Carico critico - 2

Lezione V

Considerazioni sulla trave

Consideriamo la seguente trave: zv(0) v(1) P (0) (1) P V0 V 1. Abbiamo visto precedentemente che per tale struttura l’integrale generale degli spostamenti assume la seguente forma:

σζ + cv(ζ) = c0 + c1 sin(σζ) + c2 cos(σζ) dove ζ = z. I coefficienti e c0, c1, c2 e c3 sono delle costanti determinabili imponendo le seguenti condizioni al contorno:

• EI 2V(ζ) = [v’’’(0) + σ v’(0)] oppure v(0) = v₀;
• -EI2V(ζ) = [v’’’(1) + σ v’(1)] oppure v(1) = v₁;
• ϕ(0) = ϕ_M = v’’(0) oppure v₀;
• ϕ(1) = ϕ_M = v’’(1) oppure v₁.

Determinazione del legame tra forze e spostamenti

Il nostro problema è ora quello di riuscire a determinare il legame esistente tra le forze applicate agli estremi della trave e gli spostamenti ai quali risulta soggetta. Consideriamo dunque in un primo momento una trave caratterizzata dal seguente sistema di spostamenti: zv(0) v(1) (0) (1).

Supponendo nulle le forze che agiscono agli estremi e tenendo conto solo delle deformazioni, le condizioni al contorno assumono la seguente forma:

• v = v₀
• ϕ L = ϕ(0)L = v’(0)L₀
• v = v₁
• ϕ L = ϕ(1)L = v’(1)L₁

Ricordando che dvϕ = v’ = σ[c1 + c2 cos(σζ) - c3 sin(σζ)], otteniamo il seguente sistema di quattro equazioni in quattro incognite:

• v = c₀ + c₃;
• ϕ L = σ(c₀ + c₁);
• v = c₁ + c₂ sin(σ) + c₃ cos(σ);
• ϕ L = σ [c₁ + c₂ cos(σ) - c₃ sin(σ)];

Sistema in forma matriciale

Possiamo riscrivere tale sistema in forma matriciale:

 v        1  0  0  1   c0 
 ϕL   =   &#sigma; 0  1  0   c1 
 v        &#sigma; s  c  1   c2 
 ϕL    &#sigma; &#sigma; -s  0   c3 

Essendo: s = sinσ e c = cosσ.

Come sappiamo, un sistema di questo genere può essere riscritto in forma compatta: d = A × c, dove d rappresenta il vettore spostamento, A la matrice dei coefficienti e c il vettore delle costanti. La matrice A è una matrice invertibile; quindi, ricavando la sua inversa, saremo in grado di determinare il valore delle costanti c₀, c₁, c₂ e c₃ in funzione degli spostamenti.

Determinazione della matrice inversa

Per determinare la matrice inversa –1, è necessario...