Geometria e Algebra lineare - Appunti con sintesi

GEOMETRIA e ALGEBRA

(f: A → B ; A ⊄ B)

∀ a ∈ A, ∃! b ∈ B ∋ f(a) = b

A a₁ --------------> b₁ a₂ --------------> b₂ B

No ApplicazioneNo Funzione

A a₁ --------------> b a₂ --------------> b B

Applicazione(Funzione)

SPAZIO VETTORIALE

Uno SPAZIO VETTORIALE su un campo di scalari K è un insieme non vuoto V (i cui elementi si dicono vettori) sul quale sono definite una operazione di addizione (detta addizione vettoriale)

+: V x V → V (u, v) → u + v e una moltiplicazione detta moltiplicazione per scalari ∙: K x V → V (λ, u) → λu

che soddisfano le seguenti proprietà:

1. proprietà associativa ∀ u, v, w ∈ V u + (v + w) = (u + v) + w

2) proprietà commutativa

U, V ∈ V   U + V = V + U

3) esistenza dell'elemento neutro rispetto all'addizione vettoriale

0 + V = V + 0 = V

4) esistenza dell'opposto di un vettore

- V + V = V + (- V) = 0

5) l'unità del campo IK è elemento neutro rispetto alla moltiplicazione per scalare

1U = U

6) proprietà "associativa" della moltiplicazione di due scalari per un vettore

∀ U ∈ V, λ, μ ∈ IK   λ(μU) = (λμ)U

7) proprietà "distributiva" rispetto alla somma di scalari

(λ + μ)U = λU + μU

8) proprietà "distributiva" rispetto alla somma di vettori

λ(U + V) = λU + λV

SOTTO SPAZIO VETTORIALE

Sia V uno spazio vettoriale su un campo IK. Un sottoinsieme non vuoto W ⊆ V è detto un sottospazio vettoriale di V se soddisfa le seguenti condizioni:

1. W è chiuso rispetto all'addizione vettoriale di V rispetto a W, cioè: ∀u,v ∈ W ⇒ u + v ∈ W

Piani dello spazio euclideo E₃

Sia fissato un riferimento di coordinate cartesiane nello spazio euclideo reale E₃ e sia σ un piano di E₃ individuato da tre punti non allineati A, B, C ∈ E₃

A (x_A, y_A, z_A)   B (x_B, y_B, z_B)   C (x_C, y_C, z_C)

Indichiamo con σ' il sottospazio vettoriale della giacitura di σ. Per ogni punto P ∈ σ' i vettori AB, AC e AP sono linearmente dipendenti, cioè esistono scalari λ, μ ∈ R tali che:

AP = λ AB + μ AC

Questa, al variare di λ, μ ∈ R, è detta l'equazione vettoriale del piano σ. Indicate con (x, y, z) le coordinate cartesiane del generico punto P ∈ σ, dall'equazione vettoriale si ha:

x = x_A + λ (x_B - x_A) + μ (x_C - x_A)  σ y = y_A + λ (y_B - y_A) + μ (y_C - y_A)  λ, μ ∈ R  z = z_A + λ (z_B - z_A) + μ (z_C - z_A)

Dette equazioni parametriche del piano σ. Da lineare dipendenza dei vettori AB, AC, AP implica

   | x   y   z  1 |    | x_A y_A z_A 1 |    | x_B y_B z_B 1 | = 3    | x_C y_C z_C 1 |

Applicando il teorema di Laplace alla prima riga della matrice precedente, si ottiene una equazione lineare nelle coordinate cartesiane (x, y, z).

4) Le rette r e r’ sono sghembe (cioè r ∩ r’ = 0,r ∩ r’ = 0) se e soltanto se:ν (M) = 4

Parallellismo e Perpendicolarità fra Rette di E₃

Si dicono coefficienti direttori di una retta r di E₃ le componenti di un qualsiasi vettore non nullo di r.I coefficienti direttori degli assi coordinati del riferimento sono:

• Asse x) (l, m, m) = λ (1, 0, 0)
• Asse y) (l, m, m) = λ (0, 1, 0)
• Asse z) (l, m, m) = λ (0, 0, 1)

λ ≠ 0

1. Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette r e r’ di coefficienti direttori (l, m, m) e (l’, m’, m’) siano parallele (eventualmente coincidenti) è che:ν ( l m m l’ m’ m’) = 1
2. Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette r e r’ di coefficienti direttori (l, m, m) e(l’, m’, m’) siano ortogonali è che: ll’ + mm’ + mm’ = 0

Posizioni Reciproche tra Rette E Piani Di E₃

Dati in E₃ un piano σ di equazione cartesiana:

σ) ax + by + cz + d = 0   (a, b, c) ≠ (0,0,0)e una retta r di equazioni cartesiane