Integrali - Analisi matematica 1

Lezione 12 - 02/11/2017

Integrale definito

Sia \( f: [a,b] \to \mathbb{R} \), limitata.

Costruendo la somma di Cauchy-Riemann

\[ S_n = \sum_{j=1}^{n} f(\xi_j) (x_j - x_{j-1}) = \frac{b-a}{n} \sum_{j=1}^{n} f(\xi_j) \] Dove la suddivisione dell'intervallo \([a,b]\) è individuato dai punti:

• a = x₀, x₁, x₂, ..., x_n = b, x_j = a + jh, h = \frac{b-a}{n}

La scelta dei punti \(\xi_j\) è arbitraria.

Si dice che la funzione \( f: [a,b] \to \mathbb{R} \), limitata, è integrabile secondo Riemann in \([a,b]\), se detta \( S_n \) la somma di Cauchy-Riemann, esiste finito il limite di \( S_n \) (per \( n \to \infty \)), e tale limite non dipende dalla scelta dei punti \(\xi_j\). Allora si pone:

\[ \lim_{n \to \infty} S_n = \int_a^b f(x) \, dx \]

\[ \int_a^b f(x) \, dx = \int_I f(x) \, dx, \, I=[a,b] è il dominio di integrazione \, dove \, a \, e \, b \, sono \, gli \, estremi \]

Se \( f(x) \) è positiva allora \(\int_a^b f(x) \, dx\) rappresenta l'area del "sottografico" di f(x).

Infatti, la somma \( S_n \) rappresenta un'approssimazione dell'area del "trapezoide \( T \)" individuato da f:

• T: \(\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: a \le x \le b, 0 \le y \le f(x) \}\)

Se \( f \ge 0 \Rightarrow \int_a^b f(x) \, dx = area \, di \, T \)

se in \([a,b], f \, cambia \, segno \, allora \, \int_a^b f(x) \, dx \, è \, sempre \, un \, numero \, ma \, non \, rappresenta \, più \, l'area \, del \, sottografico \, di \, f.

\[ \int_a^b f(x) \, dx \, è \, un \, numero, \, non \, dipende \, da \, x \]

Se f cambia segno in [a,b] e si vuole calcolare l’area del sottografico di f, allora si deve suddividere l’intervallo in tanti intervallini di cui f di segno costante

L’insieme delle funzioni integrabili, secondo Riemann in I_f[a,b], si indica con R(f) o R([a,b])

R(f) non è vuoto, infatti ogni funzione costante g=c è integrabile su qualunque intervallo [a,b] e si ha:

Per qualunque suddivisione di [a,b] si ha:

S_c=∑_j=3⁴f(ξ_j)∙(x_j−x_j−1)=∑_j=3^b−2(b-a)∙c=C₁+C₂+…+C (n volte)

• Se f: [a,b]→R è continua, allora è integrabile
• Se f: [a,b]→R è monotona e limitata, allora è integrabile
• Se f: [a,b]→R è limitata in [a,b] con un numero finito di punti di discontinuità, allora è integrabile

Estensibile a punti di discontinuità infiniti, ma non devono essere troppo

LEZIONE n° 6

06/11/2017

Ricordando la derivata di funzione composta, si ha:

∫f(g(x)) g'(x) dx = F(g(x))+c

Integrazione per parti

Siano f e g due funzioni derivabili con derivata continua, si ha:

∫f(x)g'(x)dx = f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx → f(x) = fattore finito

essendo f e g continue, gli integrali

sono ben definiti    -g'(x)dx = fattore differenziale

Considerando la formula di derivazione di un prodotto:

[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) integrando membro a membro si ha:

∫[f(x)g(x)]'dx=∫f'(x)g(x)dx+∫f(x)g'(x)dx

essendo f,g una primitiva della sua derivata f‚g&tiny;′ si ottiene la tesi

Integrazione per sostituzione

(basato su regola di derivazione della funzione composta)

Sia f continua e g una funzione derivabile con derivata continua, si ha:

∫f(t)dt → ∫f(g(t))g'(t)dt → se x=g(t) allora dx=g'(t)dt

e il differenziale di g'(t)

se F(x) è una primitiva di f(x), ricordando la regola di derivazione della funzione

composta si ha: [F•g]'(t)=F'(g(t))g'(t)=f(g(t))g'(t)

cioè (F•g)(t)=è una primitiva di f(g(t))g'(t)

il risultato dell'integrazione per sostituzione è in funzione di t, per esprimerlo

in funzione di x occorre che g(t) sia invertibile, in tale caso basterà risostituire a t:

t=g&small;ˆ(x)

Se l'integrale è definito: ∫_a^bf(x)dx e si effettua la sostituzione x=g(t),

suggerendo che x = a → a=g^-(a) → si ha: ∫_c^df(x)dx=∫_a^bf(g(t))g'(t)dt

Metodo di integrazione delle funzioni razionali fratte

∫N(x)/D(x)dx N(x), D(x) polinomi in x

1°caso: grado (N(x)) < grado (D(x))