Introduzione Calcolo Numerico

IL CAMPO D'AZIONE DEL CALCOLO NUMERICO

Si parte da un problema reale, fisico il quale vuole essere descritto in modo quantitativo (es. flusso di sangue in un'arteria: scrivere come v e p cambiano nell'albero arterioso). La velocità del sangue è caratterizzata da una quantità x(f) = soluzione fisica che esiste (il sangue va ad una certa velocità). Per determinare x(f) posso fare due cose:

1. Misure sperimentali, misurarla il che però può essere difficoltoso o costoso;
2. Approccio matematico: introduco una modellazione matematica del problema fisico (PM). Questo discende dal problema fisico a seguito a delle ipotesi (es. sangue liquidi newtoniano, ignoro globuli rossi nell'aorta ecc.), in base alle ipotesi modellistiche ottengo un modello matematico diverso che però ritengo idoneo per risolvere il problema. Tuttavia, quella che trovo non sarà x (soluzione reale) ma x , e voglio che x sia molto vicina a x (e questo dipende

dalle ipotesi che ho fatto).m f fIl problema lo scrivo come:

P(x , d)=0m

dove d sono i dati. Quindi è molto importante trovare i dati. Nel nostro esempio la geometria del vaso è un dato, non un'incognita.Il problema matematico, tuttavia, non è mai risolvibile a mano perché è un problema molto complesso, quindi la x so che esiste e fa parte di un problema ma non so determinarla con gli strumenti matematici. Introduco allora l'approssimazione numerica numerico=approssimato, qualcosa che vuol semplificare il problema di partenza e renderlo risolvibile. Adesso il problema numerico è risolvibile, mentre, non è detto quello matematico. La soluzione del problema numerico è x . Il problema numerico lo scrivo come:

P(x , d)=0

Quindi stiamo cambiando il tipo di problema. La speranza è che questo sia risolvibile e mi devo preoccupare che la x sia vicina ad x .n fCome si fa dal punto di vista pratico? SCRIVO ALGORITMI che sono

Le sequenze finite di operazioni elementari (somma, sottrazione ecc.) sono chiamate algoritmi. Gli algoritmi vengono risolti tramite l'utilizzo di un calcolatore, che è uno strumento che utilizziamo per eseguire operazioni di basso livello (+, -, ecc.) in tempi brevi. Tuttavia, l'algoritmo stesso deve essere scritto da noi, siamo noi che decidiamo quali operazioni eseguire. Alla fine della risoluzione dell'algoritmo, il calcolatore darà una soluzione x, che può essere diversa dalla soluzione x che avevamo inizialmente, a causa di piccoli errori introdotti dal calcolatore.

Dovremmo quindi essere sicuri che nel passaggio da tutte le soluzioni non abbiamo perso troppe informazioni.

Le questioni fondamentali nel calcolo numerico sono:

1. Come generare un problema numerico
2. Come trovare algoritmi appropriati: quando troviamo un problema, dobbiamo essere in grado di tradurlo in termini di algoritmi
3. Come valutare l'errore commesso durante il calcolo numerico

Verificare che x esiste e sia unica: il risultato deve essere matematicamente fondato e deve essere unico, altrimenti potrei avere troppe soluzioni. Verificare che sia stabile (cioè limitata in funzione dei dati): questo vuol dire che la soluzione non deve oscillare e diventare instabile quindi piccole perturbazioni sui dati devono produrre e piccole perturbazioni sulla soluzione. Verificare che il metodo sia convergente ovvero |x - x| = "piccolo": cioè la soluzione numerica en matematica devono essere molto vicine tra di loro. Qui si gioca la grande scommessa del calcolo numerico. Spero che x =x senza conoscere x. Quindi, calcolare la distanza (quindi l'errore) non è una cosa banale visto che non conosco una dei due. PROBLEMI MATEMATICI CHE AFFRONTEREMO 1. Radici di equazioni non lineari Quindi abbiamo delle funzioni non lineari e dobbiamo cercare di determinare i valori α per cui si tagli l'asse delle x, cioè valore per

cui f si annulla. I punti α in cui taglia l’asse delle t. in questo caso abbiamo 3 valori di α, supponiamo che f sia un polinomio e x non è altro che le radici del mio polinomio (α), i miei dati sono i coefficienti del polinomio.

In generale questo problema matematico non lo so risolvere per polinomi di alto grado o funzioni difficili come seno e coseno in cui non ho espressioni analitiche per risolvere il problema. Quindi? METODI NUMERICI

2. Sistemi lineari

Supponiamo siano sistemi di grandi dimensioni. In questo caso la soluzione matematica sia il vettore x. Quindi data la matrice A e i termini noti b devo determinare x.

3. Interpolazione

Voglio interpolare dei dati, o una funzione di cui conosco solo alcuni punti. I puntini sono le informazioni che ho, i dati. Nel caso visto, la soluzione x sarebbe un polinomio i cui coefficienti (che sono la vera x) determinano non il polinomio. Quindi voglio una soluzione numerica.

CALCOLO NUMERICO

Integrazione L'integrazione è un calcolo molto importante, ma anche esso non può essere risolto a mano (eccetto qualche caso semplice) allora servono delle tecniche numeriche per risolvere l'integrale. In grigio possiamo vedere due approssimazioni possibili x, quindi in grigio abbiamo due nx. Equazioni differenziali ordinarie (EDO) I dati in questi casi sono y, t e la funzione, quello che devo trovare è la y'. Notiamo che le x cambiano da dato a dato: nel primo e terzo caso è un set di valori, nel secondo è un polinomio, nel 4 è un numero e nel 5 è una funzione. Quindi la natura del problema matematico può essere differente e la numerica deve essere in grado di risolvere questi problemi. UN ESEMPIO CONCRETO Si consideri una popolazione di batteri in un ambiente limitato: - y = numero di batteri all'istante t=0 (noto) - y(t) = voglio sapere il numero di batteri in un certo istante t>0 - Conosco il

Il numero massimo di batteri B possibili nell'ambiente dato (B>y )0- Conosco il fattore di crescita k

Allora si usa un modello matematico di crescita:

Vogliamo approssimare la derivata: y’(t)= f(t, y(t))

Discretizziamo l'intervallo di definizione di y’ suddividendolo in N otto intervalli di larghezza h.

Ora introduco l'approssimazione numerica usando il rapporto incrementale.