Matematica discreta e Algebra Lineare - Appunti

MATEMATICA DISCRETA

• Indice
1. Sistemi Lineari pag. 1
2. Matrici pag. 3
3. Algoritmo di Gauss pag. 6
4. Piano Cartesiano e Vettori pag. 8
5. Rappresentazioni nel Piano Rette pag. 11
6. Strutture Algebriche Astratte pag. 14
7. Vettori pag. 16
8. Applicazioni Lineari pag. 20
9. Spazi Vettoriali pag. 27
10. Determinante pag. 31
11. Rango pag. 37
12. Ortogonalità e Ortonormalità pag. 40
13. Forme Canoniche pag. 44
14. Geometria Affine pag. 55
15. Forme Quadratiche pag. 64
16. Funzioni pag. 68
17. Calcolo Combinatorio pag. 70
18. Fattorizzazione di Polinomi pag. 75
19. Principio di Inclusione Esclusione pag. 76
20. Congruenze pag. 77
21. Principio di Induzione pag. 85
22. Appendice Risposte Sezione a Breve

MATEMATICA DISCRETA

• Indice

1. Sistemi lineari pag. 1
2. Matrici pag. 3
3. Algoritmo di Gauss pag. 6
4. Piano cartesiano e vettori pag. 8
5. Rappresentazioni nel piano rette pag. 11
6. Strutture algebriche astratte pag. 14
7. Vettori pag. 16
8. Applicazioni lineari pag. 19
9. Spazi vettoriali pag. 21
10. Determinante pag. 27
11. Rango pag. 31
12. Ortogonalità e ortonormalità pag. 37
13. Forme canoniche pag. 40
14. Geometria affine pag. 44
15. Forme quadratiche pag. 55
16. Funzioni pag. 64
17. Calcolo combinatorio pag. 68
18. Fattorizzazione di polinomi pag. 75
19. Principio di inclusione e esclusione pag. 76
20. Congruenze pag. 77
21. Principio di induzione pag. 85

Appendice risposte settore C breve

1. SISTEMI LINEARI

Un sistema si dice lineare quando coinvolge solo somme di incognite o costanti, quindi non compaiono prodotti o divisioni tra incognite rappresentate dalle incognite.

La singola equazione di un sistema lineare riceve dalla combinazione:

sistema lineare

• a₁x₁ + b₁x₂ + ... + b_1nx_n = k₁ combinazione lineare
• a₂x₁ + b₂x₂ + ... + b_2nx_n = k₂
• ...
• a_mx₁ + b_mx₂ + ... + b_mnx_n = k_m

coefficienti termine noto incognite

1.1 SISTEMI OMOGENEI

Un sistema lineare si dice omogeneo se i termini noti sono uguali:

• a₁x₁ + b₁x₂ + ... + b_1nx_n = Ø
• a₂x₁ + b₂x₂ + ... + b_2nx_n = Ø
• ...
• a_mx₁ + b_mx₂ + ... + b_mnx_n = Ø

1.2 SISTEMI NON OMOGENEI

Un sistema lineare si dice non omogeneo se i termini noti sono diversi da Ø:

• a₁x₁ + b₁x₂ + ... + b_1nx_n = k₁
• a₂x₁ + b₂x₂ + ... + b_2nx_n = k₂
• ...
• a_mx₁ + b_mx₂ + ... + b_mnx_n = k_m

1.3 POSSIBILI CONCLUSIONI DELLA RISOLUZIONE DEI SISTEMI

Durante lo svolgimento di un sistema lineare si può arrivare a tre possibili soluzioni:

1. Soluzione unica: se non ci sono variabili dipende e la soluzione è una sola.

• 2x + 3y = 4x - 2y = 3

• x = 7/7
• y = -2/4

• xs = 2y + 34y + 6 + 3y = 4

2. Nessuna soluzione: si arriva ad una soluzione che non può essere assolutamente valida.

• 2x + 3y = 44x + 6y = 7

• xs = 4 - 3y8x + 6y = 7

• 8 = ....... impossibile

3) Soluzioni Infinite:

Le soluzioni dipendono da un parametro esterno e possono essere infinite

{ _{2x - y = 8} ^{1x + 2y = -16}

{ _{y = 2x - 8} ^{-16 = -16} → Sempre vero, quindi le soluzioni dipendono da x

2. Matrici

Si dice matrice una tabella rettangolare di numeri divisa con M righe e N colonne, dove M indica il numero di righe ed N colonne. Ad esempio:

( 1 4 5 0 )( 8 2 -1 9 )( 3 1 -3 18 )

è una matrice appartenente all'insieme R_3x4. I singoli elementi di una matrice si indicano con due indici, uno per la riga