definizione limite f x l per x che tende a x0

La definizione del limite di una funzione

Sia D un sottoinsieme di ℝ. Consideriamo la funzione f: D ➝ ℝ, y = f(x) e supponiamo che il suo grafico sia quello rappresentato nella figura:

Comportamento vicino a un punto

a- Nel caso di una funzione f come quella disegnata in figura vediamo che se x si avvicina a x₀, allora f(x) si avvicina a ℓ = f(x₀).

b- Possiamo porre la stessa domanda anche nel caso in cui x₀ è un punto di accumulazione per D, ma x₀ ∉ D e quindi l'espressione f(x₀) non ha significato. A quale valore ℓ si avvicina f(x) quando x si avvicina a x₀?

Descrizione della proprietà con uno strumento matematico

Introduciamo uno strumento matematico che permetta di descrivere con precisione la proprietà che vediamo nella figura: più scegliamo x vicino al valore x₀, e più la sua immagine f(x) si avvicina a un certo valore ℓ.

Consideriamo, per esempio, la funzione:

y = f(x) = 2x² - 6x, x ≠ 3, definita in D = ℝ - {3}. Vogliamo studiare il comportamento della funzione vicina al punto x = 3.

Osserviamo che f(x) non è definita in 3, quindi non ha senso considerare f(3). Cerchiamo allora a quale valore f si avvicina la funzione quando x si approssima al valore 3.

Calcolo delle immagini vicine al punto di interesse

Diamo alla variabile x dei valori che si avvicinano sempre più (per eccesso o per difetto) a 3 e calcoliamo le loro immagini f(x), come indicato nella seguente tabella:

Vediamo che quanto più x si avvicina a 3, tanto più f(x) si avvicina al valore 6.

Descrizione del comportamento generale

Più in generale, se prendiamo un qualunque valore di x in un intorno di 3 sempre più piccolo, allora f(x) si trova sempre più vicino a 6, cioè si trova in un intorno di 6 sempre più piccolo. Per comodità, consideriamo degli intorni circolari.

Possiamo allora dire che, se consideriamo un qualunque intorno circolare di 6 di ampiezza ε, che indichiamo con I_ε(6), esiste sempre un intorno di 3 i cui punti x (con x ≠ 3) hanno immagine f(x) contenuta in I_ε(6).

Calcolo delle soluzioni di una disequazione

Ricordiamo che i punti di un intorno circolare I(f(x)) sono i numeri reali x tali che |x-x₀| Infatti i punti di tale intorno sono quei valori di x che soddisfano la disequazione |f(x) - 6|, ossia, |^2x-6x+18/_x-3 - 6|. Svolgendo i calcoli, otteniamo: |^2x-6x+9/_(x-3)| |²/_x-3|, cioè 3 - e/2.

Quindi le soluzioni della disequazione sono i punti dell'intorno I(f(x)) = ]3 - e/2; 3 + e/2[.

Riassunto del comportamento

Riassumendo: per ogni e > 0 esiste un intorno I(f(x)), che dipende da e tale che per ogni x ≠ f(x), con x ≠ 3, |f(x) - 6|. Possiamo osservare questa proprietà anche sul grafico della funzione in figura 8.

Osserviamo che in corrispondenza di un intorno circolare I_l di r_e resta un intorno circolare di stesso immagine è contenuta in I_g.

Diciamo allora che per x che tende a 3, f(x) ha limite 6, e scriviamo: lim_x->3f(x) = 6.

Considerazioni finali sul punto di accumulazione

Come abbiamo visto, non è necessario che il punto x₀ = 3 appartenga al dominio D della funzione, ma poiché dobbiamo considerare le immagini di punti sempre più vicini a x₀, occorre che la funzione sia definita in questi punti. Ciò significa che x₀ deve essere un punto di accumulazione per D.