istituzioni di matematica - vettori
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Cos'è un vettore?
Intiuitivamente si può pensare ad un vettore come ad un segmento orientato, al
quale per essere individuato completamente occorre assegnare:
- modulo (o intensità)
- direzione
- verso
e si rappresenta in questo modo:
Vettori equipollenti
Siano AB e CD due segmenti orientati. Diremo che AB e CD sono vettori equipollenti
se si verifica una delle seguenti condizioni:
(a) Se A coincide con B allora anche C coincide con D
(b) AB e CD appartengono alla stessa retta e hanno stesso modulo e stesso verso
(c) AB e CD appartengono a due rette parallele ed hanno stesso modulo e stesso
verso. Brevemente quindi diremo che due vettori sono equipollenti se
hanno modulo, direzione e verso uguali.
Vettore nullo
Si dirà vettore nullo quel vettore con intensità (modulo) nulla, privo di direzione e di
verso.
Versori
Esistono vettori molto speciali, detti versori, che possono essere utilizzati per
caratterizzare tutti gli altri vettori. Infatti un versore è un vettore di lunghezza
unitaria (modulo uguale a uno) il cui scopo è quello di indicare una direzione.
Dato un vettore v ad esso possiamo sempre pensare di associare un versore in questo
modo:
versore= v/IvI
dove IvI indica il modulo del vettore.
Un versore è quindi un vettore avente modulo peri a una e stessa direzione e stesso
verso del vettore a cui è assegnato.
Scomposizione e componenti cartesiane di un vettore
Prendiamo un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy e in esso un vettore v . Come
si trovano le componenti di un vettore?
Vx= è la componente di v lungo l'asse delle x
Vy= è la componente di v lungo l'asse delle y
Il procedimento da seguire per trovare le componenti è il seguente:
- si trovano le proiezioni del vettore sugli assi cartesiani (semplicemente tracciando le
perpendicolari agli assi partendo dagli estremi del vettore);
- a ciascuna di esse si assegna un verso concorde a quello del vettore stesso.
Nel nostro caso ad esempio il vettore v "punta in alto a destra" quindi la componente
lungo l'asse y punterà verso l'alto, quella lungo l'asse x punterà verso destra.
Se abbiamo un vettore "che punta in basso a sinistra" le sue componenti punteranno:
quella lungo l'asse y in basso e quella lungo l'asse x a sinistra.
La direzione di ogni componente sarà quella degli assi coordinati.
Tale procedimento seguito per trovare le componenti di un vettore prende il nome di
scomposizione di un vettore.
Come avrete notato tracciando le proiezioni del vettore sugli assi si viene a formare un
triangolo rettangolo .
Grazie alle formule trigonometrice sul triangolo rettangolo noto il modulo del vettore
possiamo ricavare algebricamente le sue componenti:
Una volta che il vettore v è stato scomposto nelle sue componenti vx e
vy esse stesse si possono utilizzare al posto del vettore che verrà scritto
come:
v= (vx,vy) oppure v=vxi+vyj
dove i e j sono rispettivamente i versori, che indicano la direzione degli assi.
Possiamo risalire al vettore v grazie alla formula:
Principali operazioni tra vettori
Somma e differenza tra due vettori
Siano u e v due vettori. L'operazione somma tra due vettori è una legge che associa
ai vettori u e v un nuovo vettore, detto vettore somma che indicheremo con u+v.
L'operazione differenza tra due vettori è una legge che associa ai vettori u e v un
nuovo vettore, detto vettore differenza che indicheremo con u-v .
Per trovare tale vettore ci sono due metodi. Si può procedere infatti per via
geometrica o per via analitica. Ovviamente dipende dalla particolare richiesta
dell'esercizio e soprattutto da come ci vengono assegnati i vettori.
Metodo grafico per somma e differenza di vettori: regola del
parallelogramma
Supponiamo che il vettore u sia rappresentato graficamente dal segmento orientato
AB, e che il vettore v sia rappresentato graficamente dal segmento orientato CD.
Per trovare il vettore somma u+v e il vettore differenza u-v procederemo nel seguente
modo:
- con una traslazione (che lascerà quindi invariata modulo, direzione e verso)
"spostiamo" il segmento orientato CD in modo che la sua origine C coincida con
l'origine A del segmento orientato AB;
- costruiamo il parallelogramma avente come lati i due segmenti orientati AB e CD;
- il vettore somma sarà dato dalla diagonale AE del parallelogramma (in rosso);
- il vettore differenza sarà dato dalla diagonale DB del parallelogramma (in blu).
Metodo analitico per somma e differenza di vettori
Supponiamo che dei due vettori u e v siano note le componenti, ovvero:
u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3)
Allora:
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher xmarty1994 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Istituzioni di matematica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Marchetti Elena.
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