Integrali e le loro proprietà

CALCOLO INTEGRALE

Si calcola l'area continua in un intervallo limitato e definito dalla funzione g.

Sia A la regione limitata dell'insieme dei punti del piano con:

a ≤ x ≤ b e 0 ≤ y ≤ g(x)

G sia una funzione derivabile tale che la derivata di G è uguale a g, per ogni x appartenente a questo intervallo.

Quindi: G'(x) = g(x)

Area: A = G(b) - G(a)

Esempio di applicazione:

g(x) = 1/(1+x) 0 <= x <= 1

g(0) = 1

g(1/2) = 1/2

G(x) = -ln|x+1|

A = G(1) - G(0)

A = -ln 2 + ln 1 = -ln 2

g(x) = sin x e [0,π] → G(x) = -cos x

Area:

A = G(π)-G(0) = -cos π - (-cos 0) = -1 + 1 = 2

g(x) = 1/(1+x²) e [0,1] → G(x) = arctg x

Area:

A = G(1) - G(0) = arctg (1) - arctg (0) = π/4

Caso particolare:

g(x) = e^x con [0,1] → G = ? Non si può calcolare, non esiste

Funzioni in cui non si può calcolare G:

1. g(x) = e^xx
2. g(x) = sin x / x
3. g(x) = (ln(1+x))/x
4. g(x) = 1/√(x²)

L’integrale è come se fosse la formula inversa della derivata:

∫g(x) dx = F(x) + c F’(x) = g(x)

Dove F(x) è la funzione da integrare, F(x)+c è il risultato con la

c che è una qualsiasi costante.

∫a dx = ax + c

∫ g' ∫ g

g₁(x) · g₂(x) · g₁g₂ + g₃g₂dx = ∫ g₁g₂g₃ + ∫ g₂g₁² - g₁g' g₂

Formula integrazione per parti:

∫_a^bg₁(x) g'₂(x) dx = g₁(x) · g₂(x)_a^b - ∫_a^bg'₁(x) g₂(x) dx

Esercizi:

1. ∫(x² · x⁴ + 4) dx = ∫ x⁵ dx + ∫4x² dx = 2 · 5 = x⁵ - 2 ^x/_{1 x}

Negli integrali in b, ottengo una frazione. Sommo e sottraggo il denominatore.

2. (x · xsinx + x · e^x) = x · ∫ktdx + ∫sinx · xdx + ∫e³ dx + ... x⁴
3. ∫^x³/_x+1 dx = posso ottenere numeratore + denominatore eseguendo i seguenti passi:

1. x²+2/x = aggiungo un 2 perché fa comodo al passaggio successivo. Se aggiungo così, anche togliere.

(^x/_x+1 - ... (2 = ∫₂^x+1) dx = 2 ∫ dx = 2

a)

∫xsinx dx o flo 2 funzioni: x e ginsx. Integro per parti, ma chi prendo come g₀ e chi come g₁

Nel caso in cui negli integrali flo 2 funzioni, di cui una trigonometria fo conviene fare sempre questo schema:

g₁ = Sinx

g₂ = x

Quindi: ∫g'₂ · f₁ dx = x(&cosx) ∫ cosx · 1 dx = - x cos x + sin x

g'₁ = cosx

g'₂ =

5) ∫ (x+1) cosx dx g'₁ = g₂ =

g₁ = cosx e ^g'₁ =^x+1

g₂ = sinx

g'₂ = 2x

∫ (x+1) cos x dx = sinx - (x²+1) ∫ sinx - 2x dx = sinx x²+1) = 2(→ cosx + sinx →

= (x+1) sinx + 2x cosx

Bene tenere reinfilare le maggiori per integrals, uso le comuni: a t),

Per le funzioni ad una variabile, valgono le seguenti caratteristiche:

1. Continuità: lim x→x₀ f(x) = f(x₀) vale anche con f(x, y)
2. Derivabilità: può essere per f(x, y)
3. Crescenza/Decrescenza: non vale per f(x, y) perché non esiste un ordinamento.

Per ogni intorno V di f(x), esiste un intorno U di x, tale che se x ∈ U allora f(x) ∈ V.

Per ogni ε positivo, esiste un δ positivo tale che la distanza tra x e x₀ < δ implica |f(x) - f(x₀)| < ε

Per funzioni a più variabili, diretta:

∀ ε > 0 esiste un δ > 0: P(x, y) → P₀(x₀, y₀) d(P, P₀) < δ implica

|f(P) - f(P₀)| < ε

distanza tra i due punti (P e P₀)

Punto di vista teorico:

Punto di vista pratico:

Ogni funzione è continua se non ci sono evidenti problemi che la definiscono non continua.

Grafico di g(x, y) = √x²±y²

1. g(0, y) = √0+y² = y = x => x → ∞ => |y|
2. g(x, 0) = √x²±0 = ±√x² = x => y = 0 => |x|