Carico critico - 2

Lezione V

Consideriamo la seguente trave:

z

v(0) v(1)

P (0) (1) P

V

0 V 1

abbiamo visto precedentemente che per tale struttura l’integrale generale degli spostamenti assume

la seguente forma: σζ+c

v(ζ)=c +c sin(σζ)+c cos(σζ)

0 1 2 3

z

ζ=

dove e c , c , c e c sono delle costanti determinabili imponendo le seguenti condizioni al

0 1 2 3

L

contorno: EI 2

V (ζ)= [v’’’(0)+σ v’(0)] oppure v(0)=v

0 0 ;

3

L

EI

− 2

V (ζ)= [v’’’(1)+σ v’(1)] oppure v(1)=v

1 1 ;

3

L

EI

− ϕ(0)= ϕ

M = v’’(0) oppure

0 0 ;

2

L

EI ϕ(1)= ϕ

M = v’’(1) oppure

1 1.

2

L

Il nostro problema è ora quello di riuscire a determinare il legame esistente tra le forze applicate

agli estremi della trave e gli spostamenti ai quali risulta soggetta.

Consideriamo dunque in un primo momento un trave caratterizzata dal seguente sistema di

spostamenti:

z

v(0) v(1)

(0) (1)

Supponendo nulle le forze che agiscono agli estremi a tenendo conto solo delle deformazioni, le

condizioni al contorno assumono la seguente forma:

v =v(0)

0

ϕ L=ϕ(0)L=v’(0)L

0 v =v(1)

1

ϕ L=ϕ(1)L=v’(1)L

1

dv

ϕ=v’= σ[

ricordando che = c + c cos(σζ)-c sin(σζ)], otteniamo il seguente sistema di quattro

ζ 1 2 3

d

equazioni in quattro incognite : v =c + c

0 0 3;

ϕ L =σ(c +c );

0 1 2

σ+c

v == c +c sin(σ)+c cos(σ);

1 0 1 2 3

ϕ L =σ [ c + c cos(σ)-c sin(σ)];

1 1 2 3

possiamo riscrivere tale sistema in forma matriciale :  

   

v c

1 0 0 1

0 0

 

   

ϕ σ σ

L c

0 0  

    1

0 =  

   

σ

v c

1 s c

1 2

 

   

ϕ σ σ σ

−

L c

0 c s

 

   

3

1

essendo:

s = sinσ

c = cosσ

come sappiamo un sistema di questo genere può essere riscritto in forma compatta:

d=A×c

d rappresenta il vettore spostamento, A la matrice dei coefficienti e c il vettore delle costanti.

La matrice A è una matrice invertibile; quindi ricavando la sua inversa saremo in grado di

determinare il valore delle costanti c , c , c e c in funzione degli spostamenti.

0 1 2 3

Determinazione della matrice inversa

-1

Vediamo ora come è possibile determinare la matrice A , inversa di A.

-1

Ricordiamo che una matrice A si dice inversa di A se gode della proprietà:

-1 -1

A A=A A =U

Essendo U la matrice unitaria. C

i, j

-1i,j

Il generico elemento della matrice inversa A = ; dove C è il complemento algebrico di A e

i,j i,j

D

D è il determinante di A. -1

Per maggiore chiarezza calcoliamo il primo elemento della matrice A :

σ σ 0 σ

s c c

σ σ σ

. σ[-σs ]+σ[-σ σ

= + =

s c

-1 2 2 2 2

A D= -σc s-σc]=- [1-c-σs];

σ σ σ σ

11 − −

c s s

σ σ σ

−

c s

Ricavando in maniera analoga tutti gli altri elementi otteniamo:

( ) ( ) ( ) ( )

 

σ σ σ σ σ σ σ

− − − − − − − −

2 2

1 c s c s 1 c s

 

( ) ( )

σ σ σ σ

− − − − −

2 2

s 1 c s 1 c

1  

-1

A = ( ) ( )

 

σ σ σ σ σ

− − − − −

2 2

D s 1 c s s 1 c

 

( ) ( ) ( ) ( )

σ σ σ σ σ σ

− − − − −

2 2

 

1 c c s 1 c s

 

Possiamo ora scrivere il sistema matriciale in questa forma:

-1

c=A d

Fino a questo momento abbiamo trascurato le forze applicate agli estremi.

Consideriamo ora la trave sottoposta al seguente sistema di sforzi e spostamenti:

z

v(0) v(1)

P (0) (1) P

V 0 V 1

in questo caso le condizioni al contorno necessarie per poter determinare univocamente l’integrale

generale degli spostamenti sono :