Limite f x l per x che tende all infinito

La definizione di limiti

Definizione di limite finito di una funzione per x che tende a +∞

Dicendo «x tende a +∞» intendiamo dire che consideriamo valori di x sempre più grandi e tali da superare qualsiasi numero reale positivo c fissato.

Si dice che una funzione f(x) tende al numero reale l per x che tende a +∞ e si scrive:

_lim^x→+∞ f(x) = l

quando, comunque si scelga un numero reale positivo ε, si può determinare un intorno I di +∞ tale che:

|f(x) - l| < ε per ogni x ∈ I.

Considerato che un intorno di +∞ è costituito da tutti gli x maggiori di un numero c, possiamo dire che:

_lim^x→+∞ f(x) = l se:

∀ε > 0 ∃c > 0 ||f(x) - l| < ε, ∀x > c.

L'interpretazione della definizione è data nella figura 18.

• Fissiamo ε > 0. Individuiamo c₁ > 0 tale che |f(x) − ℓ| < ε per ogni x > c₁, ossia per ogni punto dell'intorno di +∞: ]c₁, +∞[.
• Se ε diventa più piccolo, la disuguaglianza |f(x) − ℓ| < ε si mantiene per ogni x > c₂ > c₁.
• Scegliamo ε ancora più piccolo. In genere, perché f(x) sia distante da ℓ meno di ε, dovremo prendere c₃ ancora più grande.

Ciò significa che, al crescere dei valori di x, f(x) si avvicina al valore ℓ.

x tende a -∞

Il caso in cui «x tende a -∞» è analogo al precedente.

Definizione di limite finito di una funzione per x che tende a -∞

Si dice che una funzione f(x) ha limite reale l per x che tende a -∞ e si scrive:

lim_x→-∞ f(x) = l

se per ogni ε > 0 fissato è possibile trovare un intorno I di -∞ tale che risulti:

|f(x) - l| < ε per ogni x ∈ I.

In simboli, lim_x→-∞ f(x) = l se:

∀ε > 0 ∃c > 0 ||f(x) - l| < ε, ∀x < -c.

Esempi di verifica di questo tipo di limite e di quello precedente si trovano negli esercizi guida.

Un intorno di -∞ può essere determinato considerando gli x per i quali x < -c, con c > 0, ossia x ∈ ]-∞; -c[.