Insiemistica

Insiemistica

Un insieme è una qualunque collezione di oggetti, detti gli elementi dell’insieme. Esempi di insieme sono:

• A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• B = {a, b, c, d, e}
• C = {Anna, Giovanni, Mattia, Arianna}

Negli insiemi è irrilevante l’ordine in cui gli elementi sono scritti, così come è irrilevante il fatto che un elemento compaia più volte, ad esempio:

A = {1, 2, 3, 4, 3, 2, 1}

Appartenenza di un elemento a un insieme

Se un ipotetico elemento “x” dovesse appartenere a un determinato insieme A, possiamo utilizzare la notazione x ∈ A (“l’elemento x appartiene all’insieme A”) per denotare che tale elemento appartiene all’insieme.

Se invece un ipotetico elemento “x” non dovesse appartenere a un determinato insieme A, possiamo usare la notazione x ∉ A (“l’elemento x non appartiene all’insieme A”) per denotare che tale elemento non appartiene all’insieme.

Ordine di un insieme

Dato un insieme S, si denota con il simbolo |A| l’ordine di A, ossia il numero di elementi di A. Per esempio, consideriamo l’insieme B precedentemente definito:

B = {a, b, c, d, e}

L’ordine di B, ossia il numero di elementi di B, è: |B| = 5

Insiemi finiti e infiniti

All’idea di “ordine” è strettamente collegato il concetto di “finito” ed “infinito”. Un insieme si dice finito se il numero di elementi (il suo ordine) è finito; altrimenti si dice infinito.

Se un insieme non contiene elementi si definisce “vuoto” e tale condizione si indica con il simbolo “∅”, mentre se un insieme contiene un solo elemento si definisce “singleton”.

Modi di rappresentare gli insiemi

In insiemistica ci sono tre modi diversi per rappresentare gli insiemi:

• Elencando gli elementi dell’insieme
• Stabilire una proprietà che sia soddisfatta da tutti gli elementi dell’insieme
• Rappresentare l’insieme graficamente con il diagramma di Venn

Esempi:

1. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Questo metodo è valido finché l’insieme è finito o gli elementi da rappresentare non sono di numero elevato.
2. B = {x : x è un numero pari}. I “due punti” vengono letti “tale che”. Quindi in questo caso l’insieme B contiene tutti gli elementi “x” tale che “x” è un numero pari.

Sottoinsiemi

Sia A un insieme. Un insieme B si dice “sottoinsieme” di A se ogni elemento dell’insieme B appartiene all’insieme A, in simboli:

B ⊆ A, b ∈ A, ∀ b ∈ B (b appartiene ad A per ogni elemento b preso dall’insieme B).