Macchine Termiche e il Secondo Principio della Termodinamica

W V

    

TOT 1 2 2

a 1

C V T T

Q b

1 1 1

nRT ln

1 V

a

T

   essendo sempre e

2 < 1, T >0 T < T .

2.2 1 2 2 1

C T

1

Si noti che il rendimento di una macchina di Carnot dipende solo dal rapporto delle

temperature delle sorgenti con cui si scambia calore (e non dal numero di moli, dalle

pressioni e volumi in gioco).

Osservazione.

Dalla definizione di rendimento, rel 2.1, e dalla 2.2, segue per una macchina di Carnot

che: T Q T Q Q Q

        

2 2 2 2 1 2

1 1

C T Q T Q T T

1 1 1 1 1 2

ossia in una macchina di Carnot i calori scambiati con le sorgenti sono inversamente

proporzionali alle temperature delle sorgenti stesse.

28/03/11 Lezioni di Fisica per CTF –MdP 7

3) Cicli che scambiano calore con più sorgenti di calore

Diversamente dal ciclo di Carnot, il passaggio fra la temperatura dell’espansione

T

1

 

e la temperatura (< ) della successiva compressione isoterma

isoterma a b T T c d

2 1

può essere fatto tramite delle trasformazioni isocore, come rappresentato in ,

fig. 7

ottenendo il cosiddetto . Per il primo principio, nelle trasformazioni

ciclo di Stirling

isocore di un gas ideale (in cui ) la variazione della temperatura è conseguente

W = 0   

del fluido motore ( ) con una sorgente a

allo scambio di calore Q Q = U T

Int

temperatura variabile gradualmente e con

e

continuità fra le due temperature limite T

1



. Ovviamente nella trasformazione il

T b c

2

fluido motore cede un calore poiché la

Q

temperatura diminuisce, viceversa nella

 dove è invece

trasformazione d a

assorbita la stessa quantità di calore Q.

In questo ciclo lo scambio di calore avviene

quindi durante tutte le quattro

trasformazioni e con più sorgenti a

temperature diverse comprese fra e ,

T T

1 2

pertanto anche se il fluido fosse un gas

ideale, il rendimento non può essere

ma deve essere usata

calcolato con la 2.2

direttamente la sua definizione (rel. 1.1): Fig. 7

    

W Q | Q | Q Q | Q | | Q | Q | Q |

    

ciclo ass ced 1 2 1 2

3.1  

Q Q Q Q Q Q

ass ass 1 1

È evidente, confrontando la 3.1 con la 2.1, che il rendimento del ciclo di Stirling che

operi fra le temperature limite e è minore del rendimento di un ciclo di Carnot che

T T

1 2

operi fra le stesse due temperature.

Altri esempi di cicli che scambiano calore con più sorgenti a temperature diverse sono

mostrati in , dove il fluido motore è, nel ciclo Otto, una miscela di benzina-aria e

fig. 8

nel ciclo Diesel una miscela nafta-aria considerati gas ideali. Si tralascia il calcolo dei

rispettivi rendimenti.

28/03/11 Lezioni di Fisica per CTF –MdP 8

Ciclo dI Otto (motore a scoppio) Ciclo Diesel

 

  o a a b

o a a b

       

c d d a o

b c d d a o

b



 



 

 o a : Aspirazione a pressione

o a : Aspirazione a pressione costante

costante 

 b: Compressione adiabatica

a

b: Compressione adiabatica

a (perchè rapida)

(perchè rapida) 

 =nc (T T ); Q =0

W

=nc (T T ); Q =0

W ab V a b ab

ab V a b ab 

 c: Autocombustione graduale

b

c: Autocombustione graduale

b della miscela

della miscela 

 =p (V V )

W

=p (V V )

W bc b c b

bc b c b 

 = nc (T T )

Q

= nc (T T )

Q bc P c b

bc P c b 

 b: Espansione adiabatica

c

b: Espansione adiabatica

c (perchè rapida)

(perchè rapida) 

 a: Decompressione

d

a: Decompressione

d (apertura valvola)

(apertura valvola) 

 =0; Q = nc (T T )

W

=0; Q = nc (T T )

W da da V a d

da da V a d 

 a: Scarico

o

a: Scarico

o fig. 8a fig. 8b

28/03/11 Lezioni di Fisica per CTF –MdP 9

4) La macchina frigorifera

Se il ciclo su cui si basa una macchina termica è fatto solo di trasformazioni reversibili,

come quelli fin qui visti, esso può essere svolto in verso opposto; ossia, con riferimento

alla in verso antiorario. In questo verso, nella fase di compressione il lavoro è

fig. 2,

( ) mentre nella successiva fase di espansione il lavoro è (

W > 0 fig. 2b W < 0, fig.

 

B A A B

)

.

2a

Il lavoro totale fatto compiendo un ciclo è:

ossia è un lavoro fatto .

W = W = W +W < 0 dall’esterno sul sistema

  

ciclo A A B A A B

Per quanto visto nel circa le temperature a cui si scambia calore in un ciclo di una

par.1

macchina termica, possiamo dire che se il relativo ciclo è percorso in senso inverso si ha

che il fluido motore preleva calore dalle sorgenti a temperature più basse

Q

sc,Tbasse

usando un lavoro esterno e cede calore alle sorgenti a temperatura più alte In

Q .

sc,Talte

questo caso, dalla , segue:

rel. 1.1

 

= | | con

Q |Q < 0 Q < |Q

W ciclo sc,Tbasse sc,Talte sc,Tbasse sc,Talte

|.

| Q | = Q + |W

4.1 sc,Talte sc,Tbasse ciclo

In conclusione, si realizza una macchina termica, detta il cui

macchina frigorifera,

schema di principio è dato in , che usando un lavoro esterno preleva calore dalle

fig 9

sorgenti a più bassa temperatura e lo cede alle sorgenti a temperature più alte

soddisfacendo alla rel. 4.1.

T T

alta,1 alta,2 

Q = Q + Q +

sc,.Talte a,1 a,1

     

Q Q

a,1 a,2

Macchina frigorifero

W      

Q

Q b,2

b,1 

Q = Q + Q +

sc,Tbasse b,1 b,1

T T

bassa,1 bassa,2 Fig. 9

28/03/11 Lezioni di Fisica per CTF –MdP 10

Per caratterizzare una macchina frigorifera, usata per trasferire calore da una sorgente



fredda ad una a temperatura più alta, più utile del rendimento è l’ :

efficienza

| Q | | Q |

  

sc ,

Tbasse 2



| W | Q | Q |

ciclo 1 2

dove la seconda vale, con ovvio significato dei simboli, per un ciclo che scambia calore

solo con due temperature e con > .

T T T T

1 2 1 2





1

 

Usando la 1.1, si trova che:  



| Q | | Q | | Q |

1 1 1

 

 

     

sc ,

Tbasse sc ,

Tbasse sc ,

Tbasse .

infatti 1

   

| W | Q Q

ciclo sc ,

Talte sc ,

Talte

28/03/11 Lezioni di Fisica per CTF –MdP 11

5) Il secondo principio delle termodinamica

Studiando i meccanismi di trasformazione e di trasferimento del calore si riscontra

sperimentalmente che:

a) il rendimento di una macchina termica è sempre minore di 1 ovvero il calore

ceduto alle sorgenti a temperature più basse non è mai zero e pertanto il calore

assorbito dalle sorgenti di calore a temperature più alta non è mai interamente

trasformato in lavoro.

b) Non si osserva mai il passaggio spontaneo di calore da un corpo a temperatura più

bassa verso un corpo a temperatura più alta.

Entrambe le situazioni potrebbero avvenire in compatibilità con il primo principio della

termodinamica, ovvero con la conservazione dell’energia.

Il fatto che non si osservino sta a indicare l’esistenza di un verso naturale con cui

; le trasformazioni procedono in natura in un certo

procedono spontaneamente gli eventi

verso, ma non nel verso opposto. Questa direzionalità della natura è espressa dal

secondo principio della termodinamica.

In conseguenza delle due evidenze sperimentali, nella termodinamica classica esistono

due formulazioni equivalenti di questo principio. Esse sono:

È impossibile realizzare una trasformazione ciclica il cui unico risultato sia la

1.

trasformazione in lavoro di tutto il calore assorbito da una sorgente (formulazione di

Kelvin-Planck); ovvero non esistono macchine termiche perfette (o ideali) il cui

rendimento sia pari al 100%.

È impossibile realizzare una trasformazione ciclica il cui unico risultato sia

2.

quello di trasferire calore da un corpo più freddo a uno più caldo (formulazione di

Clausius); ovvero non esistono macchine frigorifero perfette (o ideali).

Nella termodinamica moderna, il secondo principio è associato, tramite una grandezza

detta , al concetto che lo stato termodinamico più probabile è quello più

entropia

disordinato. Ma qui non discuteremo questo.

Limitandoci a macchine che scambiano calore con due sole sorgenti, in è

fig. 9a

riportato lo schema di una macchina termica ideale (che viola il secondo principio) e in

quello di una macchina termica reale (coerente con il secondo principio); lo

fig. 9b

stesso in per una macchina frigorifera. Nelle figure si è indicato con e le

fig. 10 T T

1 2

28/03/11 Lezioni di Fisica per CTF –MdP 12

temperature delle due sorgenti di calore in uso, con , con e il calore

T > T Q Q

1 2 1 2

scambiato alle corrispondenti temperature e con il lavoro in gioco.

W

Fig. 9a Fig. 9b

Fig. 10b

Fig. 10a

28/03/11 Lezioni di Fisica per CTF –MdP 13

6) Equivalenza fra le due precedenti formulazioni

Vogliamo ora dimostrate che i due enunciati sono equivalenti. Ciò sarà dimostrato

osservando che se si nega la validità di un enunciato, necessariamente saremmo costretti

a negare anche l’altro (dimostrazione per assurdo).

Supponiamo che esista una macchina frigorifera ideale, ma non esista una macchina

termica ideale, come schematizzato in .

fig. 11a

La macchina frigorifera ideale trasferisce un calore dalla temperatura alla

Q T

2 2

temperatura senza impiego di lavoro. La macchina termica reale è tale da

T (T > T )

1 1 2

assorbire un calore alla temperatura e cedere esattamente il calore alla

Q T Q

1 1 2



, compiendo un lavoro

temperatura T W = Q Q .

2 1 2

Fig. 11a Fig. 11b

Immaginiamo di far operare le due macchine insieme (rettangolo verde), otteniamo una

macchina termica schematizzata in che trasforma in lavoro tutto il calore (

fig. 11b W Q 1

 ) prelevato da , ovvero otteniamo una macchina termica ideale che si è assunto

Q T

2 1

non esistere; quindi è errata l’affermazione di partenza.

28/03/11 Lezioni di Fisica per CTF –MdP 14

Supponiamo che esista una macchi