Lezioni di statistica, Girone, Salvemini - Formule

FORMULE DI STATISTICA

Rapporto C

D=

di durata 1/2 (E+U)

Consistenza media C = 1/2 (C +C ) = C + 1/2 (E-U) C +C

0 1 0 0 2

D= E+U

s s

Rapporto ∑ p ∑ p

it i0

i=1 i=1

di medie s s

s p it

∑

Media di p

i=1 i0

rapporti s s

∑ p q

it i0

Indice di i=1

I =

L s

Laspeyres ∑ p q

i0 i0

Rapporto Formula

i=1

di ideale di ∑p q ∑p q

√ it i0 it it

s

aggregati Fisher I =

F

∑ p q ∑p q ∑p q

it it i0 i0 i0 it

Indice di i=1

I =

P s

Paasche ∑ p q

i0 it

i=1 s s

Media aritmetica ∑ x Media aritmetica ∑ x n

i i i

i=1 i=1

semplice µ= o ponderata µ=

N N

N

√ Log x + Log x + … + Log x

N

Media geometrica π x 1 2 N

Log M =

i g

M =

semplice N

g i=1

s

Media geometrica √

N n Log x + … + n Log x

n i 1 s s

π x Log M =

i i g

ponderata M = N

g i=1 N N

M = M =

ar ar

Media armonica Media armonica s

N

semplice ∑ 1 / x ponderata ∑ n / x

i i i

i=1 i=1

√ √ s

N 2 2

Media quadratica ∑ x Media quadratica ∑ x n

i i i

i=1 i=1

semplice ponderata

M = M =

q q

N N

x + x

(1) (N)

Valore centrale V.C.= 2

Medie

lasche M = x se N è x +x se N è

e ( )

( )

N+1 N N+1

Mediana ( ) dispari M = pari

2 2 2

e 2

√

s s 2

Scarto semplice ∑ Ix - µI n Scarto quadratico ∑ (x - µ) n

i i i i

i=1 i=1

medio δ= medio σ=

N N

2

∑ (x - µ) n

i i

2 2

Varianza σ = Devianza Dev (X) = ∑ (x - µ) n

i i

N

Scarti ridotti o (x - µ)

i

z =

i

standardizzati σ s s

2 2

∑ x n - (∑ x n )

i i i i

Devianza totale i=1 i=1

Dev(X)= N

s 2

Devianza parziale Dev(X )= ∑ (x - µ ) n

k i i ki

i=1

r

Devianza entro le classi ∑ Dev(X )

k

k=1

r r

2

Devianza tra le classi ∑ (µ - µ) n =Dev(X) - ∑ Dev(X )

k k k

k=1 k=1

[N/2]

Differenza media di 2∑ [x - x ] (N-2i+1)

(N-i+1) (1)

i=1

Gini Δ= N(N-1)

Massimo della 2N [µ - x ] [x - µ]

(1) (N)

max Δ=

differenza media (N-1) [x - x ]

(N) (1)

Differenza media Δ 100 = Δ 100

Δ =

r

relativa µ maxΔ

Coefficiente di σ 100

CV=

variabilità µ

N-1

∑ (p - q )

i i

Rapporto di i=1

R= dove e

p = i/N q = A /A

N-1

concentrazione di Gini i i i N

∑ p i

i=1

s

Rapporto di nel caso di una

R= 1-∑ (p - p ) (q + q ) dove p = N /N

i i-1 i i-1 i i

variabile divisa in classi

concentrazione di Gini i=1 s 3

3 (µ - M ) ∑ (x - µ) n

s = e i i

Indici di asimmetria σ

k i=1

y =

1 3

Nσ

b-µ

σ

Area della N b - µ b - µ

∫ ( ) ( )

2

-z /2

e dz=Φ

Fr {a<X<b} = Φ

curva normale σ √ 2π σ σ

a-µ

σ

( )

( )

x - µ z è negativo Φ (z) = 0,5 - P (-z)

dove Φ Φ (z) quindi se:

=

σ z è positivo Φ (z) = 0,5 + P (z)

Disuguaglianza di 1

Fr {µ - zσ < X < µ + zσ} ≥ 1- 2

Chebicheff z

s 4

∑ (x - µ) n

Coefficiente i i

i=1

y = -3

di eccesso 2 4

Nσ

Funzione della curva N 2 2

y*= exp [-(x - µ) /2 σ ]

normale σ √2π

Funzione della curva N δ 2

y*= exp {-1/2 [λ + δlog (x - θ)] }

lognormale √2π (x - θ)

Funzione della curva α -( α +1)

y*= N α θ x

di Pareto

Funzione della curva y*= N/σ exp [-(x- θ)/σ]

esponenziale x +1

m m

1 1

∫

∑ y = f (x; c , c , …, c ) dx

i 0 1 h

x

i=1 1

x +1

m m

2 2

∫

∑ y = f (x; c , c , …, c ) dx

Metodo delle aree i 0 1 h

x

i=m + 1 +1

m

i 1

o di Cantelli . . . . . . . . . . . . . . . .

x +1

s s

∫

∑ y = f (x; c , c , …, c ) dx

i 0 1 h

x

i=m + 1 +1

m

h h

s

Momento empirico t

m = ∑ x y dando a t i valori 0, 1, 2, 3, …si perviene a:

t i i

di ordine t i=t 0

m = ∑ x y = 1

0 i i

m = ∑ x y = µ

1 i i

2 2

m = ∑ x y = M

2 i i 2

3 3

m = ∑ x y = M

3 i i 3

. . . . . . . . . . . . .

s

Momento empirico t

m '= ∑ (x - µ) y dando a t i valori 0, 1, 2, 3, …si perviene a:

t i i

della media i=t 0

m' = ∑ (x - µ) y = 1

0 i i

m' = ∑ (x - µ) y = 0

1 i i

2 2

m' = ∑ (x - µ) y = σ

2 i i

3 3

m' = ∑ (x - µ) y = y σ

3 i i 1

4 4

m' = ∑ (x - µ) y = (y + 3) σ

4 i i 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

s

Momento teorico t

m *= ∑ x y *

t i i

di ordine t i=t β

∫

∑ y = f (x; c , c , …, c ) dx

i 0 1 h

α β

∫

∑ x y = x f (x; c , c , …, c ) dx

i i 0 1 h

α

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

β

∫

h h

∑ x y = x f (x; c , c , …, c ) dx

i i 0 1 h

α oppure

Metodo dei momenti β

∫

∑ y = f (x; c , c , …, c ) dx

i 0 1 h

α β

∫

∑ x y = x f (x; c , c , …, c ) dx

i i 0 1 h

α β

∫

2 2

∑ (x - µ) y = (x - µ) f (x; c , c , …, c ) dx

i i 0 1 h

α

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

β

∫

h h

∑ (x - µ) y = (x - µ) f (x; c , c , …, c ) dx

i i 0 1 h

α f (x ; c , c , …, c )

i 0 1 h

s ∑ [f (x ; c , c , …, c ) - y ] =0

i 0 1 h i c 0

i=1 f (x ; c , c , …, c )

i 0 1 h

s ∑ [f (x ; c , c , …, c ) - y ]

Metodo dei minimi =0

i 0 1 h i c 1

i=1

quadrati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

f (x ; c , c , …, c )

i 0 1 h

s ∑ [f (x ; c , c , …, c ) - y ] =0

i 0 1 h i c h

i=1

Nel caso in cui la funzione scelta sia la retta y *= a + bx , derivando rispetto ai

i i

parametri a e b e uguagliando a zero le derivate parziali, il sistema diventa:

s s

s a + b ∑ x = ∑ y

i i

i=1 i=1

s s s

2

a ∑ x + b ∑ x = ∑ x y

i i i i

i=1 i=1 i=1