Integrali e confronto con Serie Numeriche, Analisi matematica I

INTEGRALI

INTEGRAZIONE

I Integrale di una funzione continua in un intervallo [a,b]

INTEGRALE DEFINITO

II Integrale di una funzione continua su [a,+∞)

INTEGRALE IMPROPRIO

I f: [a,b] → R CONTINUA

Definiamo un oggetto matematico che denotiamo con ∫_a^bf(x)dx

e che sarà un NUMERO

Sia n ∈ N

Si divide [a,b] in parti uguali di lunghezza b-a / n

Z∈[x_i-1, x_i], i=1, ..., n

S_n=(f(z₁), f(z₂), ..., f(z_n))

Si dimostra che lim_n→∞ S_n (z₁, ..., z_n)

ESISTE FINITO ED È SEMPRE LO STESSO PER OGNI SCELTA DEI PUNTI z_i

tale limite si chiama INTEGRALE DEFINITO di F su [a,b]

∫_a^bf(x)dx numero, non è una funzione di x

Esempio: f(x)=2x [a,b]=[0,1]

∫₀¹2xdx numero

0

INTEGRALI

INTEGRAZIONE

^I Integrale di una funzione continua su un intervallo [a, b]

INTEGRALE DEFINITO

^II Integrale di una funzione continua su [a, +∞)

INTEGRALE IMPROPRIO

^I f: [a, b] → ℝ CONTINUA

Definiamo un oggetto matematico che denoteremo con

^b∫_a f(x) dx

e che sarà un NUMERO

Sia n ∈ ℕ

Si divida [a, b] in n parti uguali di lunghezza

^b-a_n

Si considera un punto z_i ogni in ogni intervallo

S_n = f(z₁) + f(z₂) + ... + f(z_n)

Si dimostra che

lim_n→+∞ S_n (z₁, ..., z_n)

ESISTE FINITO ED È SEMPRE LO STESSO PER OGNI

SCELTA DEI PUNTI z_i

Tale limite si chiama INTEGRALE DEFINITO di f su [a, b]

e si denota con

^b∫_a f(x) dx

NUMERO, NON È UNA FUNZIONE DI X

Esempio: f(x) = 2x [a, b] = [0, 1]

¹∫₀ 2x dx

NUMERO

0

z_i ∈ [0, ²⁄_n] → f(z_i) = z_i

z_i ∈ ]²⁄_n, ³⁄_n] → f(z_i) = 2z_i

z_n ∈ [^n-1⁄_n, 1] → f(z_n) = 2z_n

⁄ ⁄_n (2z₁ + 2z₂ + ... + 2z_n) ≅ Sn (z₁, z_n)

Rim: Sn (z₁, z_n) = f(z_n) f(z_n) n → +∞

Sn (z₁, ..., z_n) = ¹⁄_n (2.0 + 2.¹⁄_n + 2.²⁄_n + ... + 2.^n-1⁄_n)

= ²⁄_n (¹⁄_n + ²⁄_n) = ^{(n+1) - 1}⁄_n ²⁄_n + 2.^{(n+1) - n}

⁄ ⁄_n (^n(n-1)⁄₂) = ^n-1⁄_n *

CASO PARTICOLARE

(*)

←

SOTTO QUELLO A SINISTRA

Z₁ = 0

Z₂ = ¹⁄_n

Z₃ = ²⁄_n

Z_n = n-1

FORMULA SOTTRATIVA PRIMI n NUMERI

1 + 2 + ... + k = k(k+1)^⁄₂ Sn (z₁, ... z_n) = ¹⁄_n (2.¹⁄_n + ²⁄_n + ²⁄_n) ⁺ ₊ ⁄ Sn (z₁, ..., z_n) = ²⁄_n ( ¹⁄_n + ²⁄_n + ...) = ²⁄_n ( ⁿ⁄_n ) = ²⁄_n ( ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾⁄_n) ⁿ⁄+1 _n

ESTREMO DI SINISTRA

Sn = n — ⁿ⁄_n → n → +∞

CASO PARTICOLARE

← 0

Z₁ = 0

Z₂ = ¹⁄_n

⁄ ²⁄_n = h

CASO GENERALE

z₁ ∈ [0, ¹⁄_n]

z₂ ∈ [¹⁄_n, ²⁄_n]

...

z_n ∈ [^n-1⁄_n, 1]

0 + ¹⁄_n + ... + ^n-1⁄_nz₂ + z₃ + ... + z_n

1 + ¹⁄_n + ..