Imperfezioni nel carico critico

II lezione

IMPERFEZIONI

Quando progettiamo un’opera può accadere che nel momento in cui viene posta in opera risulti

“imperfetta” cioè ad esempio leggermente ruotata piuttosto che perfettamente verticale. Dunque nel

momento in cui andiamo a calcolare le configurazioni di equilibrio dobbiamo tenere conto di questi

difetti di realizzazione.

θ = deformazione dovuta alla posa in opera

0

θ= deformazione dovuta al carico

per calcolare gli spostamenti dobbiamo allora partire dalla configurazione imperteffa tenendo conto

dell’angolo θ

0: u=L(cosθ -cosθ)

0

v=L(senθ-sen θ )

0

l’energia potenziale totale del sistema sarà:

1 θ θ θ θ

Π = + = − − −

2 2

U V kL ( sen sen ) PL (cos cos )

0 0

2

Troviamo innanzi tutto le configurazioni di equilibrio, vediamo cioè dove si annulla la derivata

prima dell’energia potenziale totale:

∂

Π θ θ θ θ

= − − =

2

kL ( sen sen ) cos PLsen 0

θ 0

∂ 1

Se θ =0 l’esercizio si riduce al caso studiato la scorsa lezione, in cui non teniamo conto delle

0

imperfezioni.

Il percorso di equilibrio fornisce:

θ θ

−

kL ( sen sen ) (1)

= 0

P θ

tg

Affrontiamo il problema dello studio dell’equilibrio da un altro punto di vista calcolando cioè le

derivate della soluzione condizionata:

1

θ θ θ θ

− −

cos tg ( sen sen )

∂

P 0

θ

2

cos

= =

kL 0

θ θ

∂ 2

tg

Vediamo quando si annulla questa derivata e cioè quando si annulla il numeratore( supponiamo

θ≠π/2 in modo che non si annulli la tg):

∂

P 1

θ θ θ θ

= − − =

P=0 => kL cos tg kL ( sen sen ) 0

0

θ θ

∂ 2

cos

θ

sen

θ θ θ

− −

3

[cos ( sen sen )]

0

θ

cos

⇒ =

kL 0

θ

2

sen θ

2

cos

θ

2

cos 1

θ θ θ θ

⇒ − − ⋅ =

2

kL

[cos sen ( sen sen )] 0

0 θ

2

cos

Questa si annulla se il numeratore è uguale a zero:

θ θ θ

− + =

2

kL

[ sen (cos 1

) sen ] 0

0

θ θ

− + =

3

sen sen 0

0

θ θ

=

3

sen sen 0

Quando θ raggiunge il valore che soddisfa questa equazione vuol dire che P ha raggiunto un

massimo

Possiamo allora determinare il carico critico sostituendo alla (1) il valore sopra trovato:

θ θ

− 3

kL ( sen sen ) θ θ θ

= = − =

2 3

P kL

[

1 sen ] cos kL cos

θ

crit sen θ

cos 2

Ma: 1

θ θ

=

sen ( sen ) 3

0 2

θ θ

=

2

sen ( sen ) 3

0 2

θ θ θ

− = − = −

2 2

cos 1 sen 1 ( sen ) 3

0

2 1

θ θ

= −

cos [

1 ( sen ) ]

3 2

0 2 3

θ θ

− = −

3

cos [

1 ( sen ) ]

3 2

0 2 3

θ

=> = − ≤

P kL

[

1 ( sen ) ] kL

3 2

crit 0

notiamo che questo valore di carico critico è minore di quello trovato la scorsa lezione nel caso in

cui non ci sono imperfezioni: possiamo da questo vedere che il comportamento post-critico instabile

fa diminuire il carico critico delle strutture imperfette.

Graficamente accade che: -π/2 π/2

in rosso è disegnato il grafico della stessa struttura non soggetta a imperfezione, in verde quello

delle struttura imperfetta. Il carico critico che si riferisce alla seconda è chiaramente minore di

quello della prima.

Questa struttura ha comportamento post critico instabile.

3

Vediamo adesso che accade se la struttura in esame ha comportamento post critico stabile.

Supponiamo che la struttura sia la seguente:

u=L(cosθ -cosθ)

0

v=L(senθ-sen θ )

0

l’energia potenziale totale sarà:

1 θ θ θ &t