Logica e filosofia della scienza

Q.E.D.

–

Se a un argomento valido si aggiungono nuove premesse si ottiene ancora un argomento valido.

Ovvero: • Se p1,…, pn q, allora p1,…, pn,pn+1,…, pn+k q

Dimostrazione.

• L’insieme delle righe in cui p1,…, pn, pn+1,…, pn+k sono tutti veri è un sottoinsieme delle righe

in cui p1,…, pn sono tutti veri. Se pertanto in tutte le righe in cui p1,…, pn sono tutti veri anche q è

vero, a fortiori q sarà vero in tutte le righe in cui p1,…, pn, pn+1,…, pn+k sono tutti veri.

le tautologie sono quegli enunciati veri solamente in virtù del significato dei connettivi, così come

definito in virtù delle rispettive regole semantiche. Ciò non significa che tali regole siano frutto di

convenzioni arbitrarie, la questione è tuttavia oggetto di dibattito filosofico.

Tali connettivi si applicano a enunciati completi dando luogo ad altri enunciati “nuovi”. Il fatto che

  

ogni enunciato della forma ( ~ ) sia una tautologia non rappresenta una verità sul mondo o sulle

leggi del pensiero, bensì segue solo il significato attribuito ai connettivi.

La logica categorica.

Un argomento o sillogismo è formato da tre proposizioni:

-due premesse

-una conclusione.

Ognuna di queste è della forma soggetto-predicato e può essere:

-Affermativa:

universale ( a come Affirmo)

particolare (i come affIrmo)

-negativa

universale ( e come nEgo)

particolare ( o come negO)

La quantità di una proposizione è data dall'appartenenza a una delle categorie di universale o

particolare, mentre la qualità dipende dall'essere affermativa o negativa.

Ogni proposizione contiene due termini non logici che fungono una da soggetto e l'altra da

predicato. L'unico connettivo vero-funzionale è considerato non.

Nel sillogismo occorrono in tutto tre termini, di questi, quello che occorre in entrambe le premesse è

detto medio, dalla sua posizione dipende l'appartenenza a una data figura del sillogismo. Gli altri

due termini sono detti estremi, quello che occorre come soggetto della conclusione è l'estremo

minore, quello che occorre come predicato della conclusione è invece l'estremo maggiore. La

premessa contenente l'estremo maggiore è detta premessa maggiore, l'altra, contenente l'estremo

minore è detta premessa minore.

I sillogismi, come già detto si dividono in 4 figure a seconda della posizione del medio nelle

premesse.

Nella I figura: il medio è soggetto della premessa maggiore e predicato di quella minore, es:

Tutti gli uomini sono mortali

Qualche sardo è uomo

_____________________

Qualche sardo è mortale.

II figura:il medio occorre come predicato in entrambe le premesse, es:

Tutti gli dei sono immortali.

Nessun uomo è immortale.

_____________________

Nessun uomo è dio.

III figura:il medio occorre come soggetto in entrambe le premesse, es:

Tutti gli uomini sono mortali.

Tutti gli uomini sono razionali.

_____________________

Qualche razionale è mortale.

IV figura: il medio è predicato nella premessa maggiore e soggetto nella minore, es:

Tutti gli uomini sono mortali.

Tutti i mortali sono terrestri.

____________________

Qualche terrestre è uomo.

Oltre alle figure i sillogismi sono classificati a seconda della quantità e della qualità delle

proposizioni che lo compongono, per ognuna delle 4 figure c'è una lista di forme valide, o modi che

dipendono essenzialmente dalla quantità e qualità di premesse e conclusione. C'è una serie di parole

usate per memorizzare tutti i modi, e in queste parole le vocali indicano la quantità e la qualità dei

modi delle varie figure cui si riferiscono.

I figura – Barbara, Celarent, Darii, Ferio.

II figura – Cesare, Camestres, Festino, Baroco.

III figura – Darapti*, Felapton* Disamis, Datisi, Bocardo, Ferison.

IV figura – Bramantip*, camenes, dimaris, fesapo*, fresison.

Attraverso la tavola dei 19 modi siamo in grado di costruire qualsiasi sillogismo valido, ciò non

fornisce tuttavia una semantica analoga quella delle tavole di verità che ci mostri la ragione per la

quale un sillogismo è valido. Una semantica informale è però fornita dai cosiddetti Diagrammi di

Venn.

Con tali diagrammi si ricorre sempre alla stessa figura, si anneriscono le zone vuote e con una

crocetta si identificano le aree non vuote nella quale risiede la conclusione, le altre aree restano

indeterminate. I diagrammi di Venn consentono di provare la validità di un modo sillogistico

rappresentando con le ombreggiature e le crocette le zone piene e vuote, quindi le premesse e la

conclusione, quest'ultima appare automaticamente constatabile guardando il diagramma.

Provando a fare il diagramma di taluni modi, come daraprti, felapton nella terza, bramantip e

fesapo nella quarta, notiamo come la conclusione non risulta già rappresentata nel diagramma.

La ragione di ciò è che i diagrammi funzionano per i modi sillogistici spiegati dalla logica moderna,

ma non da quella antica e medievale. Secondo la logica aristotelica, infatti, una proposizione

affermativa del tipo “tutti gli A sono B” presuppone che l'insieme A non sia vuoto, cioè che ci sia

almeno un A, come d'altronde presuppone anche il comune linguaggio. Lasciando cadere tale

presupposizione, però ci si discosta notevolmente dal linguaggio ordinario. Due proposizioni come

“Tutti gli A sono B” e “Nessun A è B” sono, secondo la logica aristotelica incomptibili, mentre lo

sono per quella moderna, a patto che l'insieme A sia vuoto. Due proposizioni categoriche sono

invece incompatibili per entrambe le logiche. Per usare i diagrammi di Venn in questi modi per così

dire “particolari”, è necessario introdurre il concetto di “portata esistenziale” occorre quindi

aggiungere un segno “x” nell'area non contrassegnata come vuota del soggetto delle premesse in A.

Sostanzialmente questa operazione ci porta ad ammettere che l'insieme che andiamo a considerare

nella rappresentazione del diagramma di Venn non sia vuoto, ammettiamo quindi l'esistenza di

almeno un elemento che gli appartiene.

Aristotele considerava inferenze dirette anche quelle con una sola premessa, pur non considerandole

sillogismi, quanto piuttosto equivalenze, ovvero modi per esprimere il contenuto di un enunciato in

un altra forma verbale. Secondo Aristotele il sillogismo vero e proprio contiene nella conclusione

qualcosa che non è detto nelle premesse, secondo lui il sillogismo è pertanto ampliativo, consente

quindi di accrescere la conoscenza, poiché la conclusone non è una mera riformulazione delle

premesse. Bisognerà attendere fino al 1600 circa perché il carattere di non ampliatività fpsse

interamente riconosciuto.

L' obversione è sostanzialmente il processo di sostituzione che porta all'inversione della qualità

della proposizione, e nel sostituire il predicato col suo negativo. I risultato sarà diverso a seconda

della proposizione cui lo si applica:



• A. Tutti gli M sono S Nessun M è non-S



• E. Nessun M è S Tutti gli M sono non-S



• I. Qualche M è S Qualche M non è non-S



• O. Qualche M non è S Qualche M è non-S

la verifica delle obversioni è immediata, se nessun M è S infatti allora tutti gli M saranno non-S e

viceversa, perché tutti stanno al di fuori della zona di intersezione.

Il processo di conversione consiste invece nello scambiare soggetto e predicato di una qualsiasi

premessa. A differenza delle obversioni, le conversioni non sono sempre valide:

Se una proposizione della forma A è vera, allora non lo è necessariamente la sua conversa

– 

(tutti gli uomini sono mortali Tutti i mortali sono uomini);

Se una proposizione della forma E è vera allora lo è necessariamente la sua conversa della

– 

forma E (Nessun uomo è mortale Nessun mortale è uomo);

Se una proposizione della forma I è vera allora lo è necessariamente la sua conversa della

– 

forma I (Qualche uomo è mortale Qualche mortale è uomo)

Se una proposizione della forma O è vera allora non è necessariamente vera la sua conversa.

– • In pratica: sono valide solo le conversioni di proposizioni delle forme E e I.

Data una proposizione P, la sua contrapposta si ottiene facendo la conversione di P e ottenendo la

sua conversa S, rimpiazzando poi in S i suoi termini coi rispettivi negativi, ottendendo la

contrapposta R di P.

Es. P = Tutti gli uomini sono mortali

S = Tutti i mortali sono uomini

– R = Tutti i non-mortali sono non-uomini.

–

La contrapposizione è sempre valida se P ha forma A oppure O, ma non quando P ha forma E

oppure I.

QUADRATO ARISTOTELICO.

Aristotele sosteneva che i sillogismi di I figura avessero un carattere privilegiato, la loro validità

sarebbe infatti, secondo lui, immediatamente evidente in senso “oggettivo”. Le ragioni non sono

puramente formali, ma in parte ontologiche, in parte gnoseologiche. Secondo il celebre filosofo,

solo quelli di prima figura sarebbero esplicativi, poiché solo in essi il medio formale coincide con

quello reale, ovvero la causa della conclusione. Egli si era limitato alla riconduzione di tutti i modi a

quelli della prima figura con conclusione universale, i sillogismi in “Barbara” e in “Celarent”.

La riconduzione avviene mediante una serie di passaggi e inferenze dirette. Con l'introduzione delle

obversioni si è mostrato che anche i sillogismi in “celarent” sono riconducibili a “Barbara”.

La logica dei predicati.

Costituisce una estensione della logica degli enunciati, in quest'ultima l'analisi degli enunciati

atomici è trascurata, mentre è fulcro della logica dei predicati. La struttura considerata è sempre

quella soggetto predicato, ma in maniera tale da includere nei predicati anche le relazioni, infatti i

termini universali aristotelici, proprietà o attributi, sono un caso particolare di relazione, e pertanto

non è necessaria una logica distinta. I soggetti non possono fungere allo stesso tempo da predicati o

relazioni.

Relazioni 1:

-Nella logica aristotelica si prendono in considerazione solo predicati che sono nomi di attributi,

come 'mortale' , 'uomo' ecc. per Aristotele mentre un attributo “inerisce”al soggetto e quindi è

relativo alla categoria di sostanza, la “relazione&rdqu