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RISOLUZIONE ESERCIZIO DI CORRENTE A SUPERFICIE LIBERA

A Hm = 5 m a = 1 m i = 0,01%

Hm 1/3

Ks = 70 m /s L = 500 m b = 1m

B Hv = 3.5 m B = 8 m Hmax = 5

C

a D3 Hv

L, Ks, i b

Determinare: L, Ks, i

La portata che fluisce nel canale e il profilo di moto permanente.

SEZIONE C: Il lago di valle ha una altezza superiore a k, quindi genera un profilo di lenta verso B.

Il profilo tende all’altezza di moto uniforme quindi arriverà sicuramente alla sezione del

gradino.

TRATTO C-B

Tratto CÆB h = 3,568 m

h iniziale: 3,5 m 1

BV

Pendenza: debole E = 3,708 m

Tipo di profilo: D2 (tende a h ) 2

BV

0

Δh: +

SEZIONE B: Gradino a salire debole pendenza (possibilità di energia insufficiente)

h h E = E – b

=

E BM BV

3 = 2,708 m (> E )

E

h 2

1 BV BM min

= 2,432 m

h

4 BM

h

BM

k 4 E

E

E E

E = 2,226 m BV

BM

min

min 3

RISOLUZIONE ESERCIZIO DI CORRENTE A SUPERFICIE LIBERA

A Hm = 5 m a = 1 m i = 0,01%

Hm R 1/3

Ks = 70 m /s L = 500 m b = 1m

B Hv = 3.5 m B = 8 m Hmax = 5

C

a D3 Hv

L, Ks, i b

Determinare: L, Ks, i

La portata che fluisce nel canale e il profilo di moto permanente.

SEZIONE B-A: Tracciamento del profilo di lenta che da B “risale” verso A. All’interno di AB ci sarà

sicuramente un tratto con sovrapposizione dei profili Risalto

Æ

TRATTO B-A

Tratto BÆA

h iniziale: 2,432 m h = 2,7 m

Pendenza: debole Alenta

Tipo di profilo: D2 (tende a h )

0

Δh: +

RISALTO Il risalto idraulico si trova a 33,5 metri dalla

Tratto AB sezione di monte

h veloce monte: 0,61 m H lenta = 2,691 m S lenta = 379,4 kN

h lenta valle: 2,432 m

Pendenza: debole H veloce = 0,713 m S veloce = 379,4 kN

Anche se la risoluzione di questo esercizio prevede l’utilizzo di un codice di calcolo, sul testo

consegnato dallo studente devono esserci tutti i passaggi logici e le formule utilizzate (anche la

spiegazione del tracciamento del profilo). L’esercizio è considerato insufficiente se sono

presenti solo i risultati.

IDRAULICA - APPELLO DEL 7/09/12 Allievo: _________________

.

Matricola:

Prof. Francesco Ballio / Ing. Crotti Gianluca Per la soluzione T.E. 7/09/2011

P Dati

Z = Z , Z = Z , Z , Z , P , , β , L ,

γ

A F B C D E

A F = 1 (il setto ha peso trascurabile)

profondità

L Determinare

E • Le componenti (orizzontale e verticale) della spinta totale

sulla parete CDE.

γ D • Tracciare il diagramma delle pressioni per tutti i lati del

serbatoio (AB, BC, CDEF).

β

C

B Dati:

Z

B

Z Z = 11,5 m Z = 12 m

A A B

= 0,0001 m

D = 0,4 m, ε

L = 400 m 3

= 9806 N/m

γ

γ, μ Volume 2

μ = 0,001 Ns/m

infinito

Volume

infinito Per la soluzione

D, L, ε T.E. 24/09/2010

Determinare:

•La portata che circola nel sistema (condizione di uscita dal procedimento iterativo di portata < 1%)

•Tracciare la linea dei carichi totali e la piezometrica per tutto il sistema

Per la soluzione

A T.E. 20/07/2012 Hm = 5 m a = 1 m i = 0,01%

Hm 1/3

Ks = 70 m /s L = 500 m b = 1m

B Hv = 3.5 m B = 8 m Hmax = 5

C

a Hv

H

max

B

L, Ks, i b L, Ks, i

Determinare:

La portata che fluisce nel canale e il profilo di moto permanente (step di integrazione 2 cm).

IDRAULICA - APPELLO DEL 21/09/12 Allievo: _________________

.

Matricola:

Prof. Francesco Ballio / Ing. Crotti Gianluca 25/02/2011

Per la soluzione T.E.

n Dati Z , Z , Z , n (>0) , , , F ,

γ γ

Z A B N 1 2

N profondità = 1

F Determinare

A L’altezza “h” del fluido , tale per cui il

γ

2

portello incernierato in B, sia in

γ

G 1

γ equilibrio come in figura.

h = ? z

2 B z = 0 n

Z

γ P

1 Z aria

Δ Z

N C

A L /2

2

γ L , D , ε

m 1 1 1

μ

γ, L , D , ε

3 3 3 Z

B

Volume

L , D , ε

Volume infinito 2 2 2 infinito

Dati Z , Z , Z , Z , Z , μ, Δ, L , L , L , D , D , D , ε , ε , ε ,

γ, γ , γ ,

A B C P N 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 m

Determinare Per la soluzione

T.E. 25/02/2011

•Le portate che circolano nel sistema e la pressione “n”.

•Tracciare per tutte le tubazioni la linea dei carichi totali e la piezometrica.

Hm H

max

B

Hv < k

L Ks i =0

1 1 1 a

L Ks i >i Per la soluzione

2 1 2 c L Ks i =0

3 1 3 T.E. 28/01/2011

Determinare:

La portata che fluisce nel canale e possibili profili di moto permanente.

RACCOLTA TEMI D’ESAME

ANNO ACCADEMICO 2012-2013

Corsi Idraulica

01.02.2013

12.02.2013

22.02.2013

28.06.2013

19.07.2013

06.09.2013

20.09.2013

Se ci fossero errori, si prega di avvisare l’ing. Gianluca Crotti

gianluca.crotti@polimi.it

Ultima revisione: 3.11.2014

IDRAULICA – APPELLO DEL 01/02/13 Allievo: _________________

.

Matricola:

Prof. Francesco Ballio / Ing. Crotti Gianluca n

h Dati:

1 3 3

= 10000 N/m = 8000 N/m α= 30°,

γ , γ ,

1 2

C n = -40000 Pa, h = 2 m, h = 2 m, b= 2 m,

A γ γ 1 2

1 m, profondità 1 m

d=

s 1

h 2 α Determinare:

Il peso specifico del setto affinché

γ

b S

γ B rimanga in equilibrio come da figura.

2 d Diagramma delle pressioni per la parete

AB (lato ).

γ

2

α n

Aria

L , D , ε

1 1 1 Dati:

μ,

γ,

μ

γ, L , D , ε L , D , ε

2 2 2 2 2 2

? Δ,

γ ,

m

η,

W W

finito finito ε

η L , D , ,

1 1 1

ε

, D , ,

L

Δ 2 2 2

γ

m

Determinare:

Le portate che circolano nel sistema, la pressione n, il tipo di macchina idraulica e la sua potenza.

la linea piezometrica.

Tracciare per entrambe le condotte la linea dei carichi totali e

D

A C E

B H

Max

H B

M > k

H

V

a

L , Ks , i =0 Dati:

L , Ks , i <i

1 1 1 2 1 2 c B, H , L , L , L

max 1 2 3

L , Ks , i >i

3 1 3 c Ks , i , i , i , H , H , a

Determinare: 1 1 2 3 M v

La portata che fluisce nel canale e possibili profili di moto permanente.

STATICA

n

h Dati:

1 3 3

= 10000 N/m = 8000 N/m α= 30°,

γ , γ ,

1 2

C X n = -40000 Pa, h = 2 m, h = 2 m, b= 2 m,

A γ γ 1 2

1 m, profondità 1 m

d=

s 1

h G

2 1

α Determinare:

G

2 Il peso specifico del setto affinché

γ

b S

γ B rimanga in equilibrio come da figura.

2 d Diagramma delle pressioni per la parete

)

AB (lato γ

2

α + + = → =

0 0

S S P S S P

Equilibrio fisico del setto γ γ γ γ + γ + γ

2 1 2 1

s X X sX

Calcolo della spinta S(γ1)X S

( ) C γ1X

= + ⋅ ⋅ α =

cos( ) - 48453 N

S P A A γ

γ 1 1

X G CB S

s γ1

P

b α

γsX

= ⋅ = ⋅ =

1 1 2

2.31 m

A CB α S

CB cos( ) γ2X B

P

⎧ ⎫

( ) γs

CB

⎡ ⎤

= + γ − ⋅ α + =

sin( )

⎨ ⎬ -24226.5 Pa

P n h AC

⎣ ⎦

1 1 1

G 2

⎩ ⎭

Calcolo della spinta S(γ2)X

( )

= − ⋅ = +29856.4 N

S P A

γ 2 2 C

X G AB A γ

= ⋅ =

1 2

2 m

A b s

AB α

⎡ ⎤ G

b

= −γ + ⋅ α = 2

cos( ) -14928.2 Pa

P d

⎢ ⎥

2 2

G 2

⎣ ⎦ B

γ 2

Calcolo del peso

= − − = 18597 N

P S S Arctg(γ )

γ γ γ

2 1

sX X X 2

P

γ

= =

sX 37193 N

P

γ 3

α 1.154 m

s sin( ) ⎡ ⎤

AB AC

= γ ⋅ = γ ⋅ ⋅ → γ =

1

⎢ ⎥ 3

32210 N/m

P W

γ

s s s s

2

⎣ ⎦

CORRENTI IN PRESSIONE n

Aria

L , D , ε

1 1 1 Dati:

μ,

γ,

μ

γ, L , D , ε L , D , ε

2 2 2 2 2 2

? Δ,

,

γ m

η,

W W

finito finito ε

η L , D , ,

1 1 1

ε

L , D , ,

Δ 2 2 2

γ

m

Determinare:

Le portate che circolano nel sistema, la pressione n, il tipo di macchina idraulica e la sua potenza.

Tracciare per entrambe le condotte la linea dei carichi totali e la linea piezometrica.

Calcolo della pressione n misurata dal manometro metallico

γ − γ

n

− =δ=Δ → <

( 0)

m n

γ γ

Calcolo della portata Q1 della condotta superiore

γ − γ 2 2

V V

Δ = + + α

1 1

0,5

m J L

1 1

γ 2 2

g g Q

2 1

V

= λ 1

J 1 1 2 gD

1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

ε ε

1 1

→ → λ = λ → λ = λ → = −

1 1

. . 2 log

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

Ip m a t ∞

1 λ 3, 71

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

D D

1 1

Verifica dell’ipotesi di moto

Si ricorda allo studente che la determinazione della portata senza verifica dell’ipotesi non è

considerato un risultato. La verifica dell’ipotesi deve contenere anche il ragionamento (iterativo)

dovuto alla non verifica dell’ipotesi di moto. = →

Æ Q Q macchina pompa

Utilizzo continuità volume finito serbatoi 2 1

Potenza della pompa γ ⋅ Δ ⋅

2 2

V V H Q

n ( )

= + − Δ + α → Δ → =

2 2 2

0,5 2 P

J L H H W

2 2

γ η

P P P

2 2

g g

CORRENTI IN PRESSIONE

Aria n/γ

μ

γ, L , D , ε

1 1 1 Aria n/γ

ΔH

μ

γ, L , D , ε L , D , ε

2 2 2 2 2 2

?

W W

finito finito

η

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

D

A C E

B H

Max

H B

M > k

H

V

a

L , Ks , i =0 Dati:

L , Ks , i <i

1 1 1 2 1 2 c B, H , L , L , L

max 1 2 3

L , Ks , i >i

Determinare: 3 1 3 c Ks , i , i , i , H , H , a

1 1 2 3 M v

La portata che fluisce nel canale e possibili profili di moto permanente.

Considerazioni iniziali

La sezione A non consente di determinare il valore della portata, quindi deve essere considerata

come sezione di controllo, ove verificare l’ipotesi di portata.

Considerando che la sezione di inizio tracciamento profilo non coincide con la sezione di controllo

(ovverosia, come detto in precedenza, non esiste una sezione in cui si riesce a definire la Q), è

utile scegliere una sezione vicina alla sezione di controllo in modo da poter verificare il prima

possibile l’ipotesi di portata.

Si ipotizza una portata Q di primo tentativo

Si determina per tutti i tratti l’altezza critica k e le altezze di moto uniforme

3 2

A Q

=α → = ⋅ ⋅ →

2/3 ,

k Q A K R i h h

0( ) 0( )

s id BC CE

B g

Sezione C: passaggio per k si traccia profilo fino a monte per verificare l’ipotesi di Q

Æ Tratto BA: debole pendenza Sezione A: verifica Q

Tratto CB: debole pendenza H partenza lenta in B = hB

H partenza in C = k 2

V

= + α

H h

Tipologia di profilo O2 (lenta)

Æ

Tipologia di profilo D2 (lenta)

Æ M A 2 g

H di arrivo in A = hA

H di arrivo in B = hB

Sezione A: se l’energia non è bilanciata si deve iterare il procedimento con una nuova Q

ho = ∞ D

A C E

B

O2 D2

H

M > k

H

V

L , Ks , i =0 L , Ks , i <i

1 1 1 2 1 2 c L , Ks , i >i

3 1 3 c

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

Sezione C: passaggio per k verso valle

Æ

Tratto CD: forte pendenza

H partenza in C = k

Tipologia di profilo F2 (veloce)

Æ

H di arrivo in D = hD

Sezione D: paratoia: tracciamento a valle dalla sezione contratta e bilancio di energia per tracciare

la lenta a monte della paratoia stessa.

Tratto DE: forte pendenza Paratoia: bilancio energia Tratto DC: forte pendenza

H partenza in D = hsc H partenza in D = hL

2

2 V

V

+ α = + α SC

L

h h

Tipologia di profilo F3 (veloce)

Æ Tipologia di profilo F1 (lenta)

Æ

L SC

2 2

g g

H di arrivo in E = hE Chiude in k prima di C

Tratto DC: si sottolinea che è stata fatta una scelta: si è chiuso il profilo F1 in k prima di giungere

alla sezione C.

Sezione E: lago di valle. Anche se il lago ha una altezza superiore a k si può comunque ipotizzare

che non abbia la forza necessaria per “entrare” nel canale. Risalto

Tratto CD:

Sezione E: scelta R

h h

h

L

H h

v LR

k

h h

S

D S

VR

S lago < S veloce(D)

ho = ∞ D

A C E

B

O2 hL

D2 R

H F1

M > k

H

V

F2 hD

L , Ks , i =0 L , Ks , i <i

1 1 1 2 1 2 c F3

L , Ks , i >i

Profilo di primo tentativo 3 1 3 c

CORRENTI IN PRESSIONE

PROFILO ARTENIATIVO 1

Si ipotizza che il lago di valle abbia spinta sufficiente per “entrare” nel canale, creando una

sovrapposizione di profili. Si ipotizza che il risalto non sia spinto contro la paratoia.

ho = ∞ D

A C E

B

O2 hL

D2 R > k

H

H V

F1

M R F1

F2 hD

L , Ks , i =0 L , Ks , i <i

1 1 1 2 1 2 c F3

Profilo alternativo 1 L , Ks , i >i

3 1 3 c

PROFILO ARTENIATIVO 2

Partendo dal profilo alternativo 1 si spinge il risalto del tratto DE contro la paratoia. In questo caso

la veloce della sezione contratta è sovrastata da una lenta. Si deve rifare il bilancio di energia tra

valle e monte della paratoia. Questo nuovo bilancio implica una profilo F1 a monte della paratoia

“+ alto”. Ipotizziamo che il risalto del tratto CD non venga spinto alla sezione C.

ho = ∞ D

A C E

B

O2 *

hL

R

D2 F1 > k

H

H V

M hLP F1

F2 hD

L , Ks , i =0 , Ks , i <i

L

1 1 1 2 1 2 c F3 Profilo

2

2 V

V

+ α = + α alternativo 2

* SC

L

h h L , Ks , i >i

*

L LP

2 2 3 1 3 c

g g

PROFILO ARTENIATIVO 3

Partendo dal profilo alternativo 2 si spinge il risalto del tratto DC fino alla sezione C. Non c’è più il

passaggio per k (non si sviluppo il profilo F2) e il profilo D2 si sviluppa a partire dalla chiusura del

profilo F1 in C. In questo caso la portata ipotizzata e verificata può ancora essere corretta in

quanto indipendentemente dal punto di partenza del profilo D2: se il tratto CD è sufficientemente

lungo esso tenderà sempre a ho. Questo comporta che il profilo O2 non si modifica e la verifica

della portata rimane corretta.

PROFILO ARTENIATIVO 4

Tutto cambia se il profilo F1 che arriva da D giunge in C con un’altezza superiore ad ho. In questo

caso da C si sviluppa un profilo D1 e successivamente un O2. L’ipotesi di portata non è più valida

in quanto il profilo O2 cambia, arrivando in A con una altezza differente.

Processo iterativo: si ipotizza una nuova Q verifica in A

Æ

IDRAULICA – APPELLO DEL 12/02/13 Allievo: _________________

.

Matricola:

Prof. Francesco Ballio / Ing. Gianluca Crotti Dati:

A Aria φ, β, n = 0 Pa,

γ , γ ,

1 2

Z(B), Z(C), Z(D), Z(E)=0

B

n = 0 BC è metà circonferenza

profondità 1 m

γ

1 Determinare:

C Il modulo della spinta totale sulla

φ

γ superficie BCDE.

D

2 Z Disegnare il diagramma delle

β

E pressioni per la parete ABCDE.

Z = 0

Precisazione: gli eventuali volumi di controllo (totali o parziali) possono essere considerati noti

Δ, D , L , ε ε η,

μ, H, h, a , Q , , L , k =0, k , D , , L , d, n , D , D

γ , γ , γ ,

Dati: (diametro) 1 1

a 1 b 1 2 2 2 2 2 3 4

1 2 m n n

2 γ h

2

d γ μ

, H ε

ε ε , L

D ,

1

k

D , D , k

1 1

1

2

2 2

2

2 1 D

Volume L 3

T D b

finito

4

L η L a c

2 2

Volume Δ

infinito γ m

Determinare: Q a

Le portate che circolano nel sistema, il valore di pressione n, la distanza c, la potenza della turbina

Tracciare la linea dei carichi totali e la piezometrica per tutto il sistema.

A B C = 5 m

H

max

= 2,5 m

H

H = 3 m V B = 5 m

M a = 1 m

L = 150 m

1 = 150 m

L

Ks = 70 m /s

1/3 2

1 Ks = 70 m /s

1/3

= 0,1%

i 1

1 i = 1%

2

Determinare:

La portata che fluisce nel canale e il profilo di moto permanente.

STATICA

A Dati: φ, β, n = 0 Pa, D

γ , γ ,

1 2

Aria Z(B), Z(C), Z(D), Z(E)=0

L punto medio di CD

B BC è metà circonferenza

n = 0

F 1 m

profondità

γ

1 Determinare:

+ L C Il modulo della spinta totale sulla

φ

γ superficie BCDE.

D

2

+ Z Disegnare il diagramma delle pressioni

β

E per la parete ABCDE.

Z = 0

Scelta del volume di controllo: la parte BF può essere eliminata in quanto il manometro metallico

pari a zero, quindi sulla parete BF non c’è nessuna spinta

indica che la pressione dell’aria è

π a Π + Π + Π + Π + + = → = −Π

0

G G S

F

H 1 2 0 1 2 0

a ( )

π = Π + Π + + Π = 0

S G G

1 1 2 1 2 a

C X

= Π + Π

M S 1 2

X X X

π +

G = +

π

2 S G G

D 1 0 1 2

Y Y Y

G = +

2 2

2 S S S Y

X Y

E

Calcolo della geometria utile alla risoluzione dell’esercizio

+

( ) ( )

Z C Z D

= = = − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Z L Z M HM Z F Z M ME Z L

2

[ ] [ ]

⎧ ⎫ ⎧ ⎫

2 2

+ ⋅ β + ⋅ ϕ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

Z D Z E ctg Z M Z D ctg

{ }

[ ] [ ]

= + + ⋅ β ⋅ − +

( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⎨ ⎬ ⎨ ⎬

Vol G Z D Z E ctg Z M Z D

2 2

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩ ⎭ ⎩ ⎭

[ ]

⎧ ⎫

2 ϕ

+ ⋅ ( )

( ) ( )

⎪ ⎪

{ } Z M Z D ct g

[ ] [ ] [ ]

⎡ ⎤ +

= + ⋅ β + + ⋅ ϕ ⋅ + +

( 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎨ ⎬

Vol G Z D Z E ctg Z M Z D ctg Z C Z M

⎣ ⎦ 2

⎪ ⎪

⎩ ⎭

[ ]

⎧ ⎫

2

π +

( ) ( )

⎪ ⎪

{ } Z F Z C

[ ] [ ] [ ]

⎡ ⎤

+ + ⋅ β + + ⋅ ϕ ⋅ + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎨ ⎬

Z D Z E ctg Z C Z D ctg Z C Z M

⎣ ⎦ 4

⎪ ⎪

⎩ ⎭

⎡ ⎤

⎛ ⎞

HM ( )

Π = + γ ⋅ ⋅ ⋅ F

1 H

⎜ ⎟ S

⎢ ⎥

HM

1 1

X 2

⎝ ⎠

⎣ ⎦ π 1

⎡ ⎤ C

⎛ ⎞

ME ( )

Π = + γ ⋅ + γ ⋅ ⋅ ⋅ 1 M

⎜ ⎟

⎢ ⎥

HM ME

2 1 2

X π

2

⎝ ⎠

⎣ ⎦ G π

2 D 1 0

= +γ ⋅ ( 1)

G vol G G

1 1

Y 2

= +γ ⋅ ( 2)

G vol G E

2 2

Y CORRENTI IN PRESSIONE

Δ, D , L , ε ε η,

μ, H, h, a , Q , , L , k =0, k , D , , L , d, n , D , D

γ , γ , γ ,

Dati: (diametro) 1 1

a 1 b 1 2 2 2 2 2 3 4

1 2 m n n

2 γ h

2 A

d γ μ

, H ε

ε ε , L

D ,

k 1

D , D , k

1 1

1

2

2 2

2

2 1 C

Volume L

T D b B

finito

4 D

L η L a c

3

2 2

Volume Δ

infinito γ m

Determinare: Q a

Le portate che circolano nel sistema, il valore di pressione n, la distanza c, la potenza della turbina

Tracciare la linea dei carichi totali e la piezometrica per tutto il sistema.

Calcolo della pressione n misurata dal manometro metallico

+ γ ⋅

n h

= μ ⋅ ⋅ → = + →

* * 2

2

Qa A gh h H n

γ

1

Calcolo della portata Q1 della condotta di destra

2 2

p p V V

+ = + +α + + = + γ ⋅

1

0,5

A B B

Z Z J L p n h

1 2

γ γ

A B b A

2 2

g g

1 1

⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ γ − γ γ − γ 2

p p V

+ − + = δ = Δ →Δ = +

1

1,5

⎢ ⎥

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ m m

A B

Z Z J L

1

γ γ γ γ

A B b

2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ g

⎣ ⎦

1 1 Q

2

V

= λ 1 1

J 1 1 2 gD

1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

ε ε

1 1

→ → λ = λ → λ = λ → = −

1 1

. . 2 log

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

Ip m a t ∞

1 λ 3, 71

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

D D

1 1

Verifica dell’ipotesi di moto

Si ricorda allo studente che la determinazione della portata senza verifica dell’ipotesi non è

considerato un risultato. La verifica dell’ipotesi deve contenere anche il ragionamento (iterativo)

dovuto alla non verifica dell’ipotesi di moto. = +

Æ Q Q Q entrante nel serbatoio

Utilizzo continuità volume finito serbatoio 2 1 a

Calcolo della distanza “c” π

2 2

2

p V D

p V Q

+ = + +α + + = = = − −

3

1 1

0,5 ( )

C C

A

Z Z J L V A c H Z Z

1 1 3

γ γ

A C C A C

2 2 4

g g A

1 1 3

CORRENTI IN PRESSIONE

Calcolo della potenza della turbina

+ γ ⋅ 2 2 2

n n h V V V

+ = + + + + Δ + + +α → Δ

2 2 2 2 4

0,5 2

d H J L H K H

2 2 2

γ γ T T

2 2 2

g g g

1 1

= η⋅ γ ⋅ ⋅ Δ

W Q H

1 2

T T ΔH

n n

2 γ 2

d γ μ

, ε

ε ε , L

D ,

1

k

D , D , k

1 1

1

2

2 2

2

2 1 C

Volume L

T D b B

finito

4 D

L η L a c

3

2 2

Volume Δ

infinito γ m

Q a

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

A B C = 5 m

H

max

= 2,5 m

H

H = 3 m V B = 5 m

M a = 1 m

L = 150 m

1 = 150 m

L

= 70 m /s

Ks 1/3 2

1 Ks = 70 m /s

1/3

i = 0,1% 1

1 i = 1%

2

Determinare:

La portata che fluisce nel canale e il profilo di moto permanente.

Sezione A: lago di monte + paratoia: questa particolare condizione al contorno permette di

calcolare la portata imponendo il passaggio per la sezione contratta (c.c. della paratoia) e

bilanciando l’energia monte-valle della paratoia (c.c. paratoia + lago monte)

= = ⋅ =

( ) 0,61 m

h A valle h a C

sc c

=

( ) ( )

h A monte h A valle

A 2

Q

= + α → = 3 /s

20,89 m

H h Q

2

M sc 2 gA

sc

ATTENZIONE: la portata Q ricavata prevede che la sezione contratta sia a contatto con l’atmosfera (no risalto

annegato). Qualora si verificasse un risalto annegato il bilancio monte-valle paratoia non sarebbe corretto, ovverosia la

portata calcolata è sbagliata, ovverosia nella sezione A non è possibile calcolare la portata!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Altezza di stato critico e altezze di moto uniforme: ho(AB)= 1,822 m

3 2

A Q = ⋅ ⋅ =

2/3

=α → = 1,212 m Q A K R i

k ho(BC)= 0,822 m

s id

B g Æ Æ

AB debole pendenza BD forte pendenza

Tracciamento profilo AB

Tratto AB: debole pendenza Il profilo non giunge alla sezione B, quindi

H partenza in A = hsc = 0,61 m dobbiamo cercare un’altra condizione al

Tipologia di profilo D3 (veloce)

Æ contorno per continuare a tracciare

Il profilo di chiude in k dopo circa 115 m da monte

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

A B C

D2

H H = 2,5 m

M V

D3 F2

L = 150 m

1 L = 150 m

= 70 m /s

Ks 1/3 2

1 Ks = 70 m /s

1/3

i = 0,1% 1

1 = 1%

i 2

Sezione B: passaggio da debole (AB) a forte (BC) pendenza: condizione necessaria per il

passaggio per k. Impongo il passaggio per lo stato critico ottenendo una condizione al contorno sia

per il tratto BA che per il tratto BC. Tracciamento profilo BC

Tracciamento profilo BA Tratto BC: forte pendenza

Tratto BA: debole pendenza H partenza in B = k = 1,212 m

H partenza in B = k = 1,212 m Tipologia di profilo F2 (veloce)

Æ

Tipologia di profilo D2 (lenta)

Æ H arrivo in C = 0,834 (> hoBC)

H arrivo in A = 1,587 m ( < hoAB)

OSSERVAZIONE: in entrambi i tratti, BA e BC, il canale non è sufficientemente lungo per poter sviluppare l’altezza di

moto uniforme.

POSSIBILE PROBLEMA SEZIONE A: come detto in precedenza la portata è corretta se la

sezione contratta è a contatto con l’atmosfera, quindi si deve verificare, prima di disegnare ulteriori

profili, che l’ipotesi sia corretta, ovverosia la corrente veloce riesce “a spingere” il risalto più a valle

della sezione contratta. Determinazione posizione risalto AB

Tratto AB: debole pendenza Tratto BA: debole pendenza

H partenza veloce in A = hsc = 0,61 m H partenza lenta in B = k = 1,212 m

Tipologia di profilo D3 (veloce)

Æ Tipologia di profilo D2 (lenta)

Æ

Il profilo di chiude in k dopo circa 115 m da monte H arrivo in A = 1,587 m ( < hoAB)

RISALTO

Distanza da monte: circa 91 metri

H veloce = 0,982 m (S = 112.5 kN)

H lenta = 1,475 m (S = 112.5 kN)

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

A B C

D2 H = 2,5 m

H V

M F1

D3 F2

L = 150 m

1 L = 150 m

= 70 m /s

Ks 1/3 2

1 Ks = 70 m /s

1/3

i = 0,1% 1

1 = 1%

i 2

Sezione C: lago di valle: l’altezza del lago di valle è superiore a k, ovverosia c’è la possibilità che

tal caso il lago “entra” nel canale

la spinta del lago sia superiore alla spinta della veloce in C. In

generando un profilo di lenta F1 in un canale in forte pendenza.

Tratto CB: forte pendenza RISALTO

H partenza lenta in C = hlago = 2,5 m Distanza da monte: circa 78 metri

Tipologia di profilo F1 (lenta) H veloce = 0,866 m (S = 119 kN)

Æ

Il profilo di chiude in k dopo circa 58 m da monte H lenta = 1,641 m (S = 119 kN)

A B C

D2 H = 2,5 m

H V

M F1

D3 F2

L = 150 m

1 L = 150 m

Ks = 70 m /s

1/3 2

1 Ks = 70 m /s

1/3

i = 0,1% 1

1 i = 1%

2

IDRAULICA – APPELLO DEL 22/02/13 Allievo: _________________

.

Matricola:

Prof. Francesco Ballio / Ing. Gianluca Crotti Dati: g

γ , γ ,

1 2

A Z(A), Z(B), Z(C) = 0, Z(D), Z(E)

profondità 1 m

E D

γ γ

s 1 ABC: triangolo rettangolo isoscele

γ B

2 Il peso proprio del

Determinare

setto tale per cui rimanga in

C equilibrio come da figura.

g il diagramma delle

Disegnare

G pressioni sul setto (lato ).

γ e γ

1 2

γs

n μ, Z , a ,

γ,

Dati: (diametro)

N

Z

Z Aria D , L , ε

, , L , Z , k=0,

Q

N

N 1 1

1 1 T T

Z

μ

γ, T ε η,

, D , , L , D , Z

K

L R 2 2 2 3 U

T k

Q

a η

R

3 k

Q D

1 3

T

b Z

U

Z Volume ε , L

D ,

infinito Volume finito 1 1

1

Z = 0 ε , L

D ,

Q 2 2

2

2

Determinare il valore di pressione “n”, le portate Q e Q , il diametro “b” e la potenza della turbina.

2 3

la spinta totale sul convergente (considerare noto il suo volume).

Calcolare

Tracciare la linea dei carichi totali e la piezometrica per tutto il sistema. = 5 m

H

A B max

= 1,8 m

H

V B = 5 m

H = 2 m

M a = 0.8 m

L = 500 m Ks = 70 m /s

1/3

i = 0,1%

Determinare:

La portata che fluisce nel canale e il profilo di moto permanente.

STATICA Dati: g

γ , γ ,

1 2

A Z(A), Z(B), Z(C) = 0, Z(D), Z(E)

profondità 1 m

E D

γ γ

s 1

γ ABC: triangolo rettangolo isoscele

B

2 Determinare Il peso proprio del

setto tale per cui rimanga in

C equilibrio come da figura.

g Disegnare il diagramma delle

G pressioni sul setto (lato ).

γ e γ

γs 1 2

b ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

A S a G g S b S c

S γ

1 2 3

s

2 E ⋅ + γ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅

D

γ S a W g S b S c

s 1 2 3

s

B S

1

a

C

S g

3 2 1

Z

G = γ =

D

S a Z

γs 1 1 D

2 3

c + −

Z Z Z Z

( )

= = ⋅ = γ − = 1

E B E B

Z S P A P Z Z A

2 2 ( 2) ( 2) 2 2 °

G G EB G E G EB

2 sin(45 )

S S

RS(2) RS(2)

2 2

E ⎡ ⎤

1 1 E

( )

= − ⋅

b Z Z

⎢ ⎥

b b

G(2) °

E B

3 sin(45 )

⎣ ⎦

B B

e2 Il centro di spinta passa per il baricentro del diagramma delle pressioni (triangolare, ovverosia

1/3 dell’altezza dal fondo). Essendo la superficie inclinata, si deve proiettare tale distanza.

Z Z

( )

= = ⋅ = γ − = 1

B B

Z S P A P Z Z A

3 3 ( 3) ( 3) 2 3 °

G G BC G E G BC

2 sin(45 )

RS(3) Z I

= − = −

3 3

( 3) G

c G C e

3 ° 3

sin(45 ) ⎛ ⎞

M Z

3 ⋅

B 1 B

⎜ ⎟

e3 °

sin(45 )

⎝ ⎠

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

− =

G(3) Z Z

Z I

= ⋅ 3

1 3

E G

B 12

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

M 3 ° °

sin(45 ) sin(45 )

⎣ ⎦⎣ ⎦

C

S c

3

Dall’equazione di equilibrio dei momenti si ricava il peso specifico del setto

CORRENTI IN PRESSIONE

n μ, Z , a ,

γ,

Dati: (diametro)

N

Z

Z Aria D , L , ε

, , L , Z , k=0,

Q

N

N 1 1

1 1 T T

Z

μ

γ, T ε η,

, D , , L , D , Z

K

L R 2 2 2 3 U

T k

Q

a η

R

3 k

Q D

1 3

T

b Z

U

Z Volume ε , L

D ,

infinito Volume finito 1 1

1

Z = 0 ε , L

D ,

Q 2 2

2

2

Determinare il valore di pressione “n”, le portate Q e Q , il diametro “b” e la potenza della turbina.

2 3

Calcolare la spinta totale sul convergente (considerare noto il suo volume).

Tracciare la linea dei carichi totali e la piezometrica per tutto il sistema.

Calcolo della pressione n misurata dal manometro metallico

n

= μ ⋅ ⋅ → = − →

2 Dato che la portata Q1 ha direzione imposta da

Q A gh h n

1 sx a dx, il valore di n deve essere negativo

γ

Calcolo della portata Q3 2

V

n

+ = + +

1

0,5

Z Z J L

1

γ

N T T

2 g Q

3

2

V

= λ 1

J 1 1 2 gD

1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

ε ε

1 1

→ → λ = λ → λ = λ → = −

1 1

. . 2 log

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

Ip m a t ∞

1 λ 3, 71

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

D D

1 1

Verifica dell’ipotesi di moto

Si ricorda allo studente che la determinazione della portata senza verifica dell’ipotesi non è

considerato un risultato. La verifica dell’ipotesi deve contenere anche il ragionamento (iterativo)

dovuto alla non verifica dell’ipotesi di moto. = −

Æ Q Q Q

Calcolo della portata Q2 Utilizzo continuità 2 1 3

Calcolo del diametro “b” π 2

n b

= μ ⋅ ⋅ → = + → = →

2

Q A gh h Z A b

2 γ

N 4

CORRENTI IN PRESSIONE

Calcolo della potenza della turbina Zero (K = 0)

2 2

2 2

V V

V V

n

+ = + α + + + + + Δ + + → Δ

3 3

1 2

0,5

Z Z J L K J L H J L K H

1 1 2 2 2 2

γ

N U R T T

2 2 2 2

g g g g

= η⋅ γ ⋅ ⋅ Δ

W Q H

3

T T π 0 Π + + Π + + + Π = = −Π

0

2 3 M M G S

1 1 2 2 0 0

= Π + + Π + +

S M M G

1 1 2 2

M

M = Π + + Π + X

2 S M M

1 1 1 2 2

X X X X X +

=

π S G

2 Y Y

π 1 = +

2 2

S S S Y

X Y

G ρ ⋅ ρ ⋅

2 2

Q Q

= γ ⋅ = = − Π = ⋅ Π =

3 3 0

G W M M p A

1 2 1 2 2 2

A A

2 3

2 2 2

p V V V

n

+ = + +α + + + + + Δ →

2 2 1 2

0,5 2

Z Z J L K J L H p

2 1 1 2 2 2

γ γ

N R T

2 2 2

g g g

pci Z

T ΔH T

T

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

A B = 5 m

H

max

H = 1,8 m

V B = 5 m

H = 2 m

M a = 0.8 m

L = 500 m Ks = 70 m /s

1/3

i = 0,1%

Determinare:

La portata che fluisce nel canale e il profilo di moto permanente.

Sezione A: lago di monte + paratoia: questa particolare condizione al contorno permette di

calcolare la portata imponendo il passaggio per la sezione contratta (c.c. della paratoia) e

bilanciando l’energia monte-valle della paratoia (c.c. paratoia + lago monte)

= = ⋅ =

( ) 0,488 m

h A valle h a C Il calcolo della Q può essere fatto anche

sc c con OPFLOW con l’opzione E = f(Q;h). La

=

( ) ( )

h A monte h A valle

A h è costante e pari a 0,488 m mentre la Q

deve essere scelta affinché la E sia pari a

2

Q

= + α → = 2 m (Hm del lago)

3

13,29 m /s

H h Q

2

M sc 2 gA

sc

ATTENZIONE: la portata Q ricavata prevede che la sezione contratta sia a contatto con l’atmosfera (no risalto

annegato). Qualora si verificasse un risalto annegato il bilancio monte-valle paratoia non sarebbe corretto, ovverosia la

portata calcolata è sbagliata.

Altezza di stato critico e altezze di moto uniforme:

3 2

A Q = ⋅ ⋅ =

2/3

=α → = ho(AB)= 1,323 m

0,896 m Q A K R i

k s id

B g Æ

AB debole pendenza

Il profilo non giunge alla sezione B, quindi dobbiamo cercare

Tratto AB: debole pendenza un’altra condizione al contorno per continuare a tracciare

H partenza in A = hsc = 0,488 m

Tipologia di profilo D3 (veloce)

Æ Sezione B: lago di valle con Hv > ho, condizione per tracciare un

Il profilo di chiude in k dopo circa 74 m da monte profilo di lenta D1

Tratto BA: debole pendenza

Tratto BA: RISALTO ? H partenza in B = Hv = 1, 8 m

(A) Veloce: hsc = 0,488 m Tipologia di profilo D1 (lenta)

Æ

(B) Lenta: Hv = 1, 8 m Il profilo arriva in A con hL(A) = 1,526 m

Risalto spinto a monte, contro paratoia !!!!!!!!!!

Sezione A: con il risalto annegato il bilancio di energia imposto per trovare la Q è sicuramente sbagliato! La portata non è

valida. Si deve procedere per tentativi, partendo da valle e verificando la portata con l’energia di monte (lago)

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

Parametri 0 1° 2° 3° 4° Un. misura

3

Q 13,29 10 9 8.9 8.5 m /s

k 0,896 0,742 0,691 0,686 0,665 m

ho 1,323 1,087 1,012 1,004 0,973 m

hsc 0,488 m

Hv 1,8 m

Risalto Annegato Annegato Annegato Annegato Annegato ---

hL(A) 1,526 1,430 1,406 1,403 1,394 m

Ev(P) 3,038 2,286 2,099 2,081 2,012 m

Em(P) 2 m

check NO!!!!!! NO!!!!!! NO!!!!!! NO!!!!!! OK ---

Processo iterativo

1. Si Ipotizza una nuova portata Q (inferiore alla precedente dato che nella sezione A ho un “eccesso” di energia).

2. Si calcolano le caratteristiche idrauliche del canale, k e ho (il canale rimane sempre in debole pendenza).

3. Si traccia il profilo D1 da valle verso monte, fino alla paratoia, determinando l’altezza della lenta contro la stessa,

hL(A). Il risalto risulta sempre essere annegato.

4. Si calcola l’energia della corrente nella sezione contratta. Si ricorda che per il caso di risalto annegato l’energia è

data dall’altezza della corrente lenta + la cinetica della veloce (sezione contratta).

Si confronta tale energia con quella imposta dal lago. Se il bilancio non è verificato, si deve ipotizzare una nuova

5. portata. A B H = 1,8 m

V

D1

H = 2 m

M L = 500 m

1

Ks = 70 m /s

1/3

1

i = 0,1%

1

IDRAULICA – APPELLO DEL 28/06/13 Allievo: _________________

.

Matricola:

Prof. Francesco Ballio / Ing. Gianluca Crotti

A Dati: profondità 1 m

γ , γ , β,

Aria 1 2

B Z(A), Z(B), Z(C), Z(D), Z(E), Z(F)=0

γ 2

C

γ C: a metà di BD, E a metà di DF

1 β Determinare la spinta totale sulla parete

D BCDEF.

Z

E Disegnare il diagramma delle pressioni

γ 2 lato dx e sx della parete ABCDEF.

Z = 0

F

Z

A Z

B Z

η C

T

γ, μ T

L ,D ,ε

Volume Volume Volume

L ,D ,ε L ,D ,ε

Δ

1 1 1 2 2 2 3 3 3

infinito finito infinito

γ = 9806 N/m μ = 0.001 Ns/m Z = 10 m, Z = 9 m, η = 0.9

,

3 2

Dati: A B T

ε γ Δ = 0.1 m

D = 0.15 m, L = 200 m, = 0.0015 m, = 133000 N/m ,

3

1 1 1 m

= 0.15 m, L = 100 m, ε = 0.0015 m, D = 0.1 m, L = 100 m, ε = 0.00003 m

D

2 2 2 3 3 3

la portata Q, la quota Z e la potenza della turbina.

Calcolare C

la linea dei carichi totali e la piezometrica per tutto il sistema.

Tracciare

A D

C

B H

Max

H > k

H B

M V

a Dati:

L , Ks , i <i

1 1 1 c B, H , L , L ,

L , Ks , i >i max 1 2

2 1 2 c Ks , i , i , H , H , a

1 1 2 M v

Determinare:

La portata che fluisce nel canale e possibili profili di moto permanente.

STATICA

A Dati: profondità 1 m

γ , γ , β,

Aria 1 2

B Z(A), Z(B), Z(C), Z(D), Z(E), Z(F)=0

C C: a metà di BD, E a metà di DF

γ β Determinare la spinta totale sulla parete

1 D γ BCDEF.

2 Z

E il diagramma delle pressioni

Disegnare

γ 2 lato dx e sx della parete ABCDEF.

Z = 0

F

Lato destro (dx) y

B

π 0 γ a

2 π c

1 +

β

d x

D’

D

G b

2 b = c*ctg(β)

π 2 Π + Π + Π + = 0

(1) Equilibrio del volume di controllo G

1 2 0 2

= −Π = Π + Π +

(2) Introduzione della Spinta Sdx S G

0 1 2 2

dx

= +Π + Π +

(3) Equilibrio proiettato nelle direzioni x e y S G

1 2 2

dxX X X X

= +Π + Π +

S G

1 2 2

dxY Y Y Y

(4) Calcolo delle componenti Π = − Π = =

0 0

p A G

1 1 1 2 2

X X X

Π = Π = = −γ

0 p A G W

= − 1 2 2 2 2 2

S p A Y Y Y

1 1

dxX = − γ

S p A W

2 2 2

dxY ⎛ ⎞

⋅ π⋅ 2

Z c b d

( )

= γ = γ = ⋅ = ⋅ β ⋅ = + ⋅ −

B 1 ( ) 1 ⎜ ⎟

p p Z A Z A c ctg W b d

1 2 2 ( ) 2 1 ( ) 2

B B

2 2 8

⎝ ⎠

STATICA

Lato sinistro (sx)

π a c/2

aria

π aria y

0 γ γ

1 π e=c/2+d/2

1 +

3

G x

1 γ

γ d/2

2

2 π 4 b

G

2

π 5 Π + Π + Π + Π + Π + + =

(1) Equilibrio del volume di controllo 0

G G

3 4 5 0 1 2

a

= Π = −Π − Π − Π − Π − −

S G G

(2) Introduzione della Spinta Ssx 0 3 4 5 1 2

sx a = −Π − Π − Π

S

(3) Equilibrio proiettato nelle direzioni x e y 3 4

sxX aX X X

= −Π − −

S G G

5 1 2

sxY Y Y Y

(4) Calcolo delle componenti Π = − Π = − Π = −

p A p A p A

3 3 3 5 5 5

aX a a X X

Π = + = −γ = −γ

p A G W G W

5 5 5 1 1 1 2 2 2

Y Y Y

= + +

S p A p A p A

3 3 5 5

sxX a a

= − + γ + γ

S p A W W

5 5 1 1 2 2

sxY d d e d

= γ = − γ = − γ − γ = − γ − γ

p Z p p p p p p e

5 ( ) 2 4 5 2 3 5 2 1 5 2 1

B a

4 2 2 2

d c

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

1 1 1 1

A b A A e A

5 4 3 a

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ ⋅ π⋅ π⋅

2 2

c b c b d d d

= − − = ⋅ −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

W W b

1 2

2 8 16 2 16

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + + −

S p A p A p A p A

3 3 5 5 1 1

X a a

= − + γ + γ + − γ

S p A W W p A W

5 5 1 1 2 2 2 2 2

Y CORRENTI IN PRESSIONE

Z

A Z

B Z

η C

T

γ, μ T

L ,D ,ε

Volume Volume Volume

L ,D ,ε L ,D ,ε

Δ

1 1 1 2 2 2 3 3 3

infinito finito infinito

γ = 9806 N/m μ = 0.001 Ns/m Z = 10 m, Z = 9 m, η = 0.9

,

3 2

Dati: A B T

ε γ Δ = 0.1 m

= 0.15 m, L = 200 m, = 0.0015 m, = 133000 N/m ,

D 3

1 1 1 m

= 0.15 m, L = 100 m, ε = 0.0015 m, D = 0.1 m, L = 100 m, ε = 0.00003 m

D

2 2 2 3 3 3

Calcolare la portata Q, la quota Z e la potenza della turbina.

C

Tracciare la linea dei carichi totali e la piezometrica per tutto il sistema.

Determinazione della portata che circola nel sistema

2 2

V V

= + + + α

1 1

0.5

Z Z J L

1 1

A B 2 2

g g Ipotesi di moto:

2

V

= λ 1

J 1 1 2 gD Moto assolutamente turbolento

1 ⎛ ⎞

ε

1 2.51 1 m.a.t.

= − +

⎜ ⎟

1

2 log ⎜ ⎟

λ λ 3.71

Re D

⎝ ⎠

1

1 1 1 ⎛ ⎞

ε

1 1

→ = − → λ =

1

: . . . 2 log 0.038

⎜ ⎟

IP m a t ∞

λ 3.71

⎝ ⎠

D

1

⎛ ⎞

λ 1.5

L

( )

− = + → ≈

2 ∞ m

1 0.61

⎜ ⎟

Z Z V V

1 1 s

A B 2 2

⎝ ⎠

gD g

1

3

= ⋅ = → ≈

m

0.01 Re 92000

Q V A

1 1 1 1

s

= →

Re ( ) 80000 . !!!!!!!!!

da abaco Ip verificata

soglia CORRENTI IN PRESSIONE

Δ

Utilizzo del manometro differenziale per la determinazione del HT (i punti N e M sono in

condotta prima e dopo la turbina) 2

2

p V

V p

+ +α = + +α + Δ

3

2

N M

Z Z H

γ γ

N M T

2 2

g g

⎡ ⎤

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ γ − γ

p p

+ − + = δ = Δ

N m

⎢ ⎥

M

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

Z Z

γ γ γ

N M

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎣ ⎦

γ − γ 2

2 V

V

Δ +α = +α + Δ → Δ =

3

2 1.18

m H H m

γ T T

2 2

g g

Bilancio di energia tra i serbatoi B e C per trovare la quota Z(C) 2

2 V

V

= + + + Δ + + α → =

3

2

1.16 5.75

Z Z J L H J L Z m

2 2 3 3

B C T C

2 2

g g

λ =0.015

3

0.01 0.49 1.18 1.46 0.1

= η ⋅ γ ⋅ ⋅ Δ = 112.87

W Q H watt

Potenza della turbina T T T

Z

A Z

B ΔH

T Z

C

η

T

γ, μ T

L ,D ,ε L ,D ,ε L ,D ,ε

Volume Volume Volume

Δ

1 1 1 2 2 2 3 3 3

infinito finito infinito

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

A C D

B H

Max

H > k

H B

M V

a Dati:

L , Ks , i <i

1 1 1 c , L , L ,

B, H

L , Ks , i >i max 1 2

2 1 2 c Ks , i , i , H , H , a

1 1 2 M v

Determinare:

La portata che fluisce nel canale e possibili profili di moto permanente.

Considerazioni iniziali

La sezione A non consente di determinare il valore della portata. Deve essere considerata come

sezione di controllo, ove verificare l’ipotesi di portata.

Considerando che la sezione di inizio tracciamento profilo non coincide con la sezione di controllo

è utile scegliere come punto di partenza una sezione vicina alla sezione di controllo in modo da

poter verificare il prima possibile l’ipotesi di portata.

Si ipotizza una portata Q di primo tentativo

Si determinano per tutti i tratti l’altezza critica k e le altezze di moto uniforme

3 2 2

A Q = ⋅ ⋅ → ,

=α → 3

Q A K R i h h

k 0( ) 0( )

s id AB BC

B g

Punto di partenza: sezione B (paratoia). La prima sezione utile dopo la sezione di controllo

Sezione B: paratoia: definiamo la sezione contratta bilancio di energia valle-monte paratoia per

Æ

determinare l’altezza della lenta contro la paratoia tracciamento del profilo BA verifica ipotesi

Æ Æ

di portata in A.

= ⋅

h a C

sc c Tratto BA: debole pendenza 2

V

= + α

H partenza in B = hL H h

2

2 M A

V

V 2

Profilo D2 o D1 (lenta)

Æ g

+ α = + α SC

L

h h

L SC

2 2

g g Chiude in A con altezza hA

Sezione A: itero il procedimento fino a quando il bilancio di energia nella sezione A non è

verificato. Con questo procedimento si è implicitamente ipotizzato che la sezione contratta a valle

della paratoia sia a contatto con l’atmosfera (no risalto annegato). Qualora si verificasse il contrario

si deve ipotizzare una nuova portata (non sempre vero, perché?)

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

Procedimento per il tracciamento del profilo, D1 da B ad A.

2 2

Q Q

= → = + α → =

h h E h J

1 1 1 1 4

2

L 2 gA 2 2 3

A K R

1 1 (1)

S id

( )

= ± Δ +Δ −Δ

,

h h h h se D h se D

2 1 2 1

2 2

Q Q

→ = + α → =

h E h J

2 2 2 2 4

2

2 gA 2 2 3

A K R

2 2 (2)

S id

Δ −

E E E

= − → Δ = 1 2

i J s iterare fino ad A

Δ ⎛ ⎞

m J J

s −⎜ 1 2 ⎟

i 2

⎝ ⎠

Da sezione contratta verso valle: definita la sezione contratta tracciamento del profilo BC

Æ

(ipotizziamo che il profilo arrivi fino alla sezione C) tracciamento del profilo CD ipotizziamo

Æ Æ

che il lago non abbia energia sufficiente per contrastare il profilo.

Tratto BC: debole pendenza Tratto CD: forte pendenza

H partenza in B = hsc H partenza in C = hC

Profilo D3 (Ipotesi fino in C) Profilo F1 o F2

Æ Æ

Chiude in C con altezza hC (<k) Chiude in D con altezza hD

PROFILO DI PRIMO TENTATIVO

A C D

B

D1

H H > k

M V

D3 F2

, Ks , i <i

L 1 1 1 c L , Ks , i >i

2 1 2 c

Tratto BA: il profilo potrebbe essere un D2 (non è considerato profilo alternativo)

Tratto CD: il profilo potrebbe essere un F3 (non è considerato profilo alternativo)

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

PROFILI ALTERNATIVI (alcuni possono combinarsi tra loro):

- Lago che “entra nel canale” (Alternativo 2)

- Profilo D3 si chiude in k prima della sezione C, passaggio per k in C (Alternativo 1)

- Risalto annegato in B (Alternativo 3, non svolto nella soluzione) D

B

A C

PROFILO ALTERNATIVO 1 D1 R D2

H H > k

M V

D3 F2

, Ks , i <i

L 1 1 1 c L , Ks , i >i

2 1 2 c

Tratto BA: il profilo potrebbe essere un D2

considerato profilo alternativo)

(non è h Risalto BC

h M π

M π 2

Q

= γ ⋅ ⋅ + ρ ⋅

S p A

k G A

k h

sc S

S S S

lenta(C) vel(sc)

S

min

Sezione D: utilizzando il grafico della spinta si nota che il lago può avere la spinta sufficiente per “entrare” nel canale.

superiore al minimo valore di spinta che la

Infatti ad una altezza del lago superiore a k corrisponde una spinta statica

corrente può avere (indipendentemente dal tipo di profilo che giunge in D) D

B

A C

PROFILO ALTERNATIVO 2 D1 H > k

R V

R

D2 F1

H

M D3 F2

, Ks , i <i

L 1 1 1 c L , Ks , i >i

2 1 2 c

Tratto BA: il profilo potrebbe essere un D2

(non è considerato profilo alternativo)

IDRAULICA - APPELLO DEL 19/07/13 Allievo: _________________

Matricola: .

Prof. Francesco Ballio / Ing. Crotti Gianluca

Dati 2

Area della pressa = 8 m

P

3 3

= 8000 N/m , = 9806 N/m

γ γ atm

A

1 2 F

h = 1 m, h = 0,5 m, h = 0,8 m,

1 2 3 γ

h 1

1

β = 45° L = profondità della parete CD = 2 m B

h E

Per la soluzione 2 γ

C 2

T.E. 14/07/2010 h

3 β D

Determinare

•Il valore di F tale per cui il pelo libero del fluido coincida con la sommità del serbatoio (punto A)

γ

1

•Il diagramma delle pressioni della parete ABCD

•Determinare la spinta (modulo e il centro di spinta) del fluido γ sulla parete CD

2

p Dati:

aria Z

a P

Z A Z , Z , Z , Z

Z A B C P

B aria

γ, μ Z

L D , D , ε,

C

1 2

T a

D , L

L, L

2 1 2

Volume , Δ, η , k,

γ, μ, γ

Δ infinito

Volume infinito Volume infinito T

m

γ a = diametro del foro

m L circolare

2 D, L, ε Per la soluzione

Determinare T.E. 14/07/2010

•le direzione e il valore di portata che circola nel sistema

•La pressione pa, misurata dal manometro metallico e la potenza della turbina

•La pressione dell’aria del serbatoio “C” affinché la portata che transita dal serbatoio B a C sia pari a zero (no efflusso)

•Tracciare la linea dei carichi totali e la piezometrica per tutto il sistema

debole pendenza Pendenza = 0

Hm H

max B

Per la soluzione

T.E. 14/07/2010

L Ks i <i Hv

1 1 1 c L Ks i =0

2 1 2

Determinare:

La portata che fluisce nel canale e possibili profili di moto permanente

IDRAULICA - APPELLO DEL 6/09/13 Allievo: _________________

.

Matricola:

Prof. Francesco Ballio / Ing. Crotti Gianluca Per la soluzione T.E. 12/02/2009

A Dati:

F aria Z = 10 m, Z = 8 m, Z = 6 m, Z = 2 m, Z = 0 m, Z = 9 m

B A B C D E F

3 , profondità del portello CD = 1 m

= 10000 N/m

γ

C Determinare:

γ R 1) Il modulo della spinta R applicata nel punto D

Z

D per mantenere chiuso il portello incernierato in C

E Z=0 2) Il diagramma delle pressioni per la parete AE

n

Z

1 Z

Aria

Z 2

N

Z

M

γ, μ L ,D ,ε

2 2 2

L ,D ,ε L ,D ,ε

1 1 1 1 1 1

P

Volume Volume

infinito infinito

Z Z=0 Per la soluzione

T.E. 27/07/2009

Dati del problema: γ μ

Z , Z , Z (Z > Z , Z < Z ) n , L , D , ε L , D , ε η ( )

rendimento

1 N 2 1 N N 2 1 1 1 2 2 2

Determinare:

L

a portata circolante, la quota Z indicata dal piezometro e la potenza della pompa

M .

Tracciare la linea dei carichi totali e la piezometrica per tutto il sistema

Per la soluzione T.E. 17/02/2012

Hm H

max

B

b

L ,Ks , i >i

1 1 1 c a Hv < k

L Ks i >i

2 1 1 c L Ks i >i

Determinare: 2 1 1 c

La portata che fluisce nel canale e possibili profili di moto permanente.

IDRAULICA - APPELLO DEL 20/09/13 Allievo: _________________

.

Matricola:

Prof. Francesco Ballio / Ing. Crotti Gianluca Determinare

p

m • “d” per mantenere in equilibrio, come da figura,

C M la paratoia scorrevole AB (la paratoia

d h semicilindrica può scorrere solo orizzontalmente,

A E

γ no attrito).

3 • il diagramma delle pressioni sulla parete AB.

D R D/2

γ γ

1 Dati del problema:

2 F

B

D γ γ γ

, , , h, D, p Profondità = 1 m

1 2 m

3

Per la soluzione T.E. 24/09/2010 Per la soluzione n 1

T.E. 17/02/2012

n =?

Aria 3

Aria Z

3 Z Aria

A B 2 Z

1

k

Q = ? d

e 3 d

Z 1

Q = ?

C ρ,μ

L , D , ε

Volume Volume 2 2 2 L , D , ε Volume

Volume

infinito infinito 1 1 1 infinito

finito

Δ γ

DATI: m 3

= 20 m, n = 30000 Pa, d = 0,2 m, Z = 21 m, Z = 15 m, d = 0,4 m, = 9806 N/m ,

Z γ

1 1 1 2 3 3

2 3

, ρ = 1000 kg/m , L = 100 m, D = 0,3 m, ε = 0,0001 m, L = 50 m, D = 0,2 m,

μ = 0,001 Ns/m 1 1 1 2 2

3 3

ε = 0,001 m, Z = 10 m, k = 0,3, Δ = 0,5 m, = 133000 N/m Vol. tronco di cono = 0,03 m

γ

2 C m

Determinare: La portata Q, la pressione n , la portata Q , la spinta del fluido sul tronco di cono AB

3 e

Tracciare la linea dei carichi totali e la piezometrica

Q H

max

B

Hv variabile

L = ∞, Ks , i >i

1 1 c b

L ,Ks , i >i

1 1 1 c a

L , Ks , i >i

2 1 1 c L , Ks , i =0

2 1 2

Determinare: possibili profili di moto permanente. PORTATA NOTA!!!

RISOLUZIONE ESERCIZIO DI CORRENTE A SUPERFICIE LIBERA

B C

A D

Q H

max B

Hv variabile

L = ∞, Ks , i >i

1 1 c b

L ,Ks , i >i

1 1 1 c a

L , Ks , i >i

2 1 1 c L , Ks , i =0

2 1 2

Determinare: possibili profili di moto permanente. PORTATA NOTA!!!!

Considerazioni generali sulle condizioni al contorno:

SEZIONE A: L’alveo, a monte della sezione A, mantiene le caratteristiche del tratto AB per una

lunghezza indefinita. Dato che il tratto è in forte pendenza questa è la condizione al contorno

che ci consente di arrivare alla sezione A con una altezza di moto uniforme.

SEZIONE B: Alveo in forte pendenza, moto uniforme come corrente veloce, influenzata e tracciata

da monte. Il gradino verrà affrontato da monte verso valle, gradino a scendere. La corrente

sempre energia sufficiente.

avrà

SEZIONE C: paratoia. Imposizione del passaggio per la sezione contratta a valle della paratoia e

bilancio di energia monte-valle. Attenzione che la paratoia crea un profilo di lenta a monte che

potrebbe arrivare al gradino. In questo caso la lenta che arriva da valle potrebbe non avere

energia sufficiente (!!).

SEZIONE D: lago di valle. Il lago di valle ha una altezza variabile. A seconda della sua altezza

“entrare” o meno nel canale.

(definita dallo studente) il lago potrà

Conoscendo la portata sono note tutte le altezze di riferimento:

2 / 3

= ⋅ ⋅ ⋅ Æ h = h h all’infinito

Q A Ks R i

0 0(AB) 0(BC) 0(CD)

0

id

3 2

A Q

=α Æ k = k = k

(AB) (BC) (CD)

B g

Tratto AÆB (sez. A) h finale: h (sez. B)

h iniziale: h Æ

0 0

RISOLUZIONE ESERCIZIO DI CORRENTE A SUPERFICIE LIBERA

Sez. B: Gradino a scendere, energia sempre sufficiente

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

2 2 h

V V

+ = ⇒ + α + = + α

1 2

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ h

E b E h b h

1 2 1 2 =

2 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

g g E

k 1 2

h =h

h 1 0

0 k

i > i

c h 2

b 1

h 4

2 E E = E + b E

i > i

B 1 2 1

c 3

Sez B. gradino – passaggi logici con riferimento numerico al grafico

1) Profilo di veloce, stiamo tracciando da monte. Affrontiamo il gradino da monte verso valle, “a scendere”, da 1 a 2.

2) Nota l’altezza h (h ) a monte del gradino si ricava l’energia E .

1 0 1

3) Aggiungendo l’altezza del gradino “b” si calcola l’energia E a valle del gradino stesso.

2

4) Nota l’energia a valle del gradino si ricava l’altezza corrispondente della corrente h .

2

5) Le due altezze agli estremi del gradino vengono unite con un una linea tratteggiata.

6) Da h si riparte con il tracciamento del profilo.

2

Tratto BÆC (sez. B) Tipo di profilo: F3 (tende a h ) Δh: + h finale: h (sez. C)

h iniziale: h Æ Æ Æ

2 0 m(C)

Sez. C: Paratoia. Bilancio di energia monte valle per trovare l’altezza della lenta a monte della

paratoia stessa (h ) e passaggio per la sezione contratta a valle.

L h L

k = ⋅

F1 h a C

SC c

ho k

⎛ ⎞

⎛ ⎞ 2

2

h V

V

+ α = + α

⎜ ⎟

SC

⎜ ⎟

L

m(C) h h

F3 L SC

2 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

g g

O3

h SC

B SC D

RISOLUZIONE ESERCIZIO DI CORRENTE A SUPERFICIE LIBERA

Tratto CÆD (sez. C) Tipo di profilo: O3 (tende a k) Δh: +

h iniziale: hsc Æ Æ

IPOTESI: il profilo O3 arriva alla sezione D prima che si chiuda in k

Æ

Sezione D

il lago è inferiore al gradino e quindi non influenza il profilo che si getta nel lago…

IPOTESI:

Tratto CÆB

h iniziale: hL (sez. C) Tipo di profilo: F1 (tende a k) Δh: -

Æ Æ

IPOTESI: si chiude in k prima di arrivare alla sezione B

Æ

Tratto BÆC

All’interno del tratto BC c’è una zona di sovrapposizione di profili RISALTO

Æ

2

Q

= γ ⋅ ⋅ + ρ ⋅

S h A

G A

PROFILO DI PRIMO TENTATIVO H

max

R B

F1 F3 03 Hv < k

PROFILI ALTERNATIVI

Alzando il livello del lago di valle si crea un profilo di lenta che risale fino alla sezione C (paratoia).

Un primo profilo alternativo consiste nel bloccare il profilo di lenta prima di C ottenendo un risalto.

Se si spinge la lenta contro la paratoia si deve rifare il bilancio monte-valle paratoia ottenendo un

profilo F1 “più alto”. Il secondo profilo alternativo si ottiene con un nuovo risalto tra B e C.

Un terzo profilo alternativo si ottiene sviluppando il profilo F1 fino al gradino…

RACCOLTA TEMI D’ESAME

ANNO ACCADEMICO 2013-2014

Corsi Idraulica

07.02.2014

14.02.2014

28.02.2014

11.07.2014

25.07.2014

12.09.2014

26.09.2014

Se ci fossero errori, si prega di avvisare l’ing. Gianluca Crotti

gianluca.crotti@polimi.it

Ultima revisione: 3.11.2014

IDRAULICA – APPELLO DEL 07/02/14 Allievo: _________________

.

Matricola:

Prof. Francesco Ballio / Ing. Crotti Gianluca

n A DATI

Aria B n, , , Z , Z , Z , Z , Z , β

γ γ A B C D E

1 2

C L (profondità del serbatoio)

DETERMINARE

La spinta totale sulla parete ABCDE

D γ Tracciare il diagramma delle pressioni per la

γ β

Y 2

1 E parete ABCDE lato destro e sinistro.

+ X Dati:

Z A Z

D, L, ε B Z = 31 m Z = 20 m Z = 15 m

A B F

? = 0,002 m

d = 0,2 m D = 0,2 m ε

Per la soluzione L = 200 m

γ,μ d

Z

T.E. 24/09/2009 F 3 -3 2

= 9806 N/m

γ μ = 10 Ns/m

D, L, ε Errore per eventuale ciclo iterativo

Volume finito

Volume infinito pari a 1%

DETERMINARE (approssimazione alla 3° cifra decimale)

le portate circolanti, il tipo di macchina idraulica (pompa o turbina) e il ΔH corrispondente.

TRACCIARE

per tutta la lunghezza delle condotte le linee dei carichi totali e la piezometrica.

D

A C

B H

Max

H B

M Dati:

B, H , L , L , L

max 1 2 3

L , Ks , i <i

1 1 1 c b Ks , i , i , H , H , b

1 1 2 M v

L , Ks , i >i

2 1 2 c L , Ks , i >i H (variabile)

3 1 2 c

Determinare: V

La portata che fluisce nel canale e possibili profili di moto permanente.

STATICA

n A DATI

Aria B n, , , Z , Z , Z , Z , Z , β

γ γ A B C D E

1 2

C L (profondità del serbatoio)

DETERMINARE

La spinta totale sulla parete ABCDE

D γ Tracciare il diagramma delle pressioni per la

γ β

Y 2

1 E parete ABCDE lato destro e sinistro.

+ X Lato γ2

Lato γ1

Π

1 Π

A

F 4

Π Aria

2 Π Π

H

B

H B

01 02

C C

γ γ

G 1 2

A

Π Π

3 5

D D

Y Y

G G

1 2

+ +

E E

X X

Π + Π + + Π =

Π + Π + Π + + + Π = 0

0 G

G G 4 5 02

2

1 2 3 01

1

A = +Π

= −Π S

S 02

2

01

1 = −Π − Π −

= Π + Π + Π + + S G

S G G 4 5

2 2

1 2 3

1 1

A = −Π

= +Π + Π S

S 2 5

1 2 3 X X

X X X = −Π −

= +Π + + S G

S G G 2 4 2

1 1 1 Y Y Y

Y Y AY Y

= + = +Π + Π − Π

S S S

1 2 2 3 5

X X X X X X

= + = +Π + + − Π −

S S S G G G

1 2 1 1 4 2

Y Y Y Y AY Y Y Y

= +

2 2

S S S

X Y

STATICA

Lato γ1 Geometria utile

( )

Z Z ( )

= +

= = β / 2

cos( )

D E

Π Z Z Z

FA HB

1 β G B E

sin( )

A

F ⎧ ⎫

⎡ ⎤

( )

Π ⎛ ⎞

2 ⎡ ⎤

Aria ⋅ −

π⋅

⎪ ⎪

( ) HB Z Z

2 CD

Π ⎢ ⎥

⎜ ⎟

= ⋅ ⋅ + −⎢ ⎥

B D E

⎨ ⎬

H W L HB HE

01 ⎜ ⎟

1 ⎢ ⎥

8 2

⎢ ⎥

⎪ ⎪

⎣ ⎦

⎝ ⎠

⎣ ⎦

C ⎩ ⎭

γ ( ) ( )

G 1

G Π = − ⋅ ⋅ Π = ⋅ ⋅

A n FA L n FH L

1 2

Y X

Π ( ) ( ) ( )

3 D Π = ⋅ ⋅ = + ⋅ γ ⋅ ⋅

p HE L n HG HE L

3 1

X G

G

1

Y = γ

0 ( )

G trascurabile

E AY aria

+ = −γ ⋅

G W

1 1 1

Y

X Lato γ2 Geometria utile

( )

= + / 2

= Z Z Z

HB FA

Π K B E

4 Π

H =

B 02 W W

2 1

C γ

2

K Π = 0

Π 4 Y

5 D ( ) ( )

( )

( )

Y Π = ⋅ ⋅ = − ⋅ γ ⋅ ⋅

p HE L Z Z HE L

5 1

G

+ X K B K

2 = −γ ⋅

G W

E 2 2 2

Y

X

pci γ

1 n A pci γ

Aria B 2

arctg( γ ) arctg( γ )

1 C 2

D γ

γ β 2

1 E

Per la rappresentazione del diagramma delle pressioni lato sinistro si è ipotizzato n > 0

La risoluzione qualitativa dell’esercizio è invece indipendente dal segno di n

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

D

A C

B H

Max

H

M B

Dati:

B, H , L , L , L

L , Ks , i <i max 1 2 3

1 1 1 c b Ks , i , i , H , H , b

1 1 2 M v

L , Ks , i >i

2 1 2 c L , Ks , i >i

Determinare: H (variabile)

3 1 2 c V

La portata che fluisce nel canale e possibili profili di moto permanente.

Considerazioni iniziali

La sezione A non consente di determinare il valore della portata, quindi deve essere considerata

come sezione di controllo, ove verificare l’ipotesi di portata.

Considerando che la sezione di inizio tracciamento profilo non coincide con la sezione di controllo

(ovverosia, come detto in precedenza, non esiste una sezione in cui si riesce a definire la Q), è

utile scegliere una sezione vicina alla sezione di controllo in modo da poter verificare il prima

possibile l’ipotesi di portata.

Si ipotizza una portata Q di primo tentativo

Si determina per tutti i tratti l’altezza critica k e le altezze di moto uniforme

3 2

A Q

=α → = ⋅ ⋅ → =

2/3 ,

k Q A K R i h h h

0( ) 0( ) 0( )

s id AB BC CD

B g

passaggio per k si traccia profilo fino a monte (A) per verificare l’ipotesi di Q

Æ

Sezione B: debole pendenza verifica Q

Tratto BA: Sezione A: se l’energia

Sezione A:

non è bilanciata si deve

H partenza in B = k 2

V

= + α iterare il procedimento

H h

Tipologia di profilo D2 (lenta)

Æ M A 2 g con una nuova Q

H di arrivo in A = hA (≤ h )

0AB D

A C

B forte pendenza

Tratto BC:

D2 H partenza in B = k

hA

H k

M F2 Tipologia di profilo F2 (veloce)

Æ

H di arrivo in C = hCm

hCm

L , Ks , i <i

1 1 1 c b

L , Ks , i >i

2 1 2 c H (variabile)

L , Ks , i >i V

3 1 2 c

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

gradino (altezza b). Gradino a cavallo di due tratti a forte pendenza. Il gradino è

Sezione C:

affrontato da monte (corrente veloce) Æ ENERGIA SEMPRE SUFFICIENTE

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

2 2 h

V V

+ = ⇒ + α + = + α

1 2

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

E b E h b h h

1 2 1 2

2 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =

g g E

k 1 2

F2

h h

0 1

h 2 F2

i > i k

c b h 2

1

F3 h 4

2

i > i

C E E = E + b

c E

1 2 1

3

Sez B. gradino – passaggi logici con riferimento numerico al grafico

1) Il profilo è di veloce, quindi stiamo tracciando da monte. Affrontiamo il gradino da monte verso valle, “a scendere”, da

1 a 2.

2) Nota l’altezza h (h ) a monte del gradino si ricava l’energia E .

1 Cm 1

3) Aggiungendo l’altezza del gradino “b” si calcola l’energia E a valle del gradino stesso.

2

4) Nota l’energia a valle del gradino si ricava l’altezza corrispondente della corrente h (hCv).

2

5) Le due altezze agli estremi del gradino vengono unite con un una linea tratteggiata.

6) Da h si riparte con il tracciamento del profilo.

2

Considerazioni aggiuntive

1) h < h (evidente dal grafico dell’energia).

2 1

2) Maggiore è l’altezza del gradino maggiore è la differenza tra le due altezze a monte e valle del gradino.

3) A seconda dei casi h può essere maggiore o minore della h di riferimento.

2 0

4) In tutta la trattazione del gradino non si è mai considerata la pendenza dei due tratti a monte e valle a prescindere

Æ

dalla pendenza dei due tratti (che può essere anche diversa) per il ragionamento fatto pocanzi è importante solo

l’altezza con cui il profilo arriva al gradino e come esso sarà affrontato (“scendere” o “salire”).

D

A C

B forte pendenza

Tratto CD:

H partenza in C = hCv

D2 Profilo F2 o F3 (veloce)

Æ

hA

H k

M F2 H di arrivo in D = hD

hCm

L , Ks , i <i F2

1 1 1 c hCv b hD ≤ h0 (F3) o hD ≥ h0 (F2)

F3 hD

L , Ks , i >i

2 1 2 c H (variabile)

L , Ks , i >i V

3 1 2 c

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

lago di valle. Determinazione dell’altezza del lago Hv* tale che:

Sezione D:

• per Hv < Hv* il lago non ha la “forza” necessaria per “entrare” nel canale.

• per Hv > Hv* il lago diventa condizione al contorno per il tracciamento di una lenta da valle.

h Sezione D

H *

v Il valore di Hv* è valido solo

per questo caso particolare,

ovverosia per una corrente

che giunge alla sezione D con

altezza pari a hD

h S

D S lago = S veloce(D)

Hv < Hv* il lago non ha la “forza” necessaria per “entrare” nel canale.

Æ

IPOTESI Sezione D D

A C

B hD ≤ h0 (F3) o hD ≥ h0 (F2)

D2

hA

H k

M F2 hCm H < Hv*

L , Ks , i <i V

F2

1 1 1 c hCv b F3 hD

L , Ks , i >i

2 1 2 c H < Hv*

L , Ks , i >i

Profilo di primo tentativo V

3 1 2 c

Procedimento per il tracciamento del profilo, D2 da B ad A.

2 2

Q Q

= → = + α → =

h k E h J

1 1 1 1 4

2

2 gA 2 2 3

A K R

1 1 (1)

S id

( )

= + Δ Δ > →

0

h h h h D

2 1 2 Lo studente deve sempre

2 2

Q Q spiegare, scegliendo un tratto

→ = + α → =

h E h J a piacere, come si traccia un

2 2 2 2 4

2

2 gA 2 2 3

A K R

2 profilo.

2 (2)

S id

Δ E E

E = − → Δ = 2 1

i J s iterare fino ad A

Δ ⎛ ⎞

m J J

s −⎜ 1 2 ⎟

i 2

⎝ ⎠

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

D2 hD ≤ h0 (F3) o hD ≥ h0 (F2)

hA

H k

M F2 F1 H > Hv*

R V

hCm

A L , Ks , i <i B F2

1 1 1 c hCv b F3

L , Ks , i >i C

2 1 2 c L , Ks , i >i D

Profilo alternativo 1 3 1 2 c

D2 F1

hA H > Hv*

hCv(L)

H R

k F1 V

M F2 hCm(L)

A L , Ks , i <i B

1 1 1 c hCv b

C

L , Ks , i >i

2 1 2 c

Profilo alternativo 2 L , Ks , i >i D

3 1 2 c

D2 F1 H > Hv*

hCv(L)

hA F1

H V

M hCm(L) Potrebbe non esser

e

necessario cambiare la

A portata trovata per il

L , Ks , i <i B

1 1 1 c hCv primo profilo

b

L , Ks , i >i C

2 1 2 c D

L , Ks , i >i

Profilo alternativo 3 3 1 2 c

F1 H > Hv*

D1 hCv(L)

F1 V

hA

H

M hCm(L) Potrebbe non esser

e

A L , Ks , i <i B

1 1 1 c necessario cambiare la

hCv b portata trovata per il

primo profilo

L , Ks , i >i C

2 1 2 c D

L , Ks , i >i

Profilo alternativo 3bis 3 1 2 c

IDRAULICA – APPELLO DEL 14/02/14 Allievo: _________________

.

Matricola:

Prof. Francesco Ballio / Ing. Crotti Gianluca

A DATI

Aria γ = 15000 N/m , γ = 8000 N/m , γ = 133000 N/m

3 3 3

1 2 m

C Z = 6 m, Z = Z = 4 m, Z = 3 m, Z = 2 m,

B A B C D E

= 1 m, Z = 0 m, Z = - 3 m, Z = - 2.8 m,

Z

D F G M N

E β = 45° L (profondità del serbatoio) = 1 m

Z r

F DETERMINARE

γ

γ β 2

1 La spinta totale e le sue componenti (x e y) sulla

G

Z = 0 parete ABCDEFG.

N

Y M γ

+ Tracciare il diagramma delle pressioni per la parete

m ABCDEFG lato destro e sinistro.

X Z

n T

Z

Aria Z

L = 0

M Z V

P

T D

4

L L

L L

L

A 3

B 3

2 DATI

D , ε

D , ε D , ε

2 2

1 1 1 1 Z ,Z (>Z ),Z ,

M T M P

DETERMINARE D , ε , L , n

i i i

la portata circolante, il livello Z , la potenza della turbina.

V , μ, η

γ T

TRACCIARE K(diff), k(restr)

per tutta la lunghezza delle condotte le linee dei carichi totali e la piezometrica.

D

A C

B H

Max

H

M B

> k

H

V

b

L , Ks , i >i Dati:

1 1 1 c L , Ks , i =0

2 1 2 B, H , L , L , L

max 1 2 3

L , Ks , i >i

3 1 1 c Ks , i , i , H , H , b

1 1 2 M v

Determinare:

La portata che fluisce nel canale e possibili profili di moto permanente.

STATICA

A DATI

Aria γ = 15000 N/m , γ = 8000 N/m , γ = 133000 N/m

3 3 3

1 2 m

C Z = 6 m, Z = Z = 4 m, Z = 3 m, Z = 2 m,

B A B C D E

= 1 m, Z = 0 m, Z = - 3 m, Z = -2.8 m,

Z

D F G M N

E β = 45° L (profondità del serbatoio) = 1 m

Z r

F DETERMINARE

γ

γ β 2

1 La spinta totale e le sue componenti (x e y) sulla

G

Z = 0 parete ABCDEFG.

N

Y M γ

+ Tracciare il diagramma delle pressioni per la parete

m ABCDEFG lato destro e sinistro.

Lato γ2

Lato γ1

A

S

A Π

4

B E

γ

2

C

B Π F

Π Π 5

Aria

2 D 01 Π

G G

γ 02

2

1 E

G A

Π

Y Y

3

+ +

F

G

G 1

X X

Π + Π + + Π =

Π + Π + + + Π = 0

0 G

G G 4 5 02

2

2 3 01

1

A = +Π

= −Π S

S 02

2

01

1 = −Π − Π −

= +Π + Π + + S G

S G G 4 5

2 2

2 3

1 1

A = −Π

= +Π + Π S

S 2 5

1 2 3 X X

X X X = −Π −

= + + S G

S G G 2 4 2

1 1 Y Y Y

Y AY Y

= + + + = + + Π + Π − Π

S S S S S

1 2 2 3 5

X AX X X AX X X X

= + = + + − Π −

S S S G G G

1 2 1 4 2

Y Y Y AY Y Y Y

= +

2 2

S S S

X Y

STATICA

A

Aria

- C

B

L D

- Pci(γ2)

E

Z γ r

Pci(γ1) 1 K F

P +

γ

β

+ 2

G

Z = 0 N

M γ

m

Pressioni utili lato γ1 Pressioni utili lato γ2

= → γ =

0

= + γ − = p Zpci Z

( ) 65000

p p Z Z Pa ( ) 2

E E

( ) ( )

M N m N M = + γ − =

( ) 8000

= = p p Z Z Pa

/ 2 1.5

Z Z m ( ) ( ) 2

F E E F

K D = + γ − =

= + γ − = − ( ) 38400

( ) 2500 p p Z Z Pa

p p Z Z Pa ( ) ( ) 2

( ) ( ) 1 N F F N

K M M K

= + γ − = −

( ) 25000

p p Z Z Pa

( ) ( ) 1

D M M D ( )

γ = + γ =

/ 1.33 = − = 2

Zpci Z P m LD Z Z m

1 ( ) 1

D D E G

Π + Π + + + Π = 0

Lato γ1 G G

2 3 01

1

A

= −Π

S

A 01

1

C

B

S Π Π

Aria

A = +Π + Π + +

2 D 01 S G G

2 3

1 1

L A

γ = +Π + Π

1 S

Π E

G 1 2 3

X X X

3

B A

K = + +

S G G

1 1

Y AY Y

Y P F

+ = + + = + + Π + Π

S S S S

G

G ( ) 1 2 3

X sx AX X AX X X

1 = = + +

S S G G

X ( ) 1 1

Y sx Y AY Y

⎡ ⎤

⎛ ⎞

π ⋅

2

( ) r LP PF PG

≈ = −γ = −γ ⋅ + + ⋅ + = − ⋅ ≈ −

0 15000 4.29 64281

⎢ ⎥

⎜ ⎟

G G W LD DE PF N

1 1 1 1

AY Y 4 2 2

⎢ ⎥

⎝ ⎠

⎣ ⎦

( )

Π = + ⋅ ⋅ = + − ⋅ = −

1 ( 25000) (1) 25000

p CD N

2 ( )

X D ( )

Π = + ⋅ ⋅ = + − ⋅ = −

1 ( 2500) (3) 7500

p LG N

3 ( )

X K ( )

= + ⋅ ⋅ = + − ⋅ = −

1 ( 25000) (2) 50000

S p AB N

( )

AX D

= + + = + + Π + Π = + − + − + − = −

( 50000) ( 25000) ( 7500) 82500

S S S S N

( ) 1 2 3

X sx AX X AX X X

= = + + = + + − = −

0 ( 64281) 64281

S S G G N

( ) 1 1

Y sx Y AY Y STATICA

A

Aria

- C

B

L D

- Pci(γ2)

E

Z γ r

Pci(γ1) 1 K F

P +

γ

β

+ 2

G

Z = 0 N

M γ

m

Pressioni utili lato γ1 Pressioni utili lato γ2

= → γ =

0

= + γ − = p Zpci Z

( ) 65000

p p Z Z Pa ( ) 2

E E

( ) ( )

M N m N M = + γ − =

( ) 8000

= = p p Z Z Pa

/ 2 1.5

Z Z m ( ) ( ) 2

F E E F

K D = + γ − =

= + γ − = − ( ) 38400

( ) 2500 p p Z Z Pa

p p Z Z Pa ( ) ( ) 2

( ) ( ) 1 N F F N

K M M K

= + γ − = −

( ) 25000

p p Z Z Pa

( ) ( ) 1

D M M D ( )

γ = + γ =

/ 1.33 = − = 2

Zpci Z P m LD Z Z m

1 ( ) 1

D D E G

Π + Π + + Π = 0

G

Π 4 5 02

2

4 = +Π

S

Y 02

E 2

Q γ

+ = −Π − Π −

2 S G

4 5

2 2

P = + = −Π

S S

= −Π

Π ( ) 2 5

S X dx X X

F

5

X 2 5

X X = + = −Π −

S S G

= −Π −

Π S G

G ( ) 2 4 2

G Y dx Y Y Y

02 2 4 2

Y Y Y

2

⎡ ⎤

⎛ ⎞ π ⋅

2

QE r PF PG

= −γ = −γ ⋅ + + = − ⋅ = −

8000 2.29 18283

⎢ ⎥

⎜ ⎟

G W QP N

2 2 2 2

Y 2 4 2

⎢ ⎥

⎝ ⎠

⎣ ⎦

( )

Π = Π = + ⋅ ⋅ = + + ⋅ = +

0 1 ( 8000) (2) 16000

p QG N

4 5 ( )

Y X P

= + = −Π = − + = −

( 16000) 16000

S S N

( ) 2 5

X dx X X

= + = −Π − = + − − = +

0 ( 18283) 18283

S S G N

( ) 2 4 2

Y dx Y Y Y

= + = − − = −

82500 16000 98500

S S S N

( ) ( ) = + =

2 2

X X sx X dx 108711

S S S N

= + = − + = − X Y

64281 18283 45998

S S S N

( ) ( )

Y Y sx Y dx CORRENTI IN PRESSIONE

Z

n T

Z

Aria L = 0 Z

M Z V

P

T D

4

L L

L L

L

A 3

B 3

2 DATI

D , ε

D , ε D , ε

2 2

1 1 1 1 Z ,Z (>Z ),Z ,

M T M P

DETERMINARE D , ε , L , n

i i i

, la potenza della turbina.

la portata circolante, il livello Z V γ , μ, η

T

TRACCIARE K(diff), k(restr)

per tutta la lunghezza delle condotte le linee dei carichi totali e la piezometrica.

PERCORSO LOGICO DI RISOLUZIONE

identificata dal tubo di Pitot (sx dx), n deve essere > 0.

- La direzione della portata è Æ

- Determinazione della portata Q con B.E. tra monte e Z (con ipotesi di moto).

T

ΔH con B.E. tra monte (o Z ) e Z . Calcolo della potenza della turbina.

- Determinazione del T T P

- Determinazione di Z con B.E. tra monte (o Z o Z ) e valle.

V T P

pci γ Z

T

n ΔH

T

Z

Aria Z

M V

Z P

T

2 2 2 2 2

( )

V V V V V V

n ( )

+ = + α + + ⋅ + + + α + ⋅ + + + Δ

4 1 1 2 1 1

1,16 2 ( ) ( )

Z Z J L L L J L k restr k diff H

1 3 2 2

γ

M V A B T

2 2 2 2 2

g g g g g

Æ

B.E. monte Z

T 21

2 V

n V = λ

+ = + + ⋅

1

1,16 J

Z Z J L 1 1

1

γ

M T A 2

2 gD

g 1 Q di primo tentativo

Æ 0

⎛ ⎞

ε

1 1

→ → = ⋅ ⋅ → λ

1

. . . 2 log ⎜ ⎟

Ip m a t ∞

1

λ 3, 71

⎝ ⎠

D

1

1 CORRENTI IN PRESSIONE

Verifica dell’ipotesi di moto assolutamente turbolento

ρ V D

+ ←⎯

→ → λ ⎯⎯⎯

→ → = →

. . ??

1 1 Re Re

. . . Re

B E

Ip m a t Q Abaco

1 0 0 0

μ s

m.t.t. m.a.t.

λ L

am > → → =

Re Re ipotesi OK Q Q

inare 0 0

ε s

λ 1

1 Tu D

b o 1

l isc < → → ≠

Re Re !!!!

io ipotesi NO Q Q

0 0

s

Re Re

s < → → =

e e OK Q Q o Q

Q max 0 1

+

< ⎯⎯⎯

→ λ ⎯⎯⎯

→ → = −

. . 1

Re ( Re ) 1

Abaco B E Q e

0 1 1

s Q < → →

0 e e NO iterazione

max

Q

+

→ ⎯⎯⎯

→ λ ⎯⎯⎯

→ → = − ⎯⎯→

. . ????

+

1

Re 1

Abaco B E i

Q Q e e

+ +

1 1 max

i i i i Q

i

Alla fine dell’eventuale processo iterativo ho definito la portata, chiamata Q nel prosieguo della

soluzione. ΔH

Calcolo del e della potenza della turbina

T −

2 2 2 2

( )

V V V V V

n ( )

+ = + α + + ⋅ + + + α + ⋅ + + Δ

1 1 1 2 1

1,16 ( )

Z Z J L L L J L k restr H

1 3 2 2

γ

M P A B T

2 2 2 2

g g g g

( )

= η γ ⋅ Δ ⋅

W H Q

T T T

Calcolo di Z V

2 2 2

V V V

+ α = + ⋅ + +α →

1 1 4

( )

Z Z J L k diff Z

1 3

P V V

2 2 2

g g g

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

D

A C

B H

Max

H

M B

H > k

V

b

, Ks , i >i

L Dati:

1 1 1 c L , Ks , i =0

2 1 2 B, H , L , L , L

max 1 2 3

, Ks , i >i

L 3 1 1 c

Determinare: Ks , i , i , H , H , b

1 1 2 M v

La portata che fluisce nel canale e possibili profili di moto permanente.

Sezione A: determinazione della Q imponendo passaggio per k

2

Q

= + α

H h Q , k

Æ

M A 2

2gA A

=

h k

A 2 / 3

= ⋅ ⋅ ⋅ Æ h

3 2 Q A Ks R i

A Q 0 0

0

id

B g

Tratto AÆB ) Δh: - h finale: h (sez. B)

h iniziale: k (sez. A) Tipo di profilo: F2 (tende a h Æ Æ

Æ 0 (B)

Tratto BÆC (IPOTESI: profilo O3 arriva nella sezione C prima di chiudersi in k)

(sez. B) Tipo di profilo: O3 (tende a k) Δh: + h finale: h (sez. C)

h iniziale: h Æ Æ Æ

(B) m(C)

Procedimento per il tracciamento del profilo, F2 da A ad B.

2 2

Q Q

= → = + α → =

h k E h J

1 1 1 1 4

2

2 gA 2 2 3

A K R

1 1 (1)

S id

( )

= + Δ Δ < →

0

h h h h D

2 1 3 Lo studente deve sempre

2 2

Q Q spiegare, scegliendo un tratto

→ = + α → =

h E h J

2 2 2 2 4

2 a piacere, come si traccia un

2 gA 2 2 3

A K R

2 profilo.

2 (2)

S id

Δ E E

E = − → Δ = 2 1

i J s iterare fino a B

Δ ⎛ ⎞

m J J

s −⎜ 1 2 ⎟

i 2

⎝ ⎠

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

D

A C

B H

Max

H

M h m(C)

F B

2 H > k

V

h O h

(B) 3 F

v(C) 2

b

L , Ks , i >i F h

1 1 1 c 3 (D)

L , Ks , i =0

2 1 2 , Ks , i >i

L 3 1 1 c

gradino (altezza b). Il gradino è affrontato da monte (corrente veloce) Æ

Sezione C: ENERGIA

SEMPRE SUFFICIENTE

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

2 2 h

V V

+ = ⇒ + α + = + α

1 2

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

E b E h b h h

1 2 1 2

2 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =

g g E

k 1 2

F2

h h

0 1

h 2

i > i F2

c k

b h 2

F3 1

h 4

2

i > i

C c E E = E + b E

1 2 1

3

Sez B. gradino – passaggi logici con riferimento numerico al grafico

1) Il profilo è di veloce, quindi stiamo tracciando da monte. Affrontiamo il gradino da monte verso valle, “a scendere”, da

1 a 2.

2) Nota l’altezza h (hmc) a monte del gradino si ricava l’energia E .

1 1

3) Aggiungendo l’altezza del gradino “b” si calcola l’energia E a valle del gradino stesso.

2

4) Nota l’energia a valle del gradino si ricava l’altezza corrispondente della corrente h (hvc).

2

5) Le due altezze agli estremi del gradino vengono unite con un una linea tratteggiata.

6) Da h si riparte con il tracciamento del profilo.

2

Considerazioni aggiuntive

1) h < h (evidente dal grafico dell’energia).

2 1

2) Maggiore è l’altezza del gradino maggiore è la differenza tra le due altezze a monte e valle del gradino.

3) A seconda dei casi h può essere maggiore o minore della h di riferimento.

2 0

4) In tutta la trattazione del gradino non si è mai considerata la pendenza dei due tratti a monte e valle a prescindere

Æ

dalla pendenza dei due tratti (che può essere anche diversa) per il ragionamento fatto pocanzi è importante solo

l’altezza con cui il profilo arriva al gradino e come esso sarà affrontato (“scendere” o “salire”).

Tratto CÆD h iniziale: h (sez. C) Tipo di profilo: F2/F3 (tende a h ) Δh: -/+ h

Æ Æ Æ

v(C) 0

finale: h (sez. D)

(D) CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

lago di valle. Determinazione dell’altezza del lago Hv* tale che:

Sezione D:

• per Hv < Hv* il lago non ha la “forza” necessaria per “entrare” nel canale.

• per Hv > Hv* il lago diventa condizione al contorno per il tracciamento di una lenta da valle.

h Sezione D Il valore di Hv* è valido solo

per questo caso particolare,

ovverosia per una corrente

H *

v che giunge alla sezione D con

altezza pari a hD.

k Il valore di Hv* è maggiore di k

(ovviamente); la condizione

Hv>k non garantisce a priori

h S

D un profilo di lenta che si

sviluppa dal lago di valle e

“risale” il canale verso C.

S lago = S veloce(D)

k < Hv < Hv* il lago non ha la “forza” necessaria per “entrare” nel canale.

Æ

IPOTESI Sezione D D

A C

B H

Max

H

M h m(C)

F B

2 H > k

V

h O h

(B) 3 F

v(C) 2

b

L , Ks , i >i F h

1 1 1 c 3 (D)

L , Ks , i =0

2 1 2 , Ks , i >i

L 3 1 1 c

Profilo di primo tentativo

I profili alternativi possono essere identificati cambiando le ipotesi che hanno portato alla

definizione del profilo di primo tentativo:

• Il profilo O3 si chiude in k prima di giungere nella sezione C.

• Il lago di valle ha spinta sufficiente per “entrare nel canale”.

È IMPORTANTE RICORDARSI CHE LA PORTATA DEFINITA ALL’INIZIO DEL PROBLEMA

PREVEDE UN PASSAGGIO PER K IN “A”. SE, NEL GENERICO PROFILO ALTERNATIVO, IL

LA PORTATA NON E’ PIU’ VALIDA…

RIGURGITO DA VALLE ARRIVA FINO IN “A”

DIVENTA UNA SEZIONE IN CUI VERIFICARE L’IPOTESI DELLA NUOVA

LA SEZIONE “A”

“Q”… CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

D

A C

B

H

M h m(C)

F

2 F

1 H > k

R V

h O h

(B) 3 F

v(C) 2

b

L , Ks , i >i F h

1 1 1 c 3 (D)

L , Ks , i =0

2 1 2 , Ks , i >i

L

Profilo alternativo 1 3 1 1 c D

A C

B F

F O

R

R 1 H > k

1 2

H V

M F

2 Il risalto R può essere

h O a monte o a valle della

h

(B) 3 v(C) sezione B

b

L , Ks , i >i

1 1 1 c L , Ks , i =0

2 1 2 , Ks , i >i

L

Profilo alternativo 2 3 1 1 c D

A C

B F

O 1

2 H > k

F

H V

1

M Ipotesi di portata,

partenza da D

b

L , Ks , i >i e verifica in A

1 1 1 c L , Ks , i =0

2 1 2 , Ks , i >i

L

Profilo alternativo 3 3 1 1 c

IDRAULICA – APPELLO DEL 28/02/14 Allievo: _________________

.

Matricola:

Prof. Francesco Ballio / Ing. Crotti Gianluca DATI

S B

aria b, β (generico), L (profondità del serbatoio), n (<0)

γ,

DETERMINARE

n (<0) γ La spinta totale e le sue componenti (x e y) sulla

b/2 superficie curva di traccia AB. Disegnare

A qualitativamente la direzione della spinta totale rispetto

al sistema di riferimento.

S Utilizzare il sistema di

β b Considerare noti i

riferimento riportato in figura.

Y volumi necessari alla risoluzione.

+ Tracciare il diagramma delle pressioni riferito all’asse

X del serbatoio (S-S). Z

DATI 2

Δ

Z ,Z , D , ε , L , γ , μ, η k, γ ,

Z = ? 2 e i i i T, m

1 η

k T D , ε L

2 2, 2

T

D

u

Z e D Volume

e infinito

L

m

Volume

finito Δ =? Δ

1 γ

γ m

m

D , ε L D , ε L

1 1, 3 1 1, 1 Δ

DETERMINARE : le portate circolanti, il livello Z , la potenza della turbina, il valore di .

1

1

TRACCIARE :per tutta la lunghezza delle condotte le linee dei carichi totali e la piezometrica.

D

A C

B H = 5 m

Max

H = 3 m

M B = 5 m

H =3 m

b = 0.2 m

= 100 m

L = 100 m

L V

1 2

1/3

Ks = 70 m /s 1/3

Ks = 70 m /s

1 2 = 50 m

L

3

i =2% =0%

i

1 2 1/3

Ks = 70 m /s

3 i =0.2%

Determinare: 3

La portata che fluisce nel canale e il profilo di moto permanente.

STATICA

Caso 1 Caso 2

Y

+ S S’ S’

B

aria aria aria

X C γ

C’ C’

n (<0) γ

γ

b/2

A S S’ S’

β b

Π Π + Π + + + Π = Y

0 0

G G

1 0

1

A A

B

aria +

= −Π

S 0

γ X

G Π

C = +Π + Π + +

A S G G

1 1

A A

Π = +Π + Π + + = +Π + Π

G S G G

A 1

A 1 1 1

X AX X AX X AX X

= +Π + Π + + = +Π + Π +

S G G G

G 1 1 1 1

Y AY Y AY Y AY Y Y

1 b b

[ ] [ ]

= − β < = − β <

cos( ) 0 cos( ) 0

p n p n

( ) ( )

G C

4 2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

b b

= −γ ⋅ Π = + ⋅ β Π = − ⋅ β

sin( ) cos( )

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

G W p L p L

1 1 ( ) ( )

Y AY C AX C

2 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

b b

Π = + ⋅ β Π = − ⋅ β

sin( ) cos( )

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

p L p L

1 ( ) 1 ( )

Y G X G

2 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

b b <

, 0

= − ⋅ β − ⋅ β ⎯⎯⎯⎯⎯

→ >

p p

cos( ) cos( ) 0

( ) ( )

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ G C

S p L p L S

( ) ( )

X C G X

2 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

b b <

, 0

= + ⋅ β + ⋅ β − γ ⋅ ⎯⎯⎯⎯⎯

→ <

p p

sin( ) sin( ) 0

( ) ( )

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ G C

S p L p L W S

( ) ( ) 1

Y C G Y

2 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ S (>0)

X

= +

2 2

S S S

X Y S

S (<0)

Y

CORRENTI IN PRESSIONE Z

DATI 2

Δ

Z ,Z , D , ε , L , γ , μ, η k, γ ,

Z = ? 2 e i i i T, m

1 η

k T D , ε L

2 2, 2

T

D

u

Z e D Volume

e infinito

L

m

Δ =?

Volume finito Δ

1 γ

γ m

m

D , ε L D , ε L

1 1, 3 1 1, 1 Δ

DETERMINARE : le portate circolanti, il livello Z , la potenza della turbina, il valore di .

1

1

TRACCIARE :per tutta la lunghezza delle condotte le linee dei carichi totali e la piezometrica.

PERCORSO LOGICO DI RISOLUZIONE (direzione dxÆsx).

- [1] Manometro differenziale (Δ) per la portata Q 1

- [2] B.E. tra Z e Z per calcolo di Z (condotta inferiore).

2 1 1

.

- [3] Efflusso per calcolo della Q

e

del serbatoio per calcolo della Q

- [4] Continuità (direzione dxÆsx).

2

e Z per calcolo della potenza della turbina (condotta superiore).

- [5] B.E. tra Z 2 1 Δ .

Δ per trovare

+ manometro differenziale

- [6] B.E 1 1

[1] Manometro differenziale (Δ) per la portata Q (direzione dxÆsx)

1 2

2 21

p V

p V V

+ +α = + +α +λ

N N

M M

Z Z L

γ γ

M N m

2 2 2

g g gD

L 1

m ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ γ − γ 21

N M p

p V

+ − + =δ=Δ =λ

N m

M

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

Z Z L

γ γ γ Q

M N m

2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ gD 1

1

Δ γ Ipotesi di moto m.a.t.

Æ

m

La direzione della portata è definita dai livelli dei due menischi del manometro differenziale.

In conclusione si può dedurre che Z è minore di Z .

1 2

Questo consente di definire anche la direzione della portata per la tubazione superiore.

CORRENTI IN PRESSIONE

Verifica dell’ipotesi di moto assolutamente turbolento

ρ V D

+

→ → λ ⎯⎯⎯

→ → = → ←⎯

. . ??

1 1

. . . Re Re Re

B E

Ip m a t Q Abaco

1 0 0 0

μ s

m.t.t. m.a.t.

λ L

am > → → =

Re Re ipotesi OK Q Q

inare 0 0

ε s

λ 1

1 Tu D

b o 1

l isc < → → ≠

Re Re !!!!

io ipotesi NO Q Q

0 0

s

Re Re

s < → → =

e e OK Q Q o Q

Q max 0 1

+

< ⎯⎯⎯

→ λ ⎯⎯⎯

→ → = −

. . 1

Re ( Re ) 1

Abaco B E Q e

0 1 1

s Q < → →

0 e e NO iterazione

max

Q

+

→ ⎯⎯⎯

→ λ ⎯⎯⎯

→ → = − ⎯⎯→

. . ????

+

1

Re 1

Abaco B E i

Q Q e e

+ +

1 1 max

i i i i Q

i

Alla fine dell’eventuale processo iterativo ho definito la portata, chiamata Q nel prosieguo della

soluzione.

[2] B.E. tra Z e Z per calcolo di Z (condotta inferiore)

2 1 1

2 2

V V

= + + ⋅ + + α →

1 1

1.16 ( )

Z Z J L L Z

2 1 1 1 3 1

2 2

g g

[3] Efflusso per calcolo della Q

e

= μ ⋅ ⋅ − →

2 ( )

Q A g Z Z Q

1

e e e e Æ

[4] Continuità del serbatoio per calcolo della Q (direzione dx sx)

2

+ + = = + −

0 (positive le portate entranti)

Q Q Q Q Q Q

1 2 2 1

e e

Sapendo che il livello Z è inferiore a Z e osservando che nella condotta superiore non c’è la

1 2 è entrante nel serbatoio

presenza di una pompa, il moto si instaura per gravità, quindi la portata Q 2

a volume finito.

[5] B.E. tra Z e Z per calcolo della potenza della turbina (condotta superiore)

2 1 2

22 V

V ( )

= + ⋅ + Δ + +α → Δ = η ⋅ γ ⋅ Δ

u

Z Z J L H k H W Q H

2 1 2 2 2

T T T T T

2 2

g g

CORRENTI IN PRESSIONE Z

DATI 2

Δ

Z ,Z , D , ε , L , γ , μ, η k, γ ,

Z = ? 2 e i i i T, m

1 η

k T D , ε L

A 2 2, 2

T

D

u

Z e D Volume

e infinito

L

m

B Δ =?

Volume finito Δ

1 γ

m

D , ε L D , ε L

1 1, 3 1 1, 1 Δ

DETERMINARE : le portate circolanti, il livello Z , la potenza della turbina, il valore di .

1

1

TRACCIARE :per tutta la lunghezza delle condotte le linee dei carichi totali e la piezometrica.

Δ Δ .

[6] B.E + manometro differenziale per trovare

1 1

2 2 21

p V p V V

= + +α + ⋅ = + +α + + ⋅

1.16

A A B B

Z Z J L Z Z J L

2 1 1

2 2 2 γ

γ B

A 2 2

2 g g

g

2 2 21

p V p V V

+ +α + ⋅ = + +α + + ⋅

1.16

A A B B

Z J L Z J L

2 2 1 1

γ γ

A B

2 2 2

g g g

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ γ − γ

p p

+ − + = δ = Δ =

m

A B

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

Z Z 1

γ γ γ

A B

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

γ − γ 2 2 2

V V V

Δ = +α + + ⋅ − +α + ⋅ → Δ

1

1.16

m B A

J L J L

1 1 1 2 2 1

γ 2 2 2

g g g

CORRENTI IN PRESSIONE Z 2

ΔH

T

Z 1 η

k T D , ε L

A 2 2, 2

T

D

u

Z e D Volume

e infinito

L

m

B Δ =?

Volume finito Δ

1 γ

m

D , ε L D , ε L

1 1, 3 1 1, 1

Z 1 η

k T D , ε L

A 2 2, 2

T

D

u

Z e D Volume

e infinito

L

m

B Δ =?

Volume finito Δ

1 γ

m

D , ε L D , ε L

1 1, 3 1 1, 1

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

D

A C

B H = 5 m

Max

H = 3 m

M B = 5 m

b = 0.2 m H = 3 m

L = 100 m L = 100 m

1 V

2

1/3

Ks = 70 m /s 1/3

Ks = 70 m /s

1 2 = 50 m

L

3

i = 2% i = 0%

1 2 1/3

Ks = 70 m /s

3

i = 0.2%

Determinare: 3

La portata che fluisce nel canale e il profilo di moto permanente.

Sezione A: determinazione della Q imponendo passaggio per k

2

Q

= + α

H h Q = 44.29 m /s , k = 2 m

Æ 3

M A 2

2gA A

=

h k

A Æ h = 1,08 m

2 / 3

= ⋅ ⋅ ⋅ 0(AB)

3 2 Q A Ks R i

A Q 0 0

id

B g Æ h = 2,454 m

0(CD)

Procedimento per il tracciamento del profilo, F2 da A ad B.

2 2

Q Q

= → = + α → =

h k E h J

1 1 1 1 4

2

2 gA 2 2 3

A K R

1 1 (1)

S id

( )

= + Δ Δ < →

0

h h h h D

2 1 3

2 2

Q Q

→ = + α → =

h E h J

2 2 2 2 4

2

2 gA 2 2 3

A K R

2 2 (2)

S id

Δ E E

E = − → Δ = 2 1

i J s iterare fino a B

Δ ⎛ ⎞

m J J

s −⎜ 1 2 ⎟

i 2

⎝ ⎠

Lo studente deve sempre spiegare, scegliendo un tratto a piacere, come si traccia un profilo, anche

se l’esercizio è numerico.

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

Tratto AÆB Tratto BÆC

h iniziale: k (sez. A) = 2 m h iniziale: h(B) (sez. B) = 1.208 m

Tipo di profilo: F2 (tende a h Tipo di profilo: O3 (tende a k)

)

0 Δh: positivo

Δh: negativo h finale: h

h finale: h (sez. B) = 1.208 m (sez. C) = 1.783 m

(B) (C)

Sezione C gradino gradino (altezza b). Il gradino è

Sezione C:

E(C)monte (sez. C) = 3.039 m affrontato da monte (corrente veloce) Æ

E(C)valle (sez. C) = 3.239 m ENERGIA SEMPRE SUFFICIENTE

= 1.530 m

h valle gradino: h

(C)valle

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

2 2

V V

+ = ⇒ + α + = + α

1 2

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

E b E h b h

1 2 1 2

2 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

g g h h

=

E

k 1 2

F2

h h

0 1

h 2

i > i

c k

b h 2

F3 1

h 4

2

i > i

C c E E = E + b E

1 2 1

3

Tratto DÆC

Tratto CÆD = 3 m

h iniziale: h

h iniziale: h = 1.530 m (D)

(c)valle Tipo di profilo: D1 (tende a h )

Tipo di profilo: D3 (tende a k) o

Δh: negativo

Δh: positivo h valle gradino: h(C)valle = 2.943 m

h(D) = 1.788 m

Tratto CÆDÆ RISALTO ??? Il profilo di veloce a valle del gradino non

si realizza in quanto la lenta risale fino al

h veloce: h = 1.530 m

(c)valle gradino stesso!!!!

h lenta: 3 m Si deve affrontare il gradino da valle

Risalto spinto a monte dalla lenta !!!!!!!!!!!!!

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

D

A C

B h

H v(C)

M H = 3 m

F V

2 D 1

h

h O m(C)

(B) 3 b

L , Ks , i >i h

1 1 1 c (D)

L , Ks , i =0

2 1 2 , Ks , i >i

L 3 1 1 c

Sezione C gradino (da valle) Tratto BÆCÆ RISALTO ???

E(C)valle (sez. C) = 3.403 m = 1.208 m

h veloce: h

(B)

E(C)monte (sez. C) = 3.203 m h lenta: h = 2.620 m

(C)monte

h monte gradino: h = 2.620 m Risalto tra B e C

(C)monte

Risalto tra B e C gradino (altezza b). Il gradino è

Sezione C:

posizionato a 40 metri da monte

Il risalto è affrontato da valle (corrente lenta) Æ

ENERGIA NON SEMPRE SUFFICIENTE

h lenta = 2.777 m In questo caso l’energia è sufficiente

h veloce = 1.385 m

Spinta = 330 kN D

A C

B R h

H O D

v(C)

2 1

M H = 3 m

F V

2 h O

(B) 3 b

L , Ks , i >i h

1 1 1 c (D)

L , Ks , i =0

2 1 2 L , Ks , i >i

3 1 1 c

IDRAULICA - APPELLO DEL 11/07/14 Allievo: _________________

.

Matricola:

Prof. Francesco Ballio / Ing. Crotti Gianluca Per la soluzione T.E. 24/02/2012

DATI

B = 9806 N/m , h = 5 m h = 3 m,

γ ,

3 1 2

1

h β = 60°, P=200000 N, h = 6 m

P

h

1 P

β γ

h

γ 2 2

1 L (profondità del serbatoio) = 5 m

C

il peso specifico del fluido di destra, , tale per cui la paratoia, incernierata in C, sia in

γ

Determinare 2 applicato nel suo

equilibrio come riportato in figura. Il portello ha un peso proprio P non trascurabile

baricentro. una volta noto il peso specifico γ , se esiste un livello h tale per cui il portello sia in posizione

2*

Verificare, 2

).

verticale (considerare lo stesso livello h 1

il diagramma delle pressioni per tutta la parete del portello (lato destro e sinistro) per il solo caso

Tracciare

di portelo inclinato. p

a

aria Z Dati:

P

Z A Z B , Z , Z , Z

Z

aria

γ, μ Z A B C P

L C

1 D , D , ε,

2

T a

D

2 L, L , L

Volume 1 2

Δ infinito

Volume infinito Volume infinito , Δ, η , k,

γ, μ, γ T

m

γ m a = diametro del foro

L

2 circolare

D, L, ε Per la soluzione

Determinare T.E. 14/07/2010

• La direzione e il valore di portata che circola nel sistema

• La pressione pa, misurata dal manometro metallico e la potenza della turbina

La pressione dell’aria del serbatoio “C” affinché la portata che transita dal serbatoio B a C sia pari a zero

(no efflusso)

• Tracciare la linea dei carichi totali e la piezometrica per tutto il sistema D

A C

B H

Max

H B

M Dati:

B, H , L , L , L

max 1 2 3

L , Ks , i <i

1 1 1 c b Ks , i , i , H , H , b

1 1 2 M v

L , Ks , i >i

2 1 2 c L , Ks , i >i H (variabile)

3 1 2 c

Determinare: V

La portata che fluisce nel canale e possibili profili di moto permanente.

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

D

A C

B H

Max

H

M B

Dati:

B, H , L , L , L

L , Ks , i <i max 1 2 3

1 1 1 c b Ks , i , i , H , H , b

1 1 2 M v

L , Ks , i >i

2 1 2 c L , Ks , i >i

Determinare: H (variabile)

3 1 2 c V

La portata che fluisce nel canale e possibili profili di moto permanente.

Considerazioni iniziali

La sezione A non consente di determinare il valore della portata, quindi deve essere considerata

come sezione di controllo, ove verificare l’ipotesi di portata.

Considerando che la sezione di inizio tracciamento profilo non coincide con la sezione di controllo

(ovverosia, come detto in precedenza, non esiste una sezione in cui si riesce a definire la Q), è

utile scegliere una sezione vicina alla sezione di controllo in modo da poter verificare il prima

possibile l’ipotesi di portata.

Si ipotizza una portata Q di primo tentativo

Si determina per tutti i tratti l’altezza critica k e le altezze di moto uniforme

3 2

A Q

=α → = ⋅ ⋅ → =

2/3 ,

k Q A K R i h h h

0( ) 0( ) 0( )

s id AB BC CD

B g

passaggio per k si traccia profilo fino a monte (A) per verificare l’ipotesi di Q

Æ

Sezione B: debole pendenza verifica Q

Tratto BA: Sezione A: se l’energia

Sezione A:

non è bilanciata si deve

H partenza in B = k 2

V

= + α iterare il procedimento

H h

Tipologia di profilo D2 (lenta)

Æ M A 2 g con una nuova Q

H di arrivo in A = hA (≤ h )

0AB D

A C

B forte pendenza

Tratto BC:

D2 H partenza in B = k

hA

H k

M F2 Tipologia di profilo F2 (veloce)

Æ

H di arrivo in C = hCm

hCm

L , Ks , i <i

1 1 1 c b

L , Ks , i >i

2 1 2 c H (variabile)

L , Ks , i >i V

3 1 2 c

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

gradino (altezza b). Gradino a cavallo di due tratti a forte pendenza. Il gradino è

Sezione C:

affrontato da monte (corrente veloce) Æ ENERGIA SEMPRE SUFFICIENTE

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

2 2 h

V V

+ = ⇒ + α + = + α

1 2

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

E b E h b h h

1 2 1 2

2 2

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =

g g E

k 1 2

F2

h h

0 1

h 2 F2

i > i k

c b h 2

1

F3 h 4

2

i > i

C E E = E + b

c E

1 2 1

3

Sez B. gradino – passaggi logici con riferimento numerico al grafico

1) Il profilo è di veloce, quindi stiamo tracciando da monte. Affrontiamo il gradino da monte verso valle, “a scendere”, da

1 a 2.

2) Nota l’altezza h (h ) a monte del gradino si ricava l’energia E .

1 Cm 1

3) Aggiungendo l’altezza del gradino “b” si calcola l’energia E a valle del gradino stesso.

2

4) Nota l’energia a valle del gradino si ricava l’altezza corrispondente della corrente h (hCv).

2

5) Le due altezze agli estremi del gradino vengono unite con un una linea tratteggiata.

6) Da h si riparte con il tracciamento del profilo.

2

Considerazioni aggiuntive

1) h < h (evidente dal grafico dell’energia).

2 1

2) Maggiore è l’altezza del gradino maggiore è la differenza tra le due altezze a monte e valle del gradino.

3) A seconda dei casi h può essere maggiore o minore della h di riferimento.

2 0

4) In tutta la trattazione del gradino non si è mai considerata la pendenza dei due tratti a monte e valle a prescindere

Æ

dalla pendenza dei due tratti (che può essere anche diversa) per il ragionamento fatto pocanzi è importante solo

l’altezza con cui il profilo arriva al gradino e come esso sarà affrontato (“scendere” o “salire”).

D

A C

B forte pendenza

Tratto CD:

H partenza in C = hCv

D2 Profilo F2 o F3 (veloce)

Æ

hA

H k

M F2 H di arrivo in D = hD

hCm

L , Ks , i <i F2

1 1 1 c hCv b hD ≤ h0 (F3) o hD ≥ h0 (F2)

F3 hD

L , Ks , i >i

2 1 2 c H (variabile)

L , Ks , i >i V

3 1 2 c

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

lago di valle. Determinazione dell’altezza del lago Hv* tale che:

Sezione D:

• per Hv < Hv* il lago non ha la “forza” necessaria per “entrare” nel canale.

• per Hv > Hv* il lago diventa condizione al contorno per il tracciamento di una lenta da valle.

h Sezione D

H *

v Il valore di Hv* è valido solo

per questo caso particolare,

ovverosia per una corrente

che giunge alla sezione D con

altezza pari a hD

h S

D S lago = S veloce(D)

Hv < Hv* il lago non ha la “forza” necessaria per “entrare” nel canale.

Æ

IPOTESI Sezione D D

A C

B hD ≤ h0 (F3) o hD ≥ h0 (F2)

D2

hA

H k

M F2 hCm H < Hv*

L , Ks , i <i V

F2

1 1 1 c hCv b F3 hD

L , Ks , i >i

2 1 2 c H < Hv*

L , Ks , i >i

Profilo di primo tentativo V

3 1 2 c

Procedimento per il tracciamento del profilo, D2 da B ad A.

2 2

Q Q

= → = + α → =

h k E h J

1 1 1 1 4

2

2 gA 2 2 3

A K R

1 1 (1)

S id

( )

= + Δ Δ > →

0

h h h h D

2 1 2 Lo studente deve sempre

2 2

Q Q spiegare, scegliendo un tratto

→ = + α → =

h E h J a piacere, come si traccia un

2 2 2 2 4

2

2 gA 2 2 3

A K R

2 profilo.

2 (2)

S id

Δ E E

E = − → Δ = 2 1

i J s iterare fino ad A

Δ ⎛ ⎞

m J J

s −⎜ 1 2 ⎟

i 2

⎝ ⎠

CORRENTI A SUPERFICIE LIBERA

D2 hD ≤ h0 (F3) o hD ≥ h0 (F2)

hA

H k

M F2 F1 H > Hv*

R V

hCm

A L , Ks , i <i B F2

1 1 1 c hCv b F3

L , Ks , i >i C

2 1 2 c L , Ks , i >i D

Profilo alternativo 1 3 1 2 c

D2 F1

hA H > Hv*

hCv(L)

H R

k F1 V

M F2 hCm(L)

A L , Ks , i <i B

1 1 1 c hCv b

C

L , Ks , i >i

2 1 2 c

Profilo alternativo 2 L , Ks , i >i D

3 1 2 c

D2 F1 H > Hv*

hCv(L)

hA F1

H V

M hCm(L) Potrebbe non esser

e

necessario cambiare la

A portata trovata per il

L , Ks , i <i B

1 1 1 c hCv primo profilo

b

L , Ks , i >i C

2 1 2 c D

L , Ks , i >i

Profilo alternativo 3 3 1 2 c

F1 H > Hv*

D1 hCv(L)

F1 V

hA

H

M hCm(L) Potrebbe non esser

e

A L , Ks , i <i B

1 1 1 c necessario cambiare la

hCv b portata trovata per il

primo profilo

L , Ks , i >i C

2 1 2 c D

L , Ks , i >i

Profilo alternativo 3bis 3 1 2 c

IDRAULICA - APPELLO DEL 25/07/14 Allievo: _________________

.

Matricola:

Prof. Francesco Ballio / Ing. Crotti Gianluca

Asta rigida

F Dati:

senza peso γ = 10000 N/m

3

γ = 19000 N/m

3

s

Aria (p=0) r = 5 cm

r a = 15 cm

a γ composto da una calotta

Il solido è

s

γ semisferica e un cono

Determinare

Il modulo e la direzione della forza F affinché il solido rimanga in equilibrio nella posizione di figura.

Determinare il peso specifico del cono affinché F sia pari a zero.

γ

s

Cosa succede se la pressione dell’aria è diversa da zero? Giustificare la risposta.

n =?

Aria 1

Z

Z 2

1 Z

A B 3

k

Q= ? d

1 Z

C L , D , ε

Volume

Volume 2 2 2 Volume

L , D , ε

finito

infinito 1 1 1 infinito

Δ γ

m

DATI:

Z , Z , Z , d , μ , ρ , L , D , ε , L , D ,ε , Z , Δ ,

γ, γ

1 2 3 1 1 1 1 2 2 2 C m

La portata Q, la pressione n , il valore della perdita k e la spinta del fluido sul

Determinare: 1

tronco di cono AB. Tracciare la linea dei carichi totali e la piezometrica

D

A C E

B H

Max

H B

M > k

H

V

a

L , Ks , i =0 Dati:

L , Ks , i <i

1 1 1 2 1 2 c B, H , L , L , L

Per la soluzione max 1 2 3

L , Ks , i >i

T.E. 1/02/2013 3 1 3 c Ks , i , i , i , H , H , a

Determinare: 1 1 2 3 M v

La portata che fluisce nel canale e possibili profili di moto permanente.

RISOLUZIONE ESERCIZIO DI STATICA

1) Determinare il modulo e la direzione della forza F affinché il solido rimanga in equilibrio nella

posizione di figura. + + = 0

Impongo l’equilibrio fisico Æ F P S γ

F γ = trascurabile

aria

P = Psemisfera + Pcono

⎛ ⎞

1

S π γ

= = 2

⎜ ⎟

P P r a

cono s

3

⎝ ⎠

P Π + + = 0 ⎛ ⎞

1 4

G G

0 = γ ⋅ π + π

2 3

C S ⎜ ⎟

S r a r

Y

= Π = − − 3 6

⎝ ⎠

S G G

0

П C S

0 = − −

S G G

G Y CY SY

semisfera

G

cono P≈7.46 N (↓), S ≈ 6.54(↑)

Y + F ≈ 0.91(↑)

X

2) Determinare il peso specifico del cono affinché F sia pari a zero.

γ

s

Il nuovo equilibrio fisico è : P=S

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

1 4 1 3

γ π π γ π γ =16666 N/m

= ⋅ + = ⋅ =

2 3 2

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

S r a r r a P s

s cono

3 6 3

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3) Cosa succede se la pressione dell’aria è diversa da zero? Giustificare la risposta.

Se all’interno della semisfera la pressione dell’aria è diversa da zero, la soluzione non ne risente in

quanto l’aumento o la diminuzione della pressione è “assorbito” dalla superficie laterale del solido.

RISOLUZIONE ESERCIZIO DI CORRENTE IN PRESSIONE

n =?

Aria 1

Z Z

1 2 Z

A B 3

k

Q= ? d ρ,μ

1 Z

C L , D , ε

Volume

Volume 2 2 2 Volume

L , D , ε

finito

infinito 1 1 1 infinito

Δ γ

m

DATI:

Z , Z , Z , d , μ , ρ , L , D , ε , L , D ,ε , Z , Δ ,

γ, γ

1 2 3 1 1 1 1 2 2 2 C m

La portata Q, la pressione n , il valore della perdita k e la spinta del fluido sul

Determinare: 1

tronco di cono AB. Tracciare la linea dei carichi totali e la piezometrica

Schema logico di risoluzione:

Determinazione della direzione e del valore della portata tramite efflusso (Z -Z ) 2) manometro

1) 1 2

differenziale per determinare n 3) Bilancio di energia tra i serbatoi Z -Z per determinare “k”. 4)

1 2 3

Spinta dinamica.

1) Determinazione della direzione e del valore della portata tramite efflusso.

Il manometro differenziale indica che il serbatoio “2” ha un carico maggiore del serbatoio “1”; la

portata scorre da destra verso sinistra.

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ γ − γ

π π

2 2

d d

= μ ⋅ ⋅ − = μ ⋅ ⋅ Δ

1 1

(0, 6) 2 ( ) (0, 6) 2 ( ) Æ Q

m

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

Q g Z Z g

2 1 γ

pci pci

4 4

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2) Determinazione della direzione e del valore della portata tramite efflusso.

⎛ ⎞

γ − γ n

Δ = δ = − = + − Æ n

1

m ⎜ ⎟

Z Z Z Z 1

(2) (1) 2 1

γ γ

pci pci ⎝ ⎠

3) Bilancio di energia tra i serbatoi Z -Z per determinare di “k”

2 3

2 2 2

n V V V

= + + + + + + α

1 1 2 2

1,16

Z Z J L k J L

3 2 1 1 2 2

γ convergente

2 2 2

g g g

2

V

= λ Æ k

i

J L

i i i

2 gD

i ⎛ ⎞

ε

1 2,51 1

= − +

⎜ ⎟

2 log i

⎜ ⎟

λ λ 3, 71

Re D

⎝ ⎠

i

i i i

RISOLUZIONE ESERCIZIO DI CORRENTE IN PRESSIONE

5) Spinta dinamica

π 0 JJJG JJG JJJG JJJG JJJG JG

Π + Π + Π + + + = 0

M M G

0 1 2 1 2

JG JJJG

= −Π

S 0

M

M Z JG JJG JJJG JJJG JJJG JG

1

A B

2 C = Π + Π + + +

S M M G

1 2 1 2

π = Π + Π + +

S M M

2 π 1 2 1 2

X X X X X

1 =

S G

G Y Y

2 2 x

p V V

= + +α + + →

1 1

1,16

B

Z Z J L p

2 1 1

γ

B B

2 2

g g +

2 2 2

p V V V

= + +α + + + →

1 1 2

1,16

A

Z Z J L k p

2 1 1

γ

A A

2 2 2 y

g g g = + ⋅ γ

G W

Π = − ⋅ Y

p A = −ρ ⋅ ⋅

1 1

X B M Q V

1 1

X

Π = + ⋅

p A = +ρ ⋅ ⋅

2 2 M Q V

X A 2 2

X Z

2

Aria Z

Aria 3 Aria

Z

1

Q = ? d

e 3 d

1

L , D , ε

Volume 2 2 2 L , D , ε Volume ρ,μ

infinito Volume infinito 1 1 1 finito

Δ γ

m

IDRAULICA - APPELLO DEL 26/09/14 Allievo: _________________

.

Matricola:

Prof. Francesco Ballio / Ing. Crotti Gianluca

aria h

A DATI:

γ = 10000 N/m , = 9000 N/m

γ γ

3 3

C

2 1 2

n β r h = 1 m, r = 1.5 m, β = 45°

y B n = -50000 Pa

γ

+ 1

x AB. Tracciare il

Determinare le componenti (x e y) della spinta totale sulla semisfera

diagramma delle pressioni (lato interno ed esterno) della superficie AB. Utilizzare il sistema di

riferimento fornito in figura.

n n

1 2

Z

Aria 1

Z Aria

Z Z

ρ, μ

4 3 2

L ,D ,ε L ,D ,ε

d 1 1 1 1 1 1

P D

3

L ,D ,ε

2 2 2

Δ

Vol. infinito Vol. finito Vol. infinito

γ m Per la soluzione

DATI: d, Z , ρ, μ, Z , Δ, γ , L , D , ε , L , D , ε , Z , D , Z , k

4 1 m 1 1 1 2 2 2 3 3 2 27/01/2012

T.E.

Determinare: e n , la prevalenza ΔH della pompa.

- La portata Q che circola nel sistema, i valori di pressione n

1 2

- Tracciare la linea dei carichi totali e la piezometrica

Hm H

max

B

Hv < k

L Ks i =0

1 1 1 a

L Ks i >i

2 1 2 c L Ks i =0

3 1 3 Per la soluzione

T.E. 28/01/2011

Determinare:

La portata che fluisce nel canale e possibili profili di moto permanente.

RISOLUZIONE ESERCIZIO DI STATICA

aria h DATI:

A

γ = 10000 N/m , = 9000 N/m

γ γ

3 3

C

2 1 2

n β r h = 1 m, r = 1.5 m, β = 45°

y B n = -50000 Pa

γ

+ 1

x AB. Tracciare il

Determinare le componenti (x e y) della spinta totale sulla semisfera

diagramma delle pressioni (lato interno ed esterno) della superficie AB. Utilizzare il sistema di

riferimento fornito in figura. Π + Π + = = −Π = +Π +

0

G S G

Π 2 02 2 2 02 2 2

2 = +Π + = +Π +

S G S G

2 2 2 2 2 2

X X X Y Y Y

Π = β = -202199.2 N

sin( )

γ P A

Π 2 ( )

X C

2 02 Π = − β = 202199.2 N

cos( )

P A

2 ( )

Y C

y = −γ = -63617.3 N

G W

2 2

S Y

+

2Y = -202199.2 N

S

x

G 2 X

2 = 138582 N

S

S 2

2 Y

X

γ Π + Π + = = +Π = −Π −

0

G S G

1 1 01 1 1 01 1 1

= −Π − = −Π −

Π S G S G

1 1 1 1 1 1

X X X Y Y Y

1 γ Π Π = β = 102996.8 N

sin( )

1 P A

01 1 ( )

X C

Π = − β = -102996.8 N

cos( )

P A

1 ( )

Y C

y = −γ = -70685.8 N

S G W

2Y 1 1

+ Y

G x = -102996.8 N

S

1 1 X

S = 173682.6 N

1X S

1

Y

= + = -305196 N

S S S

1 2

TOTX X X

= + = 312264.6 N

S S S

1 2

TOTY Y Y

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI 28/01/2000

Prof. Alberto GUADAGNINI

Z

M

n aria Z

V

ε

L , D ,

D 2

2 2

ε

a L , D , 1

1 1

γ Q

s

l a

γ, ν

L

γ F? γ

α m D

T 4

ε

L , D , 3

3 3

Noti: geometria, l’indicazione n del

γ, γ η, ∆

Noti: il rendimento della turbina l’indicazione del manometro differenziale, la portata Q

manometro metallico s

Determinare : il verso ed il modulo della uscente dall’apertura circolare di diametro a, la geometria del sistema e le caratteristiche dei

forza F affinché il pistone, libero di scorrere γ ,ν) ε

fluidi (γ, e delle condotte (L , D , ) determinare (fluidi reali):

senza attrito, rimanga nella posizione di m i i i

equilibrio rappresentata in figura 1) Le portate circolanti nelle condotte

2) I livelli Z e Z rispettivamente dei serbatoi di monte e di valle e la potenza T della Turbina

M V

3) Tracciare (qualitativamente) la linea dei carichi totali e la piezometrica delle condotte

Dati: Dati:

γ γ

3 3

= 9806 N/m ; = 200000 N/m

s γ γ ν ε ε ε ∆= η

3 3 -6 2 -3

α = 9806 N/m ; = 133362 N/m ; = 10 m /s; = = =10 m; 0.8 m; = 0.8

D = 0.1 m; L = 1 m; = 45° m 1 2 3

D = 0.2 m; D = 0.3 m ; D = 0.2 m ; D = 0.6 m; a = 0.5 m;L = 4 m; L = 5 m; L = 8 m

l = 0.7 m; a = 0.6 m; n = 1 bar 1 2 3 4 1 2 3

µ 3

= 0.6; Q = 1 m /s; m (coeff. di Gibson) = 0.3

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI 14/02/2000

Prof. Alberto GUADAGNINI

Z

M

n n

γ Z

a V

h ∆ 1

aria ε

ε L , D ,

L , D , 4 3

3 3

a P

γ ε

L , D ,

b γ, ν 2 2

ε

L , D ,

1 1 ∆ 2

D γ m

Noti: la geometria del contenitore

conico di peso P in figura di

γ

spessore trascurabile, a, b, η ∆ ∆

Noti: il rendimento della pompa , l’indicazione e dei manometri differenziali (rispettivamente ad

1 2

p

aria ed a mercurio), la quota Z del serbatoio di valle, la quota del baricentro del manometro metallico

v

Determinare : l’indicazione n γ ,ν) ε)

Z , la geometria del sistema e le caratteristiche dei fluidi (γ, e delle condotte (L , D ,

n m i i

del manometro metallico ed il determinare (fluidi reali):

peso P del contenitore 1) Le portate circolanti nelle condotte

2) Il livello Z del serbatoio di monte, la potenza della Pompa e l’indicazione n del manometro metallico

M

Dati: 3) Tracciare (qualitativamente) la linea dei carichi totali e la piezometrica delle condotte

γ 3

= 9806 N/m ; D = 0.4 m; h = 1 m;

a = 0.5 m; b = 0.2 m Dati:

γ γ γ ν ε ∆ ∆ η

3 3 -6 2 -3

= 9806 N/m ; = 133362 N/m ; = trascurabile; = 10 m /s; =10 m; = 0.8 m; = 1 m; = 0.7

1 2

m a p

D = 0.3 m; D = 0.2 m ; D = 0.2 m ; L = 4 m; L = 5 m; L = 5 m; L = 8m; Z = 2 m; Z = 0 m

1 2 3 1 2 3 4 n v

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI 28/02/2000

Z

M Prof. Alberto GUADAGNINI

Z ε

T l, d, n,

Z

P ε D

Z

ε L , D , e

V 0

L , D , e

≅ 4 4

V 0

1 1

Q α

ε

L , D ,

γ, ν 2 2

L

AB

L

AC

A C ε

L , D ,

B 3 3

D

D

Z c

u

AB P

B

C Dati:

A γ ν ε

3 -6 2 -3

= 9806 N/m ; = 10 m /s; =10 m;

η Ζ

Noti: il rendimento della pompa , l’indicazione del tubo di Pitot, l’indicazione

Τ

P η = 0.8; D = 0.4 m; D = 0.3 m ;

Ζ γ, ν),

del piezometro la geometria del sistema, le caratteristiche dei fluidi ( delle p 1 2

P ε)

condotte (L , D , e del fascio tubiero composto da n tubi di diametro d e lunghezza l D = 0.3 m; D = 0.3 m; D = 0.1 m;

i i 3 4 e

D = 0.6 m; D =0.4 m; d = 5 mm;

determinare (fluidi reali), trascurando le perdite nei tratti a sezione variabile: u c

α

n = 6000; = 45°;

1) Le portate circolanti nelle condotte L = 4 m; L = 4 m; L = 20 m; L = 10m;

2) Il livello Z del serbatoio di monte e la potenza della pompa 1 2 3 4

M l = 5 m; L = 1 m; L = 0.5 m; Cc= 0.6;

3)La spinta agente sul divergente tronco conico di traccia AB della pompa AB AC

Z = 10 m; Z = 9.5 m; Z = 5 m; Z = 0 m

4)La massima quota raggiunta dalla traiettoria baricentrica del tubo di flusso in uscita T P e AB

dal condotto D trascurando le perdite del getto in atmosfera

4

5) Tracciare (qualitativamente) la linea dei carichi totali e la piezometrica delle condotte

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI 21/06/2000

Prof. Alberto GUADAGNINI

Z

A M

L γ Z

V

s ε

L , D , 1 ε

1 1 L , D , 2

A 2 2

γ

D ∆

γ, ν = ? γ m

α Q

a

γ

Noti: geometria, il peso specifico della

s

γ Noti: la portata Q uscente dall’apertura circolare di diametro a, la geometria del sistema e le

sfera e del fluido γ ,ν) ε

Determinare : il piano dei carichi idrostatici caratteristiche dei fluidi (γ, e delle condotte (L , D , ) determinare (fluidi reali):

m i i i

γ

del fluido affinchè, in assenza di attrito, la 1) I livelli Z e Z rispettivamente dei serbatoi di monte e di valle

M V

sfera (di diametro D) , libera di scorrere tra le ∆

2) L’indicazione del manometro differenziale

guide del cilindro di diametro D, sia in 3) Tracciare (qualitativamente) la linea dei carichi totali e la piezometrica delle condotte

equilibrio nella posizione assegnata.

Si determini inoltre la distribuzione di

pressione lungo il piano di traccia A-A. Dati:

Dati: γ γ ν ε ε

3 3 -6 2

= 9806 N/m ; = 133362 N/m ; = 10 m /s; = = 0 m; D = 0.2 m; D = 0.3 m ;

m 1 2 1 2

γ γ

3 3

= 9806 N/m ; = 200 N/m µ 3

a = 0.1 m;L = 10 m; L = 20 m; = 0.6; Q = 0.2 m /s

s 1 2

α

D = 0.1 m; L = 1 m; = 30° ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI 4/07/2000

Prof. Alberto GUADAGNINI

Z

M ∆

Noti: l’indicazione del manometro differenziale, la

Z

1 quota Z del piezometro, la quota Z del serbatoio di

1 v η

valle, la geometria del sistema, il rendimento della

γ

turbina, le caratteristiche dei fluidi (γ, ) (fluidi

aria m

reali) e delle condotte (ε ) determinare, trascurando

i

le perdite (concentrate e distribuite) del diffusore

ε

L , D ,

γ ε 2 2 2

L , D , 1) le portate circolanti nelle condotte

1 1 1 2) la quota Z del serbatoio di monte

Q M

1 3) La potenza della turbina

Fluido 4) La spinta sul diffusore della turbina

∆ Tracciare (qualitativamente) la linea dei carichi totali

in quiete

γ e la piezometrica delle condotte

m ε

L , D ,

3 3 3 D Z

4 V

ε

L , D ,

4 4 4 L

4 α T D

Dati: H

4 2 Z

γ γ υ ε ε ε ε

3 3 -6 2 -4 -3

= 9806 N/m ; = 133362 N/m ; = 10 m /s; = =10 m; =10 m; = 0 m; D

u

m 1 2 3 4 u

∆ η

= 0.1 m; Z = 40 m ; Z = 10 m; Z = 0 m; H = 1 m; H = 0.5 m; = 0.8;

1 V u 1 2 H

D = 0.1 m; D = 0.2 m ; D = 0.1 m ; D = 0.1 m; D = 0.5 m; L = 10 m; 1

1 2 3 4 u 1

a

L = 10 m; L = 20 m; L = 20 m; = 30°

2 3 4 ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI 17/07/2000

D Prof. Alberto GUADAGNINI

n

Diametro della sfera Z

aria C

Z

M

h Z

γ V

2 ε L

D, 2

γ γ, ν

1 L

1

Noti: geometria, l’indicazione n del ν)

Noti: Zv, la geometria del sistema e le caratteristiche del fluido (γ, e della condotta (L , D,

γ i

manometro metallico, h, il peso specifico e ε)

1 determinare (fluidi reali):

γ e trascurando il peso specifico dell’aria

2 1) La portata Q transitante nel sistema tale per cui in nessun tratto del condotto si abbia la

min

formazione di un moto a canaletta. Si determini inoltre, per la Q calcolata, il livello Z .

min M

Determinare : la spinta complessiva sulla 2)Si analizzi (qualitativamente) cosa accade all’aumentare/diminuire di Z (mantenendo

superficie sferica tracciata in figura V

invariato Z )

M

3) Si analizzi (qualitativamente) cosa accade all’aumentare/diminuire di Z (mantenendo

M

invariatio Z )

v

Dati: 4) Tracciare (qualitativamente) la linea dei carichi totali e la piezometrica della condotta per

γ γ tutti i casi analizzati

3 3

= 9806 N/m ; = 7800 N/m

1 2 Dati:

D = 1 m; n = 0.05 bar; h = 0.3 m γ ν ε

3 -6 2

= 9806 N/m ; = 10 m /s; = 0 m; D = 0.2 m; Z = 0 m; Z = 20 m; L = 10 m; L = 5 m

v C 1 2

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI 5/09/2000

Prof. Alberto GUADAGNINI Z

1

L

ε

h 4

L , D ,

1 1 1

γ

Fluido h ∆

2

in quiete

h γ m

ε

L , D ,

3 2 L

ε 5

D ,

2 ∆

Q Noti: l’indicazione del manometro differenziale, h,

η

la geometria del sistema, il rendimento della pompa,

α P γ, γ , ν)

L le caratteristiche dei fluidi ( (fluidi reali) e

2 m

delle condotte (ε) determinare, (in condizioni di moto

Z= 0 permanente e nell’ipotesi che entrambi i serbatoi

abbiano dimensione finita)

d 1) le portate circolanti nelle condotte

2) la quota Z del serbatoio di valle

Dati: 1

3) la potenza della pompa

γ γ ν ε

3 3 -6 2 -3

= 9806 N/m ; = 133362 N/m ; = 10 m /s; = 10 m; D = 0.2 m; D = 0.1 m;

m 1 2 4) la spinta a cui è soggetto il serbatoio di monte

∆ η

= 0.3 m; h = 10 m ; = 0.8; L = 20 m; L = 5 m ; L = 15 m ; L = 2 m;

1 2 3 4 5) Tracciare (qualitativamente) la linea dei carichi

α

L = 1 m; = 30°; d = 3m; h = 1 m; h = 8 m

5 1 2 totali e la piezometrica delle condotte

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI 18/09/2000

Prof. Alberto GUADAGNINI

A Z

M Z

P Z

V

γ 1

a ε

D

L , ,

3 3 3 T D

u

γ b ε

ε

2 D

R L , ,

D

L , , 1 2 2 2

1 1 l

γ, ν

A α ∆

γ γ

Noti: geometria, il peso specifico del fluido m

1 ∆

γ Noti: l’indicazione del manometro differenziale, la quota Z del serbatoio di monte,

Determinare : il peso specifico del fluido M

2 γ ,ν)

l’indicazione Z del piezometro, la geometria del sistema e le caratteristiche dei fluidi (γ,

affinchè la paratoia cilindrica di traccia AA e P m

ε

e delle condotte (L , D , ) determinare (fluidi reali), trascurando le perdite nel diffusore:

profondità L, libera di scorrere sul piano, stia i i i

(in assenza di attrito) in equilibrio nella 1) Le portate circolanti nelle condotte

posizione indicata. 2) Il livello Z del serbatoi di valle

V

Dati: 3) La potenza della turbina

γ 3

= 9806 N/m ; a = 5 m; b = 1 m; R = 1.2 m 4) Tracciare (qualitativamente) la linea dei carichi totali e la piezometrica delle condotte

1

L = 1 m Dati:

γ γ ν ε ε ε

3 3 -6 2 -4 -3

= 9806 N/m ; = 133362 N/m ; = 10 m /s; = = 10 m; = 10 m; D = 0.2 m;

m 1 2 3 1

h

D = 0.3 m ; D = 0.2 m; D = 0.5 m; L = 10 m; L = 2 m; L = 15 m; = 0.85; Z = 50 m;

2 3 u 1 2 3 T M

∆=

Z = 45 m ; 0.1 m; l = 1 m

P 19-6-2001

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI

Prof. Alberto GUADAGNINI / Prof. Monica RIVA

n Z

1 Z

2

? ?

aria D , , L D , , L Z

1 1 1 3 3 3 s

?

D , , L

2 2 2 ?

?, ? D , , L

5 5 5

? h=?

1 ?

D , , L

4 4 4 P

? ?

2 Dati: i livelli Z e Z (con Z >Z ), la quota Z allo sbocco, la potenza W della

1 2 1 2 s P

pompa, tutte le caratteristiche delle condotte così come indicato in figura

? ? ?

Dati: , , n, , geometria, P (peso del

1 2 Nell’ipotesi che il solo serbatoio di destra abbia dimensione finita e che in entrambi

contenitore libero di scorrere senza attrito

nel manicotto) i serbatoi il fluido si possa considerare in quiete, determinare:

- le portate circolanti

Determinare: l’affondamento h del

contenitore - la massima quota raggiunta dal getto in atmosfera

- il rendimento della pompa

Tracciare: l’andamento qualitativo delle linee dei carichi totali e piezometriche

9-2-2001 ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI - Prof. Alberto GUADAGNINI - Prof. Monica RIVA

Dati: ? -3

Z =10 m; Z =9.5 m; L =3 m; D =0.2 m; =10 m; L =10 m; D =0.1 m;

2 p p 1 1 1 2

? ? Z

-4 -3

=10 m; L =8 m; D =0.2 m; = 10 m; L =25 m; D =0.2 m; m=0.35; Z 2

2 2 3 3 3 4 p

W =18.3 kW; L =0.6 m; L =1 m; Z =-6 m

p 4 5 d L

p

Z =?

1 Dimensione

finita

L

4 ?

D , , L

2 2 2

Z

d D Q

4 ?

D , , L

Dimensione 1 1 1

L

finita 5 ?

D , , L

3 3 3

P

Determinare , nell’ipotesi che il fluido sia acqua:

- le portate circolanti e il livello Z nel serbatoio di sinistra

1

- il rendimento della pompa di potenza W

p

- l’andamento qualitativo delle linee dei carichi totali e piezometriche

- la spinta totale esercitata dal fluido sul tratto a sezione variabile

23-2-2001 ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI - Prof. Alberto GUADAGNINI - Prof. Monica RIVA

Z

c

D L

c Z =?

2

?

a=? h

1 Z

1 ?

D, , L

h 1 1

2 L è la lunghezza fino al colmo, L

c 1

quella totale

? fascio tubiero

L

m

Dati: ?

D=1 m; h =2 m; h =0.8 m; a

1 2 ? V? 0 V? 0 ?

?=9806 D, , L

3

N/m 2 3

P = 1250 N ?

D, , L

Determinare: 2 2

l’affondamento a del recipiente ?

d, , L , n

di peso P sapendo che il d d

sistema si trova in equilibrio. Dati:

? ? -4

=0.05 m; L =1.5 m; D=0.2 m; =10 m; L =15 m; L =10 m; n=12000;

(Il recipiente è formato da un m 2 2 3

? ? Teoria:

-4 -3 Derivazione del teorema

d=0.005 m; L =5 m; = 10 m; Z =5 m; =10 m;

d d 1 1

un cilindro di diametro D di Bernoulli per fluido

? 3

sovrapposto ad un cono con N/m

L =30 m; L =15 m; Z =17 m; =0

1 c c a incomprimibile in campo

area di base di diametro D ed Determinare, nell’ipotesi che il fluido sia acqua:

altezza h ) gravitazionale. Fornire anche

2 - le portate circolanti e la quota Z nel serbatoio di destra

2 l’interpretazione fisica.

- l’andamento qualitativo delle linee dei carichi totali e piezometriche

19-6-2001

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI - Prof. Monica RIVA

n Z

1 Z

2

? ?

aria D , , L D , , L Z

1 1 1 3 3 3 s

?

D , , L

2 2 2 ?

?, ? D , , L

5 5 5

? h=?

1 ?

D , , L

4 4 4 P

? ?

2 Dati: i livelli Z e Z (con Z >Z ), la quota Z allo sbocco, la potenza W della

1 2 1 2 s P

pompa, tutte le caratteristiche delle condotte così come indicato in figura

? ? ?

Dati: , , n, , geometria, P (peso del

1 2 Nell’ipotesi che il solo serbatoio di destra abbia dimensione finita e che in entrambi

contenitore libero di scorrere senza attrito

nel manicotto) i serbatoi il fluido si possa considerare in quiete, determinare:

- le portate circolanti

Determinare: l’affondamento h del

contenitore - la massima quota raggiunta dal getto in atmosfera

- il rendimento della pompa

Tracciare: l’andamento qualitativo delle linee dei carichi totali e piezometriche

3-7-2001

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI - Prof. Alberto GUADAGNINI - Prof. Monica RIVA

? ?, ?

Dati: i livelli Z , Z , Z , l’indicazione del manometro differenziale, , le caratteristiche delle

1 3 4 m

?

condotte così come indicate in figura, il rendimento della pompa

p

Nell’ipotesi di regime permanente, che l’acqua nei serbatoi si possa considerare in quiete e che il

solo serbatoio 2 abbia dimensione finita,

Z

1 determinare:

•le portate circolanti e la quota Z ;

2

•la potenza della pompa;

? •la spinta su divergente A-B Z

3

Tracciare l’andamento qualitativo delle linee dei carichi totali e piezometriche

? Z = ?

2

?

m A B

?

D , , L

1 1 1 ?

D , , L

3 3 3

P

?

D , , L

Z 2 2 2

4 ?

D , , L

4 4 4 23-7-2001

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI - Prof. Alberto GUADAGNINI - Prof. Monica RIVA

Z

2

Z

1 n

?

1

? ?

1

?

D , , L

1 1 1 ?

? ?

2

? ?

? D , , L

2 2 2

m T ? =?

L

m a ?

3

F=? ?

m

? ?, ? ?

Dati: i livelli Z e Z , l’indicazione del manometro differenziale, , , le

1 2 1 m

? ? ? ? ?

caratteristiche delle condotte così come indicate in figura, il rendimento della Dati: , , , , geometria, n

T 1 2 3 m

turbina, la geometria, il diametro a della luce circolare e la lunghezza L

m Determinare:

Nell’ipotesi di regime permanente, che l’acqua nei serbatoi si possa considerare in •la reazione vincolare all’appoggio della

quiete e che il solo serbatoio centrale abbia dimensione finita, paratoia incernierata;

determinare: ?

•l’indicazione del manometro

•le portate circolanti e la potenza della turbina; differenziale.

Tracciare l’andamento qualitativo delle linee dei carichi totali e piezometriche

10-9-2001

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI - Prof. Alberto GUADAGNINI - Prof. Monica RIVA

n A A

aria ?

Z 1

int

Z

1 ?

D , , L

2 2 2

?

D , , L

1 1 1 ?

Q 2

1 ? ?

? ?

D , , L D , , L m

4 4 4 3 3 3

M ? ? ? ?

Dati: , , , , geometria

1 2 m

Dati: i livelli Z e Z , l’indicazione n del manometro metallico, le caratteristiche delle condotte determinare la spinta

1 int

come indicate in figura, il verso della portata Q e il rendimento della macchina idraulica esercitata sulla calotta sferica

1 di traccia A-A.

nell’ipotesi che il fluido sia acqua, che il moto sia permanente e che entrambi i serbatoi abbiano

dimensione finita

determinare le portate circolanti e la potenza della macchina.

Tracciare qualitativamente le linee dei carichi totali e piezometrica Milano, 2/09/1999

Esame di Meccanica dei Fluidi

Prof. Alberto Guadagnini

Esercizio 1 γ

Determinare l’affondamento “a” del cono di peso specifico in condizioni di equilibrio statico. Si

s

determini inoltre la spinta sulla superficie laterale del cono nella condizione di equilibrio determinata. Si

trascuri il peso specifico dell’aria.

aria Dati:

γ = 9806 Ν/m

3

n γ Ν/ 3

= 4000 m

s

c h n = 0.1 bar

R = 1 m

γ c = 1 m

s h = 2 m

a

γ R

Esercizio 2

Determinare la differenza di quota h tra il serbatoio di monte e quello di valle e le portate (Q ; Q )

1 2

che fluiscono nelle due condotte. Tracciare le piezometriche e le linee dei carichi totali.

l

h ε

L , D ,

1 ε

1

1 1 L , D , 2 h

2 2

h Q

2 1

γ, ν a

∆ Dati:

γ = 9806 Ν/m

3

γ m γ Ν/m

b 3

= 133362

m

ν -4 2

= 0.01008·10 m /s

Q 2 a = b = 0.2 m

∆ = 0.1 m

ε

L , D = D2

, 3

3 3 D = 0.4 m

1

D = D = 0.2 m

2 3

L = l = 3 m

1

L L = L = 7 m

2

L = 10 m

3

ε ε ε

= = =0.002

1 2 3

h = 4 m

1

h = 10 m

2

Teoria

Correnti gradualmente variate Milano, 16/09/1999

Esame di Meccanica dei Fluidi

Prof. Alberto Guadagnini

Esercizio 1

Determinare la spinta sulla superficie di traccia AC , formata da un quarto di sfera di raggio r (traccia AB)

e da una superficie piana di profondità L-r (Traccia BC). C Dati:

γ = 9806 Ν/m

3

aria d = 1 m

r = 0.5 m

a c = 0.6 m

B h = 1 m

h b = 0.7 m

b γ a = 0.2 m

c r L = 1 m

x A x Sezione

d r B

L x-x r

A

d r

Esercizio 2

Determinare le portate circolanti nella rete di condotte (giacente su un piano orizzontale) in figura e

la potenza della pompa. Dati:

P γ = 9806 Ν/m

3

∆ γ Ν/m

3

= 133362

1 m

ε ν -4 2

= 0.01008·10 m /s

, γ

1 3 ∆

D m ε = 0.06 m

,

3

,

1 D = D = 0.5 m

D

L 1 3

D = D = 0.2 m

,

3 2 4

L L = L =250 m

1 3

ε L = 100 m

L , D , 2

2

2 2 L = 150 m

4

ε ε

= =0.002

1 3

ε ε

= =0.001

ε 2 4

L , D , 4

4 4

Ing. Giovanni Porta 15 Marzo 2013

Ing. G. Messa

Corso di Idraulica

ESERCITAZIONE 1

IDROSTATICA

Esercizio 1 ρ=900 3

Il recipiente della figura, di profondità B=10 m, contiene un liquido di kg/m . Sapendo che

h =18 m, h =13 m e h =15 m, determinare:

1 2 3 3

Δ

a) il valore di del manometro a mercurio (ρ =13600 kg/m )

Hg

b) il valore n in bar) che segna il manometro metallico

(

c) il diagramma delle pressioni lungo la parete di sinistra

d) la spinta statica esercitata dal fluido sulla parete di sinistra

SOLUZIONE: p p

a) Imponendo che si trova:

B C p g p g h

C Hg B 2

e, quindi, risulta pari a: 3

g h h 900 kg/m

2 2 13 m=0.86 m

3

g 13600 kg/m

Hg Hg 1

Ing. Giovanni Porta 15 Marzo 2013

Ing. G. Messa

b) Dato che il piano dei carichi idrostatici si trova ad una quota pari ad sopra il manometro

h

1

metallico, risulta: 158922 Pa

2 3

n g h 18 m 9.81 m/s 900 kg/m 158922 Pa = 1.59 bar

1 100000 Pa/bar

c) La pressione varierà linearmente lungo la parete, assumendo il valore 0 in corrispondenza del

l’affondamento rispetto al piano dei carichi idrostatici,

piano dei carichi idrostatici. Detta z

risulta p(z)=γz.

d) La spinta lungo la parete verticale risulta data da:

  h

   

2

3 h

3

d pndA pdA n zBdz n B n

2

A A A 0

 2

2 15 m

h 2 3

3

B 9.81 m/s 900 kg/m 10 m 9932 kN

2 2

Esercizio 2 3

I serbatoi nella figura contengono lo stesso liquido (ρ=1000 kg/m ). Il manometro metallico della

figura segna una pressione pari a . Determinare:

p 0.65 bar

A 3

Δ

a) Il dislivello del manometro differenziale a mercurio (ρ =13600 kg/m )

Hg

b) Il livello raggiunto dal piezometro

SOLUZIONE:

a) La pressione nel punto C è:

p p g p g h g

C B Hg A Hg

mentre quella nel punto D è data da: 2

Ing. Giovanni Porta 15 Marzo 2013

Ing. G. Messa

p g h

D

Siccome, per l’equilibrio, , risulta pari a:

p p

C D

p p p g h g g h p g g

C D A Hg A Hg

p 0.65 bar 100000 Pa/bar

A 0.52 m

2 3 3

g ( ) 9.81 m/s (1000 kg/m 13600 kg/m )

Hg –

b) Dato che la pressione del gas è negativa, il piano dei carichi idrostatici che coincide con

p A –

il livello raggiunto dal piezometro si troverà ad una quota inferiore rispetto al pelo libero.

h *

La distanza tra il livello raggiunto dal piezometro e il pelo libero del liquido nel serbatoio

sarà in modulo pari a: p 0.65 bar 100000 Pa/bar

A

h

* 6.62 m

2 3

g 9.81 m/s 1000 kg/m

Esercizio 3 2

Determinare la forza F da applicare sul pistoncino di area A=20 cm del torchio idraulico della

2

z 1.60 m

figura per elevare di la macchina di peso P=15 kN posta sulla piattaforma di S=8 m .

ρ=900 3

Il torchio funziona con olio di densità kg/m . (Si consideri il sistema a tenuta stagna e una

perfetta compensazione dei volumi). 3

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Ing. G. Messa

SOLUZIONE: per sostenere l’automobile è, trascurando

La pressione che bisogna applicare sulla piattaforma p S

il peso della piattaforma, pari al peso dell’automobile diviso l’area della piattaforma:

P 15000 N

p 1875 Pa

S 2

S 8 m

La pressione viene dunque applicata alla quota della piattaforma. Se voglio alzare la

p S , la posizione dell’isobara a pressione

z 1.60 m

piattaforma di deve alzarsi di , e quindi

p z

S

deve alzarsi di tale quantità. Pertanto, l’incremento di

anche il piano dei carichi idrostatici

pressione sul pistone è pari a: 2 3

p g z 9.81 m/s 900 kg/m 1.60 m=14126 Pa

che corrisponde ad una forza: 2

F pA 14126 Pa 20 cm 28.3 N

Esercizio 4

La saracinesca R è chiusa e l’acqua nel tubo e nel serbatoio è in quiete, le dimensioni del

serbatoio sono a=6.00 m e b=3.00 m, il dislivello che segna il manometro a mercurio è

3

3

0.90 m 136000 N/m

. Considerando e , determinare:

10000 N/m Hg

H 2 O

l’indicazione n’ del manometro metallico M in kPa e in bar il volume d’acqua V

a) immagazzinato nel serbatoio.

b) I diagrammi delle pressioni sulle pareti AB e BC.

4

Ing. Giovanni Porta 15 Marzo 2013

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SOLUZIONE:

Il “piano dei carichi idrostatici relativi”

a) (p.c.i.r.) del sistema coincide con il livello del pelo

libero dell’acqua all’interno del serbatoio, quindi a partire da questo livello è possibile

disegnare il diagramma delle presioni :

p.c.i.r

a

b p

1 p

B

10m p

C

' p

1

p

2

Dalla lettura del manometro liquido è possibile ricavare il valore della pressione in

'

corrispondenza del piano (nel menisco formato nella superficie di contatto fra acqua e

mercurio) imponendo la uguaglianza del valore della pressione su questa superficie:

3

p 136000 N/m 0.90 m=122400 Pa

1 Hg

E il valore di pressione che indica il manometro metallico: 3

p p (8 m - 4 m) 122400 Pa+10000 N/m 4 m=162.4 kPa =1.62 bar

2 1 H 20

La quota del “piano dei carichi idrostatici relativi” rispetto al piano '

b) è:

p 122400 Pa

1 = 12.24 m

3

10000 N/m

H 20

e quindi la sua posizione rispetto al terreno:

p

1

H 8 m + 8 m 12.24 m=20.24 m

H 20

Le pressioni alle quote B e C sono quindi: 5

Ing. Giovanni Porta 15 Marzo 2013

Ing. G. Messa

3

p H h 10000 N/m 20.24 m (4 m 10 m 1.5 m) 47400 Pa

B H 20 B 3

p H h 10000 N/m 20.24 m (4 m 10 m) 62400 Pa

C H 20 C

Sui tratti AB e BC le pressioni variano linearmente tra i valori e

0 p p p

B B C

rispettivamente.

Esercizio 5

Nel serbatoio chiuso rappresentato in Figura, contenente tre strati sovrapposti di acqua (γ =9806

w

3 3

N/m ), olio (γ =7845 N/m ) ed aria, sono installati un manometro semplice ed un manometro

o 4 m e Δ=0.15 m,

3

semplice a mercurio (γ =133362 N/m ). Sapendo che h = 2 m, h = 1.5 m, h =

m 1 2 3

determinare:

a) le pressioni nei punti A, B, C;

l’indicazione n del manometro metallico

b)

c) le quote rispetto ad un piano di riferimento arbitrario dei piani dei carichi idrostatici dei

γ γ

liquidi e

1 2

d) i diagrammi delle pressioni lungo una verticale

SOLUZIONE:

a) Nel punto A la pressione è: 3

p 133362 N/m 0.15 m=20004 Pa

A m 6

Ing. Giovanni Porta 15 Marzo 2013

Ing. G. Messa

Nel punto B è: 3

p p h 20004 Pa 9806 N/m 1.5 m=5295 Pa

B A w 2

Nel punto C è: 3

p p h 5295 Pa 7845 N/m 2 m=-10395 Pa

C B o 1

L’indicazione del manometro metallico è:

b) 3

p h -10395 Pa 7845 N/m 4 m

C o 3

n =0.21 bar

5 5

10 Pa/bar 10 Pa/bar

Il piano dei carichi idrostatici dell’acqua sovrasta il punto B di una

c) quantità:

p 5295 Pa

B

h =0.54 m

w 3

9806 N/m

w

mentre il piano dei carichi idrostatici dell’olio, sempre riferito al punto B, è ad un’altezza:

p 5295 Pa

B

h =0.675 m

o 3

7845 N/m

o

d) Il diagrammi delle pressioni sono mostrati in figura.

7

Prof. G. Porta 11 Giugno 2013

Ing. G. Messa

Corso di Idraulica

ESERCITAZIONE 10

RISOLUZIONE DI TEMI D’ESAME

Esercizio 1 (Tema d’esame 06/09/2012)

Si consideri il sistema di due serbatoi cilindrici rappresentato in figura. Nel serbatoio di sinistra è

immerso un solido di forma cubica (lato collegato tramite carrucole a un tappo di forma

l) Note:

) che chiude il serbatoio di destra. le grandezze

cilindrica (diametro altezza

D, h 2

geometriche indicate; il peso specifico, , dei solidi; i pesi specicifici , , e , dei fluidi

γ γ γ γ γ

s 1 2 3 m

Determinare:

presenti nel sistema. l'indicazione del manometro, affinchè il sistema sia in

∆,

equilibrio. (Si consideri trascurabile l'attrito tra filo e carrucule e il peso proprio del filo).

γ

h s

2

γ

1 l/2

γ h 1

l/2

s

l γ

γ 3

2 ∆

D γ

m

SOLUZIONE:

Idea: dall’equilibrio alla traslazione del cubo ricavo la tensione del filo, che ti mantiene costante

lungo tutto il filo stesso e quindi anche in corrispondenza del tappo cilindrico. Dall’equilibrio alla

1

Prof. G. Porta 11 Giugno 2013

Ing. G. Messa

traslazione del tappo cilindrico ricavo dunque la posizione del piano dei carichi idrostatici del

γ ∆

e quindi l’indicazione del manometro cercata.

fluido 3

L’equilibrio alla traslazione del cubo (corpo solido, figura a sinistra) impone che:

+ + = 0

G T S

s

G S

è il peso del cubo; la spinta esercitata dai due fluidi sul cubo; la tensione del filo.

dove: T

s

S

Procedo ora a valutare mediante il metodo dell’equazione globale. Costruisco un sistema

γ γ

fittizio (figura a destra) costituito dai due fluidi e sovrapposti, e applico l’equazione

1 2

globale al volume fluido all’interno del cubo evidenziato in figura. Così facendo si ottiene:

+ + Π = 0

G G

1 2 0

γ γ

Π

dove e sono il peso dei fluidi e all’interno del volume di controllo e è la spinta

G G 1 2 0

1 2

Π S

agente sul volume di controllo attraverso le superfici laterali. La coincide con la cercata,

0

per cui combinando le due equazioni precedenti si ottiene:

( )

+ + − − = 0

G T G G

1 2

s

Dato che i termini , e sono tutti diretti verticalmente, anche la tensione del filo avrà

T

G G G

1 2

s

la stessa direzione. Posso dunque proiettare l’equazione precedente lungo la verticale:

+ − − = → = − + +

0

G T G G T G G G

1 2 1 2

s s

z z

z z z z z z

La componente lungo dei tre vettori sono:

z 1 1

3 3 3

γ γ γ

= − = − = − = − = − = −

G G l G G l G G l

1 1 1 2 2 2

s s s 2 2

z z z

2

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da cui:  

γ γ

+

1 1

3 3 3 3

1 2

γ γ γ γ

= − − = − =

T l l l l T

 

1 2

s s

 

2 2 2

z

La tensione si mantiene inalterata lungo il filo, per cui l’equilibrio alla traslazione applicato al

cilindro (figura a destra) diviene:

+ + + Φ = 0

G T S

s γ

G S

avendo qui indicato con il peso del cilindro, con la spinta esercitata dal fluido sul

3

s

Φ

cilindro, e con la reazione esercitata sul cilindro dalla tanica in cui è contenuto. Le incognite

G

Φ Φ

S

di questa equazione sono dunque e . So però che giace nel piano orizzontale, mentre s

S

, e nel piano verticale. Posso dunque proiettare l’equazione precedente lungo la verticale

T

Φ

per eliminare l’incognita :

+ + = → = − −

0

G T S S G T

s s

z z

z z z z

G

La componente lungo dei vettori e è:

z T

s  

2 γ γ

+

D

3

1 2

γ π γ

= − = − = = −

G G h T T l

 

2

s s s s

 

4 2

z

z

E, dunque:      

2 2

γ γ γ γ

+ +

D D

3 3

γ π γ γ π γ

1 2 1 2

= − − = − − − − = − − =

 

S G T h l h l S

   

2 2

s s s s s

   

4 2 4 2

 

z

z z

S

La è la spinta esercitata su una superficie piana orizzontale, ed è quindi pari a:

3

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 

2

D

π

= =  

S A p p

cil cil cil

4

 

p

essendo la pressione alla base del cilindro. Ma:

cil γ γ γ

= − = ∆ −

p p h h

3 1 3 1

cil O m

Alla fine si ottiene:  

 

2 2

γ γ

+

D D ( )

3

1 2

γ π γ π γ γ

− − = ∆ −

 

h l h

 

2 3 1

s s m

 

4 2 4

 

da cui posso ricavare l’incognita cercata.

Esercizio 2 (Tema d’esame 22/02/10)

Si consideri un impianto di sollevamento composto da un serbatoio a pelo libero e uno in

pressione. Il fluido scorre nell’impianto in condizioni di moto permanente. Sono note: la

geometria dell’impianto sotto schematizzato; le quote dei serbatoi ; le caratteristiche dei

=

z z

1 2

( )

γ ν γ

fluidi ; il valore assoluto dell’indicazione del manometro metallico (ma non il suo

, , p

m n η

segno); la scabrezza dei condotti; il rendimento della pompa ; il rendimento della turbina

ε P

η ; l’indicazione del manometro differenziale; i coefficienti di contrazione e velocità

∆ C C

T C V

del getto uscente. Si considerino trascurabili le perdite di carico tra le due sezioni in cui è

4

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applicato il manometro differenziale e la perdita di carico localizzata in corrispondenza della

curva nel tratto 1. Si richiede: ;

a) la valutazione della portata circolante Q

b) il segno di ;

p n

c) la potenza assorbita dalla pompa;

d) la potenza ritraibile dalla turbina;

e) la gittata ;

L

f) l’andamento della linea dei carichi totali e della piezometrica.

SOLUZIONE:

a) Per determinare la portata circolante nell’impianto, si applica il teorema di Bernoulli esteso

alle correnti tra le sezioni A-A e B-B a cavallo del manometro, ritenendo trascurabili come da

consegna le perdite di carico nel convergente. Così facendo si ottiene:

   

2 2 2 2

p V p V p p V V

A A B B A B B A

α α α α

+ + = + + → + − + = −

z z z z

   

A A B B A B B A

γ γ γ γ

   

2 2 2 2

g g g g ∆

A questo punto, si lega la differenza tra le quote piezometriche in A e B all’indicazione

del manometro differenziale:

    γ γ

p p m

A B δ

+ − + = = ∆

z z

   

A B

γ γ γ

   

Considerando poi che, per l’equazione di continuità:

   

2 2

D D

3

π π 2

= = = =

   

Q V A V V A V

A A A B B B

4 4

 

 

α α

= = 1

In prima approssimazione posso assumere (regime di moto turbolento in

A B

entrambe le sezioni A e B). Così facendo, posso ottenere dalla relazione:

Q

0.5

 

− 2

2  

 

2 2 γ γ

D

D

 

3 m

2

π π

= − ∆

 

  2

Q g γ

 

4 4

   

 

Dovrei a questo punto verificare che effettivamente il regime di moto sia turbolento nelle

sezioni A e B a partire da numero di Reynolds e scabrezza relativa.

5

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b) Dato che l’impianto è in condizioni di moto permanente, e che il serbatoio di sinistra ha

da sinistra verso destra. Se si

volume finito, nel condotto inferiore transita una portata Q

percorre il ramo di condotta inferiore, si vede che si hanno tutta una serie di perdite

localizzate (imbocco, sbocco, turbina) e distribuite. La linea dei carichi totali all’interno del

serbatoio di destra è dunque inferiore rispetto a quella del serbatoio di sinistra, pari a .

z 1

Siccome, poi, , il gas all’interno del serbatoio di destra è in depressione, e, dunque,

=

z z

1 2

.

< 0

p n

c) La potenza effettivamente assorbita dalla pompa in kW è data da:

γ ∆

Q H

1 P

= ⋅

P

P η 1000

P

H è la prevalenza. Il teorema di Bernoulli esteso alle correnti tra il serbatoio di

dove P =

destra e quello di sinistra relativamente alla condotta superiore, ponendo in

0

z

corrispondenza dei livelli idrici dei due serbatoi e valutando trascurabile la perdita localizzata

dovuta alla curva nel tratto 1 come riportato nella consegna, impone che:

p n

− = + ∆ + + − ∆ + + ∆

0 0 H J L J L H J L H

− −

3 3 3 2 2 1 1 1

D P S

γ p n

→ ∆ = ∆ + + + + ∆ +

H H J L J L J L H

− −

3 3 3 2 2 1 1 1

P D S γ

Si calcolano ora i vari termini:

• H è la perdita localizzata dovuta all’immissione in un imbocco non sporgente, la

− 3

D

quale vale: −

2

 

2 2

2

V D

Q

3 3

π

∆ = =  

0.5 0.5

H − 3

D 2 2 4

g g  

• = −

J L è la perdita distribuita nel tratto di condotta (con ). La portata è nota,

i-esimo 1 3

i

i i ν

quindi è possibile calcolare il numero di Reynolds e la scabrezza relativa

=

Re /

V D

i i i

ε . Usando l’abaco di Moody, posso determinare il regime di moto. Procedo

/ D

i i

assumendo che i dati numerici indichino moto turbolento di transizione in tutti i tratti, e

λ

dunque uso la formula di Darcy-Weisbach con ottenuto dalla formula di Colebrook-

i

White: −

2

 

2 2

2

V D

Q

i i

λ λ π

= =  

J L L L

i i i i i i

2 2 4

gD gD  

i i

6

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 

ε

1 2.51 1

 

i

= − +

2log  

λ λ 3.71 D

Re

 

i

i i i

• H è la perdita localizzata di brusco sbocco in un serbatoio, pari all’altezza cinetica:

1 S −

2

 

2 2

2

V Q D

1 1

α α π

∆ = =  

H −

1 1 1

S 2 2 4

g g  

α

Avendo assunto moto turbolento di transizione, .

= 1

1

Sostituendo tutte le espressioni precedentemente riportate, è possibile ricavare la prevalenza

H P

della pompa , e quindi la potenza da essa effettivamente assorbita .

P P

d) La potenza effettivamente ritraibile dalla turbina in kW è data da:

γ ∆

Q H

η T

= ⋅

P

T T 1000

H

dove è la perdita di carico in corrispondenza della turbina. Il teorema di Bernoulli

T

esteso alle correnti tra il serbatoio di sinistra e quello di destra relativamente alla condotta

=

inferiore, ponendo in corrispondenza dei livelli idrici dei due serbatoi, impone che:

0

z p n

= − + ∆ + + ∆ + + ∆

0 0 H J L H J L H

− −

4 4 4 5 5 5

S T D

γ p n

→ ∆ = − ∆ − − − ∆

H H J L J L H

− −

4 4 4 5 5 5

T S D

γ

Si calcolano ora i vari termini:

• H è la perdita localizzata dovuta all’immissione in un imbocco non sporgente, la

− 4

S

quale vale: −

2

 

2 2

2

V Q D

4 4

π

∆ = =  

0.5 0.5

H − 4

S 2 2 4

g g  

• J L J L

e sono le perdite distribuite nei tratti 4 e 5. Essendo nota la portata, esse si

4 4 5 5

calcolano seguendo il procedimento già descritto per i tratti 1-3. Anche per i tratti 4 e 5

assumo che i dati numerici indichino moto turbolento di transizione.

7

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• H è la perdita localizzata di brusco sbocco in un serbatoio, pari all’altezza cinetica:

5 D −

2

 

2 2

2

V D

Q

5 5

α α π

∆ = =  

H −

5 5 5

D 2 2 4

g g  

α

Avendo assunto moto turbolento di transizione, .

= 1

5

Sostituendo tutte le espressioni precedentemente riportate, è possibile ricavare la perdita di

H P

carico in corrispondenza della turbina , e quindi la potenza da essa ritraibile .

T T

e) Essendo il serbatoio di destra considerato di capacità infinita, la fuoriuscita di fluido dalla

luce verticale è indipendente dalle portate che circolano nelle due condotte. La portata

uscente dalla luce è quindi approssimativamente pari a:

 

   

2 p

d d

n

 

π  

= ⋅ − − +

2

Q C C g z h

 

2

L C v  

γ

 

4 2

 

 

La generica particella d’acqua segue le leggi che descrivono il moto del proiettile.

L’equazione del moto per la particella che segue la traiettoria mediana è:

Q L

= ⋅

( )

x t t

2

d

π 4 1

d 2

= + −

( )

y t h gt

2 2

Il tempo necessario affinché la particella tocchi terra è: +

1 2

d h d

2

= + − = → =

( ) 0

y t h gt t

2 2 g L

e la distanza orizzontale da essa percorsa in questo tempo, pari alla gittata del getto, è:

+

Q 2 h d

L

= ⋅

L 2 g

d

π 4

f) La linea dei carichi totali e quella piezometrica per la condotta superiore sono:

8

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mentre per la condotta inferiore sono: 9

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Esercizio 3 (Tema d’esame 19/11/2008)

γ γ

γ

D

Noti , , , , , determinare il peso specifico del cono affinche esso rimanga in

n h

1 2 s

γ

equilibrio con la base sulla superficie di interfaccia tra il fluido e aria (come in Figura), nei

1

> <

e .

due casi 0 0

n n

SOLUZIONE:

Idea : in condizioni statiche la somma di tutte le forze agenti sul cono (solido) deve essere nulla.

Impongo questo equilibrio valutando le spinte del fluido mediante l’equazione globale (in

γ

), e ricavo dunque l’incognita .

funzione di n s

L’equilibrio alla traslazione del cono (solido) impone che sia nulla la risultante di tutte le forze

agenti su di esso. Pertanto:

+ Π + Π = 0

G 0 1

CONO

G è il peso del cono, la spinta esercitata dai due fluidi sul cono attraverso la

dove Π

CONO 0

superficie laterale, la spinta esercitata dal gas sul cono attraverso la superficie di base.

Π 1

Per valutare e applico l’equazione globale della dinamica. Costruisco un sistema fittizio

Π Π

0 1 γ γ

costituito dai due fluidi e sovrapposti, e applico l’equazione globale al volume fluido

1 2

all’interno del cono evidenziato a destra nella figura:

+ + Π + Π = 0

G G

1 2 0 1

G G

dove e sono i pesi della parte di volume di controllo occupati dai fluidi 1 e 2, la spinta

Π

1 2 0

esercitata dai due fluidi sul volume di controllo attraverso la superficie laterale, la spinta

Π 1

esercitata dal gas sul volume di controllo attraverso la superficie di base.

Uguagliando le espressioni precedenti:

= +

G G G

1 2

CONO 10

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G G G

Tenendo conto che i tre vettori , e sono tutti diretti verticalmente e puntano verso il

1 2

CONO

basso, posso passare dall’equazione vettoriale alla sua proiezione lungo la verticale:

= +

G G G

1 2

CONO

=

Tenendo conto che , la relazione precedente cosente di stimare il peso specifico del

/ 2

d D

γ

cono , pari a:

CONO  

       

2 2 2 2

1 1 1 1

D D d h d h

γ π γ π π γ π

= − +

 

       

h h

1 2

CONO 3 4 3 4 3 4 2 3 4 2

       

 

 

h h

2 2 2 2

γ γ γ

= − +

D h D h d d

 

1 2

CONO  

2 2

 

2 2 7 1

d d

γ γ γ γ γ

= − + = +

 

1

1 2 1 2

CONO 2 2

2 2 8 8

D D

 

indipendentemente dal segno di .

n 11

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ESERCITAZIONE 2

SPINTE SU SUPERFICI PIANE

Esercizio 1

Trovare la spinta totale e il centro di spinta che agisce su una paratoia rettangolare di dimensioni

a b, sommersa come indicato nella figura, commentare il risultato.

1 2

h

1 h 1

2

b 2

h

h h -h )

2

1 1 2

SOLUZIONE

La spinta esercitata dal fluido a sinistra della parete e il suo braccio rispetto alla retta di

1 1

sponda sono rispettivamente pari a:

h b h ab

1 1

Ap ab 2 h b

1 0,1 1

2 2

h

1 a ab

3

2 2 3 2 2

pxdA x dA a x dx h h b 3

h b 3

h b

1 1 1 1 1 1

3 3

A A h

1 b

ab 2 2

3

h b 3

h b 2 2

3

h b 3

h b 3

h b

2 b

1 1

3 1 1 1

h b

1 1

ab 3 2 h b 3 2 h b

2 h b 1 1

1

2 1

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*

La spinta esercitata dal fluido a sinistra della parete e il suo braccio rispetto alla retta di

2 2

sponda sono invece pari a:

h b h ab

2 2

Ap ab 2 h b

2 0,2 2

2 2

h 2 a ab

3

2 2 3 2 2

* pxdA x dA b x dx h h b 3

h b 3

h b

1 2 2 2 2 2

3 3

A A h 2 b

ab 2 2

3

h b 3

h b 2 2

3

h b 3

h b 3

h b

2 b

2 2

3 2 2 2

* h b

2 2

ab 3 2 h b 3 2 h b

2 h b 2 2

2

2

Di conseguenza, il braccio della spinta rispetto alla retta di sponda del serbatoio di sinistra

2

è pari a:

2 3

h b 3

h b

b b

2 2

* h h h b h h h b

2 2 1 2 2 1 2 1

3 2 h b 3 2 h b

2 2

Essendo , la spinta totale agente sulla paratoia sarà diretta come , e pari a:

1 2 1

ab ab

2 h b 2 h b ab h h

1 2 1 2 1 2

2 2

e il suo braccio rispetto alla retta di sponda del serbatoio di sinistra , ottenuto imponendo

l’equilibrio alla rotazione rispetto a tale retta, risulta uguale a:

1 1 2 2

1 1 2 2

3

h b 3

h b

b ab b ab

1 2

h b 2 h b h b 2 h b

1 1 1 2

3 2 h b 2 3 2 h b 2

1 2

ab h h

1 2

b

h

1 2

Esercizio 2

Determinare il valore della spinta idrostatica e la posizione del centro di spinta sulla parete

del serbatoio d’acqua 3

b 2 60 10000 N/m

rettangolare divisoria di larghezza m, ( )

rappresentato in Figura. 2

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SOLUZIONE

La spinta esercitata dal fluido a sinistra della parete e il suo braccio rispetto alla retta di

1 1

sponda sono rispettivamente pari a: 2

2 2.4 m

h h h 3

1 1 1

Ap b b 2 m 10000 N/m 66510 N

1 0,1 sin( ) 2 2sin( ) 2 3/2

3 2

h h h

b 1 1 1

b

2 12 sin( ) sin( ) 2sin( )

I Ax

I 0 0

1

1 h h

M Ax 1 1

b

1 0 sin( ) 2sin( )

3

h

b 1

3 sin( ) h

2 2 2.4 m

1 1.84 m

3 sin( ) 3

h h 3/2

1 1

b sin( ) 2sin( ) *

In modo analogo, la spinta esercitata dal fluido a destra della parete e il suo braccio

2 2

rispetto alla sua retta di sponda sono pari a: 2

2 1.4 m

h 3

2

b 2 m 10000 N/m 22632 N

2 2sin( ) 2 3/2

I h

2 2 1.4 m

2 2

* 1.08 m

2 M 3 sin( ) 3 3/2

2

e, di conseguenza, il braccio della spinta rispetto alla retta di sponda del serbatoio di sinistra

2

è pari a:

2 h h 2.4 m 1.4 m

1 2

* 1.08 m 2.23 m

2 2 sin( ) 3/2

3

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La spinta totale è pari alla somma di e . Essendo , la spinta totale agente sulla

1 1 2

2

paratoia sarà diretta come , e pari a:

1 66510 N 22632 N 48878 N

1 2

mentre il suo braccio rispetto alla retta di sponda del serbatoio di sinistra è ottenuto imponendo

l’equilibrio alla rotazione rispetto a tale retta, risulta uguale a:

1.84 m 66510 N 2.23 m 22632 N

1 1 2 2 1.64 m

1 1 2 2 48878 N

Esercizio 3

Determinare la spinta e il centro di spinta della paratoia circolare di diametro m della

D 2

Inoltre, supponendo che l’asse di rotazione delle

3 H 3.5

1000 Kg/m

Figura, essendo e m.

cm) sia orizzontale, trascurando l’attrito determinare la forza necessaria per

d 6

paratoia (

mantenere la paratoia chiusa.

H F d

D (b)

(a)

SOLUZIONE

La spinta esercitata dal fluido a sinistra della paratoia e il suo braccio rispetto alla retta di

sponda sono rispettivamente pari a:

2

D D

Ap H

0 4 2 2

2 m 2 m

2 3

9.81 m/s 1000 Kg/m 3.14 3.5 m 77048 N

4 2

4

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4

D

2

I Ax I

I D 4 2

0 0 0

x H

0 2

D D

M Ax Ax 2

0 0 H

4 2

4

2 m

2 m 2

3.5 m 2.6 m

2 m

2 2

2 m 3.5 m 2

La forza torcente deve equilibrare il momento torcente indotto dalla

F

pressione del fluido. Di conseguenza, imponendo l’equilibrio alla

rotazione rispetto all’asse della paratoia, risulta:

d

F x

0

2 2 D

F H

d 2

2 2 m

77048 N 2.6 m 3.5 m 256825 N

0.06 m 2

Esercizio 4 (Tema d’esame A.A. 2010-2011)

Noti i pesi specifici dei liquidi, la geometria della paratoia incernierata di larghezza b e i livelli

degli strati h e h , determinare il livello h che mantiene la paratoia nella condizione indicata

2 3 1

nella Figura (Trascurare il peso proprio della paratoia e le resistenze meccaniche nella cerniera).

5

Prof. G. Porta 5 Aprile 2013

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Corso di Idraulica

ESERCITAZIONE 3

SPINTE SU SUPERFICI CURVE (PARTE 1)

Esercizio 1 3

γ =

Sapendo che , calcolare le componenti orizzontale e verticale della spinta che

10300 N/m è pari a

agisce sulla paratoia cilindrica della Figura (e i rispettivi centri di spinta), il cui raggio R

1.96 m e la lunghezza L pari a 3.28 m. x

a R

ξ z

S O

H b

η

S v

SOLUZIONE: S è pari alla spinta sulla proiezione della superficie a-b

La componente orizzontale della spinta O

su un piano verticale, perciò è diretta verso destra e vale: 1.96 m

R 3

γ

= = ⋅ = ⋅ ⋅ =

1.96 m 3.28 m 10300 N/m 64892.3 N

S A p RL

0,

O x x 2 2

e la distanza fra il suo punto di applicazione e la retta di sponda è pari a:

1

Prof. G. Porta 5 Aprile 2013

Ing. G. Messa

S

La componente verticale della spinta è pari al peso, cambiato di segno, del volume liquido

V

fittizio che sarebbe compresso fra la paratoia a-b, il piano dei carichi idrostatici e i due piani

verticali condotti per il contorno della paratoia. Essa è dunque uguale a:

1 1 2

( )

2 3

γ π π

= = =

10300 N/m 1.96 m 3.28 m 101932.6 N

S R L

V 4 4

Essendo la spinta verticale pari al peso del volume liquido fittizio, il suo punto di applicazione

sarà necessariamente il baricentro di tale volume, dove si assume che il peso sia concentrato.

Pertanto, la distanza tra il suo punto di applicazione e la parete di destra è:

π /2

R

∫ ∫ ∫ ( )

2 2 2 2 2

ϑ ϑ ϑ ϑ

− −

sin( ) sin ( ) cos( )

xdV x R x Ldx R R R LR d

z 0 0

V

η η

= = = 

→ =

x 0 ϑ

=

2 2

sin( )

x R

R R

V π π

L L

4 4

π /2

∫ 3 2

ϑ ϑ ϑ

sin( )cos ( )

R L d π /2 ( )

 

3 3 ϑ 4 1.96 m

cos ( ) 4

R L R

0

= = − = = = 0.83 m

 

2 2 π π

R R 3 3 3

 

π π

L L 0

4 4 S S

S

Viene ora descritto come determinare la spinta , e dunque le due componenti ed ,

O V

mediante il metodo dell’equazione globale (N.B.: per semplicità di calcolo è stato cambiato il

sistema di riferimento x-z)

Applicando l’equazione globale dell’idrostatica al volume W di acqua fittizio contenuto tra il

piano dei carichi idrostatici, la superficie curva ab, la parete verticale e due piani in direzione

perpendicolare al disegno, si ottiene:

+ Π + Π + Π = 0

G 0 1 2

2

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Ing. G. Messa

Π

Π Π

dove è il peso del fluido contenuto nel volume di controllo, e , e le spinte esercitate

G 2

0 1

Π coincide

sul volume di controllo attraverso le superfici laterali, come indicato in Figura. La 0

dunque con la spinta cercata, esercitata sulla superficie dal fluido esterno ad essa. Inoltre, la

ab

S

Π è nulla, essendo il fluido in equilibrio con la pressione atmosferica. Risulta dunque:

1

= Π = − − Π

S G

0 2

Le componenti lungo e del vettore sono:

x z G

= 0

G x    

1 1 2

( )

2 3

π γ π

= − = − = −

1.96 m 3.28 m 10300 N/m 101932.6 N

G R L

   

z    

4 4

Π

Il vettore è normale ad un piano verticale, e dunque è diretto in direzione Le sue

x.

2

componenti sono pertanto: 1.96 m

R 3

γ

Π = − = ⋅ = − ⋅ ⋅ = −

1.96 m 3.28 m 10300 N/m 64892.3 N

A p RL

2, 0,

x x x 2 2

Π = 0

2, z

Le componenti della spinta lungo e sono dunque:

x z

S ( )

= −Π − = − − =

64892.3 N 64892.3 N

S G

2,

x x x ( )

= −Π − = − − =

101932.6 N 101932.6 N

S G

2,

z z z

Esercizio 2

α

Noto , si valuti mediante il metodo delle componenti il modulo e l’inclinazione della spinta

γ

esercitata dal fluido di peso specifico sulla superficie cilindrica di raggio .

e lunghezza

R L

3

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Ing. G. Messa

SOLUZIONE: Π

Π agente sulla paratoia è la somma delle sue componenti orizzontale e verticale

La spinta O

Π Π

. Per il calcolo della componente orizzontale conviene suddividere la superficie ABCD

V O

nelle parti AB, BC, CD. Per ciascuna parte, la componente orizzontale della spinta è pari alla

BC CD

Π Π

e sono

spinta sulla proiezione di tali superfici su un piano verticale. Le componenti O O

Π

pertanto uguali in modulo e direzioni ma opposte in verso, dunque si elidono. La è dunque

O

pari a: 1 1 1

h 2

( )

2 2 2

AB γ γ γ α γ α

Π = Π = = ⋅ = = =

sin sin

Ap hL Lh L R LR

0

O O 2 2 2 2

Π

Il punto di applicazione della rispetto alla retta di sponda è pari a:

O 1 2

Lh

I I 2 2

h 12

0 0

ξ α

= + = + = + = = sin

x x h R

0 0 h

2 3 3

M Ax hL

0 2

Π

La componente verticale della spinta è pari al peso, cambiato di segno, del volume liquido

V

fittizio che sarebbe compresso fra la paratoia ABCD, il piano dei carichi idrostatici e i due piani

verticali condotti per il contorno della paratoia. Essa è dunque uguale a:

 

   

π α

− 1 1

( ) ( )

2 2

γ π α α γ π α α α

Π = + = + = − +

cos sin cos sin

V V R L R R R L

   

 

V ABCDOA OCH    

π

 

2 2 2

essa è diretta verso l’alto e la sua retta di applicazione passa per il baricentro del volume. La

Π ha dunque modulo:

spinta complessiva 2 2

Π = Π + Π

O V

tale che:

e angolo di inclinazione rispetto alla verticale pari a ϕ

Π V

ϕ =

tan

Si risolve ora lo stesso esercizio con il metodo dell’equazione globale.

4

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Ing. G. Messa

Applicando l’equazione globale dell’idrostatica al volume di acqua fittizio mostrato a destra nella

figura soprastante si ottiene:

+ Π + Π + Π = 0

G 0 1 2

Π

Confrontando il sistema reale (a sinistra) e quello fittizio (a destra) si trova che la coincide

0

cercata, esercitata sulla superficie dal fluido esterno ad essa. Inoltre, la

dunque con la spinta S

Π è nulla, essendo il fluido in equilibrio con la pressione atmosferica. Risulta dunque:

2

= Π = − − Π

S G

0 1

Le componenti lungo e del vettore sono:

x z G = 0

G x π α

− 2

γ π

= −

G R L

z π

2

Π è normale al piano inclinato al bordo del volume fittizio. Le sue componenti sono:

Il vettore 1  

α

sin

R

α α γ α

Π = Π = =

sin sin sin

Ap RL  

1, 1 0

x  

2

 

α

sin

R

α α γ α

Π = − Π = − = −

cos cos cos

Ap RL  

1, 1 0

z  

2

Le componenti della spinta lungo e sono:

x z

S

 

α

sin 1

R 2 2

γ α γ α

= −Π − = − = −

sin sin

S G RL LR

 

1,

x x x  

2 2

 

   

α π α

sin 1

R ( )

2 2

γ α γ π γ π α α α

= −Π − = − − − − = − +

cos cos sin

S G RL R L R L

   

 

1,

z z z    

π

 

2 2 2

5

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Ing. G. Messa

Esercizio 3

Utilizzando il metodo delle componenti, determinare la spinta complessiva che la paratoia

cilindrica di raggio e lunghezza riceve dal liquido a monte, il cui pelo libero si trova alla

R L

quota della generatrice superiore di traccia A (si supponga noto il valore dell’angolo α).

SOLUZIONE: Π

Π agente sulla paratoia è la somma delle sue componenti orizzontale e verticale

La spinta O

Π Π

. La componente orizzontale è pari alla spinta sulla proiezione dell’area ABC su un

V O Π

h e lungo ; la è dunque diretta da sinistra

piano verticale, la quale è un rettangolo alto L O

verso destra e di modulo uguale a: 1 1 1

h 2 2

( ) ( )

2 2

γ γ γ α γ α

Π = = ⋅ = = + = +

sin 1 sin

Ap hL h L R R L R L

0

O 2 2 2 2

Π

Il punto di applicazione della rispetto alla retta di sponda è pari a:

O 1 3

Lh

I I 2 2

h 12

0 0

ξ α

= + = + = + = = +

(1 sin )

x x h R

0 0 h

2 3 3

M Ax hL

0 2

Π conviene suddividere la superficie ABC in due

Per il calcolo della componente verticale V

parti separate dalla generatrice di traccia B, in corrispondenza della quale la tangente è verticale.

AB

Π è pari al peso del volume cilindrico di sezione retta

Sulla parte AB la componente verticale V

ABB’A, e dunque vale:  

2  

π π

R

2 2

AB γ γ

 

Π = − = −

1

R L L R L  

V  

4 4

 

6

Prof. G. Porta 5 Aprile 2013

Ing. G. Messa

diretta verso il basso e passante per il baricentro del volume ABB’A.

BC

Π è pari al peso di volume cilindrico di sezione retta

Sulla parte BC la componente verticale V

CBB’C’C, e dunque è uguale a:

( )

BC γ

Π = + − =

V V V

' '

V BB C H BCO OCH

 

   

α 1

 

( ) 2

γ α π α α

 

= ⋅ − + −

cos cos sin

R R R L R L R R L

     

   

π

 

2 2

 

α 1

2

γ α α α

= − + −

1 cos cos sin

R L  

 

2 2

essa è diretta verso l’alto e la sua retta di applicazione passa per il baricentro del volume.

La componente verticale della spinta è dunque pari a:

   

π α 1

2 2

AB BC γ γ α α α

Π = Π − Π = − − − + −

1 1 cos cos sin

R L R L

   

V V V    

4 2 2

Esercizio 4 (Tema d’esame A.A. 2008-2009)

γ γ

n

Noti , , , , , determinare il peso specifico del cono affinche esso rimanga in equilibrio

D h

1 2 γ e aria (come in Figura), nei due casi

con la base sulla superficie di interfaccia tra il fluido 1

e .

> <

0 0

n n  

7 1

γ γ γ

= + ∀

soluzione: n

 

1 2

CONO

 

8 8

7

Prof.Giovanni Porta 16 Aprile 2013

Ing. G. Messa

Corso di Idraulica

ESERCITAZIONE 4

SPINTE SU SUPERFICI CURVE (PARTE 2)

Esercizio 1

L’apertura circolare praticata nella parete del recipiente in figura è chiusa da una valvola conica.

3

γ =

Determinare il modulo della spinta esercitata sulla valvola, sapendo che ,

9806 N/m

S

= α

, ,

1 m , .

D

= = = = °

5 m 0.8 m 45

h b a

SOLUZIONE:

Applicando l’equazione globale dell’idrostatica al volume W di acqua fittizio contenuto nel

tronco di cono BCAE, si ottiene:

+ Π + Π = →Π = − − Π

0

G G

0 1 0 1

Π Π

è il peso del fluido contenuto nel volume di controllo, e le spinte esercitate sul

dove e

G 0 1

Π

volume di controllo attraverso le superfici laterali, come indicato in Figura. La coincide

0

dunque con la spinta cercata, esercitata sulla valvola dal fluido esterno ad essa.

S

e del vettore sono:

Le componenti lungo x z G 1

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Ing. G. Messa

= 0

G x 1  

( )

γ γ

= − = − + − =

G V A a b A a

 

z AEBC BC AE

3  

 

2

 

2 3

1 1 1

D a a

( )  

2

 

γ π π γ π

= − + − = − + − =

a b D a D a b

  2

  ( )

+  

 

3 4 4 12

a b +

a b

   

 

3

( )

0.8 m

1 2

( )  

3 π

= − ⋅ + − = −

9806 N/m 1 m 0.8 m 0.8 m 3594 N

2

( )

 

12 +

0.8 m 0.8 m

 

Π

Il vettore è la spinta che agisce su una superficie piana circolare. Il suo modulo è dunque:

1 2 2

   

1 1 0.8 m

a

3

π γ π

Π = = = 1 m 9806 N/m 5 m=9627 N

Ap D h

   

1 0    

+ +

4 4 0.8 m 0.8 m

a b α

Π

e le sue componenti, tenendo conto che la forma un angolo con l’orizzontale, sono:

1 2

α

Π = − Π = − = −

sin 9627 N 6807 N

1, 1

x 2

2

α

Π = Π = =

cos 9627 N 6807 N

1, 1

z 2

Le componenti della spinta lungo e del vettore sono dunque:

x z

S ( )

= −Π − = − − =

6807 N 6807 N

S G

1,

x x x ( )

= −Π − = − − − = −

6807 N 3594 N 3213 N

S G

1,

z z z

La spinta complessiva ha dunque modulo:

S 2 2

( ) ( )

2 2

= + = + − =

6807 N 3213 N 7527 N

S S S

x z

Esercizio 3 3

γ =

Determinare la spinta che si esercita sulla calotta semisferica di traccia ABH ( 7845 N/m

S 1

3 3

; ; ;

γ γ

= = ). I seguenti dati geometrici sono forniti:

=

9806 N/m 4903 N/m 0.88 bar

n

2 m

, , , .

∆ = =

= = 0.2 m 0.3 m

1.2 m 0.3 m r

h h

1 2 2

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Ing. G. Messa

SOLUZIONE:

La spinta è la somma tra , esercitata dal fluido 2 a destra della calotta, ed , esercitata dal

S S S

2 1

fluido 1 alla sua sinistra. Vengono ora calcolati separatamente i due contributi.

Applicando l’equazione globale di equilibrio al volume ABH a contatto solamente con il fluido 2,

si ottiene:

+ Π + Π = → Π = − − Π

0

G G

2 0,2 1,2 0,2 2 1,2

Π Π

dove è il peso del fluido 2 contenuto nel volume di controllo, e e le spinte

G 0,2 1,2

2

esercitate sul volume di controllo attraverso le superfici laterali. La spinta esercitata dal fluido 2

= −Π

S

sulla calotta AHB è quindi pari a . Le componenti lungo e del vettore sono:

x z G

2 0,2 2

= 0

G 2 x 1 4 1 4 3

( )

3 3

γ γ π π

= − = − ⋅ = − ⋅ = −

9806 N/m 0.3 m 555 N

G V r

2 2 2

ABH 2 3 2 3

z

Π

Il vettore è la spinta che agisce su una superficie piana circolare. Le sue componenti lungo x

1,2

e sono dunque:

z  

5

⋅ 10

n

2

π γ

Π = − = − + =

 

Ap r h

1,2 ,2 2 1

G γ

 

x 2

 

5

0.88 bar 10 Pa/bar

2

( ) 3

π

= − + = −

 

0.3 m 9806 N/m 1.2 m 28209 N

3

 

9806 N/m

Π = 0

1,2 z

Le componenti della spinta lungo e sono dunque:

S x z

2 3

Prof.Giovanni Porta 16 Aprile 2013

Ing. G. Messa

= −Π = + Π = − = −

28209 N 28209 N

S G

2 0,2 2 1,2

x x

x x

= −Π = + Π = − = −

555 N 555 N

S G

2 0,2 2 1,2

z z

z z

Applicando l’equazione globale di equilibrio al volume ABH a contatto solamente con il fluido 1,

si ottiene:

+ Π + Π = → Π = − − Π

0

G G

1 0,1 1,1 0,1 1 1,1

Π Π

dove è il peso del fluido 2 contenuto nel volume di controllo, e e le spinte esercitate

G 0,1 1,1

1

sul volume di controllo attraverso le superfici laterali. La spinta esercitata dal fluido 1 sulla

= Π

S

calotta AHB è quindi pari a . Le componenti lungo e del vettore sono:

x z G

1 0,1 1

= 0

G

1 x 1 4 1 4 3

( )

3 3

γ γ π π

= − = − ⋅ = − ⋅ = −

7845 N/m 0.3 m 444 N

G V r

1 1 1

ABH 2 3 2 3

z

Π

Il vettore è la spinta che agisce su una superficie piana circolare. Il calcolo della sua

1,1

componente lungo richiede di valutare la pressione del fluido 1 nel baricentro dell’area circolare

x

AB. La pressione del fluido 2 nel punto D è pari a: 5 γ

= ⋅ +

10

p n h

,2 2 2

D

La pressione del fluido 2 e del mercurio è uguale sulla superficie di contatto D. Essendo la

p

superficie D-E isobara per il mercurio, la pressione del mercurio nel punto E è pari a . La

,1

D

pressione del mercurio sulla superficie F, pari a quella del fluido 1 sulla stessa superficie, è

uguale a: 5

γ γ γ γ

= + ∆ = + ∆ = ⋅ + + ∆

10

p p p n h

,1 , ,1 2 2

F E m m D m m

e, dunque, la pressione del fluido 1 nel baricentro dell’area AB è pari a:

( ) ( )

5

γ γ γ γ

= + − − ∆ = ⋅ + + ∆ + − − ∆

10

p p h h n h h h

,1 ,1 1 1 2 2 2 1 1 2

G F m

Π

Le componenti del vettore lungo e sono dunque:

x z

1,1  

( )

2 5

π γ γ γ

Π = − = − ⋅ + + ∆ + − − ∆

10

Ap r n h h h

 

1,1 ,1 2 2 1 1 2

G m

x 2 

( ) 5 3 3

π

= − ⋅ + ⋅ + ⋅

0.3 m 0.88 bar 10 Pa/bar 9806 N/m 0.3 m 4903 N/m 0.2 m

 4

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Ing. G. Messa

( )

3

+ ⋅ − − = −

7845 N/m 1.2 m 0.3 m 0.2 m 27543 N

Π = 0

1,1 z

lungo e sono dunque:

Le componenti della spinta S x z

1 ( )

= Π = − − Π = − − =

27543 N 27543 N

S G

1 0,2 2 1,2

x x

x x ( )

= −Π = − − Π = − − =

444 N 444 N

S G

1 0,2 2 1,2

z z

z z

Le componenti della spinta globalmente esercitata sulla calotta lungo e sono pertanto:

x z

S

= + = − = −

27543 N 28209 N 666 N

S S S

1 2

x x x

= + = − = −

444 N 555 N 111 N

S S S

1 2

z z z

La spinta complessiva ha dunque modulo:

S 2 2 2 2

( ) ( )

= + = − + − =

666 N 111 N 675 N

S S S

x z

Esercizio 3

Un serbatoio contenente un fluido di densità è chiuso mediante una calotta emisferica di raggio

ρ

. Sia noto il dislivello tra la base della calotta e il livello raggiunto dal fluido nel piezometro.

R h

Calcolare la forza che agisce sull’anello di chiusura della calotta.

SOLUZIONE:

La forza che agisce sull’anello di chiusura della calotta è pari alla spinta esercitata dal fluido

S

sulla calotta stessa. Dato che il livello del fluido nel piezometro è inferiore rispetto alla calotta, il

fluido all’interno della calotta sarà in depressione.

5

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Ing. G. Messa

Applicando l’equazione globale dell’idrostatica al volume di fluido all’interno della calotta

semisferica, si ottiene:

+ Π + Π = 0

G 0 1

Π Π

dove è il peso del fluido contenuto nel volume di controllo, e e le spinte esercitate sul

G 0 1

Π è opposta alla

volume di controllo attraverso le superfici laterali, come indicato in Figura. La 0

spinta cercata, esercitata dal fluido sulla calotta. Risulta dunque:

S

= −Π = + Π

S G

0 1

Le componenti lungo e del vettore sono:

x z G

= 0

G x 14 2

3 3

π ρ π ρ

= − = −

G R g R g

z 23 3

Π

Il vettore è diretta verticalmente, essendo normale ad un’area circolare in un piano

1

orizzontale. Detta la pressione (uniforme) su tale area, le sue componenti sono:

p Π = 0

1, x ( ) ( )

2 2 2

π ρ π ρ π

Π = = − = − <0!

p R gh R gh R

1, z

Le componenti della sono dunque:

S = Π + = 0

S G

1,

x x x 2 3 2

π ρ ρ π

= Π + = − −

S G R g gh R

1,

z z z 3

S

e dunque è un vettore di modulo diretto verso il basso.

S z

Esercizio 4 (Tema d’esame AA 2010-2011)

In un serbatoio cilindrico inclinato di un angolo , è inserito un tappo semisferico di raggio e

R

α

peso specifico libero di traslare senza attrito lungo la direzione dell’asse del serbatoio.

γ s,

Noti : geometria, e l'indicazione del manometro metallico .

n

γ γ γ

1, 2, s,

Determinare: l'altezza necessaria affinchè il tappo rimanga nella posizione di equilibrio

h

rappresentata in figura. 6

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SOLUZIONE:

L’equilibrio meccanico applicato al tappo semisferico (corpo solido) impone che:

+ + + Φ = 0

G S S

1 2

s

Φ

dove: è il peso del tappo; ed le spinte esercitate dai due fluidi sul tappo; la reazione

G S S

1 2

s

vincolare tra il tappo e il cilindro. Dato che il tappo è libero di traslare senza attrito all’interno del

Φ è diretta perpendicolarmente alla superficie del cilindro. Proiettando dunque

cilindro,

l’equilibrio lungo l’asse del cilindro (direzione ) si ottiene:

z

(1)

+ + = 0

G S S

1 2

s z z z

Il peso è diretto verso il basso, quindi la sua proiezione è:

G G

s s z

 

1 4 2

3 3

α γ π α γ π α

= − = − = −

sin sin sin

G G R R

 

s s s s

 

23 3

z

La spinta è diretta lungo la direzione – , essendo perpendicolare alla superficie piana

S z

1

circolare che delimita il tappo. Pertanto: ( )( )

2 5

π α α

= − = − = − ⋅ + +

10 sin cos

S S Ap R n h R

1 1 0 2

z

Il calcolo della spinta viene fatto mediante il metodo dell’equazione globale, esprimendo tutte

S 2

le quantità in funzione dell’incognita . Applicando l’equazione globale al volume fluido

h

all’interno della calotta, si ottiene:

+ Π + Π = 0

G

2 0,2 1,2

7

Prof.Giovanni Porta 16 Aprile 2013

Ing. G. Messa

Π Π

dove è il peso del fluido 2 contenuto nel volume di controllo, e e le spinte esercitate

G 0,2 1,2

2

Π coincide

sul volume di controllo attraverso le superfici laterali, come indicato in figura. La 0,2

con la spinta cercata, pertanto:

S 2

= Π = − −Π

S G

2 0,2 2 1,2

Dato che in realtà l’incognita cercata è la , non viene considerata l’equazione vettoriale ma

S 2, z

direttamente la sua proiezione lungo l’asse .

z

La componente lungo del vettore è:

z G 2  

1 4 2

3 3

α γ π α γ π α

= − = − = −

sin sin sin

G G R R

 

2 2 2 2

 

23 3

z

Π

Il vettore è la spinta che agisce su una superficie piana circolare ortogonale all’asse , ed è

z

2,1

pertando diretto lungo . Risulta dunque:

z ( ) ( )

2

π γ α α

Π = − = − − +

sin cos

Ap R h h R

1,2 2 1

G

z

Pertanto:  

2  

( )

( )

3 2

γ π α π γ α α

= − − Π = − − − − − +

sin sin cos

S G R R h h R

   

2 2 1,2 2 2 1

 

3

z

z z

2 ( )

3 2

γ π α γ π α α

= + − +

sin sin cos

R R h h R

2 2 1

3

Dalla proiezione dell’equazione di equilibrio meccanico (Eq. 1) si ottiene:

8

Prof.Giovanni Porta 16 Aprile 2013

Ing. G. Messa

2 ( )( )

3 2 5

γ π α π α α

+ + = − − ⋅ + + +

sin 10 sin cos

G S S R R n h R

1 2 2

s s

3

z z z

2 ( )

3 2

γ π α γ π α α

+ + − + =

sin sin cos 0

R R h h R

2 2 1

3

da cui si ricava l’incognita cercata.

h

Esercizio 5 (Tema d’esame AA 2010-2011)

Si consideri il sistema illustrato nel disegno. Sono noti:

il peso specifico dei fluidi e ;

γ γ

1 2

le altezze , , ;

h h h

1 2 3

la profondità della paratoia ;

B

Si determini la forza in modo tale che il sistema sia in equilibrio nella configurazione illustrata.

F 9

Prof.G.Porta 30 Aprile 2013

Ing. G. Messa

Corso di Idraulica

ESERCITAZIONE 5

DINAMICA (FLUIDI PERFETTI)

Esercizio 1

Assunta valida l’ipotesi di fluido perfetto, determinare la spinta che si scarica sul boccaglio

3

γ

= =

tronco-conico rappresentato in Figura, sapendo che 0.90 , , . Si

C 9806 N/m

= 0.2 bar

n

c α

sappia inoltre che , , , e . Si supponga, inoltre,

= = = = = °

0.5 m 0.2 m 0.1 m 0.4 m 30

a D d L

che la sezione contratta si verifichi ad una distanza pari a a valle della sezione terminale del

/ 2

d

boccaglio.

SOLUZIONE:

Applicando l’equazione globale della dinamica al volume W di fluido contenuto nel tronco di

cono delimitato dalla sezione 1 e dalla sezione contratta C si ottiene:

+ Π + Π + Π + − = 0

G M M

0 1 1

C C

Π

dove è il peso del fluido contenuto nel volume di controllo, e , e le spinte esercitate

G Π Π C

0 1

M M

sul volume di controllo attraverso le superfici laterali, come indicato in Figura, ed ed i

1 C

flussi di quantità di moto della corrente nelle due Sezioni. La coincide dunque con l’opposto

Π 0

della spinta cercata, esercitata sulla superficie del boccaglio dal fluido. Pertanto, risulta:

S 1

Prof.G.Porta 30 Aprile 2013

Ing. G. Messa

= −Π = + Π + Π + −

S G M M

0 1 1

C C

Si valutano ora i diversi contributi, proiettando l’equazione sopra riportata lungo le due direzioni

e .

x z

• Le componenti lungo tali direzioni del vettore sono:

G

= 0

G x  

π d ( )

2 2

γ γ

= − = − + + +

G V L D Dd d

 

z C C

 

12 2

è il diametro della sezione contratta, pari a . Sostituendo i valori numerici, si

dove d d C

C C

= −

ottiene 78.4 N .

G z

• La è diretta normalmente alla Sezione 1, e il suo modulo è pari a:

Π 1  

2

D  

( )

5

π γ α

Π = = ⋅ + + =

  10 sin

A p n a L

 

1 1 0,1  

4

2

( )

0.2 m  

( )

5 3

π

= ⋅ + + ⋅ =

0.2 10 Pa 9806 N/m 0.5 m 0.4 m 0.5 844 N

 

4

e le sue proiezioni lungo le direzioni e sono pari a:

x z 3

α

Π = Π = =

cos 844 N 731 N

1, 1

x 2

1

α

Π = Π = =

sin 844 N 422 N

1, 1

z 2

• =

Π

La è nulla in quanto 0

p

C C

M M

e è necessario conoscere la portata

Per calcolare i flussi di quantità di moto Q

1 C

circolante. Essa viene determinata applicando l’estensione del teorema di Bernoulli alle correnti

=

tra le Sezione 1 e la sezione contratta C, tenendo conto che lì 0 . Si osservi che solo in tale

p C

sezione i filetti fluidi sono tutti rettilinei e paralleli, e quindi è possibile applicare l’estensione del

teorema di Bernoulli alle correnti. Così facendo si ottiene:

2 2

v

p v

1 1

α α C

+ + = + →

z z

1 1 C C

γ 2 2

g g

( )

5 γ α 2

2

⋅ + +

10 sin

n a L v v

d

1 C

α α α α

+ + = + + + →

sin sin

z z L

1 1 1 C

γ 2 2 2

g g

2

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Ing. G. Messa

2

2

5

⋅ v

v

10

n d C

1

α α α

+ + = +

sin

a 1 C

γ 2 2 2

g g

L’equazione di continuità impone che:    

2 2

D d

π π

= = → = =

   

Q v A v A Q v v C

1 1 1

C C C c

4 4

   

e, sostituita nell’equazione precedente, consente di ricavare la portata:

5 2 2

⋅ 10

n Q d Q

α α α

+ + = +

sin

a 1 C

2 2

γ    

2

2 2

D d

2

π π

   

2 2

g gC c

   

4 4 −

0.5

 

− −

0.5 2 2

     

5 2 2

α

⋅ 10

n d d D

 

C

α π α π

→ = + − −

     

2 sin

Q g a 1

2

γ  

2 4 4

C

     

 

c

3 /s se i coefficienti di ragguaglio sono assunti unitari. Le due velocità

che risulta pari a 0.051 m v

1

e sono dunque uguali a:

v C 3

0.051 m /s

Q

= = = 1.62 m/s

v

1   2

2 ( )

D 0.2 m

π

  π

 

4 4 3

0.051 m /s

Q

= = = 7.22 m/s

v C   2

2 ( )

d 0.1 m

π

C   π

0.9

c  

4 4

E’ ora possibile calcolare i flussi di quantità di moto.

• M è diretto perpendicolarmente alla Sezione 1, e il suo modulo è pari a:

1 3

9806 N/m

3

ρ

= = ⋅ ⋅

0.051 m /s 1.62 m/s=82.8 N

M Qv

1 1 2

9.81 m/s

e le sue componenti lungo le direzioni e sono pari a:

x z 3

α

= = =

cos 82.8 N 71.7 N

M M

1, 1

x 2

1

α

= = =

sin 82.8 N 41.4 N

M M

1, 1

z 2

3

Prof.G.Porta 30 Aprile 2013

Ing. G. Messa

• M è diretto perpendicolarmente alla Sezione contratta, e il suo modulo è pari a:

C 3

9806 N/m

3

ρ

− = = ⋅ ⋅

0.051 m /s 7.22 m/s=368 N

M Qv

C C 2

9.81 m/s

e le sue componenti lungo le direzioni e sono pari a:

x z 3

α

− = − − = − = −

cos 368 N 318.7 N

M M

,

C x C 2

1

α

− = − − = − = −

sin 368 N 184 N

M M

,

C z C 2

Le componenti della spinta lungo e sono dunque:

S x z

= + Π + Π + − = 439 N

S G M M

1, 2, 1, ,

x x x x x C x

= + Π + Π + − = 201 N

S G M M

1, 2, 1, ,

z z z z z C z

La spinta complessiva ha dunque modulo:

S 2 2

( ) ( )

2 2

= + = + =

439 N 201 N 524 N

S S S

x z

Esercizio 2 3

ρ

= =

Sapendo che , 23 m/s e , determinare la spinta dinamica

v 1000 kg/m

= 0.075 m

d 1

prodotta dal getto quando investe: a) una lastra piana ferma messa perpendicolarmente al getto; b)

una lastra curva ferma che provoca una deviazione di 180° rispetto alla direzione del getto.

4

Prof.G.Porta 30 Aprile 2013

Ing. G. Messa

SOLUZIONE: ~ 23 m/s) suggerisce che l’effetto della gravità sia trascurabile, e che

L’alta velocità del fluido (

quindi il getto assuma una configurazione assialsimmetrica. Inoltre, l’ipotesi di fluido perfetto,

motivata dalle ridotte dimensioni del sistema, suggerisce che le particelle fluide mantengano

approssimativamente la stessa velocità tra la sezione 1 e la sezione 2, cosicchè .

V V

2 1

Si risolvono ora i due casi:

a) Applicando l’equazione globale della dinamica al volume W illustrato in Figura, si ottiene:

+ Π + Π + Π + Π + − = 0

G M M

0 1 2 3 1 2

Π

dove è il peso del fluido contenuto nel volume di controllo; , , e le spinte

G Π Π Π 3

0 1 2

esercitate sul volume di controllo attraverso le superfici laterali, come indicato in Figura; ed

M M

ed i flussi di quantità di moto della corrente nella sezione di monte 1 e nella sezione 2

1 2

a forma di anello cilindrico. La coincide dunque con l’opposto della spinta cercata,

S

Π 0

Π

esercitata dal getto sulla parete. Tenendo poi conto che , e sono nulle in quanto la

Π Π 3

1 2

pressione relativa sulle tre superfici è nulla essendo tutte e 3 in ambiente atmosferico, risulta:

= −Π = + −

S G M M

0 1 2

Infine, l’ipotesi che il contributo della gravità sia trascurabile e che il getto sia

− ≈

≈ 0

M

assialsimmetrico implica che 0 e . Pertanto:

G 2

= −Π =

S M

0 1

Dunque la è diretta orizzontalmente e il suo modulo vale:

S  

2

( )

 

2 0.075

d

 

3

ρ ρ π π

= = = = =

  1000 kg/m 23 m/s 2346 N

S M Qv v

1 1 1  

4 4

   

5

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Ing. G. Messa

b) Applicando l’equazione globale della dinamica al volume W illustrato in Figura, si ottiene:

+ Π + Π + Π + Π + − = 0

G M M

0 1 2 3 1 2

Π le spinte

è il peso del fluido contenuto nel volume di controllo; , , e

dove G Π Π Π 3

0 1 2

esercitate sul volume di controllo attraverso le superfici laterali, come indicato in Figura; ed

M M

e i flussi di quantità di moto della corrente nella sezione di monte 1 e nella sezione

1 2

2 a forma di anello cilindrico. La coincide dunque con l’opposto della spinta cercata,

S

Π 0

Π

esercitata dal getto sulla parete. Tenendo poi conto che , e sono nulle per l’ipotesi

Π Π 3

1 2

di fluido perfetto e in quanto la pressione relativa sulle tre superfici è nulla essendo tutte e 3

in ambiente atmosferico, risulta:

= −Π = + −

S G M M

0 1 2

Ammettendo poi che l’effetto del peso sia trascurabile, si ottiene:

= −Π = −

S M M

0 1 2

Dunque la è diretta orizzontalmente e, sotto l’ipotesi precedentemente discussa, il

S ≈

V V

2 1

suo modulo vale:  

2

d

ρ ρ ρ ρ π

= + − = + = = =

 

2

S M M Qv Qv Qv v

1 2 1 2 1 1

4

 

 

2

( )

0.075

 

3 π

= ⋅ =

2 1000 kg/m 23 m/s 4692 N

 

4

 

Esercizio 3

Per il boccaglio in Figura, sotto le ipotesi che il liquido si comporti come un fluido perfetto con

3

γ = 9806 N/m

peso specifico e che la resistenza dell’aria sia nulla, determinare:

6

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Ing. G. Messa

a) la portata effluente quando ;

= 1 bar

n

α = °

30 h

per la massima quota raggiunta dal getto;

b) α h

c) l’angolo per il quale è massima .

= 2 m

a = =

0.15 m 0.05 m

D d

Si consideri , , . Si assuma inoltre trascurabile, cosicchè la

b

pressione al centro della sezione 1 sia approssimabile con il valore indicato dal manometro

metallico.

SOLUZIONE: D

a) Il teorema di Bernoulli esteso alle correnti tra la Sezione 1 di diametro in cui è inserito il

manometro metallico e la Sezione 2 di sbocco del boccaglio impone che:

2 2

p V p V

1 1 2 2

α α

+ + = + +

z z

1 1 2 2

γ γ

2 2

g g

5 5

− = =

γ

Si tenga quindi conto che: , , 0 . Inoltre, per

z z a p

= ⋅ − ≈ ⋅

10 10

p n b n

2 1 2

1

l’equazione di continuità risulta:    

2 2

D d

π π

= = → = =

   

Q V A V A Q V V

1 1 2 2 1 2

4 4

   

α α

Pertanto, assumendo unitari i coefficienti di Coriolis e , la portata circolante è:

Q

1 2

0.5

 

− −

2 2 0.5

     

2 2 5

⋅ 10

D d n

 

π π

= − − =

     

2

Q g a γ

 

4 4

     

  −

0.5

 

− −

2 2

    0.5

2 2

( ) ( )  

  5

0.15 m 0.05 m ⋅

1 bar 10 Pa/bar

   

2 π π

 

= ⋅ − ⋅ −

 

2 9.81 m/s 2 m 3

   

4 4 9806 N/m

 

 

   

 

= 24.8 L/s 7

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Ing. G. Messa

b) La generica particella d’acqua uscita dal boccaglio segue le leggi che descrivono il modo del

proiettile. L’equazione del moto per la particella passante per il centro della sezione 2,

giudicata rappresentativa dell’intero getto, è: 1 2

α

= ⋅ −

( ) sin( )

z t V t gt

2 2

α

= ⋅

( ) cos( )

x t V t

2

L’istante in cui tale particella raggiunge la massima quota è:

  α

sin( )

V

1

dz d 2

α α 2

= → ⋅ − = − = → =

0 sin( ) sin( ) 0

V t gt V gt t

 

2 2 max max

 

2

dt dt g

e la massima quota è: 2

    2 2

α α α

sin( ) sin( ) sin ( )

V V V

1

2 2 2

α

= ⋅ − = =

( ) sin( )

z t V g

   

max 2    

2 2

g g g −

2

2

( ) 2  

2 ( ) 2

3 ( )

  0.0248 m /s 0.5

2 2 2 0.05 m

α

sin

Q d  

π π

= = =

  2.04 m

2

⋅  

 

2 4 2 9.81 m/s 4

g  

c) La traiettoria seguita dalla particella passante per il centro della sezione 2, giudicata

rappresentativa dell’intero getto, è: 2

 

1 x

α

= −  

tan( )

z x g α

2 cos( )

V

 

2 = 0

L z

La lunghezza evidenziata in Figura si ottiene imponendo , e scegliendo la soluzione

non nulla: 2

V

2 2

2

( ) 2

α α α α α

2

= ⋅ = =

tan( ) cos( ) sin( )cos( ) sin(2 )

L V V

2 2

g g g

L

che rende massima la lunghezza si ottiene annullando la derivata

L’inclinazione α

L

parziale della rispetto ad . Pertanto:

α  

2 2 π

∂ ∂ V V

L α α α

2 2

= → = = → =

0 sin(2 ) 2cos(2 ) 0

 

α α

∂ ∂ 4

g g

 

8

Prof.G.Porta 30 Aprile 2013

Ing. G. Messa

Tubo di Pitot

Il tubo di Pitot è un sistema per la misura della velocità nelle correnti fluide. Esso è costituito,

nella forma più semplice, da un tubo in vetro piegato ad un estremità di 90°, e con un forellino

centrale lungo tutto il tubo.

Il tubo di Pitot è inserito o nella condotta, dalla parte del lato minore, con la sua estremità rivolta

in direzione opposta a quella del fluido. Così facendo il forellino al centro del tubicino si riempie

di liquido, e l’acqua va a sbattere contro di esso, cosìcchè si viene a formare un punto di ristagno,

dove la pressione è massima. Il livello del liquido raggiunto nel tubo di Pitot, e quindi la

pressione nel punto di ristagno dipende dalla velocità della corrente.

La velocità della corrente si ottiene applicando il teorema di Bernoulli alla traiettoria AB disposta

sul prolungamento dell’asse del tubo, dove il punto A è sufficientemente lontano dal foro in modo

tale che la corrente possa ritenersi indisturbata e il punto B è il punto di ristagno:

2

p v p

A A B

+ + = +

z z

A B

γ γ

2 g

da cui: 0.5

 

   

p p

B A

= + − +

 

2

v g z z

   

A B A

γ γ

   

  ∆

e dunque la velocità della corrente nel punto A viene ottenuta dal dislivello tra i menischi nei

due piezometri.

In pratica, poi, la presa A (presa statica) viene realizzata per mezzo di una fessura aperta lungo il

lato del tubicino che parte dal punto di ristagno B (presa dinamica). La differenza tra le due quote

piezometriche può essere misurata tramite due piezometri o mediante un manometro

differenziale. La configurazione cui di solito si fa riferimento è dunque quella riportata a destra in

Figura. 9

Prof.G.Porta 30 Aprile 2013

Ing. G. Messa

Esercizio 4 3

γ = 9806 N/m

Sotto le ipotesi di fluido perfetto ( ) e di distribuzione uniforme della velocità,

determinare l’indicazione [bar] del manometro metallico inserito nella condotta come indicato

n 3

γ = 133362 N/m

= = ∆ =

=

2 m 0.3 m 0.9 m

h D 100 L/s , , e .

, ,

in Figura. Si assuma Q m

SOLUZIONE:

Dalle indicazioni del manometro semplice è possibile determinare la pressione nel punto B, che

risulta pari a: 3

γ

= = ∆ = ⋅ =

133362 N/m 0.9 m 120026 Pa

p p '

B B m

Pertanto, la pressione in corrispondenza dell’asse della condotta – e dunque nel punto C – è:

3

γ

= − = − ⋅

100414 Pa 9806 N/m 2 m=100414 Pa

p p h

C B

Il carico totale in corrispondenza del punto C vale:

2 2

p v p 1 Q

C C C

= + = + =

H C 2

γ γ  

2 2

g g 2

D

π

 

 

4 2

( )

3 3

100 10 m /s

100414 Pa 2

= + = 10.34 m

 

3 2 2

9806 N/m 2 9.81 m/s ( )

0.3 m

 

π

 

4

 

Il manometro metallico è inserito come la presa dinamica di un tubo di Pitot, e quindi indica la

pressione misurata a partire dal piano dei carichi idrostatici. Pertanto:

bar

3 5

γ

= = ⋅ ⋅

9806 N/m 10.34 m 10 =1.014 bar

n H C Pa

10

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Ing. G. Messa

Esercizio 5

Calcolare la componente orizzontale della spinta dinamica agente sul boccaglio mostrato in

S x 5

Figura quando la pressione indicata dal manometro applicato nella Sezione 1 è 2.7 10 Pa . La

sagomatura del boccaglio evita la sezione contratta, indirizzando la corrente in maniera tale che

essa sia perfettamente rettilinea sia nella Sezione 1 sia nella Sezione 2 di sbocco in atmosfera. Il

diametro del tubo è e quello del getto è . Il manometro si trova a una quota

= =

0.3 m 0.1 m

D d

rispetto all’asse del boccaglio. Si assuma valida l’ipotesi di fluido perfetto, giustificata

= 1 m

a 3

γ =

dalle ridotte dimensioni del tratto in esame. Il peso specifico del fluido è .

9806 N/m

SOLUZIONE:

Applicando l’equazione globale della dinamica al volume W di fluido contenuto nel boccaglio, si

ottiene:

+ Π + Π + Π + − = 0

G M M

0 1 2 1 2

dove è il peso del fluido contenuto nel volume di controllo, e , e le spinte esercitate

G Π Π Π

0 1 2

M M

sul volume di controllo attraverso le superfici laterali, come indicato in Figura, ed ed i

1 2

flussi di quantità di moto della corrente nelle due Sezioni. La coincide dunque con l’opposto

Π 0

della spinta cercata, esercitata sulla superficie del boccaglio dal fluido. Pertanto, risulta:

S

= −Π = + Π + Π + −

S G M M

0 1 2 1 2

Avendo come obiettivo quello di trovare la componente orizzontale della , viene considerata la

S =

sola proiezione dell’equazione precedente sull’asse della condotta. Essendo 0 , essa si

G x

riduce a: = −Π = Π + Π + −

S M M

0, 1, 2, 1, 2,

x x x x x x

Per poter valutare i diversi contributi, si applichi l’estensione del teorema di Bernoulli alle

=

correnti tra le Sezioni 1 e 2, tenendo conto che 0 , in quanto che il boccaglio sbocca in

p 2

atmosfera. Così facendo si ottiene: 11

Prof.G.Porta 30 Aprile 2013

Ing. G. Messa

2 2

γ

+

p a v v

α α

1 1 2

+ =

1 2

γ 2 2

g g

L’equazione di continuità impone che:    

2 2 2

D d D

π π

= = → = → =

   

Q v A v A v v v v

1 1 2 2 1 2 2 1 2

4 4

    d

α α

e, dunque, se si impongono pari all’unità i coefficienti di ragguaglio e , la velocità media

1 2

risulta uguale a:

nella sezione di imbocco v

1  

2 2

   

2 2

2 2

γ

+

p a v v p

1 D D

 

1 1 1 1

+ = → − = +

   

1

v a

1 2 2

γ γ

 

2 2 2

   

g g d g d

 

0.5

  0.5

 

 

  5

2.7 10 Pa

 

p  

2

⋅ +

1

+ 2 9.81 m/s 1 m

 

2 g a

 

  3

 

 

γ 9806 N/m

   

   

→ = = = 2.32 m/s

v

1    

2 4

   

   

2 0.3 m

D

   

1  

1  

   

 

2  

0.1 m

 

 

d  

 

 

 

 

per cui quella nella sezione di sbocco e la portata sono pari a:

v Q

2 2

 

2 0.3 m

D

= = =

2.32 m/s 20.88 m/s

v v  

2 1 2  

0.1 m

d  

2

( )

 

2 0.3 m

D   3

π π

= =

 

Q= 2.32 m/s 0.164 m /s

v 1  

4 4

   

Π

è diretta orizzontalmente, e dunque è pari a:

La Π 1, x

1  

2

( )

0.3 m

( )  

3 5 π

Π = = ⋅ + ⋅ =

9806 N/m 1 m 2.7 10 Pa 19778 N

A p

1, 1 0,1

x  

4

 

= M M

La è nulla in quanto 0 . Il vettore è diretto orizzontalmente, e la sua componente

p

Π 1 2

2

2

in direzione è data da:

x 12

Prof.G.Porta 30 Aprile 2013

Ing. G. Messa

( )

ρ

− = − =

M M Q v v

1, 2, 1 2

x x 3

9806 N/m ( )

3

= ⋅ ⋅ − = −

0.164 m /s 2.32 m/s 20.88 m/s 3043 N

3

9.81 m/s

cercato è dunque pari a:

Il valore S x = Π + Π + − = 16734 N

S M M

1, 2, 1, 2,

x x x x x

Esercizio 6

Dalla sezione terminale del tubo della Figura sottostante che ha il proprio asse in un piano

3

γ

= =

orizzontale, defluisce una portata 12 l/s ; sapendo che , valutare la coppia

Q 9806 N/m M

necessaria affinchè il dispositivo non ruoti intorno all’asse verticale di traccia O. Si sappia inoltre

α , , , .

che = = = =

60° 0.10 m 0.3 m 1.0 m

D a L

SOLUZIONE:

In questo caso viene ipotizzato che il liquido si comporti come fluido perfetto in quanto il tratto in

esame è molto breve. Dato che la condotta sbocca in atmosfera, e l’unica forza che

Π = 0

2

genera momento nel piano orizzontale è il flusso di quantità di moto . Il momento (orario)

− M 2

esercitato dalla è il prodotto tra il suo modulo :

− −

M M

2 2 2

( )

3

0.012 m /s

2 3

9806 N/m

Q

ρ ρ

− = = = ⋅ = 18.3 N

M Qv

2   2

2

2 ( )

9.81 m/s

D 0.10 m

π

  π

4

  4

e il braccio , pari a:

b 13

Prof.G.Porta 30 Aprile 2013

Ing. G. Messa

 

3 3

( )  

α α

= − = − =

cot sin 1.0 m 0.3 m 0.85 m

b L a  

3 2

 

Per equilibrare il sistema, è necessario applicare dunque una coppia antioraria pari a:

M

= − = ⋅

15.5 N m

M M b

2 14

Prof. G. Porta 24 Maggio 2013

Ing. G. Messa

Corso di Idraulica

ESERCITAZIONE 6

DINAMICA (FLUIDI REALI)

Esercizio 1

Essendo noti , , , , , ,

= = = = =

=

50 m 60 m 40 m 0.3 m 0.1 m

z L L D D

60 L/s

Q 1 2 1 2

m

− − 3

5 6 2 ρ

ε ν e

, , determinare il livello del serbatoio di valle e

=

= = 1000 kg/m

10 m 10 m /s

tracciare l’andamento qualitativo delle linee dei carichi totali e piezometrica.

SOLUZIONE:

L’applicazione del teorema di Bernoulli esteso alle correnti tra i due serbatoi impone che:

= + ∆ + + ∆ + + ∆

z z H J L H J L H

− − −

1 1 1 1 2 2 2 2

M V M V

→ = − ∆ − − ∆ − − ∆

z z H J L H J L H

− − −

1 1 1 1 2 2 2 2

V M M V

Si calcolano ora i vari termini:

1

Prof. G. Porta 24 Maggio 2013

Ing. G. Messa

• è la perdita localizzata dovuta al brusco imbocco della corrente dal serbatoio alla

H M

1

M 1 :

condotta 1, e vale −

2

 

2 2 2

V D Q

1 1

π

∆ = = =

 

0.5 0.5 0.0184 m

H −

1

M 2 4 2

g g

 

• è la perdita localizzata dovuta al brusco restringimento tra le condotte 1 e 2:

H −

1 2 − 2

 

2 2 2

V D Q

2 2

π

∆ = = =

 

0.5 0.5 1.487 m

H −

1 2 2 4 2

g g

 

• Le perdite distribuite e dipendono dal regime di moto, a sua volta legato al

J L J L

1 1 2 2

numero di Reynolds e alla scabrezza. Essendo nota la portata, è possibile immediatamente

determinare il regime di moto per il caso in esame.

1

 

2 ε

V D D D −

5

π

1 1 1 1

= = = = ⋅

 

Re 254648 3.3 10

Q

1 ν ν

4 D

  1

1

 

2 ε

V D D D −

4

2 2 2 2

π

= = = = ⋅

 

Re 763944 1.0 10

Q

2 ν ν

4 D

  2

L’abaco di Moody indica che in entrambe le tubazioni il regime di moto è quello turbolento

di transizione in entrabe le condotte. Di conseguenza, la cadente piezometrica va calolata

mediante le equazioni di Darcy-Weisbach e Colebrook-White:

 

2 2 ε

16 1 2.51 1

V Q  

λ λ

= = = − +

2log

J  

10

i i i 2 5

π λ λ

2 2 3.71

gD g D D

Re

 

i i i

i i i

L’equazione di Colebrook-White è però implicita e quindi va risolta iterativamente: si

λ '

ipotizza un valore che va sostituito nel membro di destra, e quindi consente di

i

λ λ λ λ λ

≈ =

" " ' "

determinare al membro di sinistra. Se allora , altrimneti reitero il

i i i i i

λ λ

=

' "

processo ponendo fino al raggiungimento della convergenza.

i i

Dai calcoli si ottiene: λ = =

0.015 0.096 m

J L

1 1 1

λ = =

0.014 16.308 m

J L

2 2 2

1 Si assume da ora in avanti la convenzione che il coefficiente di ragguaglio delle potenze cinetiche non

α

compaia esplicitamente nelle perdite di brusco imbocco, brusco allargamento e diffusore. Tali relazioni

sono infatti ricavate per il caso di moto turbolento (α=1), di maggiore interesse per le appicazioni di

riferimento, e la validità è solo assunta nel caso laminare. Nel caso di brusco sbocco la perdita di carico è

sicuramente pari all’altezza cinetica (che include il coefficiente di ragguaglio per tutti i regimi di moto.

α)

2

Prof. G. Porta 24 Maggio 2013

Ing. G. Messa

• è la perdita localizzata dovuta al brusco sbocco nel serbatoio di valle pari

H V,

2 V

all’altezza cinetica della corrente nella tubazione: −

2

 

2 2 2

V D Q

2 2

α α π

∆ = = =

  2.975 m

H −

2 2 2

V 2 4 2

g g

  α = 1

Avendo dimostrato che il regime di moto è turbolento di transizione, si è potuto porre .

2

≈ 29.1 m

Sostituendo tutti i valori trovati nel teorema di Bernoulli, si ottiene z V

Le linee dei carichi totali e piezometrica sono mostrate nella figura sottostante.

Esercizio 2

Essendo noti , , , , , ,

= = = = = =

50 m 20 m 60 m 40 m 0.3 m 0.1 m

z z L L D D

m v 1 2 1 2

− − 3

5 6 2 ρ

ε ν e

, , determinare la portata defluente nel sistema e

=

= = 1000 kg/m

10 m 10 m /s

tracciare l’andamento qualitativo delle linee dei carichi totali e piezometrica.

3

Prof. G. Porta 24 Maggio 2013

Ing. G. Messa

SOLUZIONE:

L’applicazione del teorema di Bernoulli esteso alle correnti tra i due serbatoi impone che:

= + ∆ + + ∆ + + ∆

z z H J L H J L H

− − −

1 1 1 1 2 2 2 2

M V M V

Si esprimono ora i vari termini in funzione della portata incognita Q:

• è la perdita localizzata dovuta al brusco imbocco della corrente dal serbatoio alla

H M

1

M

condotta 1, e vale: − 2

 

2 2 2

V D Q

1 1

π

∆ = =  

0.5 0.5

H −

1

M 2 4 2

g g

 

• è la perdita localizzata dovuta al brusco restringimento tra le condotte 1 e 2:

H −

1 2 − 2

 

2 2 2

V D Q

2 2

π

∆ = =  

0.5 0.5

H −

1 2 2 4 2

g g

 

• è la perdita localizzata dovuta al brusco sbocco nel serbatoio di valle pari

H V,

2 V

all’altezza cinetica della corrente nella tubazione: −

2

 

2 2 2

V D Q

2 2

α α π

∆ = =  

H −

2 2 2

V 2 4 2

g g

 

Le perdite distribuite e dipendono dal regime di moto. Non conoscendo però la

J L J L

1 1 2 2

portata, non è possibile calcolare il numero di Reynolds e quindi determinare a priori il regime di

moto. E’ dunque necessario procedere a tentativi, facendo delle ipotesi che in seguito andranno

verificate.

1° IPOTESI: MOTO LAMINARE α

L’ipotesi di regime laminare implica che . Inoltre, applicando la formula di Poiseuille, le

= 2

2

due cadenti risultano pari a (con i=1,2):

2 2 2

ν ν

V V V

64 64 128 Q

i i i

λ

= = = =

J i i 4

π

2 Re 2 2

gD gD V D gD g D

i i i i i i i

Sostituendo i vari termini nel bilancio energetico espresso dal teorema di Bernoulli, si ottiene

un’equazione di secondo grado nell’incognita :

Q

( ) ( )

2

+ + + − = → =

5.1 2066.51 0.03 1.66 30 0 120 L/s

Q Q Q

Calcolo dunque i numeri di Reynolds:

4

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Ing. G. Messa

1

 

2 ε

V D D D −

5

1 1 1 1

π

= = = = ⋅

 

Re 509003 3.3 10

Q

1 ν ν

4 D

  1

1

 

2 ε

V D D D −

4

2 2 2 2

π

= = = = ⋅

 

Re 1527009 1.0 10

Q

2 ν ν

4 D

  2

che, tenendo conto delle scabrezze relative e in base all’abaco di Moody, indicano moto

turbolento di transizione l’ipotesi di moto laminare non è dunque verificata.

2° IPOTESI: MOTO ASSOLUTAMENTE TURBOLENTO

α

Il coefficiente di ragguaglio si assume unitario, e la cadente viene valutata combinando le

2

equazioni di Darcy-Weisbach e di Prandtl per tubi scabri (con i=1,2):

 

2 2 ε

16 1 1

V Q

λ λ

= = = −  

2 log

J 10

i i i 2 5

π λ

2 2 3.71

gD g D D

 

i i i

i

λ λ λ

per cui non dipende dall’incognita e risulta: e . Sostituendo i

= =

0.00982 0.01197

Q

i 1 2

vari termini nel bilancio energetico espresso dal teorema di Bernoulli, si ottiene di nuovo

un’equazione di secondo grado nell’incognita :

Q

( ) 2

+ + + − = → =

5.1 1239.91 0.0835 24.744 30 0 153.7 L/s

Q Q

Calcolo dunque i numeri di Reynolds: −

1

 

2 ε

V D D D −

5

1 1 1 1

π

= = = = ⋅

 

Re 652342 3.3 10

Q

1 ν ν

4 D

  1

1

 

2 ε

V D D D −

6 4

2 2 2 2

π

= = ≈ ⋅ = ⋅

 

Re 2 10 1.0 10

Q

2 ν ν

4 D

  2

che, tenendo conto delle scabrezze relative e in base all’abaco di Moody, corrispondono entrambe

a moto turbolento di transizione l’ipotesi di moto assolutamente turbolento non è dunque

verificata.

3° IPOTESI: MOTO TURBOLENTO DI TRANSIZIONE

5

Prof. G. Porta 24 Maggio 2013

Ing. G. Messa

α

Si assume unitario il coefficiente di ragguaglio , e la cadente viene valutata combinando le

2

equazioni di Darcy-Weisbach e di Colebrook-White (con i=1,2):

 

2 2 ε

16 1 2.51 1

V Q  

λ λ

= = = − +

2log

J  

10

i i i 2 5

π λ λ

2 2 3.71

gD g D D

Re

 

i i i

i i i

λ

Siccome dipende in maniera non esplicita da , bisogna procedere in modo iterativo. Si

Q

i Re

e si calcolano i valori di ; a questo punto si risolve

ipotizza dunque una portata '

Q i

λ

iterativamente l’equazione di Colebrook-White determinando (come descritto nell’esercizio

i

precedente) e quindi si valuta dall’equazione di Darcy-Weisbach. Si risolve dunque il teorema

J i da confrontare con : se questa è la portata

di Bernoulli determinando una portata ≈

" ' " '

Q Q Q Q

trovata, e quindi si può verificare l’ipotesi sul regime di moto; altrimenti, si ripete il procedimento

partendo dalla . Di solito, la portata di primo tentativo è il valore ottenuto facendo

Q

"

Q ∞

l’ipotesi di regime assolutamente turbolento. Il diagramma di flusso associato al processo è

riportato alla pagina precedente.

=

Dai conti si ottiene 150 L/s per cui i numeri di Reynolds sono:

Q −

1

 

2 ε

V D D D −

5

1 1 1 1

π

= = = = ⋅

 

Re 651899 3.3 10

Q

1 ν ν

4 D

  1

1

 

2 ε

V D D D −

6 4

2 2 2 2

π

= = ≈ ⋅ = ⋅

 

Re 2 10 1.0 10

Q

2 ν ν

4 D

  2

che, tenendo conto delle scabrezze relative e in base all’abaco di Moody, corrispondono entrambe

a moto turbolento di transizione l’ipotesi sul regime di moto è dunque verificata.

L’andamento qualitativo delle linee dei carichi totali e piezometrica è quello riportato

nell’esercizio precedente.

6

Prof. G. Porta 24 Maggio 2013

Ing. G. Messa

Esercizio 3 (Tema d’esame 01/02/11)

Individuare l’indicazione del manometro metallico, collegato alla parte superiore del

p n

recipiente indicato, affinché fuoriesca, a regime, la portata . Sono note: tutta la geometria; le

Q

; il diametro ; la scabrezza della condotta.

caratteristiche dei due liquidi; la lunghezza ε

L D

Tracciare la linea dei carichi totali e la piezometrica. Valutare la massima quota raggiunta dal

getto.

7

Prof. G. Porta 31 Maggio 2013

Ing. G. Messa

Corso di Idraulica

ESERCITAZIONE 7

DINAMICA (FLUIDI REALI)

Esercizio 1 − 3

4 γ

ε

Essendo noti , , , , , ,

=

=

= = = = 9806 kg/m

10 m

250 m 0.2 m 0.3 m 3 m

L D D L

1 1 2 5

− 3

6 2 γ

ν e , e , si determinino:

∆ = =

=

= 0.03 m 0.3

m

20000 N/m

10 m /s m

a) la portata circolante Q

b) il dislivello tra i due serbatoi

= −

Y z z

M V

Si tracci infine l’andamento qualitativo delle linee dei carichi totali e piezometrica.

SOLUZIONE:

1

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Ing. G. Messa

a) L’applicazione del teorema di Bernoulli esteso alle correnti tra i due punti A e B in

corrispondenza dei menischi del manometro differenziale impone che:

2 2

p V p V

A A B B

α α

+ + = + + +

z z JL 5

A B

γ γ

2 2

g g

Tenendo conto che sia le quote geodetiche sia le altezze cinetiche sono uguali in A e B, la

relazione precedente si semplifica in:

p p p p

A B A B

= + → = −

JL JL

5 5

γ γ γ γ

Inoltre: ( ) ( )

γ γ γ γ γ

= + + ∆ = + + ∆ → − = − ∆

p p h p h p p

M A B m A B m

da cui: ( )

γ γ

− ∆

p p

1 1 m

A B

= = = 0.01040

J γ γ

L L

5 5

Il legame tra la cadente e la portata dipende dal regime di moto che dipende dal numero di

Reynolds, a sua volta funzione della portata incognita. Devo quindi usare un procedimento

iterativo.

Ipotizzo che il regime di moto sia assolutamente turbolento, quindi la cadente si ottiene

combinando le equazioni di Darcy-Weisbach e di Prandtl per tubi scabri:

 

2 ε

V 1 1

1

λ

= = −  

2log

J 10

λ

2 3.71

gD D

 

1 1

e quindi ( ). Il numero di

Nel caso in esame risulta = =

1.564 m/s

V

λ 49 L/s

Q

= 0 .0 1 6 7 1

ν

Reynolds è dunque che, con ad una scabrezza relativa

= =

Re / 312685

V D

1 1

− 4

ε , in base all’abaco di Moody è associato ad un regime turbolento di

= ⋅

/ 5 10

D 1

transizione. L’ipotesi sul regime di moto non è dunque verificata.

Ipotizzo dunque un regime turbolento di transizione, in cui la cadente viene calcolata

mediante le equazioni di Darcy Weisbach e Colebrook-White:

 

2 ε

V 1 2.51 1

 

1

λ

= = − +

2 log

J  

10

λ λ

2 3.71

gD D

Re

 

1 1

1 Re

Esplicitando l’equazione di Darcy Weisbach rispetto al numero di Reynolds si ottiene:

1

2

Prof. G. Porta 31 Maggio 2013

Ing. G. Messa

2

( ) 3

λ ν

2 Re 2 gD J

V 1 1 1 1

1

λ λ

= = → = =

Re 40403

J 1 1 1 1

3 ν

2 2

gD gD

1 1

A questo punto, l’equazione di Colebrook-White non è più implicita, e quindi è

λ che risulta pari a 0.0182. Il numero di Reynolds e

immediatamente possibile determinare 1

la scabrezza relativa del tratto in esame sono pari a: ε

40403 −

4

= = = ⋅

Re 300000 5 10

1 λ D

1

1

e pertanto, sulla base dell’abaco di Moody l’ipotesi di moto turbolento di transizione è

e quindi

verificata. Dall’equazione di Darcy-Weisbach è ora possibile calcolare la velocità V

1

la portata che risulta pari a 47 L/s.

Q

1

b) Applicando l’estensione del teorema di Bernoulli alle correnti tra i due serbatoi si ottiene:

= + ∆ + + ∆ + ∆ → = ∆ + + ∆ + ∆

z z H JL H H Y H JL H H

− − − −

1 1 1 1

A B A DIFF DIFF B A DIFF DIFF B

Si calcolano ora i vari termini:

• è la perdita localizzata dovuta all’immissione nella tubazione. Dato che l’imbocco

H −

1

A

è ben raccordato, essa risulta trascurabile;

• la perdita distribuita all’interno della condotta. Dato che la cadente è già nota, è

JL

1

possibile calcolare direttamente questo termine, che vale 2.60 m;

• è la perdita nel diffusore, valutabile mediante la formula di Gibson:

H DIFF  

− −

1 1

2

( )    

2 2

V V m D D

 

1 2 2 1 2

π π

∆ = = − =

    0.01 m

H m Q

DIFF  

2 2 4 4

g g    

 

• ∆ è la perdita di sbocco, che vale:

H −

DIFF B 2

V 2

α α

∆ = = =

0.03 m con 1

H − 2 2

DIFF B 2 g

=

da cui si ottiene .

2.64 m

Y

L’andamento qualitativo delle linee dei carichi totali e piezometrica sono mostrate nella figura

alla pagina seguente.

3

Prof. G. Porta 31 Maggio 2013

Ing. G. Messa

Esercizio 2 3

ρ η

Essendo noti , , , , , ,

=

= = =

= =

1000 kg/m

150 m 25 m 0.8

z z 500 m 0.3 m

L D

m v T

− −

5 6 2

ε ν

, e , determinare il salto utile della turbina e la

= = ∆

= 10 m 10 m /s H

50 L/s

Q T

potenza effettivamente ritraibile dalla macchina . Tracciare quindi l’andamento qualitativo

W e

delle linee dei carichi totali e piezometrica.

SOLUZIONE:

L’applicazione del teorema di Bernoulli esteso alle correnti tra i due serbatoi impone che:

= + ∆ + + ∆ + ∆

z z H JL H H

imb sb

M V T

→ ∆ = − − ∆ − − ∆

H z z H JL H

imb sb

T M V

Si calcolano ora i vari termini:

• è la perdita localizzata dovuta al brusco imbocco della corrente dal serbatoio alla

H M

imm

condotta, e vale: − 2

 

2 2 2

V D Q

π

∆ = = =

 

0.5 0.5 0.013 m

H imm 2 4 2

 

g g

4

Prof. G. Porta 31 Maggio 2013

Ing. G. Messa

• La perdita distribuita dipende dal regime di moto, a sua volta legato al numero di

JL

Reynolds e alla scabrezza. Essendo nota la portata, è possibile immediatamente determinare il

regime di moto per il caso in esame. −

1

 

2 ε

VD D −

5

π

= = = = ⋅

 

Re 212000 3.3 10

Q

ν 4 D

 

L’abaco di Moody indica che in entrambe le tubazioni il regime di moto è quello turbolento

di transizione in entrabe le condotte. Di conseguenza, la cadente piezometrica va calolata

mediante le equazioni di Darcy-Weisbach e Colebrook-White:

 

2 2 ε

16 1 2.51 1

V Q

λ λ

= = = − +

2 log

J  

10

2 5

π  

λ λ

2 2 3.71

gD g D D

Re

L’equazione di Colebrook-White è però implicita e quindi va risolta iterativamente come

λ = =

descritto nell’Esercitazione 6. Dai calcoli si ottiene e quindi .

0.0157 0.655 m

JL

• è la perdita localizzata dovuta al brusco sbocco nel serbatoio di valle. Avendo

H sb α =

verificato che il regime di moto è quello turbolento di transizione risulta , e quindi:

1

− 2

 

2 2 2

V D Q

π

∆ = = =

  0.026 m

H sb 2 4 2

 

g g ∆ ≈ 124 m

Sostituendo tutti i valori trovati nel teorema di Bernoulli, si ottiene .

H T

La potenza ceduta dalla corrente alla macchina è:

ρ

= ∆ = 60.8 kW

W g H Q

t T

e quindi quella effettiva è: η

= = 48.7 kW

W W

e T t

Le linee dei carichi totali e piezometrica sono mostrate nella figura sottostante.

5

Prof. G. Porta 4 Giugno 2013

Ing. G. Messa

Corso di Idraulica

ESERCITAZIONE 8

DINAMICA (FLUIDI REALI)

Esercizio 1 ∆ =

Essendo noti , , , , ,

= = = = = =

0.1 m

20 m 30 m 0.1 m 0.3 m

z z D D D D

1 3 2 4

A B − 4

ε =

, , , , , ,

10 m 3 3

= = = = = γ γ

20 m 20 m 2 m

L L L L L = =

25000 N/m 9806 N /m

1 2 3 4 5 m

− 6 2

ν = =

, , determinare le portate e e la potenza effettiva della pompa .

10 m /s 0.35

m Q Q W

1 2 e

SOLUZIONE:

1

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Ing. G. Messa

La posizione dei menischi del manometro differenziale indicano che la portata scorre dal

Q 1

serbatoio A verso quello B.

L’applicazione del teorema di Bernoulli esteso alle correnti tra i due punti M e N in

corrispondenza dei menischi del manometro differenziale impone che:

2

2

p V p V

M M N N

α α

+ + = + + +

z z J L

1 5

M N

γ γ

2 2

g g

Tenendo conto che sia le quote geodetiche sia le altezze cinetiche sono uguali in M e N, la

relazione precedente si semplifica in: p p

p p

M N M N

= + → = −

J L J L

1 5 1 5

γ γ γ γ

Inoltre: ( ) ( )

γ γ γ γ γ

= + + ∆ = + + ∆ → − = − ∆

p p h p h p p

O M N m M N m

da cui: ( )

γ γ

− ∆

p p

1 1 m

M N

= = = 0.0775

J 1 γ γ

L L

5 5

Il legame tra la cadente e la portata dipende dal regime di moto che dipende dal numero di

Reynolds, a sua volta funzione della portata incognita. Devo quindi usare un procedimento

iterativo.

Ipotizzo un regime turbolento di transizione, per cui la cadente si ottiene combinando le

equazioni di Darcy Weisbach e Colebrook-White:  

2 ε

V 1 2.51 1

 

1

λ

= = − +

2log

J  

1 1 10

λ λ

2 3.71

gD D

Re

 

1 1

1 1 1

Esplicitando l’equazione di Darcy Weisbach rispetto al numero di Reynolds si ottiene:

Re 1

2

( ) 3

λ ν

2 Re 2 gD J

V 1 1 1 1

1

λ λ

= = → = =

Re 38994

J 1 1 1 1

3 ν

2 2

gD gD

1 1

A questo punto, l’equazione di Colebrook-White non è più implicita, e quindi è immediatamente

λ

possibile determinare che risulta pari a 0.0207. Il numero di Reynolds e la scabrezza relativa

1

del tratto in esame sono pari a:

2

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Ing. G. Messa

ε

38994 −

3

= = =

Re 270000 10

1 λ D

1

1

e pertanto, sulla base dell’abaco di Moody l’ipotesi di moto turbolento di transizione è verificata.

Dall’equazione di Darcy-Weisbach è ora possibile calcolare la velocità e quindi la portata

V Q

1 1

che risulta pari a 21 L/s.

L’applicazione del teorema di Bernoulli esteso alle correnti applicato alla corrente inferiore tra il

serbatoio di monte A e quello di valle B impone che:

= + ∆ + − ∆ + + ∆ + ∆

z z H J L H J L H H

− −

1 1 1 2 2 diff diff

A B A P B

→ ∆ = − + ∆ + + + ∆ + ∆

H z z H J L J L H H

− −

1 1 1 2 2 diff diff

P B A A B

Si calcolano ora i vari termini:

• è la perdita localizzata dovuta al brusco imbocco della corrente dal serbatoio alla

M

∆ H − 1

A

condotta 1, e vale −

2

 

2 2 2

V D Q

π

1 1 1

∆ = = =

 

0.5 0.5 0.374 m

H −

1

A 2 4 2

g g

 

• è la perdita distribuita nel tratto 1. A partire dal valore di precedentemente calcolato,

J L J

1 1 1

risulta: = 1.55 m

J L

1 1

• è la perdita distribuita nel tratto 2. Essendo il diametro di tale tratto pari a , la

J L D

2 2 1

cadente piezometrica nei tratti 1 e 2 sarà la stessa. Pertanto:

= = 1.55 m

J L J L

2 2 1 2

• è la perdita nel diffusore, valutabile mediante la formula di Gibson:

∆ H DIFF  

− −

1 1

2

( )    

2 2

V V D D

m  

1 2 2 π π

1 2

∆ = = − =

    0.104 m

H m Q

diff 1  

2 2 4 4

g g    

 

• è la perdita localizzata dovuta al brusco sbocco nel serbatoio di valle. Il numero di

∆ H −

diff B ν

Reynolds all’uscita del diffusore è che indica moto turbolento. Pertanto, il

=

/ 90000

D V

2 2

coefficiente di ragguaglio delle potenze in tale sezione può essere assunto unitario. Di

conseguenza:

3

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Ing. G. Messa

2

 

2 2 2

V D Q

π

2 2 1

∆ = = =

  0.005 m

H −

diff B 2 4 2

g g

  .

Sostituendo tutti i valori trovati nel teorema di Bernoulli, si ottiene ∆ ≈ 13.39 m

H P

La potenza che deve essere ceduta al liquido è:

ρ

= ∆ = 2.76 kW

W g H Q

t P

e quindi la potenza effettiva della pompa è: W t

= = 3.94 kW

W e η P

L’andamento qualitativo delle linee dei carichi totali e piezometrica per la corrente inferiore sono

mostrate nella figura sottostante.

In assenza di pompe, i livelli dei due serbatoi indicano che la corrente superiore va da B ad A.

L’applicazione del teorema di Bernoulli esteso alle correnti applicato alla corrente superiore tra il

serbatoio di monte B e quello di valle A impone che:

= + ∆ + + ∆ + + ∆

z z H J L H J L H

− − −

4 4 4 4 3 3 3 3

B A B A

Si esprimono ora i vari termini in funzione della portata incognita :

Q 2

• è la perdita localizzata dovuta al brusco imbocco della corrente dal serbatoio alla

B

∆ H − 4

B

condotta 4, e vale: −

2

 

2 2 2

V D Q

π

4 4 2

∆ = =  

0.5 0.5

H − 4

B 2 4 2

g g

 

4

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Ing. G. Messa

• è la perdita localizzata dovuta al brusco restringimento della condotta tra le sezioni 4

∆ H −

4 3 vale:

e 3. Essendo > 2

D D

4 3 −

2

 

2 2 2

V D Q

3 3

π 2

∆ = =  

0.5 0.5

H −

4 3 2 4 2

g g

 

• è la perdita localizzata dovuta al brusco sbocco della corrente nel serbatoio A, pari

∆ H −

3 A

all’altezza cinetica: −

2

 

2 2 2

V D Q

3 3

α α π 2

∆ = =  

H −

3 3 3

A 2 4 2

g g

  α

Le perdite distribuite e , come il coefficiente di ragguaglio , dipendono dal regime

J L J L

3 3 4 4 3

di moto. Non conoscendo però la portata, non è possibile calcolare il numero di Reynolds e

quindi determinare a priori il regime di moto. E’ dunque necessario procedere a tentativi, facendo

delle ipotesi che in seguito andranno verificate. α

Ipotizzo regime turbolento di transizione, per cui il coefficiente di ragguaglio è unitario e la

3

cadente viene valutata combinando le equazioni di Darcy-Weisbach e di Colebrook-White (con

i=3,4):  

2

2 ε

16

Q 1 2.51 1

V  

2

λ λ

= = = − +

2log

J  

10

i i i 2 5

π λ λ

2 2 3.71

gD g D D

Re

 

i i i

i i i

λ

Siccome dipende in maniera non esplicita da , bisogna procedere in modo iterativo

Q 2

i =

seguendo il procedimento descritto nell’Esercitazione 6. Dai conti si ottiene per cui i

46 L/s

Q

numeri di Reynolds sono: − 1

 

2 ε

V D D D − 3

3 3 3 3

π

= = = = ⋅

 

Re 580000 1.0 10

Q

3 ν ν

4 D

  3

− 1

 

2 ε

V D D D − 4

4 4 4 4

π

= = = = ⋅

 

Re 290000 3.3 10

Q

4 ν ν

4 D

  4

che, tenendo conto delle scabrezze relative e in base all’abaco di Moody, corrispondono entrambe

a moto turbolento di transizione l’ipotesi sul regime di moto è dunque verificata.

L’andamento qualitativo delle linee dei carichi totali e piezometrica per la corrente superiore sono

mostrate nella figura sottostante.

5

Prof. G. Porta 4 Giugno 2013

Ing. G. Messa

Esercizio 2 =

Essendo noti , , , , , ,

= = = = =

1 bar

n

10 m 20 m 0.2 m 0.3 m 20 m

z z D D L

1 2 1

A C − 6 2

ν =

− − η

, , , , , , ,

10 m /s

3 4 3

= = =

ε ε γ

200 m 5 m 0.75

L L = = =

10 m 10 m 9806 kg/m

2 3 P

1 2

, si determinino la portata circolante , potenza effettiva della

2 3 Q

∆ = − +

[m] 15 [m /s] 21

H Q

P

pompa e il livello del serbatoio di destra . E’ infine noto che il verso della portata, diretta

W z

e B

dal serbatoio A verso il serbatoio C.

SOLUZIONE:

L’applicazione del teorema di Bernoulli esteso alle correnti tra il serbatoio A e il serbatoio C

impone che: n

= + + ∆ + − ∆ + + ∆

z z H J L H J L H

− −

1 1 1 1 3 3

A C A P C

γ

6

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Ing. G. Messa

Si esprimono ora i vari termini in funzione della portata incognita :

Q

• è la perdita localizzata dovuta al brusco imbocco della corrente dal serbatoio alla

A

∆ H −

1

A

condotta 1, e vale: −

2

 

2 2 2

V D Q

π

1 1

∆ = =  

0.5 0.5

H −

1

A 2 4 2

g g

 

• è la perdita localizzata dovuta al brusco sbocco della corrente nel serbatoio C, pari

∆ H −

3 C

all’altezza cinetica: −

2

 

2 2 2

V D Q

α α π

1 1

∆ = =  

H −

3 1 3

C 2 4 2

g g

 

1 α

e , come il coefficiente di ragguaglio , dipendono dal regime

Le perdite distribuite J L J L

1 1 1 3 3

di moto. Non conoscendo però la portata, non è possibile calcolare il numero di Reynolds e

quindi determinare a priori il regime di moto. E’ dunque necessario procedere a tentativi, facendo

delle ipotesi che in seguito andranno verificate. α

Ipotizzo un regime assolutamente turbolento, per cui il coefficiente di ragguaglio è unitario e

3

la cadente viene valutata combinando le equazioni di Darcy-Weisbach e di Prandtl per tubi scabri:

 

2 2 ε

V 16 1 1

Q

1 1

λ λ

= = = −  

2 log

J 1 1 1 10

2 5

π λ

2 2 3.71

gD g D D

 

1 1 1

1

λ non dipende dall’incognita e risulta pari a 0.0303. Sostituendo i vari termini nel

per cui Q

1

bilancio energetico espresso dal teorema di Bernoulli, ed esprimendo la prevalenza della pompa

in funzione della portata tramite la relazione , si ottiene

2

∆ H ∆ = − +

15 21

H Q

Q

P P

un’equazione di secondo grado nell’incognita che, risolta, fornisce .

3

= 0.053 m /s

Q

Q

Il numero di Reynolds e la scabrezza relativa sono dunque:

− 1

 

2 ε

V D D D −

3

π

1 1 1 1

= = = = ⋅

 

Re 340000 5.0 10

Q

1 ν ν

4 D

  3

Tali valori, in base all’abaco di Moody, confermano l’ipotesi sul regime di moto.

La prevalenza della pompa è dunque: 2

∆ = − + =

15 21 20.96 m

H Q

P

La potenza che deve essere ceduta al liquido è:

1 Si osservi che, dato che i tratti 1 e 3 hanno lo stesso diametro, la stessa scabrezza, e sono soggetti al

transito della medesima portata, risulta =J .

J 3 1

7

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Ing. G. Messa

γ

= ∆ = 10.84 kW

W H Q

t P

e quindi la potenza effettiva della pompa è: W t

= = 14.45 kW

W e η P

Essendo il serbatoio C di capacità finita, la portata che defluisce nel tratto 2 è uguale alla Q

appena determinata che defluisce nei tratti 1 e 3. L’applicazione del teorema di Bernoulli esteso

alle correnti tra il serbatoio C e il serbatoio B impone che:

n

+ = + ∆ + + ∆

z z H J L H

− −

2 2 2 2

C B C B

γ

Si calcolano ora i vari termini:

• è la perdita localizzata dovuta all’immissione nella tubazione. Dato che l’imbocco è

∆ H − 2

C

ben raccordato, essa risulta trascurabile;

• la perdita distribuita all’interno della condotta. Dato che la portata è nota, Essendo nota

J L

2 2

la portata, è possibile immediatamente determinare il regime di moto per il caso in esame. Il

numero di Reynolds e la scabrezza relativa sono:

1

 

2 ε

V D D D −

4

2 2 2 2 2

π

= = = = ⋅

 

Re 225000 3.3 10

Q

2 ν ν

4 D

  2

L’abaco di Moody indica che in entrambe le tubazioni il regime di moto è quello turbolento

di transizione. Di conseguenza, la cadente piezometrica va calolata mediante le equazioni di

Darcy-Weisbach e Colebrook-White:  

2 2 ε

V 16 1 2.51 1

Q  

2 2

λ λ

= = = − +

2log

J  

2 2 2 10

2 5

π λ λ

2 2 3.71

gD g D D

Re

 

2 2 2

2 2 2

Risolvendo iterativamente l’equazione di Colebrook-White come descritto nell’Equazione 6

λ

si ottiene , da cui .

= =

0.0177 0.0017

J

2 2

• è la perdita di sbocco. Sapendo che il regime di moto è quello turbolento di

∆ H −

2 B

transizione, il coefficiente di ragguaglio delle potenze cinetiche è unitario, per cui:

2

V 2

α α

∆ = = =

0.03 m con 1

H −

2 2 2

B 2 g

Sostituendo tutti i valori trovati nel teorema di Bernoulli, si ottiene .

= 29.83 m

z B

8

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L’andamento qualitativo delle linee dei carichi totali e piezometrica sono mostrate nella figura

alla pagina seguente.

Esercizio 3

Sul fondo del serbatoio indicato in Figura, contenente acqua fino ad un altezza , è

= 1.10 m

h

1

=

praticata una luce in parete sottile avente diametro . Calcolare a quale distanza dalla

0.02 m

D

=

luce il getto ha un diametro . Si assumano rispettivamente pari a 0.61 e 1.0 il

0.012 m

d

quello di velocità (dissipazioni completamente trascurabili). Si

coefficiente di contrazione C C

c v

supponga che la sezione contratta si realizzi ad una distanza pari a sotto il foro.

0.5D

9

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Ing. G. Messa

SOLUZIONE:

Nella sezione contratta le traiettorie sono rettilinee e parallele, per cui è possibile applicare il

teorema di Bernoulli alla traiettoria 1-C che parte da un punto 1 in quiete e giunge ad un punto C

che compare è

della sezione contratta. Essendo il coefficiente di velocità unitario, la velocità v C

= in corrispondenza della Sezione contratta, si ottiene:

già quella effettiva. Ponendo 0

z 2 2  

p v v

1 1

1 C C

+ = → + = → = +

2

z h D v g h D

 

1 1 1

C  

γ 2 2 2 2

g g

Qualunque sia il punto C di passaggio, tutte le particelle uscenti avranno una velocità in

v c

corrispondenza della sezione contratta. Pertanto, la velocità media della corrente nella sezione

contratta (denominata ) sarà pari a . La portata effluente è dunque:

V v

C c

     

2 2 1

D D

π π

= = +

    2

Q C V C g h D

 

1

C C C  

4 4 2

   

Anche nella Sezione 2 le traiettorie sono rettilinee e parallele. Applicando dunque il teorema di

Bernoulli alla traiettoria 1-2 che parte da un punto 1 in quiete e giunge ad un punto 2 della

= in corrispondenza della Sezione 2), si ottiene:

Sezione 2 (ponendo 0

z 2 2

p v v

1 2 2

+ = → = → = 2

z h v gh

1 2 2 2

γ 2 2

g g = 2

v gh

Esattamente come prima, tutte le particelle avranno una velocità in corrispondenza

2 2

della sezione 2. Pertanto, la velocità media della corrente nella sezione 2 (denominata ) sarà

V 2

2gh

pari a . La portata effluente è dunque:

2    

2 2

d d

π π

= =

    2

Q V gh

2 2

   

4 4

Uguagliando le due espressioni precedentemente riportate si ottiene:

   

 

2 2

1

D d

π π

+ =

   

2 2

C g h D gh

 

1 2

C  

4 2 4

   

. Pertanto, il diametro si stabilisce a sotto il foro.

da cui = − =

d

3.19 m 2.09 m

h h h

2 2 1

10

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Ing. G. Messa

Corso di Idraulica

ESERCITAZIONE 9

RISOLUZIONE DI TEMI D’ESAME

Esercizio 1 (Tema d’esame 01/07/2010)

Si consideri il sistema di serbatoi illustrato nel disegno. Il serbatoio in pressione ha pianta

B

quadrata di lato . La paratoia incernierata si trova in condizioni di incipiente apertura sotto

l’azione statica esercitata dai fluidi nei due serbatoi.

Sono noti:

γ γ

il peso specifico dei fluidi e ;

1 2 r

la geometria del sistema: altezze e ; il raggio del quarto di circonferenza ; il lato del

h h

1 2

B

serbatoio in pressione ; la profondità della paratoia ;

b

Si vuole determinare:

P

il peso proprio della pressa;

la distribuzione delle pressioni lungo il segmento 1.

1

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Ing. G. Messa

SOLUZIONE:

Affinchè la paratoia incernierata si trova in condizioni di incipiente apertura, deve essere

verificato l’equilibrio alla rotazione della stessa rispetto alla cerniera O. E’ dunque necessario

calcolare le spinte esercitate dai due fluidi sulla paratoia e loro bracci.

Si utilizzi il metodo delle componenti, analizzando separatamente l’effetto dei due fluidi. La

posizione del piano dei carichi idrostatici del fluido 1 è noto, trovandosi in corrispondenza del

1

Π della spinta esercitata dal

livello idrico nel serbatoio di sinistra. La componente orizzontale O

fluido 1 sulla paratoia è pari alla spinta sulla proiezione della paratoia su un piano verticale,

perciò è diretta verso destra e vale:  

r

1 γ

Π = = ⋅ −

A p rb h

 

0, 1 1

O x x  

2

e la distanza fra il suo punto di applicazione e la retta di sponda è pari a:

1 3

br  

    −

I I 3

r r r h r

12 ( )

0 0

ξ 1

= + = − + = − + = − +  

x h h h r

   

1 0 1 1 1

 

    −

r

2 2 3 2

M Ax h r

 

0 1

br h

 

1

 

2

1

Π

La coppia esercitata dalla componente è antioraria e il suo braccio rispetto alla cerniera O è:

O    

− −

3 3

h r h r

r r

( ) ( ) ( )

1 1 1

ξ

= − − = − + − − =

   

d h r h r h r

1 1 1 1

O − −

3 2 3 2

h r h r

   

1 1

1

Π

La componente verticale della spinta esercitata dal fluido 1 sulla paratoia è pari al peso del

V

volume liquido che sarebbe compresso fra la paratoia, il piano dei carichi idrostatici e i due piani

verticali condotti per il contorno della paratoia. Essa è dunque uguale a:

   

1 1

1 2

γ π γ π

Π = − = −

h rb r b rb h r

   

1 1 1 1

V    

4 4

Anche questa componente genera sulla paratoia un momento antiorario. La distanza tra il suo

η

punto di applicazione e la parete tra i due serbatoi , pari al braccio del momento da essa

1

1

d

generato , è pari alla posizione del baricentro del volume liquido precedentemente discusso.

V

Tale grandezza è calcolabile a partire dai dati forniti.

La posizione del piano dei carichi idrostatici del fluido 2 è incognita, in quanto dipende dal peso

2

Π

della pressa. Chiamo tale posizione. La componente orizzontale della spinta

* >

h h O

2 2

esercitata dal fluido 2 sulla paratoia è pari alla spinta sulla proiezione della paratoia su un piano

verticale, perciò è diretta verso sinistra e vale: 2

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 

r

2 *

γ

Π = = ⋅ −

A p rb h

 

0, 2 2

O x x  

2

e la distanza fra il suo punto di applicazione e la retta di sponda è pari a:

1 3

br  

*

    −

I I 3

r r r h r

12 ( )

* * *

0 0

ξ 2

= + = − + = − + = − +  

x h h h r

   

2 0 2 2 2

  *

    −

r

2 2 3 2

M Ax h r

 

* −

0 2

br h

 

2

 

2

2

Π

La coppia esercitata dalla componente è oraria e il suo braccio rispetto alla cerniera O è:

O    

* *

− −

3 3

h r h r

r r

( ) ( ) ( )

2 * * *

2 2

ξ

= − − = − + − − =

   

d h r h r h r

2 2 2 2

O * *

− −

3 2 3 2

h r h r

   

2 2

2

Π della spinta esercitata dal fluido 1 sulla paratoia è pari al peso,

La componente verticale V

cambiato di segno, del volume liquido fittizio che sarebbe compresso fra la paratoia, il piano dei

carichi idrostatici e i due piani verticali condotti per il contorno della paratoia. Essa è dunque

uguale a:    

1 1

2 * 2 *

γ π γ π

Π = − = −

h rb r b rb h r

   

2 2 2 2

V    

4 4

Questa componente genera sulla paratoia un momento orario. Come nel caso precedente, la

η

distanza tra il suo punto di applicazione e la parete tra i due serbatoi , pari al braccio del

2

2

d

momento da essa generato , è uguale alla posizione del baricentro del volume liquido di cui

V ( )

* 2 2 *

h

sopra. Tale grandezza risulta dunque funzione di incognita: .

=

d d h

2 2

V V

L’equilibrio alla rotazione della paratoia rispetto alla cerniera impone che:

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1 2 * 2 * 2 * 2 *

Π + Π − Π − Π = 0

d d h d h h d h

2 2 2 2

O O V V O O V V

 

   

3

h r 1

r r 1

γ γ π

1

⋅ − + −

 

rb h rb h r d

   

1 1 1 1 V

   

2 3 2 4

h r

 

1  

*

   

3

h r 1

r r ( )

* * 2 *

2

γ γ π

− ⋅ − − − =

  0

rb h rb h r d h

   

2 2 2 2 2

V

*

   

2 3 2 4

h r

 

2

3

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da questa relazione è possibile ricavare la posizione del piano dei carichi idrostatici del fluido 2

. La pressione agente all’interfaccia tra la pressa e il fluido 2

rispetto al fondo del serbatoio * p

h P

2

è dunque pari a: ( )

*

γ

= −

p h h

2 2 2

P

P

e, pertanto, il peso della pressa è: 2

=

P p B

P

La distribuzione della pressione lungo il Segmento 1 è illustrata nella Figura sottostante.

Esercizio 2 (Tema d’esame 01/07/2010)

Si consideri un impianto di sollevamento composto da un serbatoio a pelo libero e uno in

pressione. Il fluido scorre nell’impianto in condizioni di moto permanente. Sono note: la

ε

geometria e le scabrezze dell’impianto sotto schematizzato ( , , , ); le quote e

d

L D z z

1 2

i i i γ

=

rispetto ad una quota di riferimento; il battente ; le caratteristiche del fluido ( , ); il

ν

0

z h

η

rendimento delle due pompe ; la potenza assorbita dalla pompa 1, .

P

1

P

Si richiede di valutare:

a) la portata circolante ;

Q

b) la quota del piano dei carichi idrostatici del serbatoio in pressione;

c) la potenza assorbita dalla pompa 2, ;

P

2

d) l’andamento qualitativo delle linee dei carichi totali e piezometrica per i due rami

dell’impianto. 4

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SOLUZIONE:

a) La portata uscente da una luce a battente su una parete verticale che sbocca in atmosfera è

(N.B. questa formula è approssimata!):  

2

d d

π

= ⋅ +

2

Q C C g h

 

C v  

4 2

Essendo i due serbatoi di volume finito, una portata scorre anche nei due rami

Q

dell’impianto.

b) Trascurando le perdite dovute alla cuva nel tratto 2, il teorema di Bernoulli esteso alle

correnti tra il bacino B e il serbatoio in pressione SP, rispetto al livello idrico nel bacino,

impone che: = + ∆ + − ∆ + + ∆ + ∆

0 H H J L H J L H H

− − −

1 1 1 1 2 2 2 3 3

SP B P SP

è il piano dei carichi idrostatici del serbatoio in pressione rispetto alla quota

dove H SP

considerata come riferimento. Si calcolano ora i vari termini:

• è la perdita localizzata dovuta all’immissione in un imbocco sporgente, la quale

∆ H −

1

B

vale: −

2

 

2 2

2

V D

Q

1 1

π

∆ = =  

0.5 0.5

H −

1

B 2 2 4

g g  

• è la perdita distribuita nel tratto di condotta 1 a monte della pompa 1. La portata è

J L

1 1 ν

nota, quindi è possibile calcolare il numero di Reynolds e la scabrezza

=

Re /

V D

1 1 1

5

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ε

relativa . Usando l’abaco di Moody, posso determinare il regime di moto nella

/ D

1 1

condotta 1. Procedo assumendo che i dati numerici indichino moto turbolento di

λ

transizione, e dunque uso la formula di Darcy-Weisbach con ottenuto dalla formula di

1

Colebrook-White: −

2

 

2 2

2

V D

Q

1 1

λ λ π

= =  

J L L L

1 1 1 1 1 1

2 2 4

gD gD  

1 1

 

ε

1 2.51 1

 

1

= − +

2log  

λ λ 3.71 D

Re

 

1

1 1 1

• è la prevalenza fornita dalla pompa 1. Essa è legata alla potenza da essa assorbita

∆ H 1

P

dalla relazione:

P

1 γ η

∆ 1000

Q H P

1 1 1

P P

= ⋅ → ∆ =

P H

1 1

P

η γ

1000 Q

P

• è la perdita distribuita nel tratto di condotta 2 a monte della pompa 1. Come per il

J L

2 2

tratto 1, essendo nota la portata è possibile calcolare il numero di Reynolds

ν ε

e la scabrezza relativa . Usando l’abaco di Moody, si determina il

=

Re / /

V D D

2 2 2 2 2

regime di moto nella condotta 2. Procedo assumendo che il moto sia assolutamente

λ ottenuto dalla formula

turbolento, e quindi utilizzo la formula di Darcy-Weisbach con 2

di Prandtl per tubi scabri: −

2

 

2 2

2

V D

Q

2 2

λ λ π

= =  

J L L L

2 2 2 2 2 2

2 2 4

gD gD  

2 2

 

ε

1 1 2

= −  

2log

λ 3.71 D

 

2

2

• è la perdita localizzata dovuta alla brusca espansione tra i tratti 2 e 3. Essa viene

∆ H −

2 3

calcolata mediante la formula di Borda: 2

 

− 1

1

2  

( )   2

2

2

V V D

Q D

 

2 3 3

2

π π

∆ = = −

   

H −

2 3  

2 2 4 4

g g    

 

• è la perdita distribuita nel tratto di condotta 3 a valle dell’espansione. Come nei

J L

3 3

tratti 1 e 2, essendo nota la portata è possibile calcolare il numero di Reynolds

ν ε

e la scabrezza relativa . Usando l’abaco di Moody, si determina il

=

Re / /

V D D

3 3 3 3 3

6

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regime di moto nella condotta 3, che qui si assume turbolento di transizione. Uso dunque

λ ottenuto dalla formula di Colebrook-White:

la formula di Darcy-Weisbach con 3 −

2

 

2 2

2

V D

Q

3 3

λ λ π

= =  

J L L L

3 3 3 3 3 3

2 2 4

gD gD  

3 3

 

ε

1 2.51 1

 

3

= − +

2log  

λ λ 3.71 D

Re

 

3

3 3 3

• è la perdita localizzata dovuta al brusco sbocco nel serbatoio in pressione, pari

∆ H −

3 SP

all’altezza cinetica nel tratto 3: −

2

 

2 2

2

V D

Q

3 3

α α π

∆ = =  

H −

3 3 3

SP 2 2 4

g g   α

dove, avendo ipotizzato moto turbolento di transizione nel tratto 3, pongo .

= 1

3

Sostituendo tutte le espressioni precedentemente riportate, è possibile ricavare la posizione

del piano dei carichi idrostatici nel serbatoio in pressione rispetto al livello nel bacino.

H SP

c) La potenza effettiva dalla pompa 2 in kW è data da:

γ ∆

Q H

1 2

P

= ⋅

P

2 η 1000

P

dove è la prevalenza. Il teorema di Bernoulli esteso alle correnti tra il serbatoio in

∆ H 2

P

pressione SP e quello di destra SD, rispetto al livello del fluido nel bacino, impone che:

= − + ∆ + − ∆ + + ∆

H z z H J L H J L H

− −

2 1 4 4 4 2 5 5 5

SP SP P SD

dove è il valore valutato nel punto b). Si calcolano ora i vari termini:

H SP

• è la perdita localizzata dovuta all’immissione in un imbocco non sporgente, la

∆ H − 4

SP

quale vale: −

2

 

2 2

2

V D

Q

4 4

π

∆ = =  

0.5 0.5

H − 4

SP 2 2 4

g g  

7

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• è la perdita distribuita nel tratto di condotta 4 a monte della pompa 2. La portata è

J L

4 4 ν e la scabrezza

nota, quindi è possibile calcolare il numero di Reynolds =

Re /

V D

4 4 4

ε

relativa . Usando l’abaco di Moody, posso determinare il regime di moto nella

/ D

4 4

condotta 1. Procedo assumendo che i dati numerici indichino moto turbolento di

λ

transizione, e dunque uso la formula di Darcy-Weisbach con ottenuto dalla formula di

4

Colebrook-White: −

2

 

2 2

2

V D

Q

4 4

λ λ π

= =  

J L L L

4 4 4 4 4 4

2 2 4

gD gD  

4 4

 

ε

1 2.51 1

 

4

= − +

2log  

λ λ 3.71 D

Re

 

4

4 4 4

• è la perdita distribuita nel tratto di condotta 5 a valle della pompa 2. Il ragionamento

J L

5 5

è lo stesso del punto precedente, e anche qui ipotizzo che i dati numerici indichino moto

λ

turbolento di transizione. Utilizzo dunque la formula di Darcy-Weisbach con ottenuto

5

dalla formula di Colebrook-White: −

2

 

2 2

2

V D

Q

5 5

λ λ π

= =  

J L L L

5 5 5 5 5 5

2 2 4

gD gD  

5 5

 

ε

1 2.51 1

 

5

= − +

2log  

λ λ 3.71 D

Re

 

5

5 5 5

• è la perdita localizzata dovuta al brusco sbocco nel serbatoio di destra, pari

∆ H −

5 SD

all’altezza cinetica nel tratto 5: −

2

 

2 2

2

V D

Q

5 5

α α π

∆ = =  

H −

5 5 5

SD 2 2 4

g g  

α

Avendo assunto moto turbolento di transizione, .

= 1

5

Sostituendo tutte le espressioni precedentemente riportate, è possibile ricavare la prevalenza

della pompa 2 , e quindi la potenza da essa assorbita .

∆ H P

2 2

P

d) La linea dei carichi totali e quella piezometrica per le condotte superiore e inferiore sono

illustrate alla pagina seguente.

Osservazione Quando una pompa è situata ad una quota inferiore rispetto al piano dei carichi

idrostatici del serbatoio da cui attinge il fluido (come nel caso della pompa P1), la sezione subito

8

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a monte della pompa è soggetta alla massima depressione. Per garantire che le equazioni

utilizzate descrivano effettivamente il comportamento del sistema, è necessario verificare

sia maggiore di 0 (o, analogamente, che la

quantomeno che in tale sezione la pressione assoluta

pressione relativa sia maggiore di , essendo la pressione atmosferica). Più precisamente,

− p p

a a

sia maggiore della tensione di vapore , in generale

bisogna verificare che la pressione assoluta t v

funzione della temperatura. Al di sotto di , infatti, si osserva una transizione di fase del liquido

t v

che passa allo stato di vapore (cavitazione), e il sistema diviene governato dalle leggi della

fluidodinamica multifase. 9

Nota la posizione del piano dei carichi idrostatici del serbatoio S (H ), la

Esame di DI MECCANICA DEI FLUIDI S

η, ∆

potenza della turbina di rendimento l’indicazione del manometro

(A.A. 1999/2000) differenziale, la geometria del sistema e le caratteristiche dei fluidi

γ

(γ, ) determinare (fluidi ideali):

m

1) le portate circolanti nelle condotte e la portata uscente dal foro

circolare di diametro a

2) i livelli Z e Z rispettivamente dei serbatoi di monte e di valle e

M V

l’indicazione Z del piezometro indicato

A

Testo n° 1 3) la spinta complessiva esercitata dal fluido sul serbatoio cilindrico S

Tracciare (qualitativamente) la linea dei carichi totali e la piezometrica

delle condotte

D

Calotta semisferica

Z ? Z ?

M V

(di diametro D) Z ?

A

L

γ S Z D

D

G2

D 1

2

1 T D

2

α Z

∆ G1 Dati:

Z

a GA 3 3

γ γ

= 9806 N/m ; = 133362 N/m

m

H = 10 m; = 0.3 m

Fluido in quiete S

γ Z

m S D = 1 m; L = 5 m

α = 30°; C = 0.61

c

D = 0.2 m; D = 0.3 m; = 0.1 m

a

1 2

Z = 2 m; Z = 3 m; Z = 1 m; Z = 0

G1 G2 GA S

η

P = 10 Kwatt; = 0.8 ∆

Noti il livello del serbatoio di monte (Z ), l’indicazione del manometro

M

Esame di MECCANICA DEI FLUIDI differenziale, l’indicazione Z della presa dinamica del tubo di Pitot applicato

D

(A.A. 1999/2000) nel baricentro della sezione di sbocco della condotta di diametro D , la

1

γ

geometria del sistema e le caratteristiche dei fluidi (γ, ) determinare (fluidi

m

ideali):

1) le portate circolanti nelle condotte ed uscenti dai due fori

circolari di diametro posti sul fondo del serbatoio centrale

d

Testo n° 2 2) il livello Z del serbatoio di valle

V η

3) la potenza della pompa, P, di rendimento

Dati: 3) la spinta complessiva esercitata dal fluido sul serbatoio

3 3

γ γ

= 9806 N/m ; = 133362 N/m cilindrico centrale di diametro D

m

Z = 2 m; Z = 30 m; Z = 0 Tracciare (qualitativamente) la linea dei carichi totali e la

M D S piezometrica delle condotte

D

∆ = 0.3 m Z

D

D = 1 m; L = 5 m

D = 0.2 m ; D = 0.3 m; = 0.1 m

d

1 2 Z ?

V

Z = 4 m; Z = 3 m; Z = 2 m Fluido in quiete

G2 G1 G3

C = 0.61

c Z D

η = 0.7 G2 1

α = 45° L Z

G1 D

Z D 2

G3 1

d d

γ γ

α m 1

Nota l’indicazione del manometro metallico, l’indicazione del

n

Esame DI MECCANICA DEI FLUIDI manometro differenziale, la quota Z del piezometro, la quota Z del

P V

η

serbatoio di valle, la geometria del sistema, il rendimento della turbina e

(A.A. 1999/2000) t

η γ, ν,γ

della pompa, le caratteristiche dei fluidi ( ) (fluidi reali) e delle

p m

condotte (ε) determinare, trascurando le perdite nel diffusore

1) le portate circolanti nelle condotte,

2) la potenza della Pompa e della Turbina

3) tracciare (qualitativamente) la linea dei carichi totali e la piezometrica

Testo n° 2 n delle condotte

Z ?

M Z

P

Z= 0 aria Z

V

D

L 2

L T

1 4 D

u

l

γ, ν 2

l 1 Fluido in quiete L

2

D D

1 4

∆ P

γ D D

3

m 3

L L

3 5

Dati: 3 3 -6 2 -3

γ γ ν ε

= 9806 N/m ; = 133362 N/m ; = 10 m /s; = 10 m

m

∆ η η

= 1 bar ; = 0.1 m; Z = 8 m ; Z =1 m; = 0.8; =0.7

n Τ

P V p

D = 0.3 m; D = 0.2 m ; D = 0.35m ; D = 0.6 m; D = 0.6 m

1 2 3 4 u

L = 5 m; L = 7 m; L = 5 m; L = 2 m; L = 5m; = 1 m; = 2 m

l l

1 2 3 4 5 1 2 ∆ ∆

Nota l’indicazione del manometro metallico, le indicazioni e dei

n

Esame di DI MECCANICA DEI FLUIDI 1 2

manometri differenziali, la quota Z del serbatoio di valle, la geometria del

v

(A.A. 1999/2000) η η

sistema, il rendimento della turbina e della pompa, le caratteristiche dei

t p

ν, γ ε)

fluidi (γ, ) (fluidi reali) e delle condotte ( determinare, trascurando le

m

perdite nel diffusore,

1) le portate circolanti nelle condotte

2) la potenza della Pompa e della Turbina

Testo n° 1 3) tracciare (qualitativamente) la linea dei carichi totali e la piezometrica delle

condotte

n Z = ?

M

aria

Z= 0 Z

L V

4

L

1

γ, ν l 1

P D

u D

D 4

1

Fluido in quiete Fluido

∆ 1 in

quiete

Fluido in quiete γ m

∆ 2 D T D

3 3

γ m L

Dati: 3 L

5

3 3 -6 2 -3

γ γ ν ε

= 9806 N/m ; = 133362 N/m ; = 10 m /s; = 10 m

m

∆ ∆ η η

= 2 bar ; = 0.1 m; = 0.3 m; Z =1 m; = 0.8; = 0.7

n Τ

1 2 V p

D = 0.4 m; D = 0.4 m ; D = 0.3 m ; D = 0.6 m; D = 0.8 m

1 2 3 4 u

L = 5 m; L = 5 m; L = 10 m; L = 2 m; L = 10 m; = 1 m; = 2 m

l l

1 2 3 4 5 1 2 2

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI 28/01/2000

Z

M

n aria Z

V

ε

L , D ,

D 2

2 2

a ε

, D ,

L 1

1 1 Q

γ s

l a

γ, ν

L

γ F? γ m

α D

T 4

ε

L , D , 3

3 3

Noti: geometria, l’indicazione del

n η, ∆

γ, γ Noti: il rendimento della turbina l’indicazione del manometro differenziale, la portata Q

manometro metallico s

Determinare: il verso ed il modulo della uscente dall’apertura circolare di diametro la geometria del sistema e le caratteristiche dei

a,

forza F affinché il pistone, libero di scorrere γ ,ν) ε determinare

fluidi (γ, e delle condotte (L , D , ) (fluidi reali):

senza attrito, rimanga nella posizione di m i i i

equilibrio rappresentata in figura 1) Le portate circolanti nelle condotte

2) I livelli Z e Z rispettivamente dei serbatoi di monte e di valle e la potenza T della Turbina

M V

3) Tracciare (qualitativamente) la linea dei carichi totali e la piezometrica delle condotte

Dati: Dati:

3 3

γ γ

= 9806 N/m ; = 200000 N/m

s 3 3 -6 2 -3

γ γ ν ε ε ε ∆= η

= 9806 N/m ; = 133362 N/m ; = 10 m /s; = = =10 m; 0.8 m; = 0.8

α

D = 0.1 m; L = 1 m; = 45° m 1 2 3

D = 0.2 m; D = 0.3 m ; D = 0.2 m ; D = 0.6 m; = 0.5 m;L = 4 m; L = 5 m; L = 8 m

a

= 0.7 m; = 0.6 m; = 1 bar

l a n 1 2 3 4 1 2 3

3

µ = 0.6; Q = 1 m /s; (coeff. di Gibson) = 0.3

m

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI 14/02/2000

Z

M

n n

γ Z

a V

h ∆ 1

aria ε

L , D ,

ε

L , D , 4 3

3 3

a P

ε

γ L , D ,

b 2 2

γ, ν ε

L , D ,

1 1 ∆ 2

D γ m

Noti: la geometria del contenitore

conico di peso P in figura di

γ

spessore trascurabile, a, b, η ∆ ∆

Noti: il rendimento della pompa , l’indicazione e dei manometri differenziali (rispettivamente ad

1 2

p

aria ed a mercurio), la quota Z del serbatoio di valle, la quota del baricentro del manometro metallico

v

Determinare: l’indicazione n γ ,ν) ε)

Z , la geometria del sistema e le caratteristiche dei fluidi (γ, e delle condotte (L , D ,

n m i i

del manometro metallico ed il determinare (fluidi reali):

peso P del contenitore 1) Le portate circolanti nelle condotte

2) Il livello Z del serbatoio di monte, la potenza della Pompa e l’indicazione del manometro metallico

n

M

Dati: 3) Tracciare (qualitativamente) la linea dei carichi totali e la piezometrica delle condotte

3

γ = 9806 N/m ; = 0.4 m; = 1 m;

D h

= 0.5 m; = 0.2 m

a b Dati: 3 3 -6 2 -3

γ γ γ ν ε ∆ ∆ η

= 9806 N/m ; = 133362 N/m ; = trascurabile; = 10 m /s; =10 m; = 0.8 m; = 1 m; = 0.7

1 2

m a p

D = 0.3 m; D = 0.2 m ; D = 0.2 m ; L = 4 m; L = 5 m; L = 5 m; L = 8m; Z = 2 m; Z = 0 m

1 2 3 1 2 3 4 n v 3

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI 28/02/2000

Z

M Z

T ε

l, d, n,

Z

P D

ε Z

L , D ,

≅ e

0

V

ε

L , D , e

4 4

≅ 0

V

1 1

Q α

ε

L , D ,

2 2

γ, ν L

AB

L

AC

A C ε

L , D ,

B 3 3

D

D

Z c

u

AB P

B

C Dati:

A 3 -6 2 -3

γ ν ε

= 9806 N/m ; = 10 m /s; =10 m;

η Ζ

Noti: il rendimento della pompa , l’indicazione del tubo di Pitot, l’indicazione

Τ

P η = 0.8; D = 0.4 m; D = 0.3 m ;

Ζ ν),

del piezometro la geometria del sistema, le caratteristiche dei fluidi (γ, delle p 1 2

P ε)

condotte (L , D , e del fascio tubiero composto da tubi di diametro e lunghezza D = 0.3 m; D = 0.3 m; D = 0.1 m;

n d l 3 4 e

i i D = 0.6 m; D =0.4 m; = 5 mm;

d

determinare (fluidi reali), trascurando le perdite nei tratti a sezione variabile: u c

α

= 6000; = 45°;

n

1) Le portate circolanti nelle condotte L = 4 m; L = 4 m; L = 20 m; L = 10m;

2) Il livello Z del serbatoio di monte e la potenza della pompa 1 2 3 4

M = 5 m; L = 1 m; L = 0.5 m; Cc= 0.6;

l

3)La spinta agente sul divergente tronco conico di traccia AB della pompa AB AC

Z = 10 m; Z = 9.5 m; Z = 5 m; Z = 0 m

4)La massima quota raggiunta dalla traiettoria baricentrica del tubo di flusso in uscita T P e AB

dal condotto D trascurando le perdite del getto in atmosfera

4

5) Tracciare (qualitativamente) la linea dei carichi totali e la piezometrica delle condotte

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI 21/06/2000

Z

A M

L Z

γ V

s ε

L , D , 1

1 1 ε

L , D , 2

2 2

A

γ

D ∆ = ?

γ, ν γ m

α Q

a

γ

Noti: geometria, il peso specifico della

s

γ Noti: la portata uscente dall’apertura circolare di diametro la geometria del sistema e le

Q a,

sfera e del fluido γ ,ν) ε determinare

caratteristiche dei fluidi (γ, e delle condotte (L , D , ) (fluidi reali):

Determinare: il piano dei carichi idrostatici m i i i

γ

del fluido affinchè, in assenza di attrito, la 1) I livelli Z e Z rispettivamente dei serbatoi di monte e di valle

M V

sfera (di diametro , libera di scorrere tra le

D) ∆

2) L’indicazione del manometro differenziale

guide del cilindro di diametro sia in

D, 3) Tracciare (qualitativamente) la linea dei carichi totali e la piezometrica delle condotte

equilibrio nella posizione assegnata.

Si determini inoltre la distribuzione di

pressione lungo il piano di traccia A-A. Dati:

Dati: 3 3 -6 2

γ γ ν ε ε

= 9806 N/m ; = 133362 N/m ; = 10 m /s; = = 0 m; D = 0.2 m; D = 0.3 m ;

m 1 2 1 2

3 3

γ γ

= 9806 N/m ; = 200 N/m 3

µ

= 0.1 m;L = 10 m; L = 20 m; = 0.6; = 0.2 m /s

a Q

s 1 2

α

= 0.1 m; = 1 m; = 30°

D L 4

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI 4/07/2000

Z

M ∆

Noti: l’indicazione del manometro differenziale, la

Z

1 quota Z del piezometro, la quota Z del serbatoio di

1 v η

valle, la geometria del sistema, il rendimento della

γ

turbina, le caratteristiche dei fluidi (γ, ) (fluidi

aria m

reali) e delle condotte (ε ) determinare, trascurando

i

le perdite (concentrate e distribuite) del diffusore

ε

, ,

L D

γ 2 2 2

ε

, ,

L D 1) le portate circolanti nelle condotte

1 1 1 2) la quota Z del serbatoio di monte

Q M

1 3) La potenza della turbina

Fluido 4) La spinta sul diffusore della turbina

∆ Tracciare (qualitativamente) la linea dei carichi totali

in quiete e la piezometrica delle condotte

γ m ε

, ,

L D

3 3 3 Z

V

ε

, ,

L D

4 4 4 α T

Dati: H

2 Z

3 3 -6 2 -4 -3

γ γ υ ε ε ε ε

= 9806 N/m ; = 133362 N/m ; = 10 m /s; = =10 m; =10 m; = 0 m; D

u

m 1 2 3 4 u

∆ η

= 0.1 m; Z = 40 m ; Z = 10 m; Z = 0 m; H = 1 m; H = 0.5 m; = 0.8;

1 V u 1 2

= 0.1 m; = 0.2 m ; = 0.1 m ; = 0.1 m; = 0.5 m; = 10 m;

D D D D D L H

1 2 3 4 u 1 1

α

= 10 m; = 20 m; = 20 m; = 30°

L L L

2 3 4 ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI 17/07/2000

D Prof. Alberto GUADAGNINI

Diametro della sfera n Z

aria C

Z

M

h Z

V

γ 2 L

ε

D, 2

γ 1 γ, ν L

1

Noti: geometria, l’indicazione del

n ν)

Noti: Zv, la geometria del sistema e le caratteristiche del fluido (γ, e della condotta (L , D,

i

γ

manometro metallico, il peso specifico e

h, 1 ε) determinare (fluidi reali):

γ e trascurando il peso specifico dell’aria

2 1) La portata Q transitante nel sistema tale per cui in nessun tratto del condotto si abbia la

min

formazione di un moto a canaletta. Si determini inoltre, per la Q calcolata, il livello Z .

min M

Determinare: la spinta complessiva sulla 2)Si analizzi (qualitativamente) cosa accade all’aumentare/diminuire di Z (mantenendo

superficie sferica tracciata in figura V

invariato Z )

M

3) Si analizzi (qualitativamente) cosa accade all’aumentare/diminuire di Z (mantenendo

M

invariatio Z )

v

Dati: 4) Tracciare (qualitativamente) la linea dei carichi totali e la piezometrica della condotta per

tutti i casi analizzati

3 3

γ γ

= 9806 N/m ; = 7800 N/m

1 2 Dati:

= 1 m; = 0.05 bar; = 0.3 m

D n h 3 -6 2

γ ν ε

= 9806 N/m ; = 10 m /s; = 0 m; D = 0.2 m; Z = 0 m; Z = 20 m; L = 10 m; L = 5 m

v C 1 2 5

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI 5/09/2000 Z

1

L

h 4

ε

, ,

L D

1 1 1

γ

Fluido h ∆

2

in quiete

h γ m

ε

, ,

L D

3 2

ε

,

D

2

Q ∆

Noti: l’indicazione del manometro differenziale, h,

η

la geometria del sistema, il rendimento della pompa,

P

α γ , ν)

le caratteristiche dei fluidi (γ, (fluidi reali) e

m

delle condotte (ε) determinare, (in condizioni di moto

Z= 0 permanente e nell’ipotesi che entrambi i serbatoi

abbiano dimensione finita)

d 1) le portate circolanti nelle condotte

2) la quota Z del serbatoio di valle

Dati: 1

3) la potenza della pompa

3 3 -6 2 -3

γ γ ν ε

= 9806 N/m ; = 133362 N/m ; = 10 m /s; = 10 m; = 0.2 m; = 0.1 m;

D D

m 1 2 4) la spinta a cui è soggetto il serbatoio di monte

∆ η

= 0.3 m; = 10 m ; = 0.8; = 20 m; = 5 m ; = 15 m ; = 2 m;

h L L L L

1 2 3 4 5) Tracciare (qualitativamente) la linea dei carichi

α

= 1 m; = 30°; = 3m; = 1 m; = 8 m

L d h h

5 1 2 totali e la piezometrica delle condotte

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI 18/09/2000

A Z

M Z

P Z

V

γ 1

a T

γ b

2

R γ, ν

A α ∆

γ

γ

Noti: geometria, il peso specifico del fluido m

1 ∆

Noti: l’indicazione del manometro differenziale, la quota Z del serbatoio di monte,

γ

Determinare: il peso specifico del fluido M

2 γ ,ν)

l’indicazione Z del piezometro, la geometria del sistema e le caratteristiche dei fluidi (γ,

affinchè la paratoia cilindrica di traccia AA e P m

ε determinare

e delle condotte (L , D , ) (fluidi reali), trascurando le perdite nel diffusore:

profondità libera di scorrere sul piano, stia

L, i i i

1) Le portate circolanti nelle condotte

(in assenza di attrito) in equilibrio nella

posizione indicata. 2) Il livello Z del serbatoi di valle

V

Dati: 3) La potenza della turbina

3

γ = 9806 N/m ; = 5 m; b = 1 m; = 1.2 m

a R 4) Tracciare (qualitativamente) la linea dei carichi totali e la piezometrica delle condotte

1 = 1 m

L Dati: 3 3 -6 2 -4 -3

γ γ ν ε ε ε

= 9806 N/m ; = 133362 N/m ; = 10 m /s; = = 10 m; = 10 m; D = 0.2 m;

m 1 2 3 1

η

D = 0.3 m ; D = 0.2 m; D = 0.5 m; L = 10 m; L = 2 m; L = 15 m; = 0.85; Z = 50 m;

2 3 u 1 2 3 T M

∆=

Z = 45 m ; 0.1 m; = 1 m

l

P 6

13-12-2000

Esame DI MECCANICA DEI FLUIDI

Dati: -5

µ ε

Z =30 m; Z =5 m; Z =0 m; a=0.2 m; =0.6; D =0.3 m; D =0.3 m; L =40 m; L =15 m; =10 m;

M V a a 1 2 1 2 1

-4

ε η

=10 m; n=-0.02 bar; =0.8

2 t

Z M Determinare, nell’ipotesi che il fluido sia acqua, che il solo serbatoio di monte abbia dimensione

“infinita” e che le perdite concentrate nelle due curve siano trascurabili:

- le portate circolanti, la quota Z dell’interfaccia tra acqua e aria e la potenza della turbina

int

- l’andamento qualitativo delle linee dei carichi totali e piezometriche

Calcolare algebricamente (senza risultati numerici) la spinta totale sul serbatoio centrale

n aria

ε

D , L ,

1 1 1 Z int Z V

T ε

D , L ,

2 2 2 a

Z a

13-12-2000

Esame DI MECCANICA DEI FLUIDI

B

A Z c

B

A H

ε

D , L ,

1 1 1 Z ε

D , L ,

a a 2 2 2

Z M L Z

3 V

P γ m

Dati: -5 -4 3

µ ε ε ∆=0.1 γ η

Z =-10 m; Z =1 m; Z =8 m; Z =3 m; a=0.1 m; =0.6; D =0.2 m; D =0.2 m; L =20 m; L =20 m; =10 m; =10 m; m; L =2 m; =25000 N/m ; =0.75

M V c a a 1 2 1 2 1 2 3 m p

Determinare, nell’ipotesi che il fluido sia acqua, che il solo serbatoio centrale abbia dimensione finita e che le perdite concentrate nelle due curve siano trascurabili:

- le portate circolanti, la quota H del pelo libero nel serbatoio centrale e la potenza della pompa

- l’andamento qualitativo delle linee dei carichi totali e piezometriche

Calcolare algebricamente (senza risultati numerici) la spinta totale sul tronco di condotta compreso tra le sezioni A-A e B-B 7

23-1-2002

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI

Z ?

1 ε

L , D ,

1 1 1

Q? Z

2

ε

L , D ,

2 2 2 B

A

γ, ν T D

∆ 4 D

η

γ 5

T

m L

η 4 L

p 5

P ε

L , D ,

3 3 3 Serbatoio di

dimensione finita

∆ γ, ν, γ ε

Dati: il livello Z , l’indicazione del manometro differenziale, , le caratteristiche delle condotte (L , D , ) così come indicate in

2 m i i i

η η

figura, il rendimento della turbina, la potenza erogata dalla turbina W ed il rendimento della pompa.

T T P

Nell’ipotesi di regime permanente, che l’acqua nei serbatoi si possa considerare in quiete e che il solo serbatoio di livello Z abbia

2

dimensione finita,

Determinare:le portate circolanti nelle condotte , il livello Z , la potenza della pompa W e la spinta dinamica sul diffusore di traccia A-B

1 p

Tracciare l’andamento qualitativo delle linee dei carichi totali e piezometriche.

23 - 01 - 2002

Esame di MECCANICA DEI FLUIDI - Prof. Alberto GUADAGNINI

Z

1 Z = ?

2

ε

L, D, = 0 P Z

a a

A B

γ m

Il circuito disegnato in figura è percorso da acqua a temperatura ambiente in condizioni di moto permanente. Il solo serbatoio di sinistra si può

considerare di dimensione infinita. 3

∆ γ η µ

Dati: Z = 30 m; D = 0.2 m; L = 1000 m; = 0.1 m; = 133362 N/m ; = 0.75; a = 0.1 m; Z = 0; = 0.6

1 m P a

Determinare:

•la portata circolante, la quota Z e la potenza della pompa (si consideri di lunghezza trascurabile il tratto di condotta a valle della pompa);

2

•l’andamento qualitativo delle linee dei carichi totali e piezometrica (nel tracciamento trascurare il fatto che la condotta non è ovunque orizzontale);

•la spinta (algebricamente) che il fluido esercita sul tratto di condotta compreso tra le sezioni A e B 8

Soluzione tema d’esame del 23 - 01 - 2002 c

1) Applico l’equazione del moto tra serbatoio di monte e sezione di attacco del manometro differenziale (indico con il pedice le grandezze riferite

a tale sezione); conosco la differenza tra i carichi piezometrici dall’indicazione del manometro:

γ − γ

p

2 2

p v v c m

− + = ∆

Z ( Z )

c in cui:

− + + = ⋅

Z ( Z ) 1 . 16 1 c γ γ

1 c γ 2 g 2 g 5 λ

ottengo: v = 3.38 m/s; Q = 0.106 m3/s; Re = 6.8*10 ; = 0.0125 (dall’abaco di Moody); J = 0.0363

2) Considerando che il serbatoio di destra ha dimensione finita, dalla luce a battente uscirà la portata Q. Scrivo l’equazione dell’efflusso:

2

π a

= µ ⋅ −

Q 2 g ( Z Z )

2 a

4 ottengo: Z = 25.93 m

2

3) Scrivo l’equazione del moto tra i due serbatoi e l’equazione che fornisce la potenza della pompa:

2 2 γ ∆

Q H

v v P

=

W

− = ⋅ + − ∆ +

Z Z 1 . 16 JL H P

1 2 P η

2 g 2 g P

∆H

ottengo: = 33.53 m; W = 46.59 kW

P P

4) Volume di controllo (in grassetto le grandezze vettoriali): Π Π Π

G+Π +Π +Π +M +M = 0 Le pressioni si calcolano ricavando l’affondamento

1 2 0 1 2

M M

1 dalla linea piezometrica attraverso opportune

2 Π

S = -Π

0 equazioni del moto.

Π 1 Π = γ

G W

2 Tutte le spinte possono poi essere scomposte secondo

gli assi del sistema di riferimento scelto, al fine di

= = ρ

M M Q v

1 2 S

ottenere le componenti di secondo la medesima

G

Π 2

π D

0 coppia di assi.

Π = ⋅

p

i i 4

Esame di Meccanica dei Fluidi

Cognome: Nome: Matr.:

Dati: 3 3 -6 2 3

γ γ ν

= 9806 N/m ; = 133362 N/m ; =10 m /s; Q= 0.15 m /s; n= 0.022 bar m; D =0.40 m; D =0.30 m; D =0.30 m; L = L = 10 m; L = 24 m;

m 1 2 3 1 2 3

-4 -4

ε ε ε

= 2 m; =5.00·10 m; = = 3.00·10 ;η = 0.75; Z = 10.00 m;Z = 8.00 m;

l 1 2 3 p n v

Determinare, commentando in modo esaustivo i passi del calcolo :

- Il livello idrico del serbatoio di monte Z

m

- Il piano dei carichi idrostatici del serbatoio di valle

- L’indicazione del manometro metallico posto in corrispondenza del serbatoio di valle

n*

- Il del manometro differenziale Risultati

- La potenza della pompa

Tracciare (qualitativamente) la linea dei carichi totali e la piezometrica delle condotte Z [m] = 10.56

n* m

Z

m Aria

n

Z Z [m] = 10.10

Z

n s

v

Q n[bar] = 0.21

∆[m] = 0.09

l ε

L , D ,

ε

L , D , 2

2 2

1

1 1 P[KW] = 1.29

ε

L , D , 3

3 3

γ, ν P

∆ γ m 9

Esame di Meccanica dei Fluidi (solo parte di statica)

Cognome: Nome: Matr.:

Noti: 3 3

γ α

= 8825 N/m ;γ = 9806 N/m ; = 45°; h = 1.50 m; h = 1.50 m; h = 0.50 m; R = 1.50 m; P = 0.2 bar

1 2 1 2 3 n

profondità unitaria

Determinare, commentando in modo esaustivo i passi del calcolo:

γ γ

- La posizione del pci dei fluidi e rispetto al punto B

1 2

- La distribuzione di pressione sulla superficie piana di traccia AA

γ

- La spinta esercitata dal fluido di peso specifico e il suo centro di applicazione sulla superficie piana di traccia AA

1

- La forza F necessaria per mantenere in equilibrio la calotta cilindrica di traccia BB. n h

B 3

A

γ h

R 1

1 α

F A

γ 2 h

2

Risultati B ξ

h [m] = 5.77 h [m] = 5.34 |S | [KN] = 65.83 |F| [KN] = 11.41

[m] = 0.0754

Cγ1 Cγ2 AA 0

Esame di Meccanica dei Fluidi (22/02/02) (solo parte di statica)

Dati:

Cognome: 3

γ = 8825 N/m ; h = 12.000 m; h = 4.000 m; h = 10.000 m; R = 1.000 m; n =

1 2 3

Nome: 0.580 bar; L = 4.000 m (profondità del serbatoio cilindrico).

Matr.: Determinare:

- la spinta (netta) in modulo direzione e verso agente sulla superficie gobba di

traccia AA;

n - la forza F necessaria affinché la paratoia di traccia MM’libera di ruotare attorno

alla cerniera M’ rimanga chiusa nella posizione indicata.

aria F

M

A

γ R

h 1 R h 3

A h 2 γ M’ 10

H

A

“primo” volume di h

controllo GA “secondo” volume

di controllo

G A h GB G B

Π

n/γ 1A

n

H Π

A 1B

Π Π

0A 0B

aria F

D M

h 1 h 3

h ξ

2 S M-M’ M’

Esame di Meccanica dei Fluidi I (22/02/02) (solo parte di dinamica)

Dati: Cognome:

3 -6 2

γ ν η

= 7845 N/m , = 2.300*10 m /s, = 0.800, Cv = 0.98, Z = 12.000 m, Z = 16.000 m,

A B

Z = 2.000 m, h = 3.000 m, n = 0.250 bar, D = 0.200 m, D = 0.450 m, D = 0.250 m, Nome:

S 1 2 3

-4 -3

ε ε

= 8*10 m, = 1.5*10 m, L = 10.000 m, L = 13.000 m.

1 2 1 2 Matr.:

Determinare

- la portata circolante nelle condotte; gas

- la potenza richiesta dalla pompa;

Tracciare (qualitativamente) le linee LCT e LP.

h n

aria Z

B

Z

A ben raccordato B

P

γ,ν ben raccordato

ε

L , D ,

2 2 2

ε

L , D ,

1 1 1 D

3

A Z

S 11

2

(V V ) / (2g)

1- 2

12

αV / (2g)

J L

1 1 J L

2 2

22

V / (2g)

22

αV / (2g)

∆H gas n/γ

h n

H

B

Z

B

Z

A ben raccordato B

P

H

A ε

L , D ,

2 2 2

ε

L , D ,

1 1 1 D

3

A Z

S

4-2-2002

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI n

Z

n Z ? aria

n 1 Z 2

γ ? L ,D ,ε

1 3 3 3

P

Z γ,ν η

s P

γ s D ,ε

2 2

L ,D ,ε

1 1 1

Z p L L

2 4

γ 2 ∆ γ m

γ, ν, γ ∆, η

Dati: , il livello Z , il rendimento della pompa, tutte le caratteristiche

γ

Dati: , n, geometria del sistema m 2 P

2 ε

delle condotte così come indicato in figura (L , D , ), l’indicazione n del

γ

cilindrico in figura, Z , Z , Z , (peso i i i

p n s s manometro metallico.

specifico del pistone libero di scorrere

senza attrito). Determinare: la portata circolante, il livello Z e la potenza W da fornire alla

1 P

pompa.

Determinare: il peso specifico del fluido

γ necessario per mantenere il sistema in Tracciare: l’andamento qualitativo delle linee dei carichi totali e piezometriche.

1

equilibrio. 12

4 - 2 - 2002

Esame di MECCANICA DEI FLUIDI - Prof. Alberto GUADAGNINI

L

3 Z = ?

4

Z

1

γ Z

2

h

1 h

2 Z

3 ε

L , D ,

n 1 1 1

h

3 ε

L , D ,

γ 2 2 2

s

D Acqua a temperatura ambiente fluisce nel sistema in figura in condizioni di moto permanente.

aria Dati: Z = 10 m; Z = 9.5 m; Z = 2 m; L = 60 m; L = 150 m; L = 20 m;

1 2 3 1 2 3

-4 -3

ε

D = 0.3 m; D = 0.4 m; e = 10 m; = 10 m

Note tutte le grandezze indicate in 1 2 1 2

figura ad eccezione dell’indicazione Determinare:

n del manometro metallico, •la portata effluente;

determinare tale indicazione in

maniera che il pistone libero di •la quota Z all’interno del serbatoio di destra;

4

scorrere senza attrito nei due •l’andamento qualitativo delle linee dei carichi totali e piezometrica

manicotti si trovi in equilibrio nella

posizione indicata.

Soluzione tema d’esame del 4 - 2 - 2002

STATICA DINAMICA

1) Equilibrio fisico del pistone (in grassetto i vettori) 1) Determino la cadente nel tratto 2 e quindi la portata

Z Z

S 1 2

= =

J 0 .

0250

S S P

+ + = 0

sup 2

sup inf L 3

S + S + P = 0 (*) 32

2 g D J

sup,y inf,y y 5

2

P λ = = ⋅

Re 1 . 8 10

2 2 2

ν

λ = 0 . 0250 da Colebrook

2

S 2 g D J

inf 2 2

= =

v 2 . 80 m / s

2 λ 2

2) Calcolo le spinte (ancora in grassetto i vettori) 22

π D 3

= =

Q v 0 . 352 m / s

 

2

π D h 2

  4

2

= − γ +

P h

y s 3

 

4 3 2) Determino le caratteristiche del moto nel tratto 1

2

π D

=

S n Q

inf, y = =

v 4

.

98 m / s

4 1 2

π D

1

4

Π Π Π

G S

+ + = 0; =

Π 1 0 sup 0

0 v D 6

1 1

= = ⋅

Re 1

.

5 10

1

Π Π Π

G + + = 0; S = ν

G y 1y 0y sup,y 0y λ = 0

.

0157 da Colebrook

1

2

π D h 2

v

2

= − γ

G 1

= λ =

J 0

. 0663

y 4 3 1 1 2

g D

Π 1

2

π

1 D

Π = γ h 3) Determino Z

1 y 1 4 4

2 2

v v

1 2

= + + + + =

Z Z J L J L 0

.

5 11

.

19 m

3) Dalla (*) ottengo: 4 3 1 1 2 2

2

g 2

g

   

h h

   

2 2

= γ − + γ +

n h h

1 s 3

   

3 3 13

18-2-2002

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI

Z ?

A

aria volume infinito

A n

Q

3 Q ?

L 1 aria

,D

1 ,

ε

1

η

B 1

γ T Z

B

Z T

C 3

ε

,

3

,D

3

L L ,D

2 Q ?

,

∆ ε 2

2 d

2

γ,ν volume finito

γ

m γ, ν, η

Dati: i livelli Z e Z , il rendimento della turbina, la portata Q , tutte le

B C T 3

ε

caratteristiche delle condotte così come indicato in figura (L , D , ), l’indicazione

i i i

γ, γ ∆,

Dati: , geometria del sistema

m n del manometro metallico e il diametro d della luce a spigolo vivo.

cilindrico in figura. Determinare: le portate Q e Q , il livello Z e la potenza W erogata dalla

1 2 A T

Determinare: la spinta complessiva sulla turbina.

parete interna di traccia A-B di spessore Tracciare: l’andamento qualitativo delle linee dei carichi totali e piezometriche.

trascurabile. 10 - 09 - 2002

Esame di MECCANICA DEI FLUIDI

Z = ?

M Z

V

γ, υ A B L

m

h ε

L , D ,

1 ε

L , D , 2 2 2

1 1 1

Q

1

h

2 Z

a a

a

C = ? γ

γ ∆ = ? γ m

γ, υ, γ µ

Dati: , Q ; Z ; Z ; ; tutte le caratteristiche delle condotte così come indicato in figura

m 1 V a

Note tutte le grandezze indicate in ε

(L ,D , ), in condizioni di moto permanente. Il solo serbatoio di sinistra si può considerare di

i i i

figura ed essendo unitaria la

dimensione del problema nel senso dimensioni infinite.

ortogonale al foglio, determinare il Determinare:

modulo e il senso di rotazione della

coppia C che è necessario applicare •il diametro a della luce circolare nel serbatoio di destra

per mantenere nella posizione •la quota Z nel serbatoio di monte

rappresentata la paratoia rettangolare M

incernierata lungo il suo asse medio. ∆

•l’indicazione del manometro differenziale

•la spinta sul tratto di condotta compresa tra le sezioni A e B

Tracciare l’andamento qualitativo delle linee dei carichi totali e piezometrica 14

Soluzione tema d’esame del 10 - 9 - 2002

STATICA DINAMICA

Dato che i fluidi a destra e a sinistra della paratoia 1) La portata che fuoriesce dalla luce ha lo stesso valore di

hanno il medesimo peso specifico, le due distribuzioni Q per continuità. Determino quindi il diametro della luce a

1

di pressione differiscono solo per una componente battente:

rettangolare che, come tale, è applicata nella cerniera e

quindi non è in grado di dare momento. Per questo 4 1

Q

1

= = 0

.

18

a m

( )

C

motivo = 0. Si veda la figura sotto, in cui le π µ −

2 g Z Z

V a

distribuzioni di pressione che si elidono sono 2) Determinazione del livello Z

rappresentate col medesimo colore. M

= =

3 . 18 / ; 1 .

41 /

v m s v m s

1 2

5 5

= ⋅ = ⋅

Re 6 . 37 10 ; Re 4 . 24 10

1 2

λ = λ =

0 . 0140

; 0 .

0167

1 2

= =

0 . 0363

; 0 . 0057

J J

1 2

2 1

v ( )

2

2

= + + + − + = 12 .

30

Z Z J L v v J L m

2 2 1 2 1 1

M V 2 2

g g ∆

3) Determinazione delll’indicazione del manometro

applicando l’equazione del moto tra la sezione di condotta in

γ

p = (h -h )

1 2 cui il manometro è inserito e il serbatoio Z :

V

Alternativamente, svolgendo i conti (tenendo conto che γ

le uniche distribuzioni di pressione in grado di far ∆ = = 4

. 5

J L mm

2 m

ruotare la paratoia sono quelle triangolari): γ − γ

m

1 1

a a ⇒

2 2

γ − γ + = =

0 0

a a C C

2 6 2 6 ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI 3/12/2002

A Z

M Z

V

γ 1

a ε

L , D , 2

2 2

ε

L , D , 1

1 1 Q

γ b

2

R a

γ, ν

A γ m D

T 4

ε

L , D , 3

3 3

γ

Noti: geometria, il peso specifico del fluido 1 η, ∆

Noti: il rendimento della turbina l’indicazione del manometro differenziale, la portata Q

γ

Determinare: il peso specifico del fluido 2

affinchè la paratoia cilindrica di traccia AA e uscente dall’apertura circolare di diametro la geometria del sistema e le caratteristiche dei

a,

profondità libera di scorrere sul piano, stia

L, γ ,ν) ε

fluidi (γ, e delle condotte (L , D , )

m i i i

(in assenza di attrito) in equilibrio nella

posizione indicata. determinare (fluidi reali):

1) Le portate circolanti nelle condotte

2) I livelli Z e Z rispettivamente dei serbatoi di monte e di valle e la potenza T della Turbina

M V

3) Tracciare (qualitativamente) la linea dei carichi totali e la piezometrica delle condotte 15

Appello - 7/9/2004

Dato il sistema rappresentato in figura e i seguenti dati:

3 -6 2 3

γ ν γ η

= 9806 N/m , = 10 m /s, = 133362 N/m , z = 35 m, z = 10 m, z = 30 m, r = 1 m, b (profondità del serbatoio centrale) = 1 m, = 0.85

m M V r T

∆ ε

= 0.08 m, D = 0.5 m, D = 0.2 m, D = 0.2 m, D = 0.5 m, L = 10 m, L = 10 m L = 15 m, = 0

1 2 3 4 1 2 3

Determinare:

- la portata circolante nel sistema

- il livello z del piezometro

p

- la potenza della turbina

- la spinta sul semicilindro di traccia A-B

Tracciare qualitativamente le linee piezometriche e dei carichi totali

z M z ?

P

B

z A r

r

D ,L ,ε

1 1 Volume finito

D ,L ,ε z

2 2 V

Q D ,L ,ε

3 3 T

∆ D 1

γ, ν γ z = 0

m

Nome___________________ Cognome________________ matr.__________

MECCANICA DEI FLUIDI Appello - 16/2/2004

Dato il sistema rappresentato in figura e i seguenti dati:

3 -6 2 3

γ ν γ

= 9806 N/m , = 10 m /s, = 133362 N/m , z = 20.00 m, z = 5.00 m, z = 15.00 m, z = 0.00 m,

m M V S F

η

a = 4 m, h = 2 m, r = 5 m, = 0.85 (rendimento della turbina) Volume della calotta sferica

T

∆ µ

= 0.01 m, D = 0.50 m, D = 0.20 m, D = 0.30 m, = 0.6 (coefficiente di efflusso)

1 2 3 -3

ε

L = 30.00 m, L = L = 20.00 m, L = 3.00 m, L = 5.00 m, = 1.00*10 m 2

W=1/3πh (3r-h)

1 2 3 4 5

- Tracciare qualitativamente le linee piezometriche e dei carichi totali

Determinare: h

- Le portate Q , Q , Q che fluiscono nel sistema in esame in condizioni di moto permanente

1 2 3

- La pressione p misurata dal manometro e la quota z raggiunta dal fluido nel tubo di Pitot

n t r

a

- La potenza W della turbina

T

- La spinta esercitata sulla semisfera di raggio r e di traccia A - B

z M p

z n

t h aria z S

D ,L ,ε a z

1 1 V

B

A r

L

4 D ,L ,ε D ,L ,ε

3 2 3 3

T

L

5

∆ γ D

m 2

z F Q 2 16

MECCANICA DEI FLUIDI I prof. Alberto Guadagnini - prof. Monica Riva Appello - 7/9/2004

Dato il sistema rappresentato in figura e i seguenti dati:

3 -6 2 3

γ ν γ η

= 9806 N/m , = 10 m /s, = 133362 N/m , z = 35 m, z = 10 m, z = 30 m, r = 1 m, b (profondità del serbatoio centrale) = 1 m, = 0.85

m M V r T

∆ ε

= 0.08 m, D = 0.5 m, D = 0.2 m, D = 0.2 m, D = 0.5 m, L = 10 m, L = 10 m L = 15 m, = 0

1 2 3 4 1 2 3

Determinare:

- la portata circolante nel sistema

- il livello z del piezometro

p

- la potenza della turbina

- la spinta sul semicilindro di traccia A-B

Tracciare qualitativamente le linee piezometriche e dei carichi totali

z M z ?

P

B

z A r

r

D ,L ,ε

1 1 Volume finito

D ,L ,ε z

2 2 V

Q D ,L ,ε

3 3 T

∆ D 1

γ, ν γ z = 0

m

Nome___________________ Cognome________________ matr.__________

29-4-2005

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI - Prof. Alberto GUADAGNINI - Prof. Monica RIVA

Z 1 γ

m Z = ?

2 Z = ?

3

∆ ε d

D , , L

ε

D , , L 1 1 2

1 1 1 D 2

γ, ν ε

D , = 0, L

2 2 3

ε

D , , L η ε

, W = ? D , , L

3 3 4 M M 3 3 5 A

M A

γ ν

Fluido di peso specifico e viscosità cinematica fluisce in regime permanente nel sistema indicato in figura. Tutti i serbatoi sono da

considerare di dimensione finita.

∆ γ

Dati: il livello Z , l’indicazione del manometro differenziale e il peso specifico del fluido manometrico, il diametro d della luce

1 m

η

circolare a battente, il rendimento della macchina idraulica, i diametri, le scabrezze e le lunghezze indicate in figura, il verso della

M µ,

portata nella condotta superiore, il coefficiente di Gibson m e quello di efflusso

determinare: le portate circolanti; i livelli Z e Z ; il tipo (pompa o turbina) e la potenza W della macchina idraulica; la spinta totale che

2 3 M

si esercita sul tronco A-A della condotta inferiore (supponendo note le grandezze geometriche necessarie).

Tracciare le linee dei carichi totali e piezometriche. 17

30-06-2005

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI – Prof. Alberto GUADAGNINI Prof. Monica RIVA

geometria; caratteristiche delle condotte (L ; L ; l; D ; D ; ; ); diametro d del tubo addizionale esterno; le

γ; ν; ε ε

Noti: 1 2 1 2 1 2

quote z , z , z e z ; le indicazioni n e n dei manometri metallici.

B 1 2 d 1 2

la portata circolante in condizioni di moto permanente e il livello z .

Determinare: A

inoltre, la spinta che i fluidi esercitano sulle pareti del serbatoio B (tratti in grassetto in figura) .

Determinare,

z ?

A n z

1 1 aria

n z z

2 2 B

l

γ,ν L ,D

1 , ε

1 1 L ,D z

2 , d

ε

2 d

2

23-9-2005

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI (V.O.) - Prof. Alberto GUADAGNINI - Prof. Monica RIVA

Z 1 Z 2

η

ε ε

D , , L D , , L

P

1 1 1 1 1 4

Z P

c ∆

γ

m ε

D , , L

L 3 3 3

m ε

D , , L

2 2 2

γ ν

Fluido di peso specifico e viscosità cinematica fluisce in regime permanente nel sistema indicato in figura. Tutti i serbatoi sono da

considerarsi di dimensione infinita. ∆ γ

Dati: il livello Z , il livello Z <Z , l’indicazione del manometro differenziale e il peso specifico del fluido manometrico, il

1 2 1 m

η

rendimento della pompa, i diametri, le scabrezze e le lunghezze indicate in figura, il coefficiente di Gibson m per il divergente, la quota

P

Z della condotta superiore,

c

determinare: le portate transitanti nelle due condotte; la potenza della pompa; la spinta totale sul divergente (supponendo note le

grandezze geometriche necessarie) .

Verificare la condizione di pressione all’imbocco della pompa.

Tracciare le linee dei carichi totali e piezometriche. 18

11-11-2005

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI – Prof. Alberto GUADAGNINI Prof. Monica RIVA

n γ, γ

Noti: geometria, , indicazione n

m ∆.

del manometro metallico e

Determinare modulo e verso della

aria C

coppia da applicare sulla parete

A interna rettangolare di traccia B-B

(lunga L in direzione ortogonale al

C foglio), incernierata in A, affinché

γ rimanga in equilibrio nella posizione

indicata in figura.

∆ γ m z ?

γ; ν;

Noti: z ; z ; L ; L ; L ; L ; L ; diametri D e D ; B

A n 1 2 3 4 5 1 2

ε ε η

scabrezze =0 e ; rendimento della pompa; n <n

n

1 2 P 2 1

1

z

indicazioni n e n dei manometri metallici. n

1 2 z A L

L L L L

3

1 2 4 5

Determinare: la portata Q, il livello z e la potenza

B

W della pompa.

P γ,ν P

Tracciare: linea dei carichi totali e linea piezometrica. D ,ε =0

1

1 D ,ε 2

2

10-3-2006

ESAME DI MECCANICA DEI FLUIDI

Prof. Monica RIVA, Prof. Alberto GUADAGNINI

Z

n n Z 1

γ 1 Z

L ,D ,ε

Z 2

1 1 1

s

γ s M

γ,ν L 4

Z ? ∆

p γ m

γ 2 γ, ν, γ ∆, η

Dati: , i livelli Z e Z , L , il rendimento della macchina, le

m 1 2 4 M

ε

caratteristiche della condotta (L , D , ).

1 1 1

γ γ

Dati: , , n, geometria del sistema

2 1 Determinare trovare

se la macchina M è una pompa o una turbina e la potenza da

γ

cilindrico in figura, Z , Z , (peso

n s s fornire o che è possibile ritrarre da tale macchina.

specifico del pistone libero di scorrere

senza attrito). Tracciare: l’andamento qualitativo della linea dei carichi totali e piezometrica.

Determinare: il livello Z all’interno del

p

piezometro in condizioni di equilibrio. 19

POLITECNICO DI MILANO

prova di MECCANICA DEI FLUIDI

Allievi energetici 16 settembre 2009

Essendo note: γ ν;

- le caratteristiche geometriche del sistema, il peso specifico del liquido e la sua viscosità cinematica

- il livello nel serbatoio di monte Z e nel serbatoio centrale Z ;

M C

- l’indicazione del manometro metallico p ;

n

η

- il rendimento e la potenza W della pompa;

p p

Si calcoli:

- la portata Q circolante;

- l’indicazione del manometro differenziale;

- Il livello nel serbatoio di volume finito di valle Z ;

V

- la spinta S sul tratto di tubazione divergente AB;

Si traccino inoltre la linea dei carichi totali e la linea piezometrica.

z z

M V

n

z

L , D , ε C

2 2 3 B

L , D , ε

1 1 1 L , D , ε A

3 3 3

P

∆, γ m 20


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Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria dell'edilizia
SSD:
A.A.: 2016-2017

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher mar_tini di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Idraulica e costruzioni idrauliche e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano - Polimi o del prof Ballio Francesco.

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