Ingegneria biomedica - Gelli

Appendice a: richiami sui numeri complessi

In questa appendice si richiamano le principali definizioni e proprietà dei numeri complessi e delle funzioni complesse di una variabile reale. I numeri complessi e le funzioni complesse ricorrono naturalmente quando si considerano la serie e la trasformata di Fourier, che rappresentano gli strumenti matematici maggiormente utilizzati per l’analisi e la sintesi di segnali e sistemi. La trattazione ivi riportata non vuole essere eccessivamente rigorosa né esaustiva, ed è orientata principalmente ad acquisire gli elementi fondamentali per operare con i numeri e le funzioni complesse nelle applicazioni tipiche della teoria dei segnali e dei sistemi; si rimanda pertanto a testi specializzati di analisi matematica per eventuali approfondimenti.

A.1 Definizione di numero complesso

Si definisce numero complesso una coppia ordinata (x, y) di numeri reali, dove x è il primo numero della coppia e y è il secondo numero della coppia. Essendo la coppia ordinata, i numeri x e y vanno considerati distinti se x ≠ y. Poiché i numeri complessi devono comprendere i numeri reali come caso particolare, si conviene che:

(x, 0) = x (A.1)

Cioè, i numeri reali possono essere riguardati come coppie ordinate per le quali il secondo elemento della coppia è nullo. Ovviamente, poiché le coppie ordinate (x, 0) rappresentano i numeri reali, esse devono soddisfare tutte le proprietà formali delle operazioni sui numeri reali.

Per dare una veste operativa alla definizione astratta di numero complesso data precedentemente, è necessario fornire la definizione di uguaglianza, somma e moltiplicazione di numeri complessi:

Definizione A.1: operazioni fondamentali sui numeri complessi

• Uguaglianza: (x₁, y₁) = (x₂, y₂) ⇐⇒ x₁ = x₂ e y₁ = y₂.
• Somma: (x₁, y₁) + (x₂, y₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂).
• Prodotto: (x₁, y₁) · (x₂, y₂) = (x₁x₂ - y₁y₂, x₁y₂ + y₁x₂).