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FUNZIONI
Consideriamo due insiemi: X e Y.
Una funzione f da X a Y assegna ad ogni elemento x di X uno ed un solo elemento f(x) di Y. Dato x ∈ X l'elemento y = f(x) ∈ Y è l'immagine di x. Inoltre, se esiste y ∈ Y, un elemento z ∈ X tale che f(z) = y si dice controimmagine di y. Si scrive: f : X → Y
Per indicare il fatto che f è una funzione da X a Y.
L'insieme X si chiama "dominio" della funzione e l'insieme Y "codominio" della funzione. L'immagine Im f della funzione è il sottoinsieme di Y costituita dalle immagini degli elementi di X tramite la funzione, ossia:
Im f = {y ∈ Y | ∃ x ∈ X f(x) = y}
Per indicare l'immagine di f si ha anche la notazione:
Im f = {f(x) | x ∈ X}
Osserviamo che l'immagine di f è il sottoinsieme degli elementi di Y che hanno almeno una controimmagine.
Quindi una funzione è specificata da una terna di informazioni: X=Codominio, Y=Codominio e la legge che spiega come assegnare ad ogni elemento del dominio la sua immagine f.
Due funzioni f e g sono uguali se e solo se hanno lo stesso dominio, lo stesso codominio e per ogni x nel comune dominio si ha f(x) = f(g)
VEDI POSSIBILI ESEMPI SU DISPENSE.
FUNZIONI INIETTIVE
Consideriamo una funzione f : X → Y. Se per ogni elemento y ∈ Y c'è al più una controimmagine (cioè ne ha zero o una sola), la funzione si dice iniettiva. Questo si può esprimere anche scrivendo la seguente proposizione a supporto della f:
∀ x1, x2 ∈ X x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2)
o in modo equivalente, invertendo la condizione nelle dell'implicazione:
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