Limite di una successione e trigonometriche

Limite di una successione

L'obiettivo dell'analisi è rendere esatte le approssimazioni. Si prendano ad esempio delle successioni limitate:

• 1n 1 1 11 1− 1− 1+(1+) n n n nn 10

La 1 ha come estremo superiore il numero "e", non massimo, ed estremo inferiore (=minimo) 2 per n maggiore o uguale a 1. La 2 ha come estremo inferiore e minimo 0.9, mentre ha come estremo superiore 1, non massimo. La 3 ha come estremo superiore e massimo 1, mentre ha come estremo inferiore, non minimo 0. La 4 è sicuramente minore di 1, ha come estremo inferiore e minimo 0, come estremo superiore 1. La 5 ha come estremo superiore e massimo 2, come estremo inferiore 1.

Se le successioni sono strettamente crescenti, hanno un minimo (1,2,4). Se sono strettamente decrescenti, hanno un massimo, ricordando le definizioni di estremo superiore ed estremo inferiore (un punto M è detto estremo superiore se vale che ogni numero della successione è minore di M e che per ogni ε maggiore di 0 esiste un indice della successione il cui corrispondente della successione sarà compreso fra M e strettamente M-ε, viceversa vale per l'estremo inferiore).

Si consideri una successione costituita dalla 4 per i numeri n maggiori o uguali a 1 dispari e dalla 5 per i pari, l'estremo inferiore sarà 0, per n=1, mentre sarà 3/2 il superiore, poiché n non può essere 1 in quanto sarebbe verificato se la 5 fosse verificata per i numeri dispari (il valore massimo si avrebbe per n=1), ma non lo è. Si tratta di una successione oscillante, ma per n che tende ad infinito il risultato tende a 1.

Varrebbe anche la condizione in cui una successione costituita da 4 per n dispari e da 3 per n pari non avrebbe un limite, in quanto per una tendenza di n a 1 (o uguaglianza) si avrebbero due risultati diversi, stesso discorso per una tendenza all'infinito.

Osservazione: supponiamo una successione monotona crescente e limitata, ciò vorrà dire che esiste un minimo (anche estremo inferiore), allora se esiste un estremo superiore M, rispetta le condizioni di sopra (per ogni epsilon maggiore di 0 esiste un tale che −ε < M a ≤ a ≤ M, per ogni n sbarrato minore di n).

Ora si supponga il contrario, si consideri una successione monotona decrescente limitata, allora se esiste un estremo inferiore m, rispetta le condizioni: per ogni epsilon maggiore di 0 esiste un n sbarrato tale che < m + ε m ≤ a a , da un certo indice in poi accade questo.

Definizione di limite

Sia (a_n) una successione per a appartenente ad R e per n abbastanza grande,