X (x) = y)

Grafico di una funzione

Siamo abituati a rappresentare una funzione f: R → R con un grafico sul piano cartesiano. Oggi discuteremo brevemente cosa è un generico grafico di una funzione. Consideriamo una funzione f: X → Y. Il grafico di f è il sottinsieme Gf di X × Y definito da:

Gf = {(x, y) ∈ X × Y | y = f(x)}

Equivocabilmente possiamo dire che Gf è il sottinsieme di X × Y definito da:

Gf = {(a, f(a)) | a ∈ X}

Esempio

Consideriamo la funzione:

f: {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3} definita da: f(1) = 3, f(2) = 2, f(3) = 3, f(4) = 3. Il suo grafico è il sottinsieme di {1, 2, 3, 4} × {1, 2, 3}.

Quindi: Gf = {(1, 3), (2, 2), (3, 3), (4, 3)}

Composizione di funzioni

Dati tre insiemi X, Y e Z e due funzioni:

f: X → Y

g: Y → Z

è possibile definire una nuova funzione che ha come dominio X e come codominio Z. La funzione f composta con g è la funzione:

g o f: X → Z

tale che, per ogni x ∈ X, g o f (x) = g(f(x)).