Ingegneria Sanitaria Ambientale (9 CFU) con esercitazioni

A

Tempo Volume

USCITA: Q

Allo stesso modo possiamo esprimere l’ uscita come prodotto tra la portata volumetrica e la concentrazione di specie

A in uscita.

GENERAZIONE (REAZIONE): A

Deve esprimere la quantità in massa della specie che nel tempo viene consumata (o prodotta) durante la reazione.

r (dimensionalmente una concentrazione su tempo). Poiché inoltre la

Deve quindi comparire la velocità della reazione A

concentrazione di per sé è un massa per unità di volume avremo:

[ ]

[ ]

= =

r Concentraz

ione Massa

A Tempo Volume Tempo V

Per ottenere dimensionalmente una massa su tempo dovremo moltiplicare per il volume di fluido presente nel reattore

(poiché siamo nell’ ipotesi di stazionarietà idraulica esso equivale al volume del reattore).

r

Ricordiamo che la velocità di reazione dipende dal valore della concentrazione (in maniera diversa a seconda della

A r

C

cinetica di ordine 0, 1, 2, saturazione). Essa sarà quindi funzione di . Ricordando che è espressa come:

A

Au

α

α

= − = −

( ) (

1

)

r K C r K C

avremo, se trattassimo ad esempio una cinetica di ordine 1:

A A A Au

ACCUMULO:

Il termine di accumulo è dovuto al fatto che all’ interno del sistema in un certo intervallo di tempo avviene una

variazione di concentrazione o di volume o di entrambi. In generale quindi esso è esprimibile come segue:

( )

d C V

Au che è dimensionalmente una massa su tempo.

dt

Da notare che consideriamo la concentrazione in uscita poiché si tratta di un reattore CFSTR nel quale la

concentrazione all’ interno del reattore è uguale alla concentrazione in uscita.

Il precedente bilancio di massa è quindi esprimibile come:

( )

d C V = − +

QC QC r V

Au Ai Au A

dt 3

Abbiamo già ipotizzato la stazionarietà idraulica. Supponiamo ulteriormente che anche la reazione avvenga senza

variazione di volume nel tempo. Andiamo a scomporre la derivata del prodotto di funzioni:

dC dV dV

+ = − + =

V 0

QC QC r V

V C

Au poiché è costante, allora , resta quindi:

Au Ai Au A

dt dt dt

dC = − +

Au

V QC QC r V EQUAZIONE DI BILANCIO PER IL CFSTR

che è l’

Ai Au A

dt C C

Si tratta di una equazione differenziale del primo ordine in . Se vogliamo ricavare l’ andamento di attraverso

Au Au

r

l’ integrazione dell’ equazione, dobbiamo specificare per il tipo di cinetica in corso.

A

APPLICAZIONE DEL BILANCIO DI MASSA AL REATTORE PFR dV Q

Q

Assumiamo le stesse ipotesi del reattore CFSTR, cioè: +

C ( x dx , t )

C ( x , t ) A

A A

= =

Q Q Q

Hyp stazionarietà idraulica C

C

i u A u

A i

volume costante +

x x dx

Per il PFR non è possibile esprimere il bilancio di massa su tutto il reattore. Questo perché in tale tipo di reattore la

concentrazione varia per ogni sezione trasversale del reattore, cioè man mano che il volumetto avanza. Inoltre poiché la

r

velocità di reazione dipende dalla concentrazione, avremo che anche sarà diversa in ogni sezione trasversale.

A dV

Andiamo allora ad applicare il bilancio di massa su un singolo volumetto infinitesimo (sezione trasversale del

A la superficie della sezione

reattore) in cui esistono ragionevolmente uniformità di condizioni. Denotiamo con

trasversale e immaginiamo che il volumetto sia compreso tra x ed x + dx.

[ ]

( )

= + − =

dV A x dx x A dx

Il volume del volumetto vale:

Esprimiamo i vari termini del bilancio di massa sul volumetto:

±

ACCUMULO = INGRESSO – USCITA GENERAZIONE

INGRESSO:

Q

La portata è sempre la stessa in tutto il reattore. Nel caso del PFR la concentrazione varia sia in funzione del tempo

( , )

C x t

che dello spazio: dovremo considerare la concentrazione ad un certo istante t e ad una certa posizione x, cioè .

A

( , )

Q C x t

In ingresso avremo quindi .

A

USCITA:

La concentrazione, per le stesse considerazioni, sarà funzione dello stesso istante t ma della posizione x + dx, pertanto

+

( , )

Q C x dx t

in uscita avremo: A

GENERAZIONE (REAZIONE): ( )

r C t

Il termine di generazione è dato dal prodotto tra la velocità di reazione (funzione della concentrazione ) ed il

A A

dV

volume di fluido (per l’ ipotesi di stazionarietà idraulica equivale al volume del volumetto ).

ACCUMULO: ( ( ) )

∂ ,

C x t dV

A

Il termine di accumulo per il singolo volumetto sarà dato da . Per le ipotesi di stazionarietà idraulica e

∂

t

volume costante nella reazione possiamo scrivere come per il CFSTR:

( )

∂ ,

C x t dV

A

∂

t

Il bilancio di massa è quindi esprimibile come segue:

( )

∂ ,

C x t ( ) ( )

= − + +

, ,

dV Q C x t Q C x dx t r dV

A (equazione di bilancio per il singolo volumetto)

A A A

∂

t

Semplifichiamo tale espressione facendo alcune considerazioni.

La concentrazione in entrata e in uscita dal volumetto viene considerata sempre allo stesso istante di tempo t, pertanto la

x x + dx

e .

sua variazione infinitesima è dovuta esclusivamente al valore di

Utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor (fermandoci al primo ordine di derivazione) esprimiamo la concentrazione in

( )

+ ,

C x dx t

uscita dal volumetto come segue:

A ( )

∂ ,

C x t

( ) ( )

+ = + A

, ,

C x dx t C x t dx

A A ∂

x

Affermando così che la concentrazione in uscita dal volumetto è uguale alla concentrazione in entrata più una ulteriore

dx

piccola quantità dovuta allo spostamento .

Sostituendo all’ interno dell’ equazione tale espressione e andando a semplificare i termini avremo:

( ) ( )

∂ ∂

, ,

C x t C x t

( ) ( ) +

= − +

A A

, ,

dV QC x t Q C x t dx r dV resta:

A A A

∂ ∂

t x

∂ ∂

( , ) ( , )

C x t C x t

= − +

dV Q dx r dV

A A A

∂ ∂

t x

( , )

x t

Tralasciamo per semplicità ricordando comunque che la concentrazione è funzione di due variabili, e andiamo ad

=

dV A dx

esplicitare il valore del volumetto infinitesimo come segue: :

∂ ∂

C C

= − +

A A dx A

A dx Q dx r A dx dividiamo tutto per i termini ed

A

∂ ∂

t x

∂ ∂

C Q C

= − +

A A r

A

∂ ∂

t A x A Q

Poiché l’ area della sezione e la portata sono costanti possiamo portarli dentro la derivata:

∂ ∂

C C

= − +

A A r

A

∂ ∂

t A x

Q ∂ = Q

A x dV

Possiamo notare che il termine in effetti e che è la portata.

∂ ∂

C C

= − + r

A A A

∂

t dV

∂ Q θ = dV

V

Per definizione il tempo di residenza idraulica , pertanto il rapporto tra il volumetto e la portata Q è

H Q

ulteriormente riscrivibile come:

∂ ∂

C C

= − + r

A A equazione differenziale alle derivate parziali per il reattore PFR

θ A

∂ ∂

t H θ A x

=

x

( )

Il termine tempo di residenza idraulica rappresenta il tempo impiegato da una particella di fluido a

H Q

0 x

passare dalla sezione sull’ ascissa alla sezione sull’ ascissa , cioè il tempo impiegato dal fluido a percorrere la

θ ( )

x

x all’ interno del reattore. Allora per un reattore PFR il termine di residenza idraulica , nonostante sia

lunghezza H

dimensionalmente un tempo, rappresenta una “variabile spaziale” poiché indirettamente indica una certa ascissa: quindi

indica quanto vale la concentrazione in una certa posizione all’ interno del reattore. ;

EQUAZIONI DI BILANCIO DI MASSA PER I VARI CASI DI CINETICA

Andremo ora ad esplicitare le equazioni di bilancio di massa per i due tipi di reattore nei diversi casi di cinetica.

Per semplicità vediamo prima come nei due tipi di reattore si modifica la concentrazione di una specie TRACCIANTE,

cioè una specie che non partecipa alla reazione: per questo motivo la concentrazione di tracciante può variare in seguito

alla sola diluizione con il fluido presente all’ interno del reattore. = 0

r poiché non partecipa alla

Un TRACCIANTE è un inquinante conservativo per il quale la velocità di reazione A

reazione.

Tipi di ingresso al CFSTR C

Ricordiamo che il bilancio di massa è una equazione differenziale dove la variabile è la concentrazione in uscita .

Au

Q C

Data una certa portata in ingresso avente una concentrazione , andiamo a vedere come varia la concentrazione in

Ai

uscita, cioè come il reattore “risponde” ad un certo “segnale” di alimentazione.

A parità di altre condizioni (temperatura, tipo di reattore, cinetica) la concentrazione in uscita dipende dalla

concentrazione in ingresso. Poiché in generale la concentrazione in ingresso può variare in funzione del tempo,

possiamo avere diversi tipi di alimentazione a seconda di come varia la concentrazione in ingresso.

C C

Vediamo come varia a seconda del tipo di segnale in ingresso, cioè di come varia la in alimentazione.

Au Ai

C t

( )

Tipi di segnale in ingresso ( )

Ai

Le funzioni che descrivono l’ andamento della concentrazione in ingresso sono teoricamente infinite, ma è possibile

ricondursi essenzialmente a due tipi di segnali:

– segnale a gradino;

– segnale a impulso.

Segnale a gradino

Il segnale a gradino è caratterizzato dall’ andamento descritto in figura: il segnale C (t )

< 0

t Ai

descrive l’ andamento di un gradino. Infatti per la concentrazione in

≥ 0

t C

ingresso è nulla mentre per vale .

0

A Q

Ricordando che trattiamo reattori a flusso continuo, cioè con portata in ingresso C A 0

costante, immaginiamo tale segnale come se all’ istante 0 venisse introdotto a un

C

certo colorante a concentrazione per un tempo indefinito.

0

A t

Segnale ad impulso C (t )

Ai

Per descrivere il segnale ad impulso facciamo riferimento alla Funzione Delta di Dirac. Tale

funzione è disegnata come una freccia rivolta verso l’ alto e centrata sull’ origine degli assi:

≠ =

0