definizione limite f x l per x che tende a x0

LA DEFINIZIONE DI _x→x₀ f(x) = ℓ

Sia D un sottoinsieme di R. Consideriamo la funzione f : D → R, y = f(x) e supponiamo che il suo grafico sia quello rappresentato nella figura:

• a - Nel caso di una funzione f come quella disegnata in figura vediamo che, se x si avvicina a x₀, allora f(x) si avvicina a l = f(x₀).
• b - Possiamo porre la stessa domanda anche nel caso in cui x₀ è punto di accumulazione per D, ma x₀ ∉ D e quindi l’espressione f(x₀) non ha significato. A quale valore l si avvicina f(x) quando x si avvicina a x₀?

Introduciamo uno strumento matematico che permetta di descrivere con precisione la proprietà che vediamo nella figura: più scegliamo x vicino al valore x₀ e più la sua immagine f(x) si avvicina a un certo valore l.

In generale, possiamo dare la seguente definizione.

DEFINIZIONE

Limite finito per x che tende a x₀ Si dice che la funzione f(x) ha per limite il numero reale l per x che tende a x₀, e si scrive

lim_x→x0 f(x) = l,

quando, comunque si scelga un numero reale positivo ε, si può determinare un intorno completo I di x₀ tale che risulti

|f(x) - l| < ε

per ogni x appartenente a I, diverso (al più) da x₀.

In simboli, la definizione si può formulare così:

∀ε > 0 ∃I(x₀) |f(x)-l| < ε, ∀x∈I(x₀), x ≠ x₀.

• La validità della condizione |f(x)-l| < ε, presuppone che f(x) sia definita in I (escluso al più x₀).
• Il punto x₀ è di accumulazione per il dominio della funzione. Non ci interessa il valore che la funzione f(x) assume eventualmente in x₀.
• ∀ significa comunque, per ogni — ∃ significa esiste, significa tale che.