I punti di discontinuità eliminabile

Punti di discontinuità di terza specie (o eliminabile)

Definizione e esempio

Consideriamo la funzione:

f(x) = ^{1 - x2}/_{x - 1}.

Il dominio è ℝ−{1}. La funzione è discontinua in x₀ = 1 perché f(1) non esiste. Calcoliamo il limite per x → 1:

lim_{x → 1} ^{1 - x2}/_{x - 1} = lim_{x → 1} ^{(1 − x)(1 + x)}/_{−(1 − x)} = lim_{x → 1} −(1 + x) = −2.

Per la definizione di limite, possiamo dire che, scelto un intorno completo di x₀ = 1 sempre più ristretto, la funzione assume valori sempre più vicini a −2. Quindi, possiamo dire che f(x) è quasi continua, perché rimane escluso il solo punto x₀ = 1, come si può osservare nel grafico.

Punto di discontinuità eliminabile

Il punto 1 si chiama punto di discontinuità di terza specie per la funzione:

y = ^{1 - x2}/_{x - 1}.

Il punto 1 viene anche detto punto di discontinuità eliminabile, perché la funzione può essere modificata nel punto 1 in modo da renderla continua, rimanendo invariata nel suo dominio naturale:

f(x) = {^{1 - x2}/_{x - 1}     se     x ≠ 1

                         −2     se     x = 1}

Tale funzione è continua in x = 1, infatti lim_{x → 1} f(x) = -2 = f(1).