Heat and mass transfer

• scambio/trasmissione di calore
• mezzi solidi o liquidi in quiete
• non equilibrio termodinamico

Eq differenziale generale della conduzione alle derivate parziali di secondo grado non lineare

I quandi i termini che moltiplicano le derivate dipendono dalla temperatura

_{p Cp ∂T} = div (_λ grad T) + _qg

• _ρ densità ^{[_kg/_m^3]}
• _Cp calore spec press costante ^[_J/_kgK]
• _T temperatura ^[_K]
• _t tempo ^[_s]
• div dato un campo vettoriale _F in un sistema di coordinate cartesiane xyz, opera sul campo e restituisce un risultato scalare

_f = _fx ^î + _fy ^j + _fz ^k

div(_f) = _∂fx/_∂x + _∂fy/_∂y + _∂fz/_∂z

• _λ conduttività → capacità di conduzione ^[_W/_mK]
• grad dato _g campo scalare in un sistema vett xyz

grad(_g) = _∂g/_∂x ^î + _∂g/_∂y ^j + _∂g/_∂z ^k

• _qg potenza generata per unità di volume W/m^3

I più comuni:

• mezzo isotropico
• mezzo omogeneo nei confronti di _ρ e _Cp (altrimenti è necess potenziali di dirazione le derivate)
• _λ non è omogeneo nel mezzo ma variabile con la posizione o la _T (se omogeneo si può portare fuori dal divergente)
• legge di Fourier: _q̇ = -_λ grad("_T") = ^{[_W/_m^2]}

Oss: in molti casi si ha ² cosT e si può semplificare l'eq

ρ_p C_p ^∂T/_∂t = div (λ grad T) + q_g

= div (λ grad ²) + q_g

= div (λ ^∂T/_∂x, + ^∂T/_∂y, + ^∂T/_∂z) + q_g

= ¹/_x ( ^∂2T/_∂x² + ^∂2T/_∂y² + ^∂2T/_∂z² ) + q_g

= λ ∇² T (laplaciano)

Per risolvere un problema è necessario conoscere il dominio Ω e la frontiera S oltre alle condizioni iniziali; ovvero:

Ω S P T(^z, t_o) (= temper ogni punto del dominio per t=0.

cond al contorno.

condizioni sulla superficie-contorno

I tipo:

condizione di: Dirichlet ⇒ temper sul contorno costante

T (z ∈ S) = const

II tipo:

cond. di: Newman ⇒ flusso superficiale imposto

q_s = q̅ ⋅ n̅ = f(z̅ ∈ S)

III tipo:

cond di: Robin ⇒ cond convettiva

q_s = q̅ ⋅ m̅ = - λ ^∂T/_∂n |_S = h (T_S - T_∞)

non si sono considerati fenomeni di: irraggiamento che comporterebbero complicazioni.

T__(1m) = -¹/₄ ^{q_g R}/_l + ^{q_g R2}/_2h + T₀₀ T_(rr) = -¹/₄ ^{q_g r2}/_l + T_(m) + ^{q_g R2}/_{4 l} T_(ll) = ¹/₂ r^{2 q_g}/_l + ^{q_g R}/_2h + T₀₀ T_(pp) = T_(R) + ^{q_g R2}/₄ (1 - ^r2/_R) => andamento parabolico q = - lamda grad T = -1 ^dT/_dr = ^{q_g R}/₂ => q = q.l = q.2 pi RL = q_g l² pi L Cado D monodimensionale sfero h T₀₀ Ip: p Cp l cost Reg. stez. q_g cost v² + ^q_g/_l = 0 => 1/^{r2 d}/_dr (r^{2 dT}/_dr) + ^q_g/_l = 0 => d/_dr (r^{2 dT}/_dr) = -^q_g/_l r² => r^{2 dT}/_dr = -¹/₃ ^q_g/_l r³ + C₁ => ^dT/_dr = -¹/₃ ^q_g/_l r + ¹/_r² C₁ => quando r -> 0, se C₁ z 0 DT -> ∞ e non e' possibile. { r^{2 dT}/_dr = -¹/₃ ^q_g/_l r³ -^dT/_dr |_r=R = h (T_(R) - T₀₀) } { T_(rr) = -¹/₆ ^q_g/_l r² + C₂ ^dT/_dr = -¹/₃ ^q_g/_l r -^dT/_dr |_r=R = h (T_R - T₀₀) } { -¹/₃ ^q_g/_l (R) = h (T_R - T₀₀) -¹ - (¹/₃ ^q_g/_l r) = h ( -¹/₆ ^q_g/_l r² + C₂) - T₀₀ } { ¹/₃ ^q_g/_l = -¹/₆ ^q_g/_l R + h C₂ - h T₀₀ C₂ = T₀₀ + ¹/₃ ^{q_g R}/_l + ^{q_g R2}/_{6 l} } T_(rr) = -¹/₆ ^q_g/_l r² + T₀₀ + ¹/₃ ^{q_g R}/_l + ^{q_g R2}/_{6 l} T_(ro) = T₀₀ - ¹/₃ ^{q_g R}/_l ¹/₃ q_g R = hT_R - h T₀₀

Condizioni in regime non stazionario

• Teorema di Buckingham o del π

Un dato processo fisico è descritto da una equazione, nella quale compaiono n variabili fisiche, se le grandezze fondamentali di queste sono k, allora il problema può essere espresso in funzione di n-k gruppi adimensionali.

x₃ y₂ z h Vol Area

mezzo omogeneo isotropo q_s ≠ 0

T (x, y, z, t)

condizione al contorno di: Tipo convettivo condiz. iniziali: ; T (x, y, z, t = 0) = T_i

r² = x â + y ĵ + z k̂

ρC_p ^∂T/_∂t = λ∇² T + q_s ⇒ ρC_p ^∂T/_∂t = λ∇² T ⇒ ^∂T/_∂t = (λ/ρC_p) ∇² T ⇒ ^∂T/_∂t = α²∇² T

diffusività termica = α² = [m²/s]

^∂T/_∂t = α²∇² T T(x, y, z, t = ∞) = T_∞

- λ _∂T/_∂n|_P = h (T_P - T_∞)

è necessario conoscere le variabili indipendenti per poter applicare il teorema di Buckingham

• (T - T_i) temp. relativa del solido [K]
• (T_∞ - T_i) Temp. relativa fluido [K]
• α² diffusività [m²/s]
• tempo [s]
• λ conduttività termica [W/mK]
• τ coeff. convett. [W/m² K]
• L lunghezza caratteristica, dipendente dal tipo di solido e scelta da chi studia il caso
• r vettore posizione [m]

N = 8 k = 4 (x_gi; m; n; k) N - k = 4 → gruppi adimens.

valori adimens. ⇒ Θ^* = (T - T_∞)/(T_i - T_∞) t ^* = t α²/L² = Fo_urier z̄ ² = z / L ∇² = ∇² z̄ ²

T = T_∞ + Θ^* (T_i - T_∞) t = t ^*L2/α² ⇒ ^∂I/_∂t = ^∂Θ*/_∂t^* (T_i - T_∞) L²/α²