Geometria analitica e algebra lineare - Appunti

DEFINIZIONE DI SPAZIO VETTORIALE:

Fissato un campo numerico k ( = ℝ o = ℂ). Diciamo che V è un k-spazio vettoriale se:

1. È data operazione di somma che ad ogni coppia di elementi di V (v,w) associa elemento di V (v+w).
2. È data operazione di prodotto per elementi di k (prodotto ESTERNO) che ad ogni coppia (a,v) con a ∈ k e v ∈ V fa corrispondere un unico elemento di V, denotato con av o a⋅v.

Le due operazioni verificano le seguenti regole:

_{S1. ASSOCIATIVA.} ∀v,w,z ∈ V si ha: v+(w+z)=(v+w)+z

_{S2. ESIST. ELEM. NEUTRO:} ∃0v ∈ V tale che v+0v=v ∀v ∈ V

_{S3. ESIST. OPPOSTO:} ∀v ∈ V, ∃v' ∈ V (opposto di v) tale che v+v'=0v

_{S4. COMMUTATIVA.} ∀v,w ∈ V → v+w=w+v

_P1. ∀v ∈ V, ∀a,b ∈ k → a(bv)=(ab)v

_P2. ∀v ∈ V → 1⋅v=v

_DISTRIB.1 ∀v ∈ V e ∀a,b ∈ k → (a+b)v=av+bv

_DISTRIB.2 ∀v,w ∈ V e ∀a ∈ k → a(v+w)=av+aw

SPAZIO VETTORIALE NON È MAI VUOTO! CONTIENE ALMENO ELEMENTO NULLO.

Definizione (di sottospazio):

Condizione necessaria e sufficiente affinché W sia sottospazio di V:

• Chiuso rispetto alla somma: Se due vettori appartengono a W anche la loro somma appartiene a W.
• Chiuso rispetto a prodotto: Se v ∈ W e a ∈ k è vetrtore au (k-spazio di V, di cui W è sottr.sp.) appartiene a W.
• 0_V ∈ W ↔ sottospazio non è mai vuoto.

Somma diretta di sottospazi:

Siamo W e Z due sottospazi.d del k-spazio V. Diciamo che la somma W+Z è diretta se ogni vettore della somma si può scrivere in modo unico nella foruma w+z (w ∈ W, z ∈ z). Si usa W ⊕ Z

Somma di due sottospazi (W+Z) di V è diretta solo se W ∩ Z = {0}_V

DIMENSIONE (DEFINIZIONE)

Si dica che il K-spazio vettoriale V ha dimensione n se V ha una base costituita da n elementi. Se U è lo spazio nullo si pone dimU = 0 (base di V insieme vuoto).

Osservazione 1

Ogni spazio vettoriale finitamente generato ha almeno una base, e quindi una dimensione. Perciò se V è finitamente generato, diremo anche che è di dimensione finita.

Osservazione 2

La dimensione, intuitivamente, misura il numero di gradi di libertà di uno spazio vettoriale.

Teorema

Sia V un K-spazio vett. di dim = n e siano x₁,...,x_m ∈ V:

• a) se x₁,...,x_m sono l.i., si ha m ≤ h;
• a') se m > n allora x₁,...,x_m sono l.d.;
• b) se V = (x₁,...,x_m) allora m ≥ n;
• b') se m < n allora x₁,...,x_m non possono generare V.

Corollario

Sia dimU = n e sia E = {e₁,...,e_n} un insieme ordinato di elementi di V. Allora i seguenti fatti sono equivalenti:

• a) E è una base di V.
• b) E è libero.
• c) E genera V.

Osservazione

Se è noto dimU = n la procedura degli scarti successivi per trovare una base di V, si può interrompere quando ne ho già trovati n.

DETERMINANTI: PROPRIETÀ:

1. Se B è la matrice ottenuta da A scambiando due righe o due colonne si ha detB = - detA
2. Se A ha due righe o due colonne uguali: detA=0
3. Se B è la matrice ottenuta da A moltiplicando una riga o una colonna per α si ha: detB=α detA
4. Per ogni matrice quadrata A∈K^N×N si ha detA=detA^t

DETERMINANTE DI MATRICI TRIANGOLARI:

detA=a₁₁,...a_nn → PRODOTTO DI TUTTI GLI ELEMENTI SULLA DIAGONALE PRINCIPALE

1°TEOREMA DI LAPLACE:

Se A è una matrice quadrata:

detA = a_i1A_i1 + ... + a_inA_in

detA = a_1jA_1j +...+ a_njA_nj

Cioè il det si può ottenere moltiplicando gli elementi di una riga o di una colonna per i rispettivi coml. algebrici e sommando i prodotti.

2°TEOREMA DI LAPLACE:

Moltiplicando gli elementi di una riga per i complementi algebrici di un'altra si ottiene 0.

TEOREMA DI BINET:

Siano A,B∈k^n×n. Si ha:

det(AB) = detA· detB

Cioè il determ. del prodotto di due matrici quadrate è uguale al prodotto dei determinanti.

TEOREMA (Nucleo e A.L. Iniettive):

Sia f:V→W una a.l. Allora F è iniettiva se e solo se kef contiene soltanto 0_V (cioè f(x)=0_W si verifica solo per x=0_V).

Immagine di un Sottoinsieme mediante appl.lin.:

Se i sottoinsieme f(A) si chiama anche immagine di F si denota com Imf. Quindi:

Imf={y∈B | ∃ x∈A com f(x)= y}. Se Imf=B si dice che f è suriettiva.

Quindi "f suriettiva" equivale a dire" ∀ y∈B ∃ almeno un x∈A │ f(x)=y"

NB Imf è un sottospazio di W

Isomorfismo:

Siano V e W due K-spazi vettoriali. Un isomorfismo di V con W e' un’applicazione lineare f:V→W che sia bionivoca (cioè iniettiva e suriettiva). Due K-spazi vettoriali V e W si dicono isomorfi se esiste almeno un isomorfismo f:V→W.

Matrici Associate agli Isomorfismi

• f è un isomorfismo se e sdo se A e' invertibile.
• se f è un isomorfismo , allora A⁻¹ = M_F',E^F,E

Immagine e Matrice associata.

1. Imf e' generato dai vettor. di Vavant per componenti rispetto o F, le colonne di A.
2. Imf e' isomorfo allo spazio delle colonne di A.
3. dim Imf = ρ(A)

Corollario Importante Sugli Isomorfismi:

Attenzione: I due spazi vettoriali considerati hanno la stessa dime

Sia φ: V→W una a.l. di k-spazi vett. di stessa dimensione.

Sia A una qualunque matrice associata a φ.

Allora le seguenti condiziono sono equivalenti:

1. φ è un isomorfismo
2. φ è iniettiva (ker φ = 0)
3. φ è suriettiva (dim W = dim V = dim Im φ = ρ(A))
4. le righe di A sono l.c.
5. le colonne di A sono l.c.
6. A è invertibile
7. |A| ≠ 0

L'utilità pratica di questo corollario è molteplic, si può:

1. verificare se φ è un isomorfismo controllando soltanto se è iniettivo (o suriettivo).
2. verificare se φ è un isomorfismo calcolando il rango di A o l det(A)

Teorema 2.2. (Autovalori e polinomio caratt.).

Autovalori di φ sono le radici caratteristiche di A contenute in K (cioè le soluzioni dell'eq. det(A-TI)=0 che sono in K).

Osservazione 1.

Per la validità del teorema è essenziale che la matrice associata venga costruita resp. ad un'unica base.

Osservazione 2.

Se A=(a_ij) è una matrice triangolare, anche A-TI è triangolare e quindi si ha:

|A-TI| = (a₁₁-T)...(a_nn-T). Le radici caratteristiche coincid. con gli autovalori e sono esattamente a₁₁,...,a_nn (elem. sulla diag.).

Osservazione 3.

È importante sapere su che campo stiamo operando. Perchè, per esempio, si può lavorare su R e non avere soluzioni ma averle in C.

Teorema di Invarianza del P.C.

Sia φ:V→V un endomorf. Siamo E,F due basi di V e poniamo A=M_φ^E,E, B=M_φ^F,F. Allora A e B hanno lo stesso polinomio caratteristico.