istituzioni di matematica - vettori

Cos'è un vettore?

Intuitivamente si può pensare ad un vettore come ad un segmento orientato, al quale per essere individuato completamente occorre assegnare:

• Modulo (o intensità)
• Direzione
• Verso

e si rappresenta in questo modo:

Vettori equipollenti

Siano AB e CD due segmenti orientati. Diremo che AB e CD sono vettori equipollenti se si verifica una delle seguenti condizioni:

• (a) Se A coincide con B, allora anche C coincide con D
• (b) AB e CD appartengono alla stessa retta e hanno stesso modulo e stesso verso
• (c) AB e CD appartengono a due rette parallele ed hanno stesso modulo e stesso verso

Brevemente quindi diremo che due vettori sono equipollenti se hanno modulo, direzione e verso uguali.

Vettore nullo

Si dirà vettore nullo quel vettore con intensità (modulo) nulla, privo di direzione e verso.

Versori

Esistono vettori molto speciali, detti versori, che possono essere utilizzati per caratterizzare tutti gli altri vettori. Infatti un versore è un vettore di lunghezza unitaria (modulo uguale a uno) il cui scopo è quello di indicare una direzione.

Dato un vettore v, ad esso possiamo sempre pensare di associare un versore in questo modo:

versore = v/|v|

dove |v| indica il modulo del vettore. Un versore è quindi un vettore avente modulo pari a uno e stessa direzione e stesso verso del vettore a cui è assegnato.

Scomposizione e componenti cartesiane di un vettore

Prendiamo un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy e in esso un vettore v. Come si trovano le componenti di un vettore?

• V_x = è la componente di v lungo l'asse delle x
• V_y = è la componente di v lungo l'asse delle y

Il procedimento da seguire per trovare le componenti è il seguente:

• Si trovano le proiezioni del vettore sugli assi cartesiani (semplicemente tracciando le perpendicolari agli assi partendo dagli estremi del vettore);
• A ciascuna di esse si assegna un verso concorde a quello del vettore stesso.

Nel nostro caso ad esempio il vettore v "punta in alto a destra" quindi la componente lungo l'asse y punterà verso l'alto, quella lungo l'asse x punterà verso destra. Se abbiamo un vettore "che punta in basso a sinistra", le sue componenti punteranno: quella lungo l'asse y in basso e quella lungo l'asse x a sinistra. La direzione di ogni componente sarà quella degli assi coordinati.

Tale procedimento seguito per trovare le componenti di un vettore prende il nome di scomposizione di un vettore. Come avrete notato, tracciando le proiezioni del vettore sugli assi si viene a formare un triangolo rettangolo.

Grazie alle formule trigonometriche sul triangolo...