Imperfezioni nel carico critico

APPLICAZIONE

Supponiamo di avere un tetto formato da due travi oblique in legno che consideriamo rigide e da

una catena sottile che possiamo paragonare a una molla di costante elastica k. Il tutto poggia su due

muri laterali.

sia L la lunghezza delle aste oblique.

Vogliamo determinare la configurazione di equilibrio del sistema.

Sia θ la configurazione iniziale, ovvero quella che c’è in assenza di P.

0

La catena si può allungare quindi la struttura si deformerà in questi modo:

6

calcoliamo l’energia potenziale totale del sistema:

Π=U+V

Vediamo quanto vale l’energia di deformazione. Essendo le aste inestensibili:

( )

ϑ ϑ

= −

u L sen sen

0

( )

ϑ ϑ

= −

v 2 L cos cos 0

allora: 1 θ θ θ θ

Π = − − −

2 2

k ( 2 L ) (cos cos ) PL ( sen sen )

0 0

2

applicando la condizione di stazionarietà e troviamo le configurazioni di equilibrio.

∂

Π θ θ θ θ

= − − + =

2

k ( 2 L ) sen (cos cos ) PL cos 0

θ 0

∂

∂

Π 1

θ θ θ

= ⇒ = − ⋅

2

0 P k ( 2 L ) sen (cos cos )

θ θ

0

∂ L cos

θ θ θ

= −

P 4 kL (cos cos )

tg

0

Da questa espressione troviamo i valori di carico per ogni configurazione assegnata.

Vediamo adesso qual è il valore massimo di P che può essere sopportato dalla struttura.

Per farlo possiamo o calcolare la derivata seconda di Π e vedere se quella che troviamo è una

configurazione stabile oppure possiamo derivare P e calcoliamo il suo valore massimo ponendo tale

derivata uguale a zero. Procediamo seguendo questa seconda procedura.

∂

P 4 kL θ θ θ θ

= − − =

2

(cos cos sen cos ) 0

0

θ θ

∂ 2

cos

Affinché tale derivata si annulli deve essere uguale a zero il termine tra parentesi:

θ θ θ θ

− − =

2

cos cos sen cos 0

0

Mettiamo in evidenza cosθ:

θ θ θ θ θ

− − = ⇒ =

2 3

cos (

1 sen ) cos 0 cos cos

0 0

La derivata quindi si annulla quando:

1

θ θ

=

cos (cos ) 3

0

Ricaviamo il senθ che ci servirà per trovare la tgθ:

2

θ θ

=

2

cos (cos ) 3

0 7

2

θ θ

= −

2

sen 1 (cos ) 3

0 2 1

θ θ

= −

sen [

1 (cos ) ]

3 2

0

Possiamo ora calcolare P massimo: 2 1

θ

−

1 [

1 (cos ) ]

3 2

θ θ

= − 0

P 4 kL

[(cos ) cos ]

3

max 0 0 1

θ

(cos ) 3

0 8

III lezione

SNAP THROUGH

La scorsa lezione abbiamo trovato che era configurazione di equilibrio:

θ θ θ

= −

P 4 kL (cos cos )

tg (1)

0

E avevamo trovato un massimo per il valore di θ che soddisfa tale equazione:

1

θ θ

=

cos (cos ) 3

0

Questa equazione ha una doppia soluzione: θ e –θ perché entrambi hanno lo stesso valore di coseno

però una soluzione è stabile e una instabile.

Se infatti dalla (1) ricaviamo P in funzione di θ e proviamo a rappresentarla graficamente avrà un

andamento di questo tipo: 9

Il percorso di equilibrio in questo caso teoricamente dovrebbe seguire questa linea:

in pratica avviene invece un’altra cosa cioè nel momento in cui θ raggiunge il valore che porta al

carico critico il sistema non segue più il percorso di equilibrio sopra segnato perché il carico da

questo momento non varia più, resta stazionario,ma segue questo percorso:

10

questa è una forma di instabilità che porta al cambiamento improvviso di configurazione e prende il

nome di snap-through. Quindi nel momento in cui si raggiunge il valore θ la configurazione

cambia bruscamente da così:

a: 11

Quando di un sistema ci interessa conoscere solo il carico critico possiamo procedere utilizzando un

metodo più sintetico rispetto a quello dello studio dell’energia potenziale,valido però solo per

piccoli spostamenti:tale metodo prende il nome di METOTO DELL’EQUILIBRIO

Affrontiamo con questo metodo i casi trattati finora.

Caso1

per piccoli spostamenti possiamo considerare costante il valore del carico critico perché spostandoci

in un suo intorno i valori si mantengono molto prossimi ad esso

12

Vediamo allora quali sono le forze che agiscono sul nostro sistema e facciamo l’equilibrio:

⋅

K v = reazione della molla

T

essendo piccoli gli spostamenti possiamo fare questa approssimazione:

senθ ≈ θ => u = L(1-cosθ)=0

cosθ ≈ 1

facendo il momento delle forze rispetto alla cerniera:

Pv=k vL

T

P=k L=P

t cr

Abbiamo così trovato il carico critico. 13

Caso2 14

Procediamo analogamente al caso precedente:

facendo l’equilibrio rispetto alla cerniera: ϑ

⋅ = ⋅

P v K R

ϑ ϑ

⋅ ⋅ = ⋅

P L K R

K

= R

P

CRIT L

15

Vediamo adesso di trovare il carico critico col metodo dell’equilibrio nel problema:

L L

k

l

a:

facciamo avvenire la deformazione in modo simmetrico perché risulta più facile studiare la

geometria del sistema. Mettiamo allora al posto dell’appoggio e del carrello due cerniere. In questo

modo garantiamo lo spostamento in entrambi i lati. P

L L

k

l

a: 16

all’equilibrio avremo:

 

P l v

+ = + −

v ( 2 kv r )( H )

  θ

0



2 2 tg 0

 

P l v

+ − + − =

v ( 2 kv r )( H ) 0

  θ

0

2 2 tg 0 vr

P l P v

− + − − + =

0

( r H ) v 2 kv ( H ) 0

θ θ

0

2 2 2 tg tg

0 0

Il termine

P l − =

( r H ) 0

0

2 2

In quanto rappresenta l’equazione di equilibrio nella configurazione non deformata che per

definizione deve essere uguale a zero.

Il termine vr

P v

− − + 0

v 2 kv ( H )

θ θ

2 tg tg

0 0

Rappresenta invece il contributo nato al seguito della deformazione.

Poiché

v << H

θ

tg 0

l’ultimo termine può essere scritto come:

vr

P − + 0

v 2 kvH θ

2 tg 0

Da questa ricaviamo il carico critico:

vr

P − + =

0

v 2 kvH 0

θ

2 tg 0

Svolgendo il prodotto e dividendo per v:

r

P − + =

0

2 kH 0

θ

2 tg 0

r è la reazione della molla che nasce a seguito della deformazione. Calcoliamo quanto vale per

0

poterlo sostituire nell’espressione sopra.

Facciamo a tale scopo l’equilibrio nella configurazione non deformata:

17

P

L L

k

P l − =

r H 0

0

2 2 θ

2 PL cos

Pl p 1

= = =

0

r θ θ

0 4 H 4 Lsen 2 tg

0 0

Sostituendo avremo infine:

P P 1

− + =

2 kH 0

θ

2

2 2 tg 0

P 1 θ

+ =

[

1 ] 2 kLsen

θ 0

2

2 tg 0

Da questa ricaviamo il carico critico:

1

θ θ

= 2

P 4 kLsen (

tg ) θ

cr 0 0 + 2

1 tg 0

Se proviamo a rappresentare graficamente il risultato che abbiamo ottenuto con questo metodo e il

risultato ottenuto col metodo precedente notiamo che non coincidono perfettamente anche se sono

molto vicini tra loro. Questo perché nel fare l’equilibrio, avendo assunto che gli spostamenti erano

molto piccoli, abbiamo considerato la configurazione non deformata.

TRAVE DI EULERO

Supponiamo di avere una trave e di farla deformare:

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