Limite di una successione e trigonometriche

SUCCESSIONI DIVERGENTI

∀ > > ←

M 0∃ ń :∀ n> ń , a M , a M

Definizione: data una successione a , se , allora a

n n

n n

=+

lim a ∞

diverge a + e si indica con

∞ n

n →∞

In parole, da un indice in poi la successione si troverà sopra il numero M, anche

se va verso il basso (l’equazione associativa è |a |> M), si noti che una

n

successione del genere non è limitata superiormente, se invece converge a -

, non è limitata inferiormente.

∞

A questo punto si è arrivati a tre tipi di limiti: convergenti (valore fisso a),

divergenti (più o meno infinito) e limite non esistente.

SUCCESSIONI LIMITATE

Definizione: a è limitata se la successione per ogni n appartenente ad N è

n | |

<

a M

limitata, questo SE E SOLO SE esiste un M>0 tale che , ad esempio (-

n

1) è tale che |(-1) | 1

n n ≤

In generale le successioni limitate convergono, come visto dalla successione

sopra.

Teorema: Sia a una successione convergente, allora a è limitata.

n n

Dimostrazione: sul quaderno.

Supponiamo adesso due successioni a e b che hanno i loro rispettivi limiti a e

n n

b appartenenti a R, la somma delle successioni è uguale alla somma dei

rispettivi limiti a e b, stessa cosa vale col prodotto, ma col quoziente b e b

n

devono essere diversi da 0.

Dimostrazione: sul quaderno.

FORME INDETERMINATE

Quando si trattano i limiti di successioni e funzioni, si può incorrere nelle

seguenti forme indeterminate, che non sono accettabili come soluzione:

∞

0 0

0 ∞-∞ 0*∞ 0/0 ∞

∞

∞

1

FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

Le più importanti sono seno, coseno e tangente, si considerano gli angoli in

radianti (un radiante è uguale alla lunghezza dell’arco di circonferenza

corrispondente all’angolo al centro). Si trattano di funzioni periodiche (le prime

due hanno periodo 2kπ, la seconda kπ [con l’angolo diverso da π/2+kπ], k

appartiene a Z). Fra le relazioni e formule fondamentali si hanno:

( ) ( )

π π

( )=sin ( )=−cos (−α )=−cos (−α )=cos

−α −α −α =cos −α =sin

sin π α cos π α sin α cos α sin α cos α

2 2

α ¿

sin

¿

¿

¿

Per quanto riguarda le funzioni inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente,

bisogna applicare delle restrizioni all’intervallo di uscita. Si ricordi che la

tangente restituisce qualunque valore reale, mentre seno e coseno solo valori

compresi fra -1 e 1.

TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO

Data una successione reale a con n appartenente ad N, supponiamo esista un

n

indice tale che per ogni n maggiore di questo indice, la successione sia

maggiore di “a”=limite della successione, che a sua volta è maggiore di 0,

questo vuol dire che la successione è “lontana da 0”. Dimostrazione sul

quaderno.

Osservazione: se una successione è maggiore di un valore l, il suo limite sarà

maggiore o uguale a l.

TEOREMA DEI CARABINIERI

Supponiamo tre successioni a , b , c ; supponiamo che la seconda sia compresa

n n n

fra la prima e la terza, se la prima e la terza convergono ad uno stesso limite l,

anche la seconda successione tenderà al limite l. Dimostrazione sul quaderno.

Teorema: una successione infinitesima per una successione limitata è uguale

ad una successione infinitesima.

Dimostrazione: sul quaderno. a n+1

Teorema: Se a è una successione positiva e , allora a tende a 0.

≤ q< 1

n n

a

Dimostrazione, sul quaderno.

GERARCHIA DEI LIMITI

Dati n e n , si dice che la prima è MOLTO MAGGIORE (>>) della seconda, in

3 2

quanto cresce più velocemente. Date due successioni tendenti a infinito z e q,