istituzioni di matematica - vettori

Cos'è un vettore?

Intiuitivamente si può pensare ad un vettore come ad un segmento orientato, al

quale per essere individuato completamente occorre assegnare:

- modulo (o intensità)

- direzione

- verso

e si rappresenta in questo modo:

Vettori equipollenti

Siano AB e CD due segmenti orientati. Diremo che AB e CD sono vettori equipollenti

se si verifica una delle seguenti condizioni:

(a) Se A coincide con B allora anche C coincide con D

(b) AB e CD appartengono alla stessa retta e hanno stesso modulo e stesso verso

(c) AB e CD appartengono a due rette parallele ed hanno stesso modulo e stesso

verso. Brevemente quindi diremo che due vettori sono equipollenti se

hanno modulo, direzione e verso uguali.

Vettore nullo

Si dirà vettore nullo quel vettore con intensità (modulo) nulla, privo di direzione e di

verso.

Versori

Esistono vettori molto speciali, detti versori, che possono essere utilizzati per

caratterizzare tutti gli altri vettori. Infatti un versore è un vettore di lunghezza

unitaria (modulo uguale a uno) il cui scopo è quello di indicare una direzione.

Dato un vettore v ad esso possiamo sempre pensare di associare un versore in questo

modo:

versore= v/IvI

dove IvI indica il modulo del vettore.

Un versore è quindi un vettore avente modulo peri a una e stessa direzione e stesso

verso del vettore a cui è assegnato.

Scomposizione e componenti cartesiane di un vettore

Prendiamo un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy e in esso un vettore v . Come

si trovano le componenti di un vettore?

Vx= è la componente di v lungo l'asse delle x

Vy= è la componente di v lungo l'asse delle y

Il procedimento da seguire per trovare le componenti è il seguente:

- si trovano le proiezioni del vettore sugli assi cartesiani (semplicemente tracciando le

perpendicolari agli assi partendo dagli estremi del vettore);

- a ciascuna di esse si assegna un verso concorde a quello del vettore stesso.

Nel nostro caso ad esempio il vettore v "punta in alto a destra" quindi la componente

lungo l'asse y punterà verso l'alto, quella lungo l'asse x punterà verso destra.

Se abbiamo un vettore "che punta in basso a sinistra" le sue componenti punteranno:

quella lungo l'asse y in basso e quella lungo l'asse x a sinistra.

La direzione di ogni componente sarà quella degli assi coordinati.

Tale procedimento seguito per trovare le componenti di un vettore prende il nome di

scomposizione di un vettore.

Come avrete notato tracciando le proiezioni del vettore sugli assi si viene a formare un

triangolo rettangolo .

Grazie alle formule trigonometrice sul triangolo rettangolo noto il modulo del vettore

possiamo ricavare algebricamente le sue componenti:

Una volta che il vettore v è stato scomposto nelle sue componenti vx e

vy esse stesse si possono utilizzare al posto del vettore che verrà scritto

come:

v= (vx,vy) oppure v=vxi+vyj

dove i e j sono rispettivamente i versori, che indicano la direzione degli assi.

Possiamo risalire al vettore v grazie alla formula:

Principali operazioni tra vettori

Somma e differenza tra due vettori

Siano u e v due vettori. L'operazione somma tra due vettori è una legge che associa

ai vettori u e v un nuovo vettore, detto vettore somma che indicheremo con u+v.

L'operazione differenza tra due vettori è una legge che associa ai vettori u e v un

nuovo vettore, detto vettore differenza che indicheremo con u-v .

Per trovare tale vettore ci sono due metodi. Si può procedere infatti per via

geometrica o per via analitica. Ovviamente dipende dalla particolare richiesta

dell'esercizio e soprattutto da come ci vengono assegnati i vettori.

Metodo grafico per somma e differenza di vettori: regola del

parallelogramma

Supponiamo che il vettore u sia rappresentato graficamente dal segmento orientato

AB, e che il vettore v sia rappresentato graficamente dal segmento orientato CD.

Per trovare il vettore somma u+v e il vettore differenza u-v procederemo nel seguente

modo:

- con una traslazione (che lascerà quindi invariata modulo, direzione e verso)

"spostiamo" il segmento orientato CD in modo che la sua origine C coincida con

l'origine A del segmento orientato AB;

- costruiamo il parallelogramma avente come lati i due segmenti orientati AB e CD;

- il vettore somma sarà dato dalla diagonale AE del parallelogramma (in rosso);

- il vettore differenza sarà dato dalla diagonale DB del parallelogramma (in blu).

Metodo analitico per somma e differenza di vettori

Supponiamo che dei due vettori u e v siano note le componenti, ovvero:

u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3)

Allora: