Limite infinito in un punto all'infinito

Limite infinito in un punto all'infinito

Limite infinito in un punto all'infinito

Consideriamo una funzione f: X ⊆ R non limitata superiormente o inferiormente. Si esamina il comportamento del limite all'infinito.

Limite tendente a più infinito

Se lim x → +∞ f(x) = +∞, allora:

• ∀ K > 0, ∃ x̅ ∈ X tale che ∀ x ∈ X, se x > x̅, allora f(x) > K
• ∀ I ∈ +∞, ∃ x̅ ∈ X tale che ∀ x ∈ I \ ∞ ∩ X, f(x) ∈ I \ +∞

Limite tendente a meno infinito

Se lim x → +∞ f(x) = -∞, allora:

• ∀ K, esiste x̅ tale che f(x) ∀ I \ +∞, ∃ x̅ ∈ X tale che ∀ x ∈ I \ ∞ ∩ X, f(x) ∈ I \ -∞

Limite a meno infinito

Se lim x → -∞ f(x) = +∞, allora:

• ∀ K > 0, ∃ x̅, tale che ∀ I \ +∞, ∃ x̅ ∈ X tale che ∀ x ∈ I \ ∞ ∩ X, f(x) ∈ I \ +∞

Se lim x → -∞ f(x) = -∞, allora:

• ∀ K > 0, ∃ x̅ ∀ I \ -∞, ∃ x̅ ∈ X tale che ∀ x ∈ I \ ∞ ∩ X, f(x) ∈ I \ -∞

Definizione unificata

x₀ ∈ R_{^-, ⁺}, ∃ e ∈ R, quindi:

Se lim x → x₀ f(x) ∈ I allora ∀ I ∃ δ > 0 ∃ I \ x₀, ∃ x₀ ∈ I \ X \ { x₀}, f(x) ∈ I \ e