istituzioni di matematica - vettori

PER OGNI VETTORE ESISTE ED è UNICO L'OPPOSTO

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Prodotto di uno scalare per un vettore

Siano a un numero reale e v un vettore. Il prodotto di uno scalare (numero reale)

per un vettore è una legge che associa alla coppia (a,v) un nuovo vettore che si

indica con av e si dice prodotto di a per v.

Anche in questo caso per trovare tale vettore si può procedere per via geometrica o

per via analitica.

Metodo geometrico per il prodotto di un vettore per uno scalare

Supponiamo ci venga assegnato geometricamente (ovvero come segmento orientato)

il vettore v e sia dato a uno scalare :

- se a=0 o v=0 ovvero v è il vettore nullo allora av è il vettore nullo;

- se a diverso 0 e v diverso 0 allora av è un vettore avente:

-- direzione: uguale a quella del vettore v ;

-- verso: uguale a quello di v se a>0 , opposto a quello di v se a<0 ;

-- modulo: dato dal prodotto del valore assoluto di v per il modulo di a, ovvero: IavI=

IaIIvI

Metodo analitico per il prodotto di un vettore per uno scalare

Supponiamo che del vettore v siano note le componenti, ovvero v=(v1,v2,v3) e sia a

appartenente a R . Allora:

av=(av1,av2,av3)

ovvero si moltiplica ogni componente del vettore per lo scalare .

Proprietà del prodotto di un vettore per uno scalare

(1) Distributività del prodotto rispetto alla somma tra vettori: a(u+v)=au+av per

ogni u e v vettori e per ogni a scalare .

(2) Distributività del prodotto rispetto alla somma tra scalari: (a+b)v=av+bv per

ogni vettore v e per ogni a e b scalari.

(3) Associativa: a(bv)=(ab)v per ogni vettore v e per ogni a e b scalari.

Esistenza dell'elemento neutro: 1v=v per ogni vettore .

(4)

Prodotto scalare tra due vettori

Cominiciamo con la definizione da cui discenderanno tutte le proprietà.

Sia R uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo. Il prodotto scalare tra due

vettori di è un'operazione (x,y)= xy

che associa ad una coppia di vettore x=(x1,x2....xn) e y=(y1,y2....yn)

un numero reale così definito:

xy=x1y1+x2y2+....xnyn

Proprietà del prodotto scalare

Vediamo le proprietà del prodotto scalare:

1. Commutatività

xy=yx

2. Omogeneità:

(landax)y=landa(xy)

3. Proprietà distributiva del prodotto scalare rispetto alla somma:

(x+y)w=xw+yw

Norma di un vettore

La norma di un vettore v è un'applicazione che ad un vettore associa un numero reale

Con il simbolo IIvII indichiamo

IIvII= radicequadrata di x1^2+X2^2 ecc

In sostanza la norma è la radice quadrata della somma del quadrato delle

componenti del vettore.

Applicazioni di norma e prodotto

scalare

Grazie al prodotto scalare ed alla norma è possibile definire la nozione di

angolo concavo formato tra due vettori. Per ogni x e y non nulli sussiste la

relazione