I punti di discontinuità di seconda specie

Punti di discontinuità di seconda specie

Esempi di discontinuità

Consideriamo gli esempi in figura

Esempio a

La funzione y = ^x⁄_x-1 non è definita nel punto x₀ = 1 e lim_x→1^- f(x) = −∞, mentre lim_x→1⁺ f(x) = +∞.

Esempio b

La funzione y = sen ¹⁄_x non è definita in x₀ = 0 e per x → 0 non ammette né limite destro né limite sinistro: infatti t = ¹⁄_x tende all'infinito e sen t continua a oscillare tra −1 e 1.

In entrambi i casi il punto x₀ è un punto di discontinuità di seconda specie.

Definizione

Punto di discontinuità di seconda specie

Un punto x₀ si dice punto di discontinuità di seconda specie per la funzione f(x) quando per x → x₀ almeno uno dei due limiti, destro o sinistro, di f(x) è infinito oppure non esiste.

Identificazione dei punti di discontinuità

Cerchiamo, se esistono, i punti di discontinuità della funzione. Poiché la funzione è il quoziente di due funzioni continue, i suoi punti di discontinuità sono i punti dove si annulla il denominatore. I punti x₁ = +3 e x₂ = −3 sono perciò punti di discontinuità della funzione. Stabiliamo il tipo di discontinuità.

Poiché x² − 9 > 0, per 3, e x² − 9 f(x) = (x + 3) / (x − 3)(x + 3) = 1 / (x − 3), se x 3 (x + 3) / (3 − x)(3 + x) = 1 / (3 − x), se − 3.

Calcolo del limite

Calcoliamo il limite destro e il limite sinistro della funzione per x → − 3:

• lim_x→−3⁻ (x + 3) / |x² − 9| = lim_x→−3⁻ 1 / x − 3 = − 1 / 6 ;
• lim_x→−3⁺ (x + 3) / |x² − 9| = lim_x→−3⁺ 1 / 3 − x = 1 / 6.