Il teorema della permanenza del segno e del confronto

Il teorema della permanenza del segno e del confronto

Il teorema della permanenza del segno

Teorema: Se il limite di una funzione per x che tende a ₀ è un numero l diverso da 0, allora esiste un intorno I di ₀ (escluso al più ₀) in cui f(x) e l sono entrambi positivi oppure entrambi negativi. Il teorema afferma che in un intorno di ₀ la funzione f(x) ha lo stesso segno di l.

Il teorema del confronto

Teorema: Siano h(x), f(x) e g(x) tre funzioni definite nello stesso dominio D ⊆ ℝ, escluso al più un punto x₀. Se in ogni punto diverso da x₀ del dominio risulta

• h(x) ≤ f(x) ≤ g(x)

e il limite delle due funzioni h(x) e g(x), per x che tende a x₀, è uno stesso numero l, allora anche il limite di f(x) per x che tende a x₀ è uguale a l. Il teorema vale anche per i limiti con x → ∞. Poiché la funzione f viene «costretta», da h e da g, a tendere a l, il teorema viene anche detto teorema dei due carabinieri.

Dimostrazione

Fissiamo ε > 0 a piacere. È vero che: |h(x) - l| < ε, per ogni x ∈ I₁ ∩ D, perché h(x) → l per x → x₀; |g(x) - l| < ε, per ogni x ∈ I₂ ∩ D, perché g(x) → l per x → x₀.

Le disuguaglianze valgono entrambe per ogni x del dominio appartenente all’intorno I = I₁ ∩ I₂, escluso al più x₀. Quindi, per ogni x ∈ I, abbiamo:

• l - ε < h(x) < l + ε
• l - ε < g(x) < l + ε

Tenendo conto della relazione fra le funzioni, abbiamo:

• l - ε < h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) < l + ε

Per ogni x ∈ I, che implica:

• l - ε < f(x) < l + ε

Per ogni x ∈ I, ossia: |f(x) - l| < ε, ∀x ∈ I. Quest’ultima relazione significa proprio che lim_{x → x0} f(x) = l.