Integrali e le loro proprietà

Calcolo integrale

Il calcolo integrale ha l'obiettivo di calcolare delle aree.

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Sappiamo di avere una funzione g continua in un intervallo limitato e

Sia A la regione definita dall'insieme dei punti del piano contenuti fra x o x o g(x) a x x b e o y g(x).

Se G è una funzione derivabile tale che la derivata di G risulta uguale a g per ogni x appartenente a questo intervallo. Quindi: G'(x) = g(x) Area: A = G(b) - G(a).

Il calcolo integrale ha l'obiettivo di calcolare delle aree. Teorema fondamentale del calcolo integrale: Sappiamo di avere una funzione g continua in un intervallo limitato e semplici chiude da a a b. Sia A la regione definita dall'insieme dei punti del piano compresi... a ≤ x ≤ b e 0 ≤ y ≤ g(x). Se G è una funzione derivabile tale che la derivata di G sia uguale a g, per ogni x appartenente a questo intervallo. Quindi: G'(x) = g(x) Area: A = G(b) - G(a).

Esercizi d'integrazione

• g(x) = ¹/_1+x e 0 < x < 1
• g(0): 1
• g(1/2): 1/2
• G(x) = ln |x+1|
• A = G(1) - G(0)
• A = ln e - ln 1 = ln e

g(x) = sin x e [0, π] → G(x) = -cos x Area: A = G(π) - G(0) = -cos π - (-cos 0) == -1 +1 = 2.

g(x) = ¹/_1+x² e [0,1] → G(x) = arctg x A = G(1) - G(0) = arctg (1) - arctg (0) = π/4.

Caso particolare

g(x) = e^x2 con [0, 1] → G =? Non si può calcolare, ma esiste.

Funzioni in cui non si può calcolare G

1. g(x) = e^x2 (legge che regola il caso)
2. g(x) = sin x/x
3. g(x) = ln (1+x)/x
4. g(x) = e^x/ 1+x²

L'integrale è come se fosse la formula inversa della derivata: ∫g(x) dx = F(x)+c ↔ F'(x) = g(x). Dove F(x) è la funzione da integrare, F'(x) è c e il risultato con il sommo +cc è quindi qualsiasi costante, o∫a dx = ax + c.

Tabella integrali fondamentali

∫ g'(x)dx = g(x)+c

∫ a dx = a x+c

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/n+1 +c con n≠-1

∫ 1/x dx = log|x| + c

∫ sin x dx = -cos x + c

∫ cos x dx = sin x + c

∫ eˣ dx = eˣ + c

∫ e^x/k dx = k e^x/k + c

∫ a^x dx = a^x/log a + c

∫ dx/√1-x² = arcsin x + c

∫ -dx/√1-x² = arccos x + c

∫ dx/1+x² = arctg x + c

∫ -dx/1+x² = arcotg x + c

Concetto di primitiva

Il predicato e nome di PRIMITIVA di F e G è primitiva se F e G primitive uno è unica a differenza della quantità dei interni C₁ e C₂ [F(x)+C₁ - G(x)+C₂]=F(x). La primitiva non è una proprio se si prende una funzione F e ci si somma una costante C₁ infiniti elementi intorno di [intervallo d'arco] è primitiva.

Il concetto di PRIMITIVA è legato all'area secondo il seguente discorso, se: f è una funzione continua e positiva allora l'area della regione compresa tra il grafico di f e asse delle ascisse è data da A = F(b) - F(a).

Speranza di vedere in questo caso con la [...] di limite di funzione e voglia calcolare in una netta occasione il calcolare anche se non subito se non il calcolato. Invece sia nel integrare nei terreni rettangoli e nel calcolare per calcolare e né approssimando né risultato Approssimazione per Difetto Approssimazione per Eccesso. In questo caso l’area viene approssimata in maniera insoddisfacente in quanto si prendono tutti i punti che sono stati considerati inferiormente e quindi l'approssimazione migliore è sufficiente.

^infg(x) ≤ y_j(x) ≤ ^supg(x).

Funzioni di Riemann

Area_Δyj ≈ ∑_k=1 ^m g(x_k)(x_k − x_k−1) ≤ Area Area_Sup ≈ ∑_k=1 ^m (Sup_g)(x)(x_k − x_k−1) ≥ Area.

Se g è continua e se faccio tendere a 0 la massima ampiezza degli intervalli I_k: ∑_k=1 ^m (Inf_g)(x)(x_k − x_k−1) → e inf≤ A≤ e sup ∑_k=1 ^m (Sup_g)(x)(x_k − x_k−1) → e area.

∫_a^b g(x) dx = F(b) − F(a).

Quesiti

1. È vero che se g è integrabile l’indicatore sempre più piccolo e somme inferiori e superiori convergono allo stesso limite? Se lo, qual è l’interpretazione geometrica? No: Non è detto che convergano allo stesso limite, ma per qualunque funzione che si possa immaginare, la risposta è sì.
2. È sempre interpretabile come area, ma CAMBIA il SEGNO. Il risultato finale sarà una somma di superfici positive e negative.

Obiettivi

• Dimostrare che se g è continua l'integrale ∫_a^b g(x) dx = F(b) - F(a).
• Trovare regole per il calcolo di F.
• Trovare un metodo efficiente per il calcolo approssimato dell'integrale.

Metodo classico

Dividendo tutto in rettangoli e calcolandone l'area. 50 anni fa non c'erano i PC, in questo modo. Il metodo dei trapezi. Nel grafico accennato si vede una parte di quella utilizzata per la dimostrazione.

AREA DEL TRAPEZIO: (x_i - x_i-1) * (g(x_i) + g(x_i-1)) / 2.

F = ∫g (→F' = g).

∫g'(x) dx = g(x) + c → G = ? → G' = g quindi G = g.

∫∫ g_'(x) dx = g(x) + c → ∫^b_c g(x) dx = ∫_a^b dx = c∫ g(a)c dx.

∫_g1g(x) dx + ∫ g₂(x) dx.

Formula integrazione per parti

∫f₁(x)f'₂(x)dx = f₁(x)f₂(x) - ∫f'₁(x)f₂(x)dx.

Esercizi

1. ∫(x²-x+4)dx = ∫x²dx + ∫-xdx + ∫4dx = x³/3 - x²/2 + 4x.
2. Nell'integrare ho ottenuto una frazione abbinabile al numeratore xⁿ⁺¹ ÷ colui denominatore n+1.
3. ∫(x cosx +x +2) e^xdx = ∫x e^xdx + ∫sinx+1,3 e^xdx = x²/2 (1 + cosx) + 3e^x.
4. ∫(x +2) ÷ (x+1)dx = 9ffo ottenere numeratore+denominatore seguendo i seguenti passaggi x+1x+1 = 2 perchè fa comodo a passaggio successivo dx = (2 - ...)dx = ∫1dx - ∫...
5. ∫x sinx dx Ho 2 funzioni x e sinx e integro per parti, ma chi prendo come f₁ e chi come g₁. Nei casi in cui negli integrali ho 2 funzioni, di cui una trigonometra la conviene seguire questo schema: f₁ = sin x g₂ = x Quindi: ∫(x+1) cosx dx = f₁ = cos x interg = f₁f₂ + ∫f₂ = 2x Quindi: (x+1)cosx dx + 2x(cosx + sinx) Qui dovrei risolverti il numero dei primi due elementi just to orientera sinx + 0 and cosx parma.

Formula di integrazione per parti

1. ∫^b∫_a e^x dx ⇒ ^x=b[ e^x] ^x=a = e^b - e^{a e} ∫₀[ e^x] _-1 ⇒ ^x=b∫_a e^x dx = e^x ⋅ | ∫ = e^(b-a).
2. ∫ x⋅ln x dx u = ln x du = ¹/_x dx f = x df = dx = ∫ x⋅ln x dx.
3. ∫ x⁵ ln x dx = ^x5[ ∫(ln x dx) - ∫ ∫ (ln x) dx ] = x⁵ ln x - ^{x 5/3} ln x - ∫ x⁵ dx = x⁶ ∊ a_nx -∫ ∫ xⁿ dx.
4. ∫ x ⋅ arctg x dx x² arctg x = ∫ ^x2[¹/_4x²] - ∫ ^f'/x + 1 dx = x ⋅ arctg−∫ ^x2[(x(x+1)] -∫ x ⋅ arc tg x ) ·f − ∫ 1/(^1+2x ) − ^π/₂ arc tg x −¹/₂(x - arc tg x).

Integrazione per sostituzione

∫¹_4√x dx. Pongo √x = t ⇒ x = t² ⇒ dx = 2t dt. Quindi procedo: ∫₁^4√x 1/x dx = ∫ 1/t² dt = ∫ 1/(1 + t²) dt = ∫ arctg(t) dt = arctg(1) - arctg(0) = π/4= 2t - 2√(1 + t²) = 2√x - 2ln|1 + √x|.

Esercizio

∫ √(x-1)/x dx. Pongo √x-1 = t ⇒ x-1 = t² ⇒ dx = 2t dt. Sostituisco: ∫ 1/(x-1) dt = ∫ 1/(1 + t²) dt = 0 -2t - 2 arctg(t) = -2(x-1) - 2 arctg(√x-1).

Integrazione per parti

Formula: ∫f · g = f₁g₂ - ∫f₂g₂ dx.

Esempio: g(x) = arctg x. ∫ arctg x dx ⇒ scelgo le parti: f₁(x)= arctg x, f₂(x) = 1/(1 + x²)= x arctg x - ∫ x/(1 + x²) dx = x arctg x - x/2 ln(1 + x²) + c.

Rappresentazione delle funzioni a più variabili

Più variabili in una funzione indicano un piano o 3 assi e quindi non più solo in R ma in R²: f : I R ² R= f : A ⊆ R^k R.

Funzione del piano porzione contenuto Realtà dei numeri reali che variano da 00 - -00 R² = {(x,y) ∈ R}, x, y ∈ R} ⇒ x e y sono coppie di numeri reali.

Definisco un piano mentre R definire una retta: Definisco la distanza tra 1 e 2 Applico semplicemente Pitagora: d²= a²+b² (x_q-x_a) + (g_q-g_a) = ⇒d=√(x_q-x_o )² + (g_q-g_a)² g{=}a-b in R diventa d² in||R²||.

In situazione di g una variabile: f : I R si faceva il seguente grafico : f(x) f : R A ⊆ R² R ⇒ ↔ f(x,y) f(x,y) = 2 ↔ f(x,y).

Immagine di 2 e 3. Immagine x e g. Ho il mio insieme A di punti. Questo insieme mi definisce una superficie.

Esempi

• f = x² - y² Sella
• f = x² + y² Paraboloide
• f(x,y) = ₁/^{(x2 + y2)}

Per le funzioni ad una variabile, valgono le seguenti caratteristiche

1. CONTINUITÀ
   • \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)
   • Vale anche con f(x, y)
2. DERIVABILITÀ
   • Può valere per f(x, y)
3. CRESCENZA/DECRESCENZA
   • Non vale per f(x, y) perché non esiste un ordinamento.

Concetti teorici

Per ogni intorno V di f(x), esiste un intorno U di x_0 tale che se x \in U, allora f(x) \in V. Per ogni \epsilon positivo, esiste un \delta positivo tale che se la distanza tra x e x_0 è minore di \delta allora la distanza tra f(x) e f(x_0) è minore di \epsilon. Per FUNZIONI A PIÙ VARIABILI: diretta. \forall \epsilon \gt 0, esiste \; un \; \delta > 0 \; P(x, y) : \rho(x_0, y_0) , \; d(P, P_0).

Punto di vista pratico

Ho imparato metodi per avvicinarmi al punto nel piano (x, y). Questi metodi mi è servito capire quando una funzione è continua. Per semplici: c'è da dire che Ogni funzione è continua se non ci sono errori problemi che la rendono non continua. GRAFICO di f(x, y) = \sqrt{x^2+y^2} f(0, y) = \sqrt{0^2+y^2} = |y| → y -> \infty &implies |y| f(x, 0) = \sqrt{x^2+0^2} = |x| → y = 0 &implies |x| z.

Derivabilità per due variabili

Utilizzo le derivate dei due tagli del grafico_xlim_x⟶x₀f(x,y₀)-f(x₀,y₀)x-x₀_ylim_y⟶y₀f(x₀,y)-f(x₀,y₀)y-y₀.

Calcolo della derivata parziale rispetto ad x: ∂f∂x

Calcolo della derivata parziale rispetto ad y: ∂f∂y

Il calcolo generale definito non prende lo stesso significato di quello calcolato con una variabile: f(x,y)=f(x₀,y₀)+∂f_(x₀,y₀)(x-x₀)+∂f_(x₀,y₀)(y-y₀)+ε₁(x,y)∂x ∂y.

Equazione del piano tangente alla funzione

Quindi se ho la funzione d'esempio: f(x,y)=3xy+6xy.

Calcolare ∂f∂x(x,y). Calcolare ∂f∂y(x,y). L'equazione del piano tangente nel punto (x₀,y₀). Utilizzo le regole di calcolo e mantengo y=costante nel punto (3,4)f'_x(x,y) rispetto a x=3x²-0+y. Faccio lo stesso con x manteniendo x=costante nel punto (1,1)f'_y(x,y) rispetto a y=0=x+yz=f(x₀,y₀)+∂f∂x(x₀,y₀)(x-x₀)+∂f∂y(y₀,x₀)(y-y₀)=8-3+z7+(1+2x)(x-2)+(2,x)(y,y-1)(y-x)=(x₀,y₀)⟶z=7+13(x-2)-(y-1).

Proprietà degli integrali

• Additività: ∫_a^b(f(x) + g(x)) dx = ∫_a^bf(x) dx + ∫_a^bg(x) dx.
• Omogeneità: ∫_a^bα f(x) dx = α ∫_a^bf(x) dx.
• Monotonia: se f(x) > g(x) in [a, b] allora ∫_a^bf(x) dx > ∫_a^bg(x) dx.
• Propr. del Valore Assoluto: ∫_a^b|f(x)| dx ≤ ∫_a^b|g(x)| dx.

Primitiva del prodotto per una costante: ∫α f(x) dx = α ∫f(x) dx. Lo stesso non è per: ∫(f(x)g(x))' dx che invece si calcola come: ∫g(x)•g'(x) / f(x)•g'(x) dx = ∫g(x)•g'(x) dx + ∫f(x)•g'(x) dx e orasi isola il primo addendo al primo membro: ∫(f(x)g(x))' dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x) dx - ∫f(x)g'(x) dx.

Formula di integrazione per parti

Integrale di unione composto: g(g(x)) = ∫(g ∘ G∘g(x)) dx = ∫(g ∘ G(g(x)) • g'(x) dx ∫g'(x) / g(x)ⁿ dx - ∫(x² - 1 / 1) = k || g'(x)x³ dx = x || f'(x) ε I₂ = I₁(a^m+n+2(x))^-2 con a^-1 = 1.

Calcolo di...

∫(x-a)(x-b) dx / (x+b). Esistono due opportune costanti A e B tali che :(x-a) / (x-b) = A / (x-a) + B / (x-b) = A(x-b) + B(x-a) =(x-a)(x-b) / (x-a)(x-b). Perché l'uguaglianza sia vera dev'essere: A + B = 0 B = -A A: 1/(b-a) Ab + Ba = 1 A(b-a) = 1 B: 1/(b-a). Quindi: ∫_b-a 1/(x-a)(x-b) dx = ∫_1/(b-a) [1/(x-a)] - 1/(x-b) dx = ∫_b-a (1/x-a) dx - ∫_b-a 1/(x-b) dx == 1/b-a [ (ln|x-a| - ln|x-b| ) = 1/b-a ( ln |x-a| - ln |x-b|)].

Trasformazione lineare

(x′, y′) = (ax + by, cx + dy) => Cx + dy = αx + dy => (x′, dy). 1) b = 0 = β gα = 3β = 2g0 = d = 3y′ α = 4b = 2 "oggetto per trasfigurazione" A = area di partenza Area di arrivo ≠ A. 2) Concetto: ciascuna delle variabili viene moltiplicata ma non entra in gioco l'altra. a = cosθ c = sinθ b = -sinθ d = cosθ ∫ (x′, y′) ∫(x + by, cx + dy) => (cosθx - (sinθ)sinθx + cosθy). In questo caso l'area è invariata anche la trasfigurazione avvenuta. La figura di partenza ha semplicemente subito una rotazione di un angolo θ.