Geometria e Algebra lineare - Appunti con sintesi

Geometria e algebra

Applicazione e funzione

Applicazione (f: A → B ; A ↛ B) ∀ a ∈ A ∃! b ∈ B ∃ f(a): b

A, B₁, B₂ No applicazione No funzione A₁, A₂, B Applicazione (Funzione)

Spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale su un campo di scalari K è un insieme non vuoto V (i cui elementi si dicono vettori) su quale sono definite una operazione di addizione (detta addizione vettoriale) +: V x V → V(u, v) → u+ve una moltiplicazione (detta moltiplicazione per scalari) ·: K x V → V(λ, u) → λu che soddisfano le seguenti proprietà:

1. Proprietà associativa: ∀ ũ, ṽ, w̃ ∈ V ũ + (ṽ + w̃) = (ũ + ṽ) + w̃

Proprietà degli spazi vettoriali

Uno spazio vettoriale su un campo di scalari K è un insieme non vuoto V (i cui elementi si dicono vettori) sul quale sono definite una operazione di addizione (detta addizione vettoriale) +: V x V → V(u, v) → u+ve una moltiplicazione (detta moltiplicazione per scalari) ·: K x V → V(λ, u) → λu che soddisfano le seguenti proprietà:

1. Proprietà associativa: ∀ u̅,v̅,w̅ ∈ V u̅ + (v̅ + w̅) = (u̅ + v̅) + w̅
2. Proprietà commutativa: ∀ _u, _v ∈ V : _u+_v = _v+_u
3. Esistenza dell'elemento neutro rispetto all'addizione vettoriale: ₀+_v = _v+₀ = _v
4. Esistenza dell’opposto di un vettore: _v+_v’ = _v’+_v = ₀
5. L’unità del campo  ℓ  è elemento neutro rispetto alla moltiplicazione per scalare: 1_u = _u
6. Proprietà "associativa" della moltiplicazione di due scalari per un vettore: ∀ _u ∈ V, ∀ λ, μ ∈ ℓ   :  _λ(_μu) = (_λμ)_u
7. Proprietà "distributiva" rispetto alla somma di scalari: (_λ + _μ)_u = _λu + _μu
8. Proprietà "distributiva" rispetto alla somma di vettori: _λ (_u + _v) = _λu + _λv

Sotto spazio vettoriale

Sia V uno spazio vettoriale su un campo ℓ. Un sottoinsieme non vuoto W ⊆ V è detto un sottospazio vettoriale di V se soddisfa le seguenti condizioni:

1. W è chiuso rispetto all'addizione vettoriale di V rispetto a W, cioè: ∀ u,v ∈ W => u+v ∈ W
2. W è chiuso rispetto alla moltiplicazione per scalari di V ristretta a W, cioè  ∀v ∈ W, ∀λ ∈ K ⇒ λv ∈ W

1 e 2 sono equivalenti alla seguente condizione:  ∀u,v ∈ W, ∀λ,μ ∈ K ⇒ λu + μv ∈ W

Lineare dipendenza

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Un insieme A = {u₁, u₂, ..., u_m} ⊆ V si dice linearmente dipendente se esistono m scalari λ₁, λ₂, ..., λ_m ∈ K non tutti nulli tali che   λ₁u₁ + λ₂u₂ + ... + λ_mu_m = 0. Nel caso opposto, A è detto linearmente indipendente.

Base

Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato su un campo K. Un sottoinsieme finito B di V è detto una base di V se soddisfa le seguenti proprietà:

1. B è un insieme di generatori di V
2. B è linearmente indipendente.

Dimensione

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K avente una base formata da m vettori. Valgono le seguenti proprietà:

1. Ogni sottoinsieme di V linearmente indipendente ha cardinalità ≤ m
2. Qualsiasi base di V possiede m vettori, cioè tutte le basi di V sono equipotenti.
3. Ogni insieme di generatori di V, formato da m vettori, è una base di V.

Formula di Grassmann

dim (V₁ + V₂) + dim (V₁ ∩ V₂) = dim V₁ + dim V₂

Base ordinata

Sia V uno spazio vettoriale su un campo K di dimensione finita m. Si dice base ordinata di V ogni m-pla B = (e₁, e₂, ..., e_m) di vettori linearmente indipendenti di V. Il concetto di base ordinata è di fondamentale importanza nella teoria degli spazi vettoriali; esso riveste un ruolo analogo a quello del riferimento di coordinate cartesiane nella geometria euclidea.

Applicazioni lineari

Siano V e V' due spazi vettoriali su un campo K. Un'applicazione φ: V → V' si dice lineare se soddisfa le seguenti condizioni:

1. φ(u+v) = φ(u) + φ(v)
2. φ(λu) = λφ(u)

∀ u, v ∈ V, ∀ λ ∈ K. Inoltre, φ è detta un isomorfismo se è biettiva; φ è detta un endomorfismo se V = V'; φ è detta un automorfismo se è biettiva e V = V'.

Prodotto scalare

Sia V uno spazio vettoriale su R. Si dice prodotto scalare ogni applicazione ・ V x V → R(u, v) → u · v che sia:

1. Bilineare: (u+u')·v = u·v + u'·v, u·(v+v') = u·v + u·v', (λu)·v = u·(λv) = λ (u·v)
2. Simmetrica: u·v = v·u
3. Definita positiva: u·u ≥ 0, u·u = 0 (⇔ u = 0)

Comunque siano presi u,u',v,v'∈V e λ∈R

Prodotto vettoriale

Sia V₃ uno spazio vettoriale euclideo reale di dimensione finita 3, e sia B = (e₁, e₂, e₃) una base ordinata ortonormale di V₃. Se u,v ∈ V₃ sono vettori arbitrari di V₃, allora:

• u = u¹e₁ + u²e₂ + u³e₃
• v = v¹e₁ + v²e₂ + v³e₃

Si dice prodotto vettoriale di u con v il vettore u∧v ∈ V₃ definito da:

u∧v = det

1. e₁ e₂ e₃
2. u¹ u² u³
3. v¹ v² v³

= e₁

1. u² u³
2. v² v³

+ e₂

1. u³ u¹
2. v³ v¹

+ e₃

1. u¹ u²
2. v¹ v²

Piani dello spazio euclideo E₃

Sia fissato un riferimento di coordinate cartesiane nello spazio euclideo reale E₃ e sia σ un piano di E₃ individuato da tre punti non allineati A, B, C ∈ E₃

• A (x_A, y_A, z_A)
• B (x_B, y_B, z_B)
• C (x_C, y_C, z_C)

Indichiamo con σ^' il sottospazio vettoriale detto la giacitura di σ. Per ogni punto P ∈ σ i vettori AB, AC e AP sono linearmente dipendenti, cioè esistono scalari λ, μ ∈ ℝ tali che:

AP = λAB + μAC

Questa, al variare di λ,μ ∈ ℝ è detta l’equazione vettoriale del piano σ. Indicate con (x,y,z) le coordinate cartesiane del generico punto P ∈ σ, dall’equazione vettoriale si ha:

• x = x_A + λ(x_B-x_A) + μ(x_C-x_A)
• y = y_A + λ(y_B-y_A) + μ(y_C-y_A)
• z = z_A + λ(z_B-z_A) + μ(z_C-z_A)

λ,μ ∈ ℝ dette equazioni parametriche del piano σ. La dipendenza dei vettori AB, AC, AP implica:

[ x   y   z   1 x_A   y_A   z_A   1 x_B   y_B   z_B   1 x_C   y_C   z_C   1] = 3

Applicando il teorema di Laplace alla prima riga della matrice precedente, si ottiene una equazione lineare nelle coordinate cartesiane (x,y,z) σ)

  ax + by + cz + d = 0    (a, b, c) ≠ (0, 0, 0) detta l'equazione cartesiana del piano σ. L'equazione omogenea associata rappresenta la giacitura σ̅ di σ, cioè

    σ̅)   ax + by + cz = 0

Posizioni reciproche tra piani

Dati due piani σ e σ' dello spazio euclideo E₃ di equazioni cartesiane:

 σ)   ax + by + cz + d = 0    (a, b, c) ≠ (0, 0, 0)

σ')   a'x + b'y + c'z + d' = 0    (a', b', c') ≠ (0, 0, 0)

La loro intersezione è data da:

                   σ ∩ σ'       |  ax + by + cz + d = 0

       |  a'x + b'y + c'z + d' = 0

Dalla teoria dei sistemi lineari segue che:

1. I due piani coincidono se e soltanto se:     ν     ( a   b   c   d     a'   b'   c'   d')       = 1
2. I due piani sono paralleli e disgiunti se e soltanto se: 1 = ν     ( a   b   c     a'   b'   c')     ≠ ν     ( a   b   c   d     a'   b'   c'   d')       = 2
3. I due piani σ e σ' hanno una retta r in comune se e solamente se: (a b c)(a' b' c')= 2 In particolare, la retta r ha equazioni cartesiane ax + by + cz + d = 0 a'x + b'y + c'z + d = 0
4. I due piani σ e σ' hanno una retta r in comune e sono tra loro perpendicolari se e solamente se: aa' + bb' + cc' = 0

Rette dello spazio euclideo E₃

Sia fissato un riferimento di coordinate cartesiane nello spazio euclideo reale E₃ e sia r una retta di E₃ individuata da due punti distinti A, B ∈ E₃ di coordinate cartesiane

A(x_a, y_a, z_a) , B(x_b, y_b, z_b)

Il vettore (non nullo) AB costituisce una base della giacitura Ξ di r. Per ogni punto P ∈ r, i vettori AB e AP sono proporzionali, cioè si ottiene l'equazione vettoriale di r

AP = λAB , λ ∈ ℝ

Indicate con x, y, z le coordinate cartesiane del punto generico P ∈ ℝ, dall'equazione vettoriale di r si ha:

• x = x_a + λ(x_b - x_a)
• y = y_a + λ(y_b - y_a)
• z = z_a + λ(z_b - z_a) , λ ∈ ℝ

che rappresentano le equazioni parametriche della retta r: AB nello spazio E₃. La linear dipendenza dei vettori significa in termini di rango che ovvero

( h−h_A y−y_A z−z_A h_B−h_A y_B−y_A z_B−z_A ) = 1

( h y z 1 h_A y_A z_A 1 h_B y_B z_A 1 ) = 2

Per il teorema di Kromacker esiste un minore non nullo del secondo ordine mentre i due orlati di questo devono essere nulli. Pertanto si ottiene un sistema lineare di due equazioni linearmente indipendenti nelle coordinate cartesiane (x,y,z), cioè:

( ah + by + cz + d = 0 a'h + b'y + c'z + d' = 0 )

( a b c a' b' c' ) = 2

che rappresentano le equazioni cartesiane di una retta r dello spazio E₃ le equazioni cartesiane della giacitura

( ah + by + cz = 0 a'h + b'y + c'z = 0 )

( a b c a' b' c' ) = 2

Posizioni reciproche tra rette di E₃

Date due rette r e r' dello spazio euclideo E₃ aventi equazioni cartesiane:

r₁{^{{ax+by+cz+d=0}}_{{a'x+b'y+c'z+d'=0}}

r₂{^{{αx+βy+γz+δ=0}}_{{α'x+β'y+γ'z+δ'=0}}

e posto:

M = ^{[a b c d]}_{[a' b' c' d']}^{[α β γ δ]}_{[α' β' γ' δ']}

M' = ^{[a b c]}_{[a' b' c']}^{[α β γ]}_{[α' β' γ']}

Dalla teoria dei sistemi lineari segue che:

1. Le rette r e r' coincidono se e soltanto se: ν(M) = ν(M') = 2
2. Le rette r e r' sono parallele e disgiunte se e soltanto se: 2 = ν(M') ≠ ν(M)
3. Le rette r e r' hanno solo un punto comune (sono cioè incidenti) se e soltanto se: ν(M) = ν(M') = 3
4. Le rette r e r' sono sghembe (cioè r ∩ r' = 0,r ∩ r' = 0) se e soltanto se: v(M) = 4

Parallelismo e perpendicolarità fra rette di E₃

Si dicono coefficienti direttori di una retta r di E₃ le componenti di un qualsiasi vettore non nullo di r. I coefficienti direttori degli assi coordinati del riferimento sono:

• Asse x) (l, m, m) = λ (1, 0, 0)
• Asse y) (l, m, m) = λ (0, 1, 0) , λ ≠ 0
• Asse z) (l, m, m) = λ (0, 0, 1)

1. Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette r e r' di coefficienti direttori (l, m, m) e (l', m', m') siano parallele (eventualmente coincidenti) è che: v(_{l m m}) (_{l' m' m'}) = 1
2. Condizione necessaria e sufficiente affinché due rette r e r' di coefficienti direttori (l, m, m) e (l', m', m') siano ortogonali è che: ll' + mm' + mm' = 0

Posizioni reciproche tra rette e piani di E₃

Dati in E₃ un piano σ di equazione cartesiana σ) ax + by + cz + d = 0   (a, b, c) ≠ (0, 0, 0) e una retta t di equazioni cartesiane

x ^{α β γ} _{α' β' γ'}= 0

x' ^{α β γ} _{α' β' γ'}= 2

e posto:

M = _{a b c d α β γ δ α' β' γ' δ'}, M' = _{a b c α β γ α' β' γ'}

Dalla teoria dei sistemi lineari segue che:

1. La retta r è contenuta nel piano σ se e soltanto se ν(M) = ν(M') = 2
2. La retta r e il piano σ sono paralleli se e soltanto se: 2 = ν(M') ≠ ν(M)
3. La retta r e il piano σ hanno solo un punto comune se e soltanto se: ν(M) = ν(M') = 3

Parallelismo e perpendicolarità tra rette e piani di E₃

1. Con le notazioni precedenti, condizione necessaria e sufficiente affinché la retta r sia parallela al piano σ (e eventualmente contenuta nel piano) è che: aL + bM + cN = 0
2. Con le notazioni precedenti, condizione necessaria e sufficiente affinché la retta r sia ortogonale al piano σ è che: ν

_{a b c l m n} = 1