00 Scienza delle Costruzioni - Lezioni ed esercizi, tutto in uno!!

T S

b

1 2 2

T

, , ed .

N T M µ

( )

M S 1 ( )

M S 2

Nella rappresentazione a lato li abbiamo tracciati tenendo conto della b

( ) ( )

N S N S

N

convenzione dei segni adottata. 1 2

S S

S

Quindi, nella sezione , considerando le ascisse crescenti verso 1 2

( )

T S

1

2

destra, i segni degli sforzi saranno positivi.

S S

Nella sezione , possiamo notare che il verso degli sforzi è opposto a quelli in , pertanto per la

1 2

convenzione dei segni da noi adottata essi avranno segno negativo. b

Andiamo a fare l’equilibrio delle forze e dei momenti per ricavare, dalle forze , e il momento

b

T N

µ (noti), gli sforzi , ed .

N T M

In sostanza gli sforzi devono essere equilibrati dalle forze esterne, ovvero la loro somma deve

essere nulla: polo

S ( )

T S

b

2 2

T

− + =

N ( S ) N ( S ) b ( S ) dS 0 ( )

M S µ

2 1 N 1 ( )

M S 2

S

1 b

S ( ) ( )

N S N S

N

2 1 2

− + =

T ( S ) T ( S ) b ( S ) dS 0 S S

S

2 1 T 1 2

( )

T S

1

S braccio

1 S S

2 2

µ

− + + − + − =

M ( S ) M ( S ) ( S ) dS T ( S )( S S ) b ( S )( S S ) dS 0

2 1 2 2 1 T 1

S S

1 1

Mentre l’equilibrio delle forze e degli sforzi assiali e di taglio è piuttosto intuitivo, vediamo come

ricaviamo l’equilibrio dei momenti (3° equazione).

Per fare l’equilibrio dei momenti dobbiamo scegliere un polo (ad esempio come in figura).

Vediamo cosa compare nell'

equilibrio: M ( S ) M ( S )

- avremo certamente i momenti interni e ;

2 1

b (S )

N ( S ) N ( S )

- gli sforzi assiali e e la forza , non avendo braccio rispetto al polo scelto, non

1 2 N

generano alcun momento, quindi non compaiono nell'

equazione;

T ( S )

- lo sforzo di taglio , essendo applicata nel polo, non genera momento, quindi non compare

1

nell'

equazione; µ (S )

- il momento esterno ovviamente contribuisce all'

equilibrio dei momenti, pertanto va

S S

considerato nell'

equazione integrandolo tra le ascisse ed ;

1 2 −

T ( S ) ( S S )

- lo sforzo di taglio genera un momento il cui braccio è dato da ;

2 2 1

b (S ) S S

- la forza trasversale va integrata tra e e genera un momento il cui braccio è dato da

1 2

T

−

( S S ) b (S )

(dove è il punto di applicazione della risultante di );

S

1 T 10/58

1 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI A.A. 2009/2010

Vediamo ora cosa succede ipotizzando che il concio di trave abbia una lunghezza infinitamente

− →

→ ( S S ) 0

S S

piccola, cioè ovvero .

2 1

2 1 = +

S S dS

In sostanza stiamo ipotizzando che 2 1 = +

S S dS all’interno delle equazioni

Adottando questa ipotesi, dobbiamo sostituire l’uguaglianza 2 1

di equilibrio. Inoltre, con questa ipotesi, le forze e gli sforzi contenuti negli integrali possono essere

considerati costanti e portati fuori dall'

integrale.

In generale, portando fuori le forze e gli sforzi e risolvendo solo gli integrali:

S

S 2

2 =

dS S

S S

1 1

S 2 = +

= − S S dS

sostituendo , avremo:

dS S S 2 1

2 1

S

1

S 2 = + − da cui:

( )

dS S dS S

1 1

S

1

S 2 = pertanto la soluzione di ogni integrale sarà semplicemente .

dS

dS dS

S

1 = +

S S dS e la soluzione

Riscrivendo il sistema di equazioni per l'

equilibrio, applicando l'

ipotesi 2 1

degli integrali ( ), avremo:

dS

+ − + =

N ( S dS ) N ( S ) b ( S ) dS 0

1 1 N 1

+ − + =

T ( S dS ) T ( S ) b ( S ) dS 0

1 1 T 1

µ

+ − + + + =

M ( S dS ) M ( S ) ( S ) dS T ( S dS ) dS 0

1 1 1 1 S −

2

N.B. Nell'

equazione di equilibrio dei momenti, il termine ( )( ) viene eliminato.

b S S S dS

T 1

S

1

b (S )

Infatti esso diventerebbe (considerando costante):

T

S 2 −

( ) ( )

b S S S dS

T 1

S 1

Per risolvere l’integrale possiamo semplificarci la vita applicando il teorema della media integrale, secondo il quale:

f x

( )

b ( )

f x dx

=

( )

f y a ( ) f ( y )

−

b a

b = −

f ( x ) dx f ( y )(

b a ) x

y

a b

a

Applicandolo al nostro caso avremo:

S 2 = +

− = − − S S dS

( ) ( ) ( )( )( )

b S S S dS b S S S S S sostituendovi avremo:

T T

1 1 2 1 2 1

S 1 − + −

b ( S )( S S )( S dS S ) S S

ovvero (poiché S è compreso tra e che tende ad essere nullo), avremo:

T 1 1 1 2 1

⋅ ⋅ =

b ( S ) 0 dS 0

T 11/58

1 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI A.A. 2009/2010

Dividiamo per le equazioni di equilibrio:

dS

+ −

( ) ( )

N S dS N S + = 0

b

1 1 N

dS

+ −

( ) ( )

T S dS T S + = 0

b

1 1 T

dS

+ −

( ) ( )

M S dS M S µ

+ + + =

( ) 0

T S dS

1 1 1

dS →

Osservando i primi termini delle equazioni notiamo che, per 0 , essi rappresentano delle

dS

derivate prime, cioè:

′ + = 0

N b N

′ + = 0 EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO

T b Abbiamo ricavato le

T

′ (valide per un tratto infinitesimo di trave)

µ

+ + = 0

M T µ

b b

Con queste equazioni, note le forze , e il momento esterno , siamo in grado di ricavare le

N T

derivate prime degli sforzi interni alla trave.

RELAZIONI COSTITUTIVE

Finora abbiamo visto le 3 equazioni delle deformazioni e le 3 equazioni indefinite di equilibrio. Le

θ ε γ χ

, , , dalle 3 deformazioni , e

incognite del sistema sono rappresentate dai 3 spostamenti , ,

w v

dai 3 sforzi interni , , .

N T M

Il sistema è quindi costituito da 6 equazioni in 9 incognite: affinché esso ammetta una unica

soluzione è necessario trovare altre 3 equazioni.

Per ottenere altre 3 equazioni, consideriamo le caratteristiche del materiale di cui è costituita la tra-

ve, introducendo delle relazioni costitutive. Le relazioni costitutive definiscono una relazione tra gli

sforzi e le deformazioni della trave. Per semplicità supponiamo che il legame tra gli sforzi e le de-

formazioni sia direttamente proporzionale, introducendo i seguenti coefficienti di proporzionalità:

= rigidezza assiale

k N =

k rigidezza al taglio

T =

k rigidezza flessionale

M

Nella realtà i legami costitutivi non sono direttamente proporzionali perché il legame dipende, oltre che dalle

caratteristiche del materiale (modulo di elasticità o modulo di Young), anche dalla geometria della sezione (momento di

inerzia J) e da altri fattori. Ma questi li vedremo più avanti.

Introducendo i coefficienti di rigidezza, avremo le seguenti RELAZIONI COSTITUTIVE:

ε

=

N k N

γ

= RELAZIONI COSTITUTIVE

T k T χ

=

M k M

Abbiamo così ottenuto un sistema di 9 equazioni in 9 incognite che ammette un'

unica soluzione. 12/58

1 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI A.A. 2009/2010

RISOLUZIONE DEL SISTEMA DI EQUAZIONI

Esistono vari metodi di risoluzione del sistema di 9 equazioni precedenti, ma i più importanti sono:

θ

- il metodo degli spostamenti: (con il quale ricaviamo dapprima gli spostamenti , , , successiva-

w v

ε γ χ

mente le deformazioni , , , e infine le tensioni , , ) è un metodo facilmente

N T M

implementabile nei calcolatori elettronici;

- il metodo delle forze: ha il pregio di essere meno prolisso in quanto da questo metodo vengono

ricavate direttamente le tensioni , ed .

N T M

IL METODO DEGLI SPOSTAMENTI

Per l’applicazione del metodo degli spostamenti dobbiamo combinare le equazioni precedenti in

modo da ottenere un sistema di equazioni di soli spostamenti.

Ciò che dobbiamo fare in sostanza è effettuare due sostituzioni a catena:

1 - sostituiamo le equazioni delle deformazioni all’interno delle relazioni costitutive;

2 - sostituiamo il sistema così ottenuto all’interno delle equazioni di equilibrio, cioè:

Equazioni delle Equazioni di

Relazioni

deformazioni equilibrio

costitutive

→ →

′

ε = + =

ε

w = N '

b 0

N k N

N

′

γ θ

= − + =

γ

v = T ' b 0

T k T

T

′

χ θ

= µ

+ + =

χ

= M ' T 0

M k M ′

=

N k w

N ′ θ

= −

T k ( v )

Dalla prima sostituzione otteniamo: T ′

θ

=

M k M

E dalla seconda sostituzione otteniamo il seguente sistema, detto:

′ ′ + =

( ) 0

k w b

N N

′ ′

θ

− + =

[ ( ) ] 0 SISTEMA DELLA TRAVE DI TIMOSHENKO

k v b di equazioni

T T

′ ′ ′

θ µ θ

+ + − =

( ) ( ) 0

k k v

M T

La risoluzione del sistema di equazioni di Timoshenko (specie della 2° e 3° equazione) è piuttosto

laborioso. Per tale motivo andremo ad adottare alcune ipotesi che ci permetteranno di risolverlo più

agevolmente. → ∞

HYP k

Ammettiamo l’ipotesi per la quale la rigidezza al taglio tenda all’infinito (cioè la

T

trave è indeformabile al taglio). γ

→ ∞

k

Dall’adozione di tale ipotesi ( ) avremo che la deformazione di scorrimento al taglio sarà

T γ

γ =

T k

nulla. Infatti esplicitando , dalla relazione costitutiva , otteniamo:

T

T T

γ γ

= → → ∞ → = =

da cui essendo k 0

T ∞

k

T 13/58

1 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI A.A. 2009/2010

γ =

Sostituendo tale risultato ( 0 ) nelle equazioni delle deformazioni avremo:

′

ε = w

′ ′ ′ ′

′

θ θ θ

= − = =

0 v da cui, osservando che v e di conseguenza v , avremo:

′

χ θ

=

ε ′

= w

′ θ

=

v ′

′

χ = v

Sostituendo nuovamente le equazioni delle deformazioni nelle relazioni costitutive, avremo:

′

=

N k w

N

=

T 0 ′

′

=

M k v

M