I limiti destro e sinistro infiniti

I limiti destro e sinistro infiniti

Anche per i limiti infiniti si possono distinguere limiti destri e sinistri. Se la disequazione è soddisfatta per x ≠ x₀, in un...

• lim_x→x0 f(x) = +∞
  f(x) > M intorno destro di x₀
• lim_x→x0^- f(x) = +∞
  f(x) > M intorno sinistro di x₀
• lim_x→x0 f(x) = -∞
  f(x) < -M intorno destro di x₀
• lim_x→x0^- f(x) = -∞
  f(x) < -M intorno sinistro di x₀

Esempio

Consideriamo la funzione y = 1/x (figura a, a lato). Verifichiamo che lim_x→0⁺ 1/x = +∞ e lim_x→0^– 1/x = –∞.

Limite destro

Fissiamo M > 0. Risolviamo:

• 1/x > M, con x ≠ 0
• 1/x – M > 0 → 1 – Mx > 0

Le soluzioni della disequazione (figura b, a lato) sono pertanto l'intervallo ]0; 1/M[, che è un intorno destro di 0.

Limite sinistro

Fissiamo M > 0. Risolviamo:

• 1/x < –M, con x ≠ 0
• 1/x + M < 0 → 1 + Mx < 0

Le soluzioni (figura c, a lato) sono l'intervallo ]–1/M; 0[, che è un intorno sinistro di 0.

Le scritture ^lim_x→0⁺ ¹/_x = +∞ e ^lim_x→0⁻ ¹/_x = -∞ si possono riassumere in una sola, ^lim_x→0 ¹/_x = ∞, cioè scrivendo «infinito» senza segni + o – e lo 0 senza specificare se da destra o da sinistra.

Quando scriviamo ^lim_x→x₀ f(x) = ∞ intendiamo dire che f diverge, ma non importa specificare se positivamente o negativamente.

La definizione di ^lim_x→x₀ f(x) = ∞ è analoga alle precedenti, ma con la seguente variazione: per ogni M > 0, è possibile trovare un intorno I di x₀ tale che |f(x)| > M, per ogni x ∈ I nel dominio di f, con x ≠ x₀.

La disequazione |f(x)| > M si può scrivere in modo equivalente come f(x) > M ∨ f(x) < – M, e quindi le sue soluzioni sono l’unione delle soluzioni delle singole disequazioni.