Logaritmo complesso

Logaritmo complesso

Logaritmo e^x = y ↔ log y = x log ye¹ = y   log e^x = x z = e^w ↔ w = log z.

Ricerca di w dato z

Dato z cerco w tale che z = |z| [cos (Arg z) + i sin (Arg z)]. Voglio w = u + iv.

Voglio z e^{[cos (Arg z) + i sin (Arg z)]} = e^u (cos v + i sin v).

• |z| = e^u ↔ u = log |z| → parte reale
• Arg z = v

Log z = log |z| + i Arg z

Log z è definito per z ≠ 0.

Log z è continuo in ℂ^*.

Definizione del logaritmo complesso

LOGARITMO e^x = y ⇔ log y = x e^logy = y ⇔ log e^x = x z ≠ 0 ⇔ w = log z.

Dato z cerco w tale che (2) z = |z| [cos (Arg z) + i sin (Arg z)]. Voglio z = [cos (Arg z) + i sin (Arg z)]. Voglio e^u (cos v + i sin v).

w = u + iv

Cerco u e v:

• |z| = e^u ⇔ u = log |z| (perché parte reale)
• Arg z = v

Log z = log |z| + i Arg z

Log z è definito per z ≠ 0 ∈ ℂ^*.

Log z è continuo in ℂ^**.

Esempi di logaritmi complessi

• Log(-2) = log2 + iπ
• Logz = logρ + iθ
• z = x + iy
• Logi = iπ/2
• Log(1 + i) = log√2 + iπ/4
• Logz := log|z| + iπ Arg z = logρ + iθ

La derivata del logaritmo

ƒ(ρ,θ) = _∂∂ρ 1_ρ + _∂∂θ 1_iρ : 1_ρ = ?_∂∂ρ 1_i*iƒ'(z) = 1_{e^iθ ∂}∂ρ 1_e^iθ 1_ρ = 1_z ∀ z ∈ ℂ

Esercizi

ƒ(z)=Log(ƒ(z))

g(z) = Re g(z) + i Im g(z)  Log(z-5)      z-5 = x-5 + iy

e' def. in ℂ \ { z; g(z) = 0 }   (0, 5]ℂ** = { z = x + iy; x ≤ 0, y ≠ 0 }

È continue e domorfe   { z ; Re g(z) ≤ 0, Im g(z) ≠ 0 }         { z = x + iy; x-5

• e^x cos (kπ) = -e → e^x (-1)^k = -e
• sin y = 0 → y = kπ, k ∈ ℤ
• y = (2m+1) π, x=1 k = 2m+1 k ∈ ℤ

e^x + e ≤ 0 e^x ≥ e x > 1