Integrale di seconda specie

Integrali di II specie: L'integrale di linea

γ: [a, b] → Rⁿ

^F(μ_(γ))

F: A ⊆ Rⁿ → Rⁿ a pezzo A ⊃ γ′([a, b])

<F(γ′(t)), γ′(t)> Δt

→ ∑_t <F(γ′(t)), γ′(t)> Δt

∫_γ F(x)dx = ∫_a^b < F(γ′(t)), γ′′(t) > dt --->

Integrale del campo

---> due modi clamor prezoo...

Se consideriamo la curva definito da γ̂(s)=γ̂(b+a-s) dna

per raggiungere la medesima curva di γ̇.

Calcoliamo l'integrale esteso a γ̂

∫_γ̆^b FαdX = ∫_a^b <F(γ̇′(s)), γ̇′′(s)> ds = ∫_a^b <F(γ̇(b+a-s)), γ̇′(a+b-s)> (-1) ds †

poniamo a+b-s=t

-ds=dt

∫_α^Θ <F(γ′(t)), γ′(t)> (-dt) = ∫_B <F(γ̂(t), γ′′(t)) dt =

-∫_α^μ < F(γ′(t), γ''(t) > dt

curators combiundo il verso di percorrenza cambia il signum

Integrali di II specie: l'integrale di linea

^γ'[a, b] → ℝⁿ

F(γ'(t)₁)

∫_γ F(x)dx = ∫_a^b <F(γ'(t)), γ''(t)> dt

Calcoliamo l'integrale esteso a γ̂

∫_γ̂ F(x)dx = ∫_a^b <F(γ'(s)), γ''(s)> ds = ∫_a^b <F(γ'(b+a-s)), γ'(a+b-s)> (-1) ds

Θ = -∫_a^b <F(γ'(t)), γ''(t)> (-dt) = -∫_a^b <F(γ'(t)), γ''(t)> dt

Equivalente/associato con le 1-forme differenziali

si associa univocamente una forma differenziale

w: C_r(A) -> C(A) dove con A aperto di Rⁿ

per ogni w è definita

Ω = Σ_i=1ⁿ a_i(x) ∂/∂x_i

a_i: A -> R continua in A ∀i=1,...,n

-> Ω(f) = Σ_i a_i(X) ∂f/∂x_i

Es Ω(x,y) = x ∂/∂x -4 ∂/∂y

Es f=xy ⇒ Ω(f) = xy_x + yx = 2xy = Ω(F) = a=0

Es w ∈ R³ Ω = ∂/∂x + ∂/∂y + ∂/∂z

Ω(f) = ∂f/∂x + ∂f/∂y + ∂f/∂z = dwf

NOTAZIONE PER INDICARE UNA 1-FORMA

per n=2,

Ω = a(x,y)dx + b(x,y)dy con a,b ∈ C(A) A

per n=3,

Ω = a(x,y,z)dx + b(x,y,z)dy + c(x,y,z)dz con a,b,c ∈ C(A) A

A è detto dominio della 1-forma diff. Ω

k qualsiasi

1-form. omogenea

DEF:

Ω_ω ^∞ = ∫ F ω (X) dλX

dove F_o e il campo

• F_o(x,y) = (a(x,y), b(x,y)) per n=2
• Fo k'(y) = 0

  = k = cost.

  => abbiamo trovato buona primitiva f = 1/2log(x²y²)²+k

  j.c.e. di f deve coincidere con quella di F. ℝ

  ES.2

  Campo rotor, con una annuetta primitiva

  dω = ^y⁄_x²+y² dx - ^x⁄_x²+y² dy, j.c.e. ℝ²\{0,0}

  • ∂^(y⁄_x²+y²) = ^2xy²-2y²⁄_(x²+y²)²
  • ∂^x⁄_(x²+y²) = ^-x2y⁴ dx²⁄_(x²+y²)²

  ( è chiuso! )

  Proviamo a calcolare una primitiva

  f(x,y) = ∫^y⁄_x²+y² dx + k(y)

  f(x,y) = ∫_√x,y - x^-2 y dx + k(y) = y arctg ( x/y ) 1/y + k(y) = arctg (x/y) + k(y)

  Calcoliamo ∂f/∂x = -x/y² - 1/x² y + k'(y) = -x/x² y² + k'(y)

  Confrontiamola con F₂

  k'(y) = 0 ⇒ k = cost.

  ...ma quale c.e. di f ? c.e. e IR² con y ≠ 0

  f= una primitiva solo in alcuni Pti⇒ non è globale

  F non ammette primitiva

  Calcoliamo ora l'integrale di linea con y = circonferenza di centro (0,0) e raggio R.

  ∮_γ ω = ∫₀^2π [ (R sin t / R^-1 - R cos t / R), (R sin t , R cos t) ] = -2π

  Collegamento tra integrale di linea di un campo vettoriale e l'esistenza di una sua primitiva

  Consideriamo γ una curva regolare e supponiamo che F = ∇f, f ∈ C¹(A), Δ ⊂ curva

  ∫_a^b ω_F = ∫_a^b ⟨ F (γ(t)), γ'(t) ⟩ dt = ∫_a^b ⟨ ∇f(γ(t)) γ'(t) ⟩ dt =

  = ∫_a^b d/dt f (γ(t)) dt = f(γ(b)) - f(γ(a))

  Prop. Se F è dotato di primitiva ⇒ ∀ γ ⊆ A, ∫_γ ω_F = f(γ(b)) - f(γ(a))

  in particolare

  ∮_γ ω_F = 0 ∀ γ

              ↑

              _{circuitazione} ⇒ campo conservativo

  DEF F si dice conservativo su A ⊂ ℝⁿ se

  ∮_γ ω_F = 0 ∀ curva regolare chiusa ⊆ A

  Si può dimostrare che l'ammette potenziale/primitiva ⇔ F è conservativo in A.

  OSS. Si può costruire un potenziale per F,

  f(x,y,z) = ∫_P^A ω_Fy (x,y,z)

  Campi conservativi

  Riscriviamo la definizione:

  F è conservativo, F: A ⊂ Rⁿ → Rⁿ, F ∈ C(A) se ∀ curva regolare γ contenuta in A e chiusa in A ⇒ ∮ γ ω_F = 0

  Condizione necessaria affinché F ammetta una primitiva è che:

  ∂F₁ ∂F₂ ∂F₃ ∂F₃ ∂F₃ ∂F₁── = ──, ── = ──, ── = ── in A. (Rot F = 0)

  ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂z

  (Per Schwarz)

  • Se F ammette primitiva f ∈ C¹(A), (∇f = F) allora

  γ ω_F = f(γ_P(b)) - f(γ_P(a))

  • Se F ha una primitiva in A, allora ∮ γ ω_F = 0 (conservativo)
  • Se F è conservativo allora ∃ una primitiva

  La condizione rotF = 0 in A è necessaria e sufficiente se il dominio A è semplicemente connesso.

  TH. di POINCARÉ (conservativo irrotazionale)

  Definiamo prima il dominio stellato:

  un dominio A si dice stellato rispetto ad x₀ ∈ A se ∀ x ∈ A il segmentoche unisce x ad x₀ è contenuto in A.

  • è contenuto è chiuso.
  • A è stellato rispetto ai è chiuso ma non convesso.

  Se F ∈ C¹(A) con A stellato rispetto ad x₀ ∈ A, allora F ammetteuna primitiva (o potenziale) conservativo irrotazionale rot F = 0Dim. (per il caso piano, n=2)

  Prendiamo A e due pt. (x, y) e (x₀, y₀) e congiungiamolicalcoliamo l'integrale di linea del campo sul segmento congiungente

  Definiamo f(x,y) = ∫^x dove [x, y]^T

  γ(x, y) = { {x(t) = x₀ + t(x - x₀){y(t) = y₀ + t(y - y₀) 0 ≤ t ≤ 1}

  luogo campione per passare uni pic da (x₀, y₀) a (x, y)

  Mostriamo che f è una primitiva per F.

  f(x,y) = ∫₀¹ < F(γ₁(t)), γ'₁(t) > dt = ∫₀¹ < F(x₀ + t(x-x₀), y₀ + t(y-y₀)), (x-x₀, y-y₀) > dt

  L'integrale è mdt ma ho dipendente da x̅ y̅ t.

  3) Formula di derivazione sotto segno di integrale

  Mostriamo che

  ∂F₁(f₁,f₂)(g₁,g₂) = ₂/^∂xf₁(g₁ + f₁^{∂x-1g₁ + ∂xg₂ + ∂_∂x}f₂ Θ

  Θ = < ∂₂f , f₁,f₂ , (g₁,g₂) > + < (-f₁,f₂ ) , ∂_∂yg₁,_{∂g2) >}

  Allora posso scrivere

  ∂f_x(x,y) = ∫₀^{1 2F}/_∂x(x₀ + t(x-x₀), y₀ + t(y-y₀)), (x-x₀, y-y₀) dt θ

  θ = ∫₀¹ < ( F(..) ) (1, 0) > dt

  F₂(γ'(t)) = _∂F2/∂x γ'(t) t

  Anche

  ∂²FHD(t) = < ∇F₁(γ(t)), ∂^xγ(t) > = ∂^F₁/∂x (γ'(t)) t

  ∂_x

  Abbiamo aueca a postruitc

  ∂f_x∫¹₀ = ^∂F₁/∂x γ'(t). t. ^x-x₀ + ^∂F₂/∂x γ'(t)). t ( y-y₀) θ

  + ∫₀¹ F₁ (γ')dt con γ'(t) = ( ^x₀/_y0 ) + t ( ^x-x₀/_y-y0 )

  So che ^∂F₂/∂x = ^∂F₁/∂y

  Osserviamo che

  dF₁ (γ') t^Δ = < αF₁(γ'(t)), ∇f₁(γ'(t)) ), γ'(t)), t = F₁

  = ∂^2F₁/∂x (γ(t))(γ(t)(x-x₀)t + ∂^2F₁/∂y γ(t))(y-y₀ )t + F₁ (γ'(t))

  Dal confrareu con la sua integranda, nelia ∂F_∂⁰possono ricavuuo integrale cosi.

  ^∂F₂/∂x