Il limite +inf quando x tende a +inf o a -inf

Studio del limite all'infinito

Il limite è +∞ quando x tende a +∞ o a -∞. In questo caso si può anche dire che la funzione diverge positivamente. Studiamo i due casi.

Caso 1: Funzione y = x³

Consideriamo la funzione y = x³, il cui grafico è nella figura a lato. Se attribuiamo a valori positivi crescenti, per esempio 1, 2, 3, 4, ..., i corrispondenti valori x³, ossia 1, 8, 27, 64, … aumentano sempre più. Diciamo che quando x tende a +∞ i valori della funzione tendono ora a +∞.

Definizione: Limite +∞ di una funzione per x che tende a +∞

Si dice che la funzione f(x) ha per limite +∞ per x che tende a +∞ e si scrive:

Quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno I di +∞ tale che risulti:

f(x) > M per ogni x ∈ I.

In simboli, _limx→+∞ f(x) = +∞ se:

∀ M > 0 ∃ c > 0 | f(x) > M, ∀ x > c.

Caso 2: Funzione y = x²

Consideriamo ora la funzione y = x², il cui grafico è nella figura a lato. Se attribuiamo a x valori negativi decrescenti, per esempio -1, -2, -3, -4, …, i corrispondenti valori x², ossia 1, 4, 9, 16, …, aumentano sempre più. Diciamo che quando x tende a -∞ i valori della funzione tendono a +∞ e scriviamo:

_{limx→−∞} x² = +∞.

Definizione: Limite +∞ di una funzione per x che tende a -∞

Si dice che la funzione f(x) ha per limite +∞ per x che tende a -∞ e si scrive:

_{limx→−∞} f(x) = +∞

Quando per ogni numero reale positivo M si può determinare un intorno I di -∞ tale che risulti:

f(x) > M per ogni x ∈ I.

In simboli, _{limx→−∞} f(x) = +∞ se:

∀ M > 0 ∃ c > 0 | f(x) > M, ∀ x.

Esempio di verifica del limite

Verifichiamo il limite precedente. Scelto M > 0, dobbiamo determinare un intorno di -∞ tale che risulti:

x² > M per ogni x dell'intorno.

Questa disequazione di secondo grado è verificata per valori esterni alle radici x = ±√M, ossia ha per soluzioni x < -√M ∨ x > +√M. In particolare, se x < -√M, che rappresenta un intorno di -∞, la disuguaglianza è vera, quindi il limite è verificato.