Introduzione: insiemistica

Insiemi e numeri

Monday, September 16, 2019 11:34

Dati utili

• No lezioni mercoledi e giovedi (sett. 16/09-20/09)
• Libro di testo: vedere con algebra lineare
• Eserciziario: a scelta tra quelli indicati, anche disponibile online

Introduzione agli insiemi

Il primo insieme è quello dei num. naturali N.

• N = insieme dei naturali (-> N = {elenco elementi/proprietà})
• e.g. N = {0, 1, 2, ...}

Gli insiemi vengono ampliati con Z, l'insieme dei num. interi.

• Z = numeri interi (naturali con segno) -> Z = {..., -1, 0, 1, ...}

L'insieme N è chiuso rispetto a somma e prodotto algebrica.

• Insieme chiuso = il risultato di somma/prodotto di elementi di N appartiene ancora ad N. Quindi ∀x,y ∈ N ⇒ x+y ∈ N

Il ragionamento non è valido per differenza o rapporto;

Z invece è algebricamente chiuso rispetto a somma, prodotto, differenza.

Infine, a definire l’ampliamento di Z è l’insieme Q come:

• Q = {numeri razionali} = {^p/_q tali che p,q ∈ Z, q ≠ 0}.

I razionali sono algebricamente chiusi rispetto a tutte le 4 operazioni.

Insiemi e numeri

Dat utili

No lezioni mercoledì e giovedì (set. 16/09 - 20/09)Libro di testo: vereone con algebra lineareEserciziario: a scelta tra quello indati, aut dispore online

Introduzione agli insiemi

Il primo insieme è quello dei num. naturali NN ⇒ insieme dei naturali (⇒ N = {elenco elementi/proprietà})E.g. ^N₀ = {0, 1, 2, ...}

Gli insiemi vengono augulati con Z, è l'insieme dei num. interi.Z ⇒ numeri interi (naturali con segno) ⇒ Z = {0, 1, -1, ...}

L'insieme N è chiuso rispetto a somma e prodotto algebraicamente chiuso ⇒ il risultato di somma/prodotto di elementidi N appartiene sempre ad N. Quindi ∀x,y∈N ⇒ x+y∈N

Il ragionamento non è valido per differenza o rapporto ;Z invece è algebraicamente chiuso rispetto a somma, prodotto, differenzaInfine o definisce l’aulimentamento di Z e l’insieme Q come:Q = {numeri razionali} = {^p/_q tali che p,q∈Z, q≠0}.

I razionali sono alqu. chiusi rispetto a tutte le 4 operazioni.

Struttura di campo

Struttura di campo Q

Si definisce la struttura algebrica di campo come un insieme non vuoto definito nelle operazioni di somma (+) e prodotto (∙), e relative proprietà commutative, associative e i relativi elementi neutri (0 e 1 per Q).

Q è struttura di campo; si definiscono le proprietà:

• commutativa;
• associativa;
• distributiva.

∀x,y∈Q x∙y=y∙x

∀x,y,z∈Q x∙(y+z)=x∙y+x∙z (x+y)∙z=x∙z+y∙z

Per quanto riguarda gli elementi neutri di + e ∙ si definisce elemento neutro quell'elemento del campo che, se operato (+ e o ∙) a qualunque altro elemento di Q, lo lasciano invariato. Quindi:

1. Somma: l'e.n. della somma è 0 → ∀x∈Q x+0=x;
2. Prodotto: l'e.n. del prodotto è 1 → ∀x∈Q x∙1=x.

Grazie a queste proprietà si definiscono anche gli elementi inversi, ovvero quell'elemento che se sommati o moltiplicati per qualunque altro elemento, danno come risultato 0 e 1. Quindi:

1. Somma → opposto: x+(-x)=0;
2. Prodotto → reciproco: x∙x^-1=1.

Per Q vale la p. distributiva → x∙(y+z)=x∙y+x∙z. (lega somma e prodotto)

Q si definisce anche campo ordinato → dati 2 x,y∈Q posso sempre sapere quale è il minore o se è uguale/vero reso a → x≤y può essere sempre risolta.

Insieme R

L'insieme R

L'insieme dei numeri reali R comprende i valori di Q e i numeri irrazionali, ovvero quelli non esprimibile sotto forma di frazione.

Q ed R è un campo ordinato. Posso quindi rappresentarne i valori su una retta orientata.

R è continuo, ovvero non presenta interruzioni sulla linea puntata.

Q non è continuo invece, dato che non presenta gli irrazionali.

Prendo approssimazioni reali come esempio di √2, trovo infinite approssimazioni reali (appartenenti a Q) di √2, con errore piccolo a piacere: (1,4 - 1,41 - 1,42 - 1,57). Per questo motivo, Q si dice denso in R.

N.B. Gli irrazionali hanno rappresentazione decimale infinita non periodica; i razionali Q hanno forma decimale finita o infinita periodica.

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Dimostrazioni

Dimostrazione: irrazionalità di √2

Procedo per assurdo → √2 è razionale → √₂ = p/qp, q sono primi fra loro, ovvero non hanno fattori in comune.(ovvero √₂ non è semplificabile).Elevo al quadrato → 2 = p²/q² → 2 ⋅ q² = p².

- p, q sono entrambi dispari → no perchè p², p² non può    contenere.    due di loro disporre. 2q² = p² non vale.- q dispari, p pari → p² dispari, q² pari → no dato chep² è dispari e non vale    2q² = p².

- p pari, q dispari. p è pari se contiene 2 come fattore (es.    p₂ = 2³ ⋅ 5¹ ⋅ 11) e quindi p² = 2³.    Equindi p² = 2^m.Il fattore 2 di p² ha tutti esponenti pari, mentre q non ha    come fattore → 2 ⋅ q² = p² → 2¹ ⋅^...^ 2^k = ^...^.    Si equagliuzzano non è valida perchè    sono ridotti ai minimi termini p e q, ma hanno 2¹ e 2^k.    Come fattori anche se sono uguagliati.√2 non è razionale.

Dimostrazione di Pitagora

L'area del rettangolo grande è(a + b)² = a² + 2ab + b² = 4 ⋅ a ⋅ i    + A    Qundi a² + 2ab + b² = 4 ⋅ a ⋅ i - A    A = quadrato→i² = a² + b²     Di lati i    i = ^√a2+b2

Si parla di anonomi o particulati in caso di assunto che nonvengano dimostrati ma considerati veri è fondanti del teorema,dimostrati (es: Euclide).

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