00 Scienza delle Costruzioni - Lezioni ed esercizi, tutto in uno!!

1 SCIENZA DELLE COSTRUZIONI A.A. 2009/2010

Sommario

CINEMATICA DELLE TRAVE ......................................................................................................... 1

SPOSTAMENTI DELLA TRAVE DEFORMABILE ........................................................................ 1

DEFORMAZIONI DELLA TRAVE (EQUAZIONI DELLE DEFORMAZIONI) ............................ 5

RIEPILOGO CINEMATICA .............................................................................................................. 7

STATICA DELLA TRAVE (EQUAZIONI INDEFINITE DI EQUILIBRIO) .................................. 8

RELAZIONI COSTITUTIVE ........................................................................................................... 12

RISOLUZIONE DEL SISTEMA DI EQUAZIONI .......................................................................... 13

IL METODO DEGLI SPOSTAMENTI ............................................................................................ 13

ESERCIZIO (MENSOLA UNIFORMEMENTE CARICATA – METODO DEGLI

SPOSTAMENTI) ........................................................................................................................... 15

IL METODO DELLE FORZE .......................................................................................................... 22

IL PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI ........................................................................................ 25

CALCOLO DELLO SPOSTAMENTO DI UN PUNTO CON IL P.D.L.V. ..................................... 27

DIFFERENZA DI SPOSTAMENTO TRA DUE PUNTI ................................................................. 29

SPOSTAMENTO MEDIO ................................................................................................................ 30

ESERCIZIO (TELAIO 1 VOLTA IPERSTATICO CON CARICO CONCENTRATO) ............. 31

RIEPILOGO DEI RISULTATI E SOLUZIONE FINALE ............................................................... 37

ESERCIZIO (TELAIO 2 VOLTE IPERSTATICO CON CARICO DISTRIBUITO) .................. 41

CEDIMENTI VINCOLARI ............................................................................................................... 46

CALCOLO DELLE SOLLECITAZIONI DOVUTE A CEDIMENTI VINCOLARI ...................... 46

CONTINUITÀ DELLE SOLLECITAZIONI .................................................................................... 48

CARICHI TERMICI .......................................................................................................................... 49

CALCOLO DELLE SOLLECITAZIONI DOVUTE A CARICHI TERMICI ................................. 50

ESERCIZIO (CARICO TERMICO SU TELAIO) ........................................................................ 53

58/58

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CINEMATICA DELLE TRAVE F

Esercizio trave isostatica.

Immaginiamo di avere una trave indeformabile, appoggiata e caricata

come a lato. Vogliamo conoscerne le reazioni vincolari. F

x 2

Per prima cosa rappresentiamo le varie reazioni vincolari come nel x 3

diagramma a lato: x

1

Applicando poi le equazioni di equilibrio per un corpo rigido possiamo

risolvere il sistema e trovare le incognite (reazioni vincolari):

=

x 0

H equilibrio alla traslazione orizzontale

2 + + =

x x F 0

V equilibrio alla traslazione verticale

1 3

L + =

F x L 0

M equilibrio dei momenti (alla rotazione)

3

2

Da cui, risolvendo il sistema, otteniamo le reazioni vincolari: F

F F

= − = − F F

x x e le rappresentiamo nel diagramma a lato:

1 3

2 2 2 2

SPOSTAMENTI DELLA TRAVE DEFORMABILE F

Se ci troviamo a dover risolvere un problema di una trave deformabile, non

è più sufficiente applicare le equazioni di equilibrio per il corpo rigido che

abbiamo sfruttato per risolvere l’esempio precedente. F

configurazione

Nell'

approccio alla risoluzione di una trave deformabile dobbiamo innan- di riferimento

zitutto stabilire una forma di riferimento. Tale forma di riferimento è quella

della configurazione indeformata (cioè quella forma che avrebbe la trave configurazione

deformata

senza carichi applicati) ed è detta appunto “configurazione di riferimento”. 2 F

In generale la configurazione deformata può essere espressa attraverso la

funzione di una curva nel piano. F

→ 2

Una curva è un’assegnazione di una funzione q : R R .

Un esempio potrebbe essere quello della funzione seguente, che associa ad ogni ascissa S le

funzioni cos S e sin S nel piano:

{ }

=

q ( S ) cos S , sin S = π

S

Al variare di S avremo: 2

{ } e

=

q ( S ) 1

, 0

per S = 0 2 =

S 0

π e

{ } 1

=

= q ( S ) 0

, 1

per S 2

essa rappresenta in effetti la funzione di una curva nel piano (rappresentata a lato). 1/58

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La seguente funzione rappresenta invece una curva particolare, una retta: = =

S 0 S L

{ }

= ∈

q ( S ) S , 0 S [ 0

, L ]

(La configurazione rettilinea è la configurazione di riferimento che utilizzeremo nello studio delle

travi deformabili).

Se vogliamo calcolare il vettore tangente alla curva vista in precedenza, dovremo farne ( )

q S

'

la derivata prima, cioè:

{ } e

′ = −

q ( S ) sin( S ), cos( S ) (vettore tangente alla curva all’ascissa S) 2 e

1

pertanto, ad esempio: π

π 2 2

′

= = = −

S il vettore tangente sarà

all’ascissa q ( S ) ,

4 4 2 2

Se invece consideriamo la funzione della retta, avremo che la sua derivata prima:

{ }

′ =

q ( S ) 1

, 0 e

rappresenta il vettore tangente alla retta: rappresenta quindi il versore della retta (la direzione).

1

Chiamiamo q la funzione che rappresenta la configurazione di ≡ q (S )

e q '

q 1

riferimento, e P la funzione che rappresenta la configurazione S

deformata della trave. u (S )

P

In generale, noti la configurazione di riferimento (curva q), i vincoli

e le forze agenti sulla trave, dobbiamo ricavare la configurazione P (S )

deformata della trave (curva P) che risulta essere incognita.

Dobbiamo in sostanza capire come si deforma una trave vincolata e

caricata in un certo modo.

Tale problema può essere riformulato in termini di spostamento.

In particolare, possiamo osservare che la posizione q (S ) occupata da ciascun punto della trave

nella sua configurazione di riferimento, a seguito dell’applicazione di un carico, è diversa dalla

posizione P (S ) occupata nella configurazione deformata. Ciascun punto della trave subisce quindi

uno spostamento che può essere espresso attraverso il "vettore spostamento" u (S ) :

= −

u ( S ) P ( S ) q ( S ) (vettore spostamento)

Del resto conoscendo la posizione iniziale q (S ) e lo spostamento u (S ) di ciascun punto della trave,

siamo in grado di descrivere la posizione finale incognita P (S ) di ciascun punto nella configurazio-

ne deformata:

= +

P ( S ) q ( S ) u ( S )

Per conoscere la configurazione deformata della trave, dovremo cercare l’incognita spostamento

u (S ) anziché la posizione P (S ) della configurazione deformata. 2/58

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Il vettore spostamento u (S ) è costituito da due componenti:

= +

u ( S ) w ( S ) e v ( S ) e w

(S )

dove componente di spostamento assiale (quantità scalare)

1 2 v (S ) componente di spostamento trasversale (quantità scalare)

e direzione assiale del sistema di riferimento ortonormale (versore)

1

P (S ) e direzione trasversale del sistema di riferimento ortonormale (versore)

2

u (S ) v (S )

e 2 e w (S )

q (S )

1

Esempio

Consideriamo una configurazione di riferimento rettilinea:

{ }

=

q ( S ) S , 0

e immaginiamo di conoscere le componenti di spostamento:

=

w

( S ) w

0

θ

=

v ( S ) S

0

Andiamo a ricostruire la configurazione deformata della trave, cioè P (S ) :

{ }

= = +

= + q ( S ) S , 0 S e 0 e

ed essendo

Poiché P ( S ) q ( S ) u ( S ) 1 2

{ }

θ θ

= = +

u ( S ) w , S w e S e

0 0 0 1 0 2

dalla loro somma avremo:

{ }

θ

= + +

P ( S ) S w , 0 S

0 0 e

Per disegnare la nuova configurazione andiamo a calcolare la nuova 2

q e

posizione dei punti posti alle estremità della trave: 1 L

{ }

=

per S = 0 P ( 0 ) w , 0

0 θ L

{ }

θ

= + 0

per S = L P ( L ) L w , L P w

0 0 w 0

0

Generalmente le componenti v e w dello spostamento saranno le incognite del nostro problema.

Concetto importante, nell’analisi della meccanica dei corpi deformabili, è quella di verificare se le

configurazioni P e q della trave abbiano o meno la stessa forma. Infatti la deformazione di un corpo

comporta un dispendio di energia.

in presenza di rotazioni infinitesime trascureremo eventuali allungamenti.

In questo corso,

(Essi sono trascurabili perché più piccoli delle rotazioni stesse).

Nell’esempio appena trattato possiamo vedere che la deformata della trave resta rettilinea e non si

incurva; tuttavia varia la sua posizione, pertanto dobbiamo andare a verificare che non vi sia stato

un allungamento (che rappresenta una variazione di forma).

′ della deformata:

Dal teorema di Pitagora calcoliamo la lunghezza L 3/58

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′ θ θ

= + = +

2 2 2 2

L L L L 1 ovvero, portando fuori :

L

0 0

′ θ

= + 2

L L 1 0 θ ′

Possiamo notare che, per che tende a zero, la nuova lunghezza è uguale alla lunghezza della

L

0

configurazione indeformata. Approssimando con lo sviluppo in serie di Taylor, possiamo vedere

che: θ 2

′ = + +

0

L L 1 ...

2 θ =

Ponendo ad esempio 0

,

1 , avremo che l’allungamento della trave:

0

θ

′ ′

− −

2

L L 0

, 01

L L

= = =

0 sarebbe dell’ordine di 0

, 005

2 2

L L

Nell’ambito del nostro corso tratteremo una teoria lineare in cui ipotizziamo che gli

spostamenti e le rotazioni siano piccole.

q u

P

La teoria appena trattata è valida per oggetti estremamente sottili.

Se l’oggetto ha spessore non trascurabile (es. la trave) vengono utilizzate delle sezioni il cui angolo

α descrive l’inclinazione delle fibre della trave rispetto all’asse verticale (inclinazione delle sezioni

rispetto alla verticale).

α

La configurazione di riferimento in tal caso è nota quando è definita la posizione ( ) della trave e

q S

α

l’inclinazione delle sue fibre ( ) rispetto all’asse.

S

Generalmente, per il nostro corso, la configurazione di riferimento della trave sarà la seguente:

{ } α

= =

( ) , 0 ( ) 0

q S S S

0

Pertanto, in generale, nella configurazione di riferimento le fibre non saranno inclinate (inclinazione

α = ): nella configurazione di riferimento quindi tutte le fibre saranno ortogonali all’asse.

( ) 0

S 4/58

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La configurazione deformata (incognita) sarà descritta dalla posizione

β

( ) (configurazione variata dell’asse) e dall’inclinazione ( ) delle sue

P S S

fibre rispetto all’asse. β

P ( S ), ( S )

Pertanto la configurazione deformata, nel caso di corpi non sottili, sarà descritta da due funzioni:

= +

( ) ( ) ( )

P S q S u S

β α θ θ β α

= + = =

( ) ( ) ( ) n.b. lo spostamento angolare ( ) ( ) perché ( ) 0 sempre.

S S S S S S

Possiamo così affermare che le incognite del problema diventano 3:

- la componente assiale dello spostamento dell'

asse;

w

- la componente trasversale dello spostamento dell'

asse;

v θ delle fibre rispetto all’asse.

- la variazione dell'

inclinazione angolare

DEFORMAZIONI DELLA TRAVE (EQUAZIONI DELLE DEFORMAZIONI)

Le deformazioni della trave sono date dalla combinazione di 3 deformazioni elementari:

ε ′

=

( ) ( ) allungamento ( )

S w S epsilon

′

γ θ

= −

( ) ( ) ( ) scorrimento a taglio o scorrimento ( )

S v S S gamma

′

χ θ

=

( ) ( ) incurvamento ( )

S S chi

Consideriamo un tratto infinitesimo di trave di lunghezza :

dS 1

0

il tratto infinitesimo è costituito da un pezzetto di trave di asse rettilineo e da due fibre dS

poste alle estremità 0 e 1 ortogonali all’asse.

Consideriamo le espressioni delle deformazioni appena viste ed approssimiamo (per molto

dS

piccolo) le derivate presenti al loro interno: −

w w

′

ε ε

= ≅ = 1 0

( )

w S dS

−

v v

′

γ θ γ θ

= − ≅ = −

1 0

( ) ( )

v S S 0

dS

θ θ

−

′

χ θ χ

= ≅ = 1 0

( )

S dS

Esplicitiamo ora gli spostamenti (assiale , trasversale e angolare ) del punto 1:

w v

ε

= +

w w dS

1 0 ( )

γ θ

= + +

v v dS

1 0 0

θ θ χ

= + dS

1 0

E vediamo cosa succede al pezzetto di trave imponendo diversi valori alle deformazioni. 5/58

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• deformazioni nulle

Ipotizziamo inizialmente che le siano tutte , cioè:

γ χ

ε = = =

0 0 0

= (traslazione assiale)

w w

1 0 θ

= + (rotazione rigida)

v v dS

1 0 0

θ θ

= (traslazione trasversale)

1 0

Ciò significa che se le deformazioni sono tutte nulle, abbiamo traslazioni semplici o rotazioni rigide

(senza deformazioni).

• allungamento sia non nullo

Ipotizziamo che l’ e il resto delle deformazioni siano nulle, cioè:

γ χ

ε ≠ = =

0 0 0

θ

w v

Poiché sappiamo che , e controllano le traslazioni semplici e la rotazione rigida della

0 0 0

trave, consideriamoli nulli, così da concentrarci solo sulle deformazioni vere e proprie.

In questo caso avremo:

ε

=

w dS

1 =

v 0

1 ε

θ dS

= dS

0

1 ( )

ε

+

1 dS

Da cui vediamo che la trave subisce una deformazione di allungamento.

• scorrimento a taglio sia non nullo

Ipotizziamo che lo e il resto delle deformazioni siano nulle:

γ χ

ε = ≠ =

0 0 0

θ

w v

Nuovamente, poiché , e controllano le traslazioni semplici e la rotazione rigida della trave,

0 0 0

θ

= = =

w v

consideriamo 0 , così da concentrarci solo sulle deformazioni vere e proprie.

0 0 0

In questo caso avremo:

=

w 0 γ

° +

90

1 γ

=

v dS

1 γ dS

θ = 0

1

Da cui vediamo che la trave subisce uno scorrimento o deformazione a taglio.

Da notare che in questo tipo di deformazione la trave subisce una variazione di forma. 6/58

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• incurvamento sia non nullo

Ipotizziamo che l’ e il resto delle deformazioni siano nulle, cioè:

γ χ

ε = = ≠

0 0 0

θ

w v

Nuovamente, poiché , e controllano le traslazioni semplici e la rotazione rigida della trave,

0 0 0

θ

= = =

w v

consideriamo 0 , così da concentrarci solo sulle deformazioni vere e proprie.

0 0 0

In questo caso avremo: χ dS

=

w 0

1 =

v 0

1

θ χ

= dS

1

Da cui vediamo che la trave subisce un incurvamento.

Quindi, se le funzioni delle deformazioni sono tutte identicamente nulle, allora punto per punto la

forma della trave resta invariata. Se invece anche solo una delle funzioni deformazione è non nulla

abbiamo una variazione di forma della trave (allungamento, scorrimento a taglio, incurvamento o

loro combinazioni).

Dette funzioni ci consentono di misurare il grado di deformazione della trave: costituiscono pertan-

to il sistema di EQUAZIONI DELLE DEFORMAZIONI:

′

ε =

( S ) w ( S ) allungamen

to

′

γ θ

= −

( S ) v ( S ) ( S ) scorriment

o EQUAZIONI DELLE DEFORMAZIONI

′

χ θ

=

( S ) ( S ) incurvamen

to

RIEPILOGO CINEMATICA ( )

α

Nello studio del comportamento della trave assumeremo, quale configura- ,

q

zione di riferimento, quella avente un andamento rettilineo dell’asse della

trave e un orientamento delle fibre perpendicolare all’asse. In altre parole ( )

θ

,

u

avremo: ( )

β

,

P

{ }

=

q S , 0 (funzione della configurazione di riferimento)

′ =

q e (derivata prima della deformata, direzione costante)

1

α =

( ) 0

S (orientamento delle fibre nullo rispetto alla verticale)

La configurazione deformata sarà invece rappresentata dalla funzione P e dall’orientamento delle

fibre della trave.

Tale configurazione può essere ricavata sommano i campi spostamento u e ai valori della

configurazione indeformata q ed .

Il campo spostamento u (campo vettoriale) è costituito da due componenti:

=

w componente di spostamento assiale;

=

v componente di spostamento trasversale;

cioè

= +

u we ve

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Le funzioni , , e misurano la deformazione della configurazione variata P rispetto alla

configurazione di riferimento q.

In particolare:

′

ε = indica l&rsquo