Geometria analitica e algebra lineare - Appunti

Name: Geometria analitica e algebra lineare - Appunti
Brand: Skuola.net
Price: 4.99 EUR
Availability: InStock
Rating: 3.0 (2 reviews)
Author: gianlucone

Revisionato il 11/04/2026

di gianlucone

Publisher

Vota 3,0/5 (2)

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

Appunti di Geometria analitica e calcolo lineare per l'esame del professor Valabrega sui seguenti argomenti: - il calcolo vettoriale: concetto di vettore e operazioni con vettori. Prodotto …

Esame Geometria analitica e algebra lineare

Facoltà Ingegneria dell'informazione iii

Dal corso del Prof. Valabrega Paolo

Università Politecnico di Torino

A.A. 2012-2013

52 pagine

19 download

Appunto

Scarica

Estratto del documento

Definizione di spazio vettoriale

Fissato un campo numerico K (≡ R o ≡ C). Diciamo che V è un K-spazio vettoriale se:

È data un'operazione di somma che ad ogni coppia di elementi di V (v, w) associa un elemento di V (v+w).
È data un'operazione di prodotto per elementi di K (prodotto esterno) che ad ogni coppia (a, v) con a∈K e v∈V fa corrispondere un unico elemento di V, denotato con av ∋ av.

Le due operazioni verificano le seguenti regole:

S1. Associativa: ∀v,w,z ∈ V si ha: v+(w+z) = (v+w)+z
S2. Esistenza dell'elemento neutro: ∃ 0_v ∈ V tale che u+0_v=u (∀u∈V)
S3. Esistenza dell'opposto: ∀v∈V, ∃ v'∈V (opposto di v) tale che v+v'=0_v
S4. Commutativa: ∀v,w ∈ V → v+w = w+v
P1: ∀v∈V, ∀a,b∈K → a(bv)=(ab)v
P2: ∀v∈V → 1⋅v=v
DISTRIB.1: ∀v∈V e ∀a,b∈K → (a+b)v = av + bv
DISTRIB.2: ∀v,w∈V e ∀a∈K → a(v+w) = av + aw

Spazio vettoriale non è mai vuoto! Contiene almeno l'elemento nullo.

Definizione di sottospazio

Condizione necessaria e sufficiente affinché W sia sottospazio di V:
Chiuso rispetto alla somma: Se due vettori appartengono a W, anche la loro somma appartiene a W.
Chiuso rispetto al prodotto: Se v ∈ W e a ∈ K (K = spazio di V, di cui W è sottospazio), allora av appartiene a W.
0_V ∈ W → Sottospazio non è mai vuoto.

Somma diretta di sottospazi

Siano W e Z due sottospazi del K-spazio V. Diciamo che la somma W + Z è diretta se ogni vettore della somma si può scrivere in modo unico nella forma w+z (w ∈ W, z ∈ Z). Si usa W ⊕ Z.

La somma di due sottospazi (W + Z) di V è diretta solo se W ∩ Z = { 0_V }

Matrici simmetriche e anti-simmetriche

Trasposizione di matrici

t(A) = A, t(A+B) = tA + tB, t(aA) = a^t A

Matrici simmetriche

A si dice simmetrica se tA = A (α quadro), ciò vuol dire che a_ij = a_ji ∀i, j.
A + tA è simmetrica.

Matrice diagonale: Se e solo se tutti gli elementi al di fuori della diagonale sono = 0. Cioè, se i≠j -> (a_ij) = 0.

Esempi

(¹⁰⁄₀₂) è diagonale quindi anche simmetrica.
(⁴⁄₃, ³⁄₂) è simmetrica, ma non diagonale.
(¹⁄₀, ³⁄₂) non è simmetrica e non è diagonale.

Matrici antisimmetriche

A è antisimmetrica se tA = -A.
Una matrice antisimmetrica è necessariamente quadrata.
A è antisimmetrica se e solo se a_ij = -a_ji. In particolare, gli elementi sulla diagonale sono tutti nulli.
A - tA è antisimmetrica.

Esempio

(⁰⁄_-4) è antisimmetrica.

Prodotto righe per colonne

A∈^m,n, B∈^n,p. A・B = C ⟹ C ha numero di righe di A e numero di colonne di B. c₁₁ = (_c₁1, _{a_i1}, _{a_ij}, _b1,1)・(_{b₁1_2䧙j, _{b_j,j₁}, _b₁,3・_b₃,1}

Conclusioni

Siano A∈^m,n, e B∈^p,q. Il prodotto è definito solo se n=p ⟹ A・B∈^m,p& Se il prodotto è definito si possono calcolare i coefficienti. AB + BA non è commutativa.

Anteprima

Vedrai una selezione di 12 pagine su 52