Integrali e confronto con Serie Numeriche, Analisi matematica I

INTEGRALI

INTEGRAZIONE

1. Integrale di una funzione continua su un intervallo [a, b]

INTEGRALE DEFINITO

2. Integrale di una funzione continua sul [a, +∞)

INTEGRALE IMPROPRIO

1. f: [a, b] → R CONTINUA

Definiamo un oggetto matematico che denotiamo con

^b∫_a f(x) dx

e che crea un NUMERO

Sia n ∈ N

a = x₀ ............................. x_n = b

Si divida [a, b] in n parti uguali di lunghezza

L

Si considera un punto Z scelto a caso in ogni intervallo

Z_i ∈ [x_i-1, x_i] : i = 1, ..., n

b - a/n [(f(z₁) + f(z₂) + ... + f(z_n)]

= S_n(z₁, z₂, ..., z_n)

Si dimostra che

lim_n→∞ S_n(z₁, ..., z_n)

ESISTE FINITO ED È SEMPRE LO STESSO PER OGNI

SCELTA DEI PUNTI Z₁ Z_n

Tale limite si chiama INTEGRALE DEFINITO di f su [a, b]

e si denota con

^b∫_a f(x) dx { NUMERO, NON È UNA FUNZIONE DI X }

Esempio: f(x) = 2x [a, b] = [0, 2]

²∫₀ 2x dx NUMERO

z₁∈ [0, ¹⁄_n] ⟹ f(z₁) = 2z₁

z₂∈ [¹⁄_n, ²⁄_n] ⟹ f(z₂) = 2z₂

⋮

z_n∈ [^n-1⁄_n,1] ⟹ f(z_n) = 2z_n

¹⁄_n (2z₁+2z₂+⋯+2z_n) = S_n (z₁, z_n)

f(z_i) f(z_i) f(z_i)

lim_n→+∞ S_n (z₁, z_n)=

S_n (z₁,…,z_n) = ^{(2∙0+2+⋯+2∙n-1)}⁄_n

=²⁄_n (^1+2+⋯+n-1⁄_n)

= ^n(n-1)⁄₂

= n-1

= x+1

CASO PARTICOLARE

*

Sempre quello a sinistra

z₁ = 0

z₂ = ¹⁄_n

z_n = ^n-1⁄_n

FORMULA SOTTOTRAI N PRIMI N NUMERI

^1+2+⋯+k=K(^k+1⁄₂)

^{1+2+⋯+(n-1)} (^n-1) (ⁿ⁺¹) (^n-1)^⁄₂

= ²⁄_n (^1+2+⋯+n)^⁄_n)

= ²⁄_n (^1+2+⋯+n)^⁄₂)

=ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁄₂ = n+1

= x+2

Esito di sinistra

S_n = ⁿ + x^*

n→+∞

Esito di destra

S_n:n+x^*

n→+∞

CASO PARTICOLARE

↓

¹⁄_n

↓

z₁ z₂

n

= n

IL LIMITE È SEMPRE UGUALE

2

∫^b_af(x)dx + ∫^b_ag(x)dx = ∫^c_af(x)dx + ∫^b_cf(x)dx

3

∫^b_af(x)dx = -∫^a_bf(x)dx

4

f>0 ⇒ ∫^b_af(x)dx≥0

5

g≤h ⇒ ∫^b_ag(x)dx ≤ ∫^b_ah(x)dx

Integrale Definito

f: [a,b] →ℝ continua

n∈ℕ

S_n(z₁,...,z_n)=∑ⁿ_i=1(f(z_i))

Si dimostra che lim_[z1,...,zn]S_n(z₁,...,z_n) esiste finito e non dipende dalla scelta di z₁,...,z_n

Questo limite si denota con ∫^b_af(x)dx

Esempio: f(x)=c su [a,b]

∫^b_acdx=?

Basta solo applicare la definizione in questo caso

∫^b_acdx=lim_n→∞(b-a)/n ∑ⁿ_i=1(f(z_i))

f(z_i), fa sempre c

L'integrale di una costante è il prodotto di c volte l'ampiezza dell'intervallo

Quando c è negativo; integrale ≠ area, integrale= -area

Quando c è positivo c(b-a)

c+c+c+ ...+c = nc

n volte

∫^b_akdx=c(b-a)

ESEMPIO: f(x) = 3x² AD ESEMPIO

s(x) = x³ + c ∀ c ∈ ℝ

3x² è la derivata di x³

x³ è una primitiva di 3x²

x³ + c è una primitiva di 3x²

OSSERVAZIONE: Se g è una primitiva di f su [a, b] allora

g(x) + c per ogni c ∈ ℝ è ancora una primitiva di f su [a, b]

PRIMITIVA

Definizione: f parte da [a, b] → ℝ. Si dice che g: [a, b] → ℝ è una

primitiva di f su [a, b] se

1. g è derivabile
2. g' = f su [a, b]

ESEMPIO: f(x) = 4x³ su ℝ → s(x) = x⁴ è una primitiva di f su ℝ

la derivata di x⁴ è 4x³

una primitiva di 4x³ è x⁴

OSSERVAZIONE: Se g è una primitiva di f: [a, b] → ℝ, allora g(x) + c (c costante)

è una primitiva di f su [a, b]

OSSERVAZIONE: Ci sono altre primitive di f su [a, b] oltre a g(x) + c

c ∈ ℝ? NO

TEOREMA: CARATTERIZZAZIONE DELLE PRIMITIVE

Sia f: [a, b] → ℝ allora

1. se g è una primitiva di f su [a, b] allora g(x) + c, ∀ c ∈ ℝ

è una primitiva di f su [a, b]

2. se g e h sono primitive di f su [a, b] allora esiste c ∈ ℝ

tale che h(x) = g(x) + c, ∀ x ∈ [a, b] (o h(x) - g(x) = c)

SIGNIFICATO: due qualsiasi primitive di una stessa funzione

su [a, b] differiscono per una costante.

Esempio Fondamentale

∫₁^{∞ 1}⁄_x^α dx, α > 0 = lim_b→∞ ∫₁^{b 1}⁄_x^α dx

Teorema fondamentale del calcolo integrale

∫_a^b f(x) dx = G(b) - G(a) con G primitive f onde G'(x) = f(x) ∀ x ∈ ]a,x^°[

Ad esempio G(x) = ¹⁄_-α+1 x^-α+1 se α ≠ 1 G(x) = log |x|

∫₁^{b 1}⁄_x^α dx = G(b) - G(a) = se α ≠ 1: ¹⁄_-α+1 b^-α+1 - ¹⁄_-α+1

∫₁^{b 1}⁄_x dx = { [ ]_a^° log x ^b⁄₁ se α = 1 log b se e = 1

lim_b→∞ ∫₁^{b 1}⁄_x^α dx = * { ¹⁄_-α+1 se α > 1 +∞ se α < 1

* α ≠ 1 lim_b→∞ b^-α+1

α>0 -α+1>0 se α<1 lim_b→∞ b^-α+1 = { 0 se α<1

-α+1<0 se α>1 t ⥹ 1 0 se α>1

Conclusione

∫₁^{∞ 1}⁄_x^α dx CONVERGE se α > 1 * DIVERGE se α < 1

Interpretazione Grafica

¹⁄_x^α → 0