Introduzione Calcolo Numerico

Calcolo numerico

Il campo d'azione del calcolo numerico

Si parte da un problema reale, fisico, il quale vuole essere descritto in modo quantitativo (es. flusso di sangue in un’arteria: scrivere come v e p cambiano nell’albero arterioso). La velocità del sangue è caratterizzata da una quantità x(f) = soluzione fisica che esiste (il sangue va ad una certa velocità). Per determinare x(f) posso due cose:

• Misure sperimentali, misurarla il che però può essere difficoltoso o costoso;
• Approccio matematico: introduco una modellazione matematica del problema fisico (PM). Questo discende dal problema fisico a seguito a delle ipotesi (es. sangue liquidi newtoniano, ignoro globuli rossi nell’aorta ecc.), in base alle ipotesi modellistiche ottengo un modello matematico diverso che però ritengo idoneo per risolvere il problema. Tuttavia, quella che trovo non sarà x (soluzione reale) ma x_m, e voglio che x_m sia molto vicina a x_f (e questo dipende dalle ipotesi che ho fatto).

Il problema lo scrivo come:

P(x_m, d) = 0

dove d sono i dati. Quindi è molto importante trovare i dati. Nel nostro esempio la geometria del vaso è un dato, non un’incognita.

Il problema matematico, tuttavia, non è mai risolvibile a mano perché è un problema molto complesso, quindi la x so che esiste e fa parte di un problema ma non so determinarla con gli strumenti matematici. Introduco allora l’approssimazione numerica; numerico = approssimato, qualcosa che vuol semplificare il problema di partenza e renderlo risolvibile. Adesso il problema numerico è risolvibile, mentre, non è detto quello matematico. La soluzione del problema numerico è x_n. Il problema numerico lo scrivo come:

P(x_n, d) = 0

Quindi stiamo cambiando il tipo di problema. La speranza è che questo sia risolvibile e mi devo preoccupare che la x_n sia vicina ad x_f.

Pratica del calcolo numerico

Come si fa dal punto di vista pratico? SCRIVO ALGORITMI che sono sequenze finite di operazioni elementari (somma, sottrazione ecc.). Gli algoritmi si risolvono tramite il calcolatore che è uno strumento che usiamo per fare qualcosa di basso livello (+ - ecc. in tempi brevi), ma l’algoritmo dobbiamo scriverlo noi, siamo noi che gli diciamo quale operazioni svolgere. Alla fine della risoluzione dell’algoritmo, il calcolatore darà una sua soluzione x_c, questa x_c è una soluzione diversa dalla x_n, perché il calcolatore introdurrà delle modifiche, dei piccoli errori:

x_c = soluzione computazionale

Dovrò quindi essere sicura che nel passare da tutte le soluzioni non abbia perso troppo informazione.