Geometria Descrittiva, prof. Alessandra Pagliano sbobinatura libro - cd

CAPITOLO 1: CENNI DI GEOMETRIA PROIETTIVA

FORME GEOMETRICHE FONDAMENTALI

Forme Forme Forme

geometriche geometriche geometriche

generate dal generate dalla generate dal

punto retta piano

Forme di prima Retta punteggiata Fascio di rette Fascio di piani

specie

Forme di seconda Piano Piano rigato Stella di piani

specie punteggiato

Forme di terza Spazio Stella di rette Spazio di piani

specie punteggiato

Si dicono forme geometriche fondamentali quegli insiemi di enti geometrici che

ricorrono frequentemente nella trattazione della teoria. Tali forme si

distinguono in: forme di prima specie, di seconda specie, di terza specie,

appartenendo alla stessa specie forme per le quali l’individuazione di un

elemento richiede lo stesso numero di parametri, rispettivamente uno, due o

tre parametri.

È noto che in ogni branca della geometria esistono delle proprietà che restano

invariate per un determinato tipo di trasformazione; ad esempio in geometria

elementare, sono invarianti per moti rigidi (rotazione e/o traslazione) le

proprietà metriche, ossia le lunghezze dei segmenti e le misure degli angoli.

Per la geometria proiettiva sono invece invarianti quelle proprietà che le figure

non perdono quando vengono proiettate da un punto su un piano. Queste

proprietà, definite appunto proiettive, evidentemente valide sia per la figura

obiettiva che per la sua immagine, si possono riassumere nelle seguenti:

APPARTENENZA o INCIDENZA: Assegnati un centro di proiezione O1 e un piano

α1 se un punto P appartiene a una retta r, la proiezione P1 di P da O1 su α1

,

anche se risulta un punto improprio P1 ∞ apparterrà alla proiezione r1 della

,

retta r. Ne consegue che due o più rette passanti per un punto si proiettano in

altrettante rette passanti per la proiezione di quel punto.

COLLINEARITA’: tre punti allineati A, B, C si proiettano in punti allineati, cioè la

proiezione trasforma retta in retta.

Esiste un ulteriore invariante, di natura metrica questo, relativo a un doppio

rapporto di quattro punti allineati o di quattro rette di un fascio, dette pertanto

birapporto, di cui parleremo in seguito.

GLI ELEMENTI DELLO SPAZIO PROIETTIVO

Il concetto di proiezione che è alla base della geometria proiettiva richiede che,

accanto agli enti della geometria elementare (punti, rette e piano), siano

introdotti analoghi enti posti a distanza infinita. Tale introduzione si è resa

necessaria per conferire alla disciplina la massima generalità affinché non

esistano enti che risultino privi di proiezione. Tali enti vengono definiti

rispettivamente punti, rette e piano impropri permettendo la risoluzione di tutti

i possibili casi inerenti la rappresentazione piana degli oggetti.

ELEMENTI DELLO SPAZIO DELLA GEOMETRIA ELEMENTARE ELEMENTI DELLO SPAZIO



PROIETTIVO

Punto (elemento Punti impropri: ogni retta ha un

 

adimensionale) punto all’infinito comune a

tutte le rette a essa parallele.

Tale punto ne definisce dunque

la direzione.

Retta (elemento Rette improprie: ogni piano ha

 

monodimensionale) una retta all’infinito comune a

tutti i piani paralleli. Tale retta

ne definisce la giacitura.

Piano (elemento Piano improprio: unico piano

 

bidimensionale) all’infinito.

Il punto improprio P∞ si rappresenta come un segmento di retta che ne indica

la direzione.

Ad esempio, in geometria elementare: “Due rette distinte di un piano

individuano un punto, ad eccezione delle rette parallele (che non si intersecano

mai)” ; in geometria proiettiva: “ Due rette distinte di un piano individuano un

punto; nel caso di due rette parallele, il comune punto d’intersezione sarà un

punto improprio.”

NOZIONE DI PIANO PROIETTIVO

Assegnati due piani distinti e non paralleli α, α1, e una retta a appartenente ad

α, dati tre punti P, Q, R appartenenti ad α e le relative proiezioni P1, Q1, R1 dal

centro O, consideriamo la retta y intersezione del piano α con il piano parallelo

ad α1 passante per O. A mano a mano che i punti si accumulano intorno al

punto Y appartenente a y, le relative proiezioni si allontanano indefinitamente

sulla retta a1. Appare dunque naturale fornire la retta a1 di un nuovo punto

infinitamente lontano che indichiamo con Y1∞.

OPERAZIONI FONDAMENTALI

Le operazioni fondamentali della geometria proiettiva sono:

1. Proiezione da un punto O1 o da una retta p.

2. Sezione con una retta p o con un piano α.

A seconda che il centro di proiezione sia un punto proprio o improprio si ha la

proiezione centrale o la proiezione parallela.

IL BIRAPPORTO

Assegnati una retta orientata r e su questa un punto O come origine, e ancora

l’unità di misura u, si definisce birapporto di quattro punti A, B, C, D, e si indica

con il simbolo (ABC) / (ABD) tra i rapporti semplici (ABC) e (ABD) dove per

rapporto semplice (ABC) si intende il rapporto tra le misure, nell’unità u, dei

segmenti orientati AC, BC. Analogamente, il rapporto semplice (ABD) = AD/ BD.

Ne consegue dunque:

(ABCD) = (ABC)/(ABD) = AC/BC : AD/BD = AC/BC X BD/AD

Il valore e il segno del birapporto dipendono evidentemente dalle reciproche

posizioni dei punti sulla retta r.

Come si è già accennato in precedenza il birapporto di una quaterna di punti

allineati è un invariante proiettivo.

IL BIRAPPORTO ARMONICO

Una quaterna di punti allineati A, B, C, D si dice armonica quando il valore del

birapporto (ABCD)=1.

PRINCIPIO DI DUALITA’

Nello spazio proiettivo, dato un insieme di piani Γ e un teorema Τ valido per

ciascun piano dell’insieme Γ, la proposizione Τd che si ottiene scambiando le

parole punto e retta, lasciando invariata la parola piano, dicesi proposizione

duale di Τ e risulta ancora valida per ogni piano di Γ.

Esempio:

“Due rette distinte di un piano individuano un punto.”

“Due punti distinti di un piano individuano una retta.”

Per il principio di dualità, nella proposizione Τ è possibile scambiare, alle parole

punto e retta, rispettivamente le espressioni stare su e passare per, ottenendo

il teorema Τd ancora valido in Γ.

Esempio:

“Due rette distinte di un piano α passano per un punto di α.”

“Due punti distinti di un piano α stanno su una retta di α.”

DUALITA’ NELLO SPAZIO

Per il principio di dualità nello spazio, ogni proposizione Τ della geometria

proiettiva genera una proposizione Τd ancora valida scambiando le parole

punto e piano e rispettivamente le espressioni stare su e passare per, lasciando

invariata la parola retta.

Esempio:

“Due rette che stanno su un piano individuano un punto del piano.”

“Due rette passanti per un punto individuano un piano.”

PROIETTIVITA’ TRA FORME DI PRIMA SPECIE

La proiettività tra due forme di prima specie è una corrispondenza biunivoca tra

gli elementi delle due forme che conserva i birapporti.

Due forme fondamentali di prima specie si dicono proiettive quando è possibile

dedurre l’una dall’altra attraverso un numero finito di operazioni di proiezione e

sezione.

In particolare due forme fondamentali di prima specie proiettive si dicono

prospettive quando è possibile dedurre l’una dall’altra mediante una sola

operazione di proiezione o di sezione, oppure una proiezione di proiezione e

una di sezione. Ad esempio, due punteggiate ottenute come sezioni di un

fascio di rette sono prospettive; due fasci di rette che proiettano la stessa

punteggiata sono prospettivi.

PROIETTIVITA’ TRA FORME DI SECONDA SPECIE

FORME DI SECONDA SPECIE

Analogamente a quanto affermato in precedenza, due forme fondamentali di

seconda specie si dicono proiettive quando è possibile dedurre l’una dall’altra

mediante un numero finito di operazioni di proiezione e di sezione. Se le forme

si deducono l’una dall’altra mediante una sola operazione di proiezione o di

sezione oppure una sola operazione di proiezione e sezione le forme si dicono

inoltre prospettive.

PROIETTIVITA’ FRA PIANI

I piani punteggiati α e α1 sono prospettivi; i piani punteggiati α1 e α2 sono

forme proiettive, non prospettive.

PROSPETTIVITA’ FRA DUE PIANI

Due piani punteggiati sono prospettivi quando sezionano una stella di rette.

Una prospettività ω tra due piani α e α1 associa a un punto P di α il punto P1 di

α1 allineato con O1 e con P. I punti corrispondenti P e P1 appartengono,

dunque, a una retta detta proiettante. La retta s comune ai due piani è detta

asse della prospettività.

Analogamente la prospettività ω fa corrispondere a ogni retta r del piano α una

ed una sola retta r1 del piano α. Tali rette, dette corrispondenti, si intersecano

in un punto H=H1 dell’asse. Infatti tutti i punti dell’asse sono punti uniti per la

proiettività in quanto appartenenti sia al piano α che al piano α1. L’asse è

pertanto una retta di punti uniti.

OMOLOGIA

Si consideri un certo numero di piani appartenenti a un fascio di sostegno s. Si

stabiliscano ora le prospettività che legano ciascuno dei piani al successivo. La

proiettività tra due di tali piani ottenuta come prodotto di due o più

prospettività è detta omografia.

Ad esempio i punti P e P1 sono corrispondenti nelle prospettività di centro O1

tra i piani α, α1; analogamente i punti P e P2 sono corrispondenti nella

prospettività di centro O2 tra i piani α e α2. Infine la corrispondenza tra i punti

P1, P2 è un’omografia. Se i piani α1 e α2 coincidono la proiettività tra α1 e α2

prende il nome di omografia tra piani sovrapposti (α1≡α2).

PROSPETTIVITA’ FRA DUE STELLE

Due stelle di rette si dicono prospettive quando dai rispettivi centri si

proiettano i punti di uno stesso piano.

Per la risoluzione di alcuni problemi dello spazio è necessario talvolta proiettare

una figura γ appartenente ad un piano α su un piano α1 da due centri distinti,

propri o impropri. Tale operazione equivale dunque a una sezione di due stelle

prospettive con il piano α1, allo scopo di studiare la relazione che si stabilisce

tra le due nuove figure su α1.

Assegnati dunque i centri distinti delle due stelle prospettive O1, O2 e il

triangolo ABC appartenente al piano α la corrispondenza ω che si stabilisce tre

le due stelle, che proiettano ciascun vertice del triangolo da ciascuno dei due

centri è una prospettività tra le due stelle.

Il piano α è detto piano della prospettività o di prospettiva e in ciascuno dei

suoi punti si interseca una coppia di rette omologhe delle due stelle.

SEZIONE DI DUE STELLE PROSPETTIVE

Ad esempio, la sezione con il piano α1≡α2 esterno sia a O1 che a O2 delle

stelle prospettive che proiettano il triangolo ABC, stabiliscono su α1≡α2 una

prospettività ω tra piani sovrapposti nella quale restano associati i punti A1,

A2; B1, B2; C1, C2. La prospettività ω è detta sezione di due stelle prospettive.

CAPITOLO 2: OMOLOGIA

Premesso che si definisce omologia un’omografia non identica tra due piani

sovrapposti che ammetta una retta di punti uniti, dimostriamo ora che una

sezione di stelle prospettive è un’omologia.

La sezione di stelle prospettive con due piani sovrapposti α1 ≡ α2 è infatti una

omografia ω perché tale relazione fa corrispondere punto a punto e retta a

retta; inoltre ω non coincide con l’identità perché i punti corrispondenti sono

distinti; infine la stessa ω ammette una retta di punti uniti, precisamente la

retta s intersezione del piano di prospettività α con il piano α1 ≡ α2. La retta s

è un insieme di punti uniti poiché in ciascun punto H coincidono le proiezioni H1

≡ H2 dello stesso punto H. La retta s è detta asse dell’omologia. Inoltre la

presenza di una retta s di punti uniti comporta l’esistenza di un fascio di rette

unite il cui centro generalmente non coincide con alcun punto di s.

Osserviamo infatti che la retta congiungente i punti O1 e O2 individua sul piano

α il punto S (segnato) le cui proiezioni coincidono nel punto S1≡S2 (di σ) che

indichiamo semplicemente con S detto centro dell’omologia. Notiamo che i

punti A1, A2 proiezione dello stesso punto A da O1, O2, e detti punti omologhi,

risultano allineati con il punto S. La retta A1A2 come tutte le rette che

congiungono una qualunque coppia di punti omologhi sono le rette unite del

fascio di centro S. Le proprietà dell’omologia sono dunque le seguenti:

Due punti corrispondenti sono allineati con il centro;

 Due rette corrispondenti si intersecano in un punto dell’asse.



Perché un’omologia sia individuata è necessario che siano noti il centro S,

l’asse s e una coppia A1, A2 di punti corrispondenti allineati con S.

Indichiamo un’omologia ω con il simbolo ω ≡ (S, s, A1, A2).

Assegnata una retta a passante per il punto A, determiniamo le proiezioni a1

e a2 della retta a rispettivamente da O1 e da O2. Tali rette verificano la

seconda proprietà dell’omologia.

Infatti individuato il punto H di intersezione della retta a con l’asse s, la

proiezione a1 è la retta che congiunge il punto H con il punto A1, proiezione

di A da O1, e la retta a2 è quella che congiunge A2, proiezione dello stesso

punto A da O2, con H.

Assegnati un triangolo di vertici ABC e i centri di proiezione O1, O2 mediante le

note proprietà dell’omologia determiniamo le proiezioni A1B1C1 e A2B2C2 del

triangolo rispettivamente da O1 e da O2.

Due punti corrispondenti sono allineati con il centro;

 Due rette corrispondenti si intersecano in un punto dell’asse.



OMOLOGIA CON CENTRO PROPRIO E ASSE PROPRIO

Assunto come quadro π (piano del disegno) il piano σ ≡ α1 ≡ α2, e assegnata

l’omologia ω ≡ (S, s, A1, A2), ci proponiamo di costruire l’omologia B2 nel piano

α2 di un punto B1 del piano α1.

RETTE LIMITE

GENESI SPAZIALI DELLE RETTE LIMITE

Ricordiamo che il luogo di tutti i punti impropri di un piano α, dovendo avere in

comune con una qualsiasi retta r del piano α un solo punto- precisamente il

punto improprio di r- è una retta infinitamente lontana detta retta impropria;

tale retta è evidentemente comune a tutti i piani paralleli ad α.

Data sul quadro una omologia ω ≡ (S, s , A1, A2) tra i piani sovrapposti α1 ≡

α2, ci proponiamo di individuare le rette i2 e j1, generalmente proprie e

distinte, rispettivamente omologhe della retta impropria i1∞≡j2∞ comune ai

due piani. Allo scopo, consideriamo nello spazio i piani α1(segnato) e

α2(segnato) rispettivamente passanti per O1 e per O2 e paralleli ai piani

α1≡α2. I piani α1(segnato) e α2 (segnato) intersecano il piano α

rispettivamente secondo le rette parallele i e j; le proiezioni j1 e i2 di tali rette,

rispettivamente da O1 e O2, che restano individuate su α1≡α2 conducendo per

O1 e O2 rispettivamente i piani O1j e O2i, sono ancora parallele alle stesse i e

j.

COSTRUZIONE SUL QUADRO DELLE RETTE LIMITI

Scelta arbitrariamente la direzione del punto improprio I1∞, si determini

l’omologo punto proprio I2 di I1∞, applicando le note proprietà dell’omologia; il

punto I2 così individuato è un punto della prima rette limite i2, che dunque sarà

la parallela alla retta s condotta per I2. Con analogo procedimento si determini

la seconda retta limite j1.

La posizione delle rette limiti dell’omologia ω è definita dal seguente teorema:

“Le rette limiti di una omologia ω non speciale sono entrambe interne o

entrambe esterne alla striscia individuata dall’asse e dalla parallela all’asse

condotta per il centro. La distanza di ciascuna di esse dal centro è uguale alla

distanza dell’altra dall’asse misurata in senso inverso.”

TRASFORMAZIONE DI UN TRIANGOLO MEDIANTE UNA OMOLOGIA ω

ASSEGNATA MEDIANTE LA RETTA LIMITE i2

Premesso che nota una delle rette limiti ad esempio i2 risulta assegnata la

coppia di rette omologhe i2, i1∞, scelto ad arbitrio un punto I2 della retta i2,

l’omologo I1∞ è individuabile imponendo la proprietà dell’omologia secondo la

quale i punti corrispondenti siano allineati con il centro S. Assegnata dunque

l’omologia ω ≡ (S, s, i2) si determini l’omologo di un primo vertice ad esempio

A, mediante la retta A2I2 ≡ a2 e costruendo l’omologa a1 alla quale apparterrà

il punto A1. Per trasformare i successivi vertici B2, C2, si possono utilizzare i

due lati concorrenti in A2.

CASI PARTICOLARI DELL’ OMOLOGIA

A seconda della natura del centro e dell’asse dell’omologia possono verificarsi i

seguenti altri casi;

1. AFFINITA’ OMOLOGICA o OMOLOGIA AFFINE: centro improprio e asse proprio

2. OMOTETIA: centro proprio e asse improprio

3. TRASLAZIONE o EQUIPOLLENZA: centro e asse entrambi impropri.

AFFINITA’ OMOLOGICA o OMOLOGIA AFFINE: genesi come sezione di stelle

prospettive

L’omologia affine ω ≡ (S∞, s, A1, A2) può essere generata come sezione di

stelle prospettive quando: entrambi i centri delle stelle siano punti impropri;

entrambi i centri siano punti propri, ma appartenenti ad una retta parallela al

quadro σ, i centri di proiezione siano uno proprio e l’altro improprio, la cui

direzione sia