Lezioni fondazioni

Equazione di Winkler e suoi pregi e difetti

III IVwi e wi l'equazione diventa algebrica e non è più differenziale cioè significa che scriviamo tante equazioniIVdi Winkler (EIw + KBw=q) per ogni punto e poi abbiamo come incognite le w nei vari punti, quando scriviamo l'equazione di Winkler nel punto di spigolo a sinistra compaiono due incognite aggiuntive fittizie come anche nello spigolo a destra e quindi in ogni punto intermedio compaiono 4 incognite aggiuntive che dobbiamo sanare con le condizioni al contorno cioè dobbiamo dire che lo spostamento a sinistra è uguale a quello a destra e le altre condizioni al contorno, per cui il risultato è un'equazione algebrica che ha come valori le w nei punti discreti in cui abbiamo suddiviso la trave e questo è un altro metodo per risolvere l'equazione di Winkler.

Pregi e difetti del modello di Winkler

Nel foglio excel chiamato "programma trave fond Winkler" dobbiamo considerare i dati della trave che hatre

campate nel caso specifico e se vogliamo avere 2 campate invece che 3 diamo 0 come lunghezza ad una delle 3 e la trave diventa di 2 campate. In questo caso si sta considerando una trave a sezione rettangolare e se vogliamo considerare una trave a t basta cambiare il "modulo di inerzia della trave di fondazione". Poi in questo foglio possiamo dare anche delle forze ad esempio in questo caso abbiamo un sistema di forze cioè forze e momenti al bordo sinistro sul punto di contatto tra la prima e seconda campata e così via e cambiando le grandezze ci calcoliamo gli abbassamenti (w), le rotazioni (w') i momenti (M) e i tagli (T). Notiamo che se cambiamo la costante di sottofondo (k) abbiamo dei cambiamenti, con un k pari a 150000 inizialmente abbiamo uno spostamento di 0.6 millimetri cioè 0 e se noi diamo una k 10 volte più piccola di quella che abbiamo appena usato cioè una k pari a 15000 cambia anche la forma del grafico degli spostamenti, ma in realtà non

bisogna farsi ingannare perché in realtà non cambia la forma dello spostamento è la scala che cambia quindi la forma sarebbe la stessa è solo che lo spostamento è diventato 10 volte più grande rispetto a prima perché abbiamo ridotto la k e se andiamo a ridurre ulteriormente k notiamo che lo spostamento cresce ancor di più. Allora visto che la k come capiremo tra un po' è qualcosa di molto aleatorio calcolare lo spostamento (w) è come prendere in giro se stessi perché noi diamo una k sapendo che ce l'abbiamo inventata e se non ce la troviamo poi aggiustiamo la k e ci facciamo trovare lo spostamento, ma questa non è una verifica se no possiamo ajustarci a nostro piacimento il risultato che viene fuori, quindi non possiamo usarlo con questo scopo.

Adesso notiamo un'altra cosa andiamo a mettere un k pari a 1500 e otteniamo i grafici del momento e del taglio, poi aumentiamo il k e lo poniamo pari a 15000 e notiamo

che i grafici del momento e del taglio non cambiano molto se consideriamo un k pari a 1500 o pari a 15000. Ciò significa che dal punto di vista dei cedimenti, chiaramente non va bene, ma dal punto di vista del taglio e del momento, questo che stiamo usando è un metodo che definiremo robusto. È un metodo che dipende poco dalle nostre scelte, quindi ci porta a dei risultati che non dipendono molto dai valori che gli stiamo dando. Siccome la k di Winkler, se pensiamo al letto di molle, è molto diversa come concetto rispetto al terreno, per cui la k di Winkler è fantasia pura, il fatto che questo modello non dipenda dalla k di Winkler è un vantaggio ed è uno dei motivi che rendono il modello di Winkler tra i più apprezzati, perché anche se è semplificato ha questo enorme vantaggio. Quando noi abbiamo una trave più alta, accade che la trave diventa meno deformabile e quindi il diagramma degli spostamenti diventa rigido, cioè significa chequando la trave è rigida w ha un andamento lineare (come viene riportato nell'immagine a sinistra) e noi sappiamo che la p è proporzionale a w quindi anche la p ha un andamento lineare, ma se la w ha un andamento rettangolare o trapezio anche la p avrà un andamento rettangolare o trapezio quindi il foglio excel "programma trave fond Winkler" risolve Winkler ma risolve anche il trapezio delle tensioni. Il vantaggio che abbiamo con il foglio excel "programma trave fond Winkler" non abbiamo bisogno di fare il metodo del trapezio delle tensioni per sapere momento e taglio ma semplicemente diamo inizialmente una trave di altezza maggiore come se fosse il metodo del trapezio delle tensioni andiamo a calcolare momenti e tagli sulla base dei quali facciamo il calcolo della reale altezza della trave, calcoliamo il "modulo di inerzia della trave di fondazione" lo cambiamo nel foglio di calcolo e ci facciamo la verifica, quindi il programma di

Winkler risolve il trapezio delle tensioni. Il metodo del trapezio delle tensioni viene spesso chiamato erroneamente metodo della trave rigida, in realtà il metodo del trapezio delle tensioni non faceva alcuna ipotesi sulla trave e diceva che le tensioni avevano una forma trapezia ma la trave non era proprio portata in conto cioè il fatto che fosse rigida o non rigida non ci interessava infatti la usavamo anche quando la trave non era rigida, la usavamo in sede di predimensionamento, quindi concettualmente il metodo del trapezio delle tensioni è un metodo che ignora tutto. Il metodo di Winkler ha la particolarizzazione di potersi applicare alle travi rigide e casualmente restituisce la soluzione del trapezio delle tensioni ma concettualmente sono due cose diverse, però noi siamo pratici e usiamo il caso particolare di Winkler come soluzione del trapezio delle tensioni. Allora il trapezio delle tensioni dice che le tensioni hanno distribuzione trapezia e basta.

Winkler dice la trave ha la congruenza, l'equilibrio e che il terreno ha il letto di molle cioè dice molte più cose e inoltre dice che il fatto che per la trave rigida riesca la soluzione del trapezio va presa come una coincidenza perché in realtà sono due metodi che parlano due lingue diverse. Abbiamo capito che Winkler ha il vantaggio di dipendere poco da k e questa cosa ci piace e da dei diagrammi delle sollecitazioni (momento e taglio) come quelli riportati in precedenza e tali diagrammi in genere sono il contrario di quelli che noi ricaviamo dalle travi in elevazione tanto è che la trave di fondazione viene chiamata trave rovescia proprio perché funziona al contrario nel senso che la trave prende i carichi distribuiti e li trasferisce come carichi concentrati e la trave di fondazione fa il contrario cioè prende i carichi concentrati e li trasferisce come carichi distribuiti. Ultima cosa che dobbiamo dire è che la soluzionedell'equazione differenziale del quarto ordine si compone di questi termini: ma il carico q uniformemente distribuito su una trave nella realtà ha un andamento lineare, cioè tipicamente costante. Se noi mettiamo il carico lineare, cioè mettiamo una trave caricata con un carico uniformemente distribuito, la soluzione dell'omogenea associata diventa pari a 0 e resta che w(x) = q/k * B, il che significa che la w(x) è lineare. E se ne facciamo la derivata prima otteniamo una grandezza diversa da 0, ma la derivata seconda e terza di w(x) sono nulle, mentre la derivata seconda e terza di w(x) moltiplicate per EI sono il momento e il taglio. Allora stiamo dicendo che nello schema di Winkler, se prendiamo una trave e ci mettiamo sopra un carico uniformemente distribuito, otteniamo sollecitazioni nulle. Per cui il problema è il limite del metodo di Winkler, cioè tale limite nasce dal fatto che le molle sono indipendenti perché, ad esempio, se immaginiamo di

camminare sul nostro materasso noi mettiamo il piede e il materasso fa una conca e significa che noi carichiamo una verticale e la verticale si tira dietro attraverso gli sforzi di taglio il materasso intorno e se al materasso a molle togliamo il velo sopra camminiamo sulle molle, questo fatto è all'origine di questo limite del metodo di Winkler, quindi se noi vogliamo calcolare una struttura con carichi concentrati per ora Winkler ci sta bene poi capiremo quanto il fatto del letto di molle gioca sui carichi concentrati però quanto meno ci da un risultato che suona bene e che non dipende molto da k. Se abbiamo carichi distribuiti sulla nostra trave Winkler non va bene e dobbiamo passare ad un modello più evoluto cioè dobbiamo tener conto del fatto che il terreno non è fatto di molle indipendenti ma in qualche modo dobbiamo tener conto dell'interazione tra le varie verticali che si materializza nel terreno e ciò si fa tramite metodi

più evoluti che si chiamano metodo di Barden e il metodo di Koenig e Sherif per rimanere in campo elastico o con metodi numerici sviluppati con programmi di calcolo per andare più avanti.

Lezione 16 – Esercitazione 1B- 7 Novembre 2018

Caratterizzazione dei terreni a grana grossa

NB: Il γ che viene fornito è il γ sat

Il primo punto viene svolto identicamente all'altra esercitazione; il secondo punto vuole che si determino i parametri di resistenza dalle prove SPT perché è già chiaro dalla traccia che si tratta di un terreno a grana grossa pertanto le caratteristiche di resistenza che ci interessano sono quelle di 'breve termine', quelle 'non drenate' non ci interessano per questo motivo non interpretiamo quelle della CPT come COESIONE NON DRENATA in quanto è un terreno a grana grossa SAREMO SEMPRE IN CONDIZIONI DRENATE. Utilizzeremo solo i parametri della prova CPT per ricavare i

parametri di resistenza.

Dai risultati della prova CPTU notiamo che i risultati della resistenza alla punta sono già in MegaPascal, così come la resistenza laterale (non occorrono trasformazioni, è sufficiente leggere i risultati). A destra possiamo osservare l'interpretazione stratigrafica quindi possiamo confrontare quello che otteniamo nei nostri calcoli dall'interpretazione della prova CPT con quella che ci viene fornita.

Abbiamo già svolto il primo punto nella precedente esercitazione, quindi sorvoliamo e andiamo direttamente al punto successivo. Nella foto possiamo vedere dove si trova il sondaggio 9.

Nella tabella che segue (Fig.3) possiamo leggere la stratigrafia; notiamo che c'è un piezometro e che al di sotto del terreno vegetale, ovvero del piano campagna c'è la falda. Possiamo vedere inoltre che stiamo trattando una sabbia (avevamo