L'aritmetica delle preposizioni

L'aritmetica delle preposizioni

In realtà, la logica delle proposizioni studia il comportamento delle operazioni sull'algebra di Boole in modo simile a quello in cui l'aritmetica studia le operazioni sui numeri. Così, l'aritmetica delle proposizioni studia le operazioni sui valori di verità delle proposizioni, cioè sui valori di verità vero e falso.

Logica

L'aritmetica delle proposizioni

“Se con questa schedina vinco al totocalcio, ti offro una cena”

Una proposizione è ogni frase dichiarativa per la quale ha senso domandarsi se sia oggettivamente vera o falsa.

All'interno delle proposizioni possono essere presenti anche i cosiddetti quantificatori che sono 4:

• Espressione “per ogni” (∀) o “qualunque sia” - Quantificatore universale
• Espressione “esiste almeno uno” (∃) - Quantificatore esistenziale
• Espressione “esiste al più uno” (1) - Quantificatore di unicità
• Espressione "esiste uno e uno solo" (∃!) - Quantificatore esistenziale unitario

La proposizione "esiste al più un x tale che p(x)" può essere riformulata usando il quantificatore ∀:

∀ x y, se p(x) e p(y) allora x = y

Teorema di unicità del limite delle successioni

(a_n)_n ∈ N. Esiste al più un x ∈ R̅ tale che x è limite di (a_n)_n ∈ N. ∀ x ∈ R̅, ∀ x ∈ R̅, se x lim (a_n) e x lim (b_n), allora x = y.